高等代数答案2
高等代数二练习题答案
高等代数二练习题答案一、多项式运算1. 给定多项式 \( p(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \) 和 \( q(x) =x^2 + 1 \)，求 \( p(x) \) 除以 \( q(x) \) 的商和余数。
2. 计算多项式 \( r(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3 \) 和 \( s(x) =x - 2 \) 的乘积。
3. 证明多项式 \( t(x) = x^4 - 5x^3 + 6x^2 + 8x - 9 \) 可以分解为两个二次多项式的乘积。
二、矩阵运算1. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 与 \( B \) 的乘积。
2. 若矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的逆矩阵。
3. 判断矩阵 \( D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix} \) 是否可对角化，并给出相应的对角矩阵。
三、线性方程组1. 解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 1 \\3x - y + 2z &= 0 \\2x + y + z &= -1\end{align*}\]2. 判断下列线性方程组是否有唯一解：\[\begin{align*}x + y &= 3 \\2x + 2y &= 6\end{align*}\]3. 用克拉默法则解线性方程组：\[\begin{align*}x - y + z &= 2 \\2x + y - z &= 1 \\-x + 2y + z &= 3\end{align*}\]四、特征值与特征向量1. 求矩阵 \( E = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的特征值和对应的特征向量。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数Ⅱ智慧树知到答案章节测试2023年河西学院
绪论单元测试1.对于线性空间的学习，要从三个方面讨论：定义，线性关系（主要是在有限维空间中），子空间。
A:对B:错答案:A2.对于线性空间中线性关系的研究有一个非常重要的概念，就是n维线性空间的基，有了基就可以把数域P上抽象的n维线性空间模型化成具体的空间Pn，而把抽象的向量模型化成它的坐标，即有序数组。
A:错B:对答案:B3.对于线性空间的认识，不仅要知道线性空间的定义，还要了解基本性质以及认识一些具体的线性空间。
A:错B:对答案:B4.线性空间立足于它的基础——集合，于是可以通过学习线性空间的子空间来更好的把握全空间，对于子空间的学习，需要把握其存在性、有限维空间中子空间的构造——生成子空间以及子空间的运算。
A:错B:对答案:B第一章测试1.全体实对称矩阵关于矩阵的加法和数量乘法构成实数域上维的线性空间。
A:对B:错答案:B2.每一n维线性空间都可以表示成n个一维子空间的直和。
A:错B:对答案:B3.数域P上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。
A:对B:错答案:A4.在中，子集构不成子空间。
A:对B:错答案:A5.在中，向量在基，,，下的坐标是（）。
A:（1,0,0,2）B:（—1,0,0,2）C:（2,—1,1,0）D:（2,—1,0,0）答案:D6.在数域P上的n维线性空间V中，由基到基的过渡矩阵是A，由基到基的过渡矩阵是B。
那么由基到基的过渡矩阵是（）。
A:B:C:D:答案:D7.设是线性空间中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素。
则（）。
A:是的一个基B:最大公因式是一次多项式C:线性相关D:线性无关答案:D8.子空间的和是直和的充要条件是（）。
A: dimdim＋dimB:C:D:⊂答案:ABC9.下列说法正确的有（）。
A:复数域关于数的加法和乘法构成有理数域上的线性空间B:有理数域关于数的加法和乘法构成实数上的线性空间C:实数域关于数的加法和乘法构成自身上的线性空间D:实数域关于数的加法和乘法构成复数域上的线性空间答案:AC10.在数域Ｐ上的线性空间Ｖ中，如果向量满足且。
高等代数II课后答案
在（1）中以 g (ξ ) 代替ξ 可得
f (g2 (ξ )) = λ (g2 (ξ ) + g (ξ )).
（2） − （3）得
λ (g (ξ ) +ξ ) = 0 .
（3）
若 λ ≠ 0 ，则 g (ξ ) + ξ = 0 ，所以，由（1）得
0 = f ( g (ξ ) + ξ ) = f ( g (ξ )) + f (ξ ) = λ ( g (ξ ) + ξ ) + λξ = λξ ,
σ −1 (0) = L (ξ1,ξ2 ) .
下面再求值域σ (V ) .
对矩阵 A 施行初等列变换得
1 0 0 0
A
→
0 2
1 1
0
0
，
0 0
1
−1
0
0
第2页共5页
即存在可逆阵 P ，使得
1 0 0 0
AP
=
0 2
1 1
0 0
0 0
.
1
−1
0
0
《高等代数 II》习题课例题讲解
{ } （2）求 Cn×n 的子空间 C ( F ) = X ∈ Cn×n | FX = XF 的维数.
第4页共5页
《高等代数 II》习题课例题讲解
( ) 证（1） 记 A = α1,α2 ,⋅ ⋅⋅,αn , M = an1F n−1 + an−1,1F n−2 + ⋅ ⋅⋅ + a21F + a11E . 要证明 M = A ，
故 g (ξ ) ∈V0 . 所以V0 是 g -子空间.
下面考虑 g 在V0 上的限制 g |V0 ，由于V0 是复数域 C 上的线性空间，因此 g |V0 一定有特征值， 设为 λ′ ，设它的一个特征向量为ξ ′ ∈V0 ，所以，ξ ′ 也是 f , g 的公共的特征向量. 证毕.
高等代数(北大版第三版)习题答案II 2
第六章 线性空间1.设,N M ⊂证明：,MN M MN N ==。
证 任取,M ∈α由,N M ⊂得,N ∈α所以,N M ∈α即证M NM ∈。
又因,M N M ⊂ 故M N M =。
再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ⊂因此无论哪 一种情形，都有,N ∈α此即。
但,N M N ⊂所以MN N =。
2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。
证 ),(L N M x ∈∀则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。
反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x NL ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ⊂于是)()()(L M N M L N M =。
若x M NL M N L ∈∈∈（），则x ，x 。
在前一情形X x M N ∈， X ML ∈且，x MN ∈因而（）（M L ）。
,,N L x M N X M L M N M M N MN ∈∈∈∈∈⊂在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以（）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，）（）k 。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。
证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数秩r，则。
即，22222 若令，y，则可得非零解使。
这与所给条件矛盾，故。
充分性。
由，知，222故有，即证二次型半正定。
．证明：是半正定的。
证（）可见：。
21）当不全相等时2）当时f。
2故原二次型是半正定的。
AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。
X1。
证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。
由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。
不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。
17．A是一个实矩阵，证明：。
证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。
事实上，即证与同解，故。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。
n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。
(完整word版)高等代数2学期06-07A[1].答案doc
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北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期高等代数（II ）期末考试（A 卷）答案一、填空题(每题3分,共30分)1、设W 1和W 2是R n ⨯n 的两个子空间，其中W 1是由全体n 阶实反对称矩阵构成，W 2是由全体n 阶实下三角矩阵构成, 则 W 1+W 2的维数等于2n ．2. 设ε1 = (1,0,0), ε2 = (0,1,0), ε3 = (0,0,1), η1 = (0,0,2), η2 =(0,3,0), η3 = (4,0,0) 是线性空间P 3的两组基, 则从基η1, η2, η3到基ε1, ε2, ε3的过渡矩阵是 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡413121。
3、线性空间22⨯R 中，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5432A 在基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00011E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00112E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01113E ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11114E 下的坐标为： ()T5111---.4、设P 3的线性变换T 为：T(x 1, x 2, x 3) = (x 1, x 2, x 1 + x 2)，取P 3的一组基：ε1 = (1, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (0, 0, 1)，则T 在该基下的矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111010001． .5、设欧氏空间R 3[x ]的内积为dx x g x f x g x f )()())(),((11⎰+-=则一组基1, x, x 2的度量矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡520320323202． 6、已知三阶矩阵A 满足03E A 2E A E A =-=-=-，则=A 6 ．7、已知矩阵A 的初等因子组为λ2，(λ－１)2，则其Jordon 标准形矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110100 8、欧氏空间V 中两个向量βα,满足βαβα-=+，则α与β的夹角是090．9、3维欧氏空间R 3 (取标准内积)中的向量(2, 3,－1), (1, 1, 0),(0, 1,－1)生成的子空间的正交补空间的维数是 1 ．10、设321,,εεε是数域P 上的3维线性空间V 的一组基，f 是V 上的一个线性函数。
高等代数_(王萼芳_石生明_著)_课后答案__高等教育出版社
高等代数第三版（王萼芳石生明）习题解答首都师范大学数学科学学院1100500070高等代数习题答案（一至四章）第一章多项式习题解答1、（1）由带余除法，得q( x) 1 x 7, r ( x)2623999（ 2）q(x) x2x 1， r ( x)5x 72、（ 1）p1m20，（2）由m(2p m2 )0得m0或q1。
q m 0q 1 p m20p m2p q 123、（ 1）q(x)2x46x3 13x239x109, r ( x)327（ 2） q（x） = x22ix(5 2i ) ， r (x)98i4、（ 1）有综合除法： f ( x)15( x1) 10( x1)210( x1)35( x1)4( x1)5（ 2）f (x)1124( x2)22( x2) 28( x2)3(x2) 4（ 3）f (x)24(7 5i )5( x i )( 1 i)( x i ) 22i ( x i )3( x i )45、（ 1） x+1（ 2）1（ 3）x222x16、（ 1） u（x） =-x-1， v（ x） =x+2（ 2）u( x)1x1， v( x)2x22x13333（ 3） u（x） =-x-1,v( x) x3x23x 2u0u27、或t3t28、思路：根具定义证明证：易见 d（ x）是 f（x）与 g（ x）的公因式。
另设( x) 是f（x）与g（x）的任意公因式，下证( x) d ( x)。
由于 d（x）是 f （ x）与 g（ x）的一个组合，这就是说存在多项式s（ x）与 t（ x），使d（ x） =s（x） f （ x） +t（ x）g（ x）。
从而(x) f (x) ，( x) g( x) ，可得( x) d ( x) 。
即证。
9、证：因为存在多项式u（x）， v（ x）使（ f（ x）， g（ x）） =u（ x） f（ x） +v （ x）g（ x），所以（f（ x），g（ x））h（ x）= u（x）f （ x）h（ x）+v（ x）g（ x）h（ x），上式说明（ f（ x）， g（ x））h（ x）是f （x） h（ x）与 g（x） h（ x）的一个组合。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
(完整word版)高等代数试卷及答案(二),推荐文档
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分）1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。
2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为__________________。
3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。
4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。
5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。
6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。
7．在22P ⨯中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。
8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊆，若12dim dim V V =，则_____________________。
9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。
10．向量α在基12,,,n ααα⋅⋅⋅（1）与基12,,,n βββ⋅⋅⋅（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。
二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分）1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。
（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()10V V σσ-+=。
（ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。
（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++⋅⋅⋅+=与12n x x x ==⋅⋅⋅=的解空间，则12n V V P ⊕= （ ）5．2211nn i i i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑为正定二次型。
【最新试题库含答案】高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社_0
4、当n=4k，4k+1时为偶排列当n=4k+2,4k+3时为奇排列5、
n(n?1)2
?k
6、正号
7、?a11a23a32a44，?a12a23a34a41，?a14a23a31a42
n(n?1)
(n?1)(n?2)
8、（1）原式=?(?1)
2
n!，
（2）?(?1)n?1
n!（3）?(?1)
2
n!
9、解：行列式展开得一般项可表示为a1j1
a2j2
a3j3
j4
a5j5
，列标j3j4j5只可以在个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。
10、解：含有x4
(f(x),f(x)?g(x))?1同理(g(x),f(x)?g(x))?1再有12题结论，即证(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1
15
、
?1?
2。
2第2页共27页
16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。17、当t=3时有三重根x=1,；当t=18、4p3?27q2?0 19、a=1，b=-2。
x?
3
，v(x)?
22
23
x?
3
x?1
（3）u（x）=-x-1, v(x)?x3
?x2
?3x?2
7、?u?0?或?u??2?t?2
??
t?3
8、思路：根具定义证明
证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设?(x)是f（x）与g（x）的任意公因式，下证由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而?(x)f(x)，?(x)g(x)，可得?(x)d(x)。即证。
高等代数 习题及参考答案
解易知 有三重根 时， 。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得 ，解得 的三个根为 ，将 的三个根分别代入（1），得 。再将它们代入（2），得 的三个根 。
当 时 有3重根 ；当 时， 有2重根 。
18．求多项式 有重根的条件。
解令 ，则 ，显然当 时，只有当 才有三重根。
3） 。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根 （即有2重有理根 ）。
3）有五个有理根 （即一个单有理根3和一个4重有理根 ）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1） ；
2） ；
3） ；
4） 为奇素数；
5） 为整数。
解1）因为 都不是它的根，所以 在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取 ，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应 的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边 。另一方面，有 ，
代入（1）式，得 。再令 ，得 。
令 ，得
（2）
令 得
（3）
由（2），（3）解得 。因此
原式 。
4）原式=
指数组
对应 的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用 除 ，求商 与余式 ：
1） ；
2） 。
解1）由带余除法，可得 ；
2）同理可得 。
2． 适合什么条件时，有
1） ，
2） 。
解1）由假设，所得余式为0，即 ，
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数作业 第二章行列式答案
高等代数第四次作业第二章 行列式 §1—§4一、填空题1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,52.四阶行列式44⨯=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3.设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4.行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题1、 若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√2、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×3、 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ( )×4、 abcd zz z dy y c x b a =000000( ) √ 5、abcd dcx b y x a z y x-=000000 ( )× 6、0000000=yxh gf e d c b a ( )√7、 如果行列式D 的元素都就是整数,则D 的值也就是整数。
( )√ 8、 如果行列D 的元素都就是自然数,则D 的值也就是自然数。
( )×9、n na a a a a a ΛN 2121= ( )×10、 01000200010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！ ( )× 三、选择题1.行列式01110212=-k k 的充分必要条件就是 ( ) D(A)2=k (B)2-=k (C)3=k (D)2-=k 或 3 2.方程093142112=x x 根的个数就是( )C (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 ( )A(A)665144322315a a a a a a (B)655344322611a a a a a a (C)346542165321a a a a a a (D)513312446526a a a a a a4、 n 阶行列式的展开式中,取“–”号的项有( )项 A(A)2!n (B)22n (C)2n (D)2)1(-n n5.若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-就是五阶行列式的一项,则l k ,的值及该项的符号为( )B (A)3,2==l k ,符号为正; (B)3,2==l k ,符号为负; (C)3,1k l ==,符号为正; (D)1,3k l ==,符号为负6.如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ,则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C(A)2 M (B)－2 M (C)8 M (D)－8 M 7.如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ,则=1D ( )C(A)8 (B)12- (C)24- (D)24 四、计算题 1. 计算3214214314324321解:3214214314324321321421431432111110=123012101210111110------=440004001210111110---=400004001210111110---==1602、 计算3111131111311113、 解:3111131111311113=31111311113111116•=20000200002011116•=.48263=⨯高等代数第五次作业第二章 行列式 §5—§7一、填空题1、 设ij ij A M ,分别就是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02、 122305403-- 中元素3的代数余子式就是 、6-3、 设行列式4321630211118751=D ,设j j A M 44,分布就是元素j a 4的余子式与代数余子式,则44434241A A A A +++ = ,44434241M M M M +++= 、0,66- 4、 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解,则k 、 2≠5、 含有n 个变量,n 个方程的齐次线性方程组,当系数行列式D 时仅有零解、 0≠ 二、判断题1、 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -,则D=0 ( )√2、222)(00000000a b b a a b b a ab -= ( )√ 3、222)(00000000b a a b b a a b b a -= ( )√4、0=d b a c d b c a b d c a b d a c ( )√ 5、483111131111311113= ( )√ 6、)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= ( )× 7、0107310111187654321=--- ( )√三、选择题1、 行列式102211321的代数余子式13A 的值就是( )D(A)3 (B)1- (C)1 (D)2-2.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的就是 ( )D(A)行列式主对角线上的元素全为零 (B)行列式主对角线上有一个元素为零 (C)行列式零元素的个数多于n 个 (D)行列式非零元素的个数小于n 个3.若111111111111101)(-------=x x f ,则)(x f 中x 的一次项系数就是( )D(A)1 (B)1- (C)4 (D)4-4.4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D(A)43214321b b b b a a a a - (B)))((43432121b b a a b b a a -- (C)43214321b b b b a a a a + (D)))((41413232b b a a b b a a -- 5.如果122211211=a a a a ,则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解就是( )B(A)2221211a b a b x =,2211112b a b a x = (B)2221211a b a b x -=,2211112b a b a x = (C)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x ----=(D)2221211a b a b x ----=,2211112b a b a x -----=6、 三阶行列式第3行的元素为4,3,2对应的余子式分别为2,3,4,那么该行列式的值等于( )B(A)3 (B)7 (C)–3 (D)-77.如果方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解,则 k =( )C(A)0 (B)1 (C)－1 (D)3 四、计算题1、 计算D=100110011001aa aa---解:方法1:100110011001aa a a ---21r r ↔=aa a a 100110001011---21r ar +=aaa a a 101100100112--+-32r r ↔=aa a a a 100101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a方法2:将行列式按第一行展开,有:1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---•a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a2、 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解:12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ121125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3、 计算6427811694143211111解:6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12=4、 计算=n D 12111111111na a a +++L L M M M L 解:=n D 12111111111na a a +++LL M M M Lna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(121∑=+=ni in a a a a Λ 5、 解方程:22x 9132513232x 213211--=0、解:22x 9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=223310131000103211)1(x x ----•-=223300130000103211)1(x x ----•-=224000130000103211)1(x x ---•-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1.证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明:()()()()()()()()()()()()43433232212222222222222222222222221232123252122123212325212221232521221232123252122123c c c c c c c c c c a a a a a a a a a a bb b b b b b b b bc c c c c c c c c cd d d d d d d d d d -----++++++++++++++++++++++++++++ 40推论2.设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=,求证:n D D D D +++=Λ21,其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
高等代数(北大版第三版)习题答案
高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
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解
1 ⎛ ⎜1 − 2 ⎜ 1 A−1 = ⎜ 0 ⎜ 4 ⎜ ⎜0 0 ⎝
1 ⎞ ⎟ 12 ⎟ 5 − ⎟ 24 ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠ −
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1) X ⎜ 1 − 1 0 ⎟ ＝ ⎜ − 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ (2) X＝ AX− A ＋I, 其中 A＝ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
0 1 0 0
0 0 1 0
0⎞ ⎟ 0⎟ , 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
⎛1 ⎜ ⎜0 (2) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
0 1 0 0
0 0 1 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
证明
⎛1 ⎜ ⎜0 Q = T12 (2)T23 (−1)T24 (−1) = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
2 − 2 − 2⎞ ⎟ 1 −1 −1⎟ . 0 1 0 ⎟ ⎟ 0 0 1 ⎟ ⎠
习 题 二
解 1. 证明任何一个数域都包含有理数域. 证明 设 F 是一个数域，则 F 含有一个不等于 0 的数 a ，且
⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
0 0 0 1 1
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0⎞ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎟ 0⎟ 1⎟ ⎠
1=
a ∈ F . 用 1 和它自己重复的相加，可得全体正整数，因此 a
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ a11 ⎜ ⎜ 0 ⎟ (3) ⎜ ⎟ (−3 1 2 5); (4) (x1 x2 x3) ⎜ a 21 7 ⎜a ⎜ ⎟ ⎝ 31 ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1⎞ (5) ⎜ ⎜ 0 1⎟ ⎟ (n 是自然数). ⎝ ⎠
n
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ； ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
16. 设 A 是三阶矩阵，给 A 的第 1 列乘 2 后加到第 3 列得 A1, 我们知道给 A 右乘相应地初等矩阵 Q 也可得到 A1，即 AQ＝A1，请 写出 Q 来.
12. 令 Eij 是第 i 行第 j 列元素是 1， 而其余元素都是零的 n 阶矩 阵. 求 EijEkl. 解
⎧E Eij Ekl = ⎨ il ⎩0
2
可逆的上三角阵的逆矩阵还是上三角阵.这是因为
( B, I ) → L → ( I , B −1 )
都是后行乘以某个数加到前行上. 18. 某军事行动制定了代号为 111，121，112，122，211 的五 种行动计划，军事行动组收到一份密电，内容是执行代号 abc 行动, 这是一份用矩阵加密的电文，加密矩阵是 解
1 0 ⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ (1) X = ⎜ − 1 5 4 ⎟. ⎜ 1 − 2 − 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 0 1⎞ ⎜ ⎟ (2) X = ⎜ 0 3来自0 ⎟ . ⎜1 0 2⎟ ⎝ ⎠
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ M＝ ⎜ 0 1 0 ⎟ , ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ a ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M ⎜b⎟ ＝ ⎜1⎟ . ⎜ c ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
问从兰州出发的 8. 写出下面铁路图的邻接矩阵 A， 并计算 A2， 且长度为 2 的途径有几条？
乌鲁木齐 银川 西宁 兰州 宝鸡 西安
矩阵, A = ( aij ) n×n ,则
解
设顶点 1,2,3,4,5 分别为乌鲁木齐,西宁,兰州,宝鸡,银川
⎛M a1i ⎜ ⎜M a 2i AEij = ⎜ M M ⎜ ⎜M a ni ⎝
M⎞ ⎟ M⎟ , M⎟ ⎟ M⎟ ⎠
和西安.则上面铁路图的邻接矩阵为
( j 列), 第 j 列之外的全为零.
17 18
⎛L ⎜ Eij A = ⎜ a j1 ⎜L ⎝
L a j2 L
L L⎞ ⎟ L a jn ⎟ ( i 行),第 i 行之外的全为零. L L⎟ ⎠
于是由 AEij = E ij A 可得, aii = a jj , aij = 0(i ≠ j ), i, j = 1,2,L, n . 因此, A 是一个数量矩阵. 11. 设 A, B, C 都是 n 阶矩阵,且 ABC＝I,请问 CAB 等于什么？ 解
j = k, j ≠ k.
13. 在中学代数中，有一条算律是(a＋b)(a−b) ＝ a2−b2，现在 设 A, B 是两个 n 阶矩阵，问(A＋B)(A−B)＝A2−B2 是否成立？为什 么？ 解 不成立.因为矩阵的乘法不满足交换律. 14. A, B, C 都是 n 阶矩阵，根据矩阵的运算性质判断下列推理 规则中哪些是错误的，为什么？ （1）AB＝0 ⇒A＝0 或 B＝0； （2）AB＝AC ⇒B＝C； （3）AB≠0 ⇒ A≠0 且 B≠0； （4）AB＝0 ⇒detA＝0 且 detB＝0. 解 （1）错; （2）错; （3）对; （4）错. 15. 设 c1,c2,…,cn 是不全为零的复数. 证明,存在复数域上的 n 阶 可逆矩阵 T,使得 T 的第 1 列的元素依次是 c1,c2,…,cn. 解 设 ci ≠ 0 ,则可构造 T 为
5. 设 A 是 n 阶矩阵，k 是一个数，行列式 det(kA)等于什么？ 解
det(kA) = k n det A .
x1(1，2，－1)＋x2(1，3，－1)＋x3(0，1，1)＝(0，0，0)
Z + ⊆ F ，又因为 0 = a − a ∈ F ，所以 F 也含有 0 与任一正整数的
差，即 Z ⊆ F .从而 Z ⊆ F .这样,F 也含有任意两个整数的商(分母 不为 0).因此 Q ⊆ F . 2. 请说明矩阵和行列式两个概念之间的区别. 解 ⑴记号不同,行列式是 ,而矩阵是 ( ) .
⎛ 7 −1⎞ ⎜ ⎟ (1) ⎜ − 2 5 ⎟ ⎜ 3 − 4⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 4⎞ ⎜ ⎜ − 5 2⎟ ⎟； ⎝ ⎠
⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ (2) (−3 1 2 5 ) ⎜ ⎟ ； 7 ⎜ ⎟ ⎜ − 3⎟ ⎝ ⎠
a12 a 22 a 32 a13 ⎞ ⎟ a 23 ⎟ a 33 ⎟ ⎠
−
6. 求 x1, x2, x3 使下面的等式成立. 解 x1 = x 2 = x3 = 0 . 7. 计算：
⑵行列式的行数与列数必须相等, 而矩阵的行数与列数可以不 相等. ⑶行列式是一些数的代数和,而矩阵是一张数表. 3. 设 A 是 m×n 矩阵，A＝0 指的是什么？ 解 A＝0 指的是 A 是 m×n 的零矩阵. 2 a 1 e f 5 b g d 3 c 4 4. 写出下图的关联矩阵.
⎛1 ⎞ det ⎜ A−1 − 10 A * ⎟ ⎝3 ⎠
1 14 14 = det( A−1 − 5 A−1 ) = det(− A−1 ) = −2 × ( )3 . 3 3 3
28. 试证，若 A 可逆，则 A*也可逆，并求出(A*)−1 证明 因为
A* A = AA* = (det A) I n , 并 且 A 可 逆 ， 即
19. 解关于 X 的矩阵方程.
⎛2 ⎜ ⎜3 A＝ ⎜ −1 ⎜ ⎜4 ⎝
1 −1 1⎞ ⎟ 2 1 0⎟ ； 1 1 2⎟ ⎟ 4 1 3⎟ ⎠
1 ⎛ 0 ⎜ ⎜ 2 −1 B＝ ⎜ −3 2 ⎜ ⎜ 1 1 ⎝
1 − 1⎞ ⎟ 1 2⎟ . 0 − 1⎟ ⎟ 3 2⎟ ⎠
21
22
⎛1 ⎜ ⎜0 解 (1) ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝
det A ≠ 0 ,
23 24
所以, A ⋅ (
*
A A )=( ) A* = I n det A det A 1 * −1 因此 A*可逆,并且 ( A ) = A. det A
29. 证明，对矩阵 A 施行一次交换两行的初等变换相当于对 A 连续施行几次另两种行初等变换. 证明 设
L ⎛ L ⎜ a j2 ⎜ a j1 →⎜ L L ⎜ ⎜ − ai1 − ai 2 ⎜ L L ⎝
解
⎛ 4 0 4 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 1 − 5⎟ . ⎜ − 2 1 − 1⎟ ⎝ ⎠
*
27. 设 A 为三阶矩阵，且 detA＝
0⎞ ⎟. 0⎟ ⎠
1 ⎛1 ⎞ ，求 det ⎜ A−1 − 10 A * ⎟ . 2 3 ⎝ ⎠
解
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 解 P = T32 (1)T21 (−1) = ⎜ − 1 1 0 ⎟ . ⎜ −1 1 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 2⎞ 22. 设 A＝ ⎜ ⎜ 0 3⎟ ⎟ ，把 A 表成一些初等矩阵的乘积. ⎝ ⎠
解
25. 证明第三种初等变换不改变方阵 A 的行列式. 第三种初等变换相当于将方阵的行列式的某行(列)的元 素乘以同一个数后加到另一行(列)的对应元素上,因此第三种初等变 换不改变方阵的行列式.
⎛ 1 0 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎟ A = D2 (3)T12 (2) = ⎜ ⎜ 0 3⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ 0 1 ⎠
(答案不唯一).
23. 就列的情况证明定理 2.6.2 证明 (略).
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎟ ⎜ 26. 设 A＝ ⎜ 2 1 3 ⎟ ，求 A 的伴随矩阵 A*. ⎜ 0 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝
⎛1 − 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ 24. 设 A＝ ⎜ 1 − 1 1 1 ⎟ , 求可逆矩阵 P 与 Q，使得 ⎜ 0 − 1 − 1 − 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ Ir PAQ＝ ⎜ ⎜0 ⎝
20. 若 n 阶矩阵 A，B 都可逆，问 A＋B，AB 也可逆吗？为什 么？ 解 A＋B 不一定可逆, AB 可逆.这是因为 det( A + B ) ≠ 0 不一 定成立,而 det( AB) = det A det B ≠ 0 . 21. 把下列矩阵化为它的等价标准形.
且
请译出 abc 来.
⎛ a ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 ⎜ b ⎟ = ⎜ 1⎟ . ⎜ c ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠