数值计算方法绪论

绪论
什么是计算方法（数值分析）？
研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得 各类问题数值解或近似解的学问。 加、减、乘、 除、逻辑运算
绪论
计算方法（又称为数值分析）的任务: 研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则 运算的计算模型，以便有效地借助于计算机迅速 求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为 计算格式。
0
1 1 e 1 ~ 格式（B），近 似 取 I N ( ) 2 N 1 N 1
格式(A) I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 0.6321 0.3680 0.2640 0.2080 0.1680 0.1600 0.0400 0.7200
格式(B) 0.6320 0.3680 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1269 0.1124
1 (1 I n ) ( n N , N 1,) n
定积分的性质
性质1
I n 0 (n)
1 e 1 性质2 In I n 1 n1 n1 性质3 I 0 n 初始值的选取： 1 ~ x 1 1 根据 I 0 e dx 1 e 近似取得 I0 格式（A）,
精确值 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124
稳定性分析
I n 1 nI n1 对格式（A）： 由 ~ ~ I n 1 nI n 1
相减得
e n ne n1
故得
en n! e0
所以，计算不稳定。
计算方法
教 材 《数值计算方法引论》
李开宁 编
总 学 时 教师姓名
24学时
沙春林
绪论
计算方法的意义: 无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性 的情形 : （1）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法
（2）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用 于规模较小的情形 （3）基于离散数据建立数学模型时
例1.1 试建立计算如下问题的稳定的计算格式
In
解 分部积分得

1
0
x n e x 1 dx
In x e
n
x 1 1 0
| n x
0
1
n 1
e
x 1
dx 1 nI n1
由此可建立如下两种计算格式
格式（A）：I n
1 nI n1
(n 1,2,)
I n 1 格式（B）：
•非线性方程求根 •方程组求解 •插值与拟合
•数值微分与积分
•常微分方程数值解
绪论
f ( x)
f ( ) 0
B
x2
a11 x1 a12 x 2 c1 a x a x c 22 2 2 21 1
o a
A

b
x o
方程组求解
解
x1
非线性方程求根
绪论
y
y
27
26
o
x
25
稳定性分析
对格式（B），则有
e n 1
1 en n
1 1 1 故 得 | en | | e N | (n N ) n1 n 2 N
计算稳定。
稳定性分析
一般来说，若一个计算格式满足如下误差关系式
| e后 | C | e初 | (C为常数)
则认为该计算格式数值稳定。 所以，人们通常以相容性和稳定性作 为对一个计算格式可行性的基本要求。
绪论
计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: 面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算，以便在计算机 上求出问题的数值解。 遵循的相容性原则，满足控制误差积累的数值稳定性 要求，以及评价计算格式优劣的计算复杂性，为适应 大型计算机的计算，现今又提出了并行性要求。
绪论
计算方法的基本内容：
24
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
插值
拟合
绪论
y
I f ( x )dx
a b
o
a
Leabharlann Baidu
b
x
数值积分
绪论：计算格式的相容性与稳定性
定义1.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成 某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。 定义1.2 如果在用某一计算格式进行数值计算的 过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要 求的精确度(简称精度），则称该计算格式数值稳 定（简称为稳定），反之则为不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。