导数的基本公式与运算法则
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
导数的公式及运算法则
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
作业
A组： 1 （2）（4）. . .（12） 3(4)(5)(6) 4 选作：A组： 5 B组： 1 3 4
1 cos x
1 cos x
3(ln sin x ln(1 cos x))
y
1 1 (sin x) (1 cos x)] 3[ sin x 1 cos x cos x 0 ( sin x) 3[ ] 3 cot x 3 sin x sin x 1 cos x 1 cos x
练习：P.45
A组
3
（1）（2）（3）
例8 设y e 解
1 x 2
，求y
1 x 2
y (e
1 x 2
) e
1
2
( 1 x 2 )
2
e
1 x 2 (
2 1 x
) (1 x )
x 1 x
2
e
1 x 2
sin x 3 ) ，求 y 例9 设y ln( 1 cos x sin x 3 sin x 解 由于 y ln( ) 3 ln
例10 设为实数，求幂函数 x的导数 y . 解 y x 可写成指数函数的形式： y e ln x
y e , u ln x, 1 dy u u 从而 (e ) ( ln x) e x dx u 1 1 e x x x
用定义求导数的方法
(1)求增量y
y (2)求比值 x y (3)求极限lim0 x x
导数的运算公式和法则
导数的运算公式和法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
在求导的过程中，有一些常用的运算公式和法则，可以帮助我们简化计算。
下面是一些常用的导数运算公式和法则。
一、基本导数公式1. 常数导数法则：对于任意常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
2. 幂函数导数法则：对于任意实数n，幂函数y = x^n的导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，当n = 0时，常数函数y = c的导数为d/dx(c) = 0。
3. 指数函数导数法则：对于底数为常数a的指数函数y = a^x，其导数为d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
这个法则也适用于自然对数中的指数函数y = e^x，其导数为d/dx(e^x) = e^x。
4. 对数函数导数法则：对于底数为常数a的对数函数y = log_a(x)，其导数为d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
特别地，当底数为自然常数e时，对数函数变为自然对数函数y =ln(x)，其导数为d/dx(ln(x)) = 1 / x。
5.三角函数导数法则：（1）正弦函数的导数为d/dx(sin(x)) = cos(x)。
（2）余弦函数的导数为d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
（3）正切函数的导数为d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
（4）余切函数的导数为d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
（5）正切函数和余切函数的导数也可以写成d/dx(tan(x)) = 1 /cos^2(x)和d/dx(cot(x)) = -1 / sin^2(x)。
6.反三角函数导数法则：（1）反正弦函数的导数为d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
（2）反余弦函数的导数为d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
（3）反正切函数的导数为d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
导数的基本公式与运算法则
ln y
1 [ln|x 1| ln|x 2| ln|x 3| ln|x 4|] ， 2
上式两边对x求导，得
1 1 y y 1 1 ( ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ， ) ， y y 2 2 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x x 4 4
解 当x0时, f(x)1,
当x0时, f ( x ) 1 ,
1 x 当x0时,
f (0 )h l i0m (0h ) h ln 1( 0 ) 1,
f (0 ) h l 0 ilm n 1 (0 [ h h ) ]ln 1 0 ( ) 1,
f(0)1.f(x)111,x,
x0 x0.
2. 设 f(x ) (x a )(x ),其中(x) 在 xa处连续,
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
七、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y
t
2,
t x 2
消去参数
yt2 (x)2 x 2 24
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
( x ) x 1 (cos x ) sin x
(cot x ) csc 2 x (csc x ) csc x cot x
(e x ) e x
(ln x ) 1 x
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
推论:
n
n
导数的加减乘除运算公式
导数的加减乘除运算公式
在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
导数的加减乘除运算是求导数时经常用到的基本运算法则。
下面将介绍导数的加减乘除运算公式，对于不同类型的函数进行计算。
导数的加法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的和 (f(x) + g(x)) 的导数为： (f(x) +
g(x))’ = f’(x) + g’(x)
导数的减法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的差 (f(x) - g(x)) 的导数为： (f(x) -
g(x))’ = f’(x) - g’(x)
导数的乘法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的乘积 (f(x) * g(x)) 的导数为： (f(x) * g(x))’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
导数的除法法则
如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，它们的导数分别为f’(x) 和g’(x)，那么这两个函数的商 (f(x) / g(x)) 的导数为： (f(x) /
g(x))’ = (f’(x) * g(x) - f(x) * g’(x)) / (g(x))^2
这些导数的加减乘除运算公式是微积分中非常重要的基本法则，通过这些法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而更深入地理解函数的性质和变化规律。
在实际问题中，导数的加减乘除运算公式为我们提供了有效的工具来分析函数的变化以及优化问题的最优解。
导数的基本公式及运算法则
y = (xlnx) = x (lnx) (x)lnx
x 1 1 ln x x
1 ln x.
例3
设
y
x x2
-1 1
,
求
y
.
解 根据除法公式，有
y
x - 1
x
2
1
(x2
1)( x
- 1) (x2
- (x2 1)2
1)( x
- 1)
(x2
1)[(
x)
-
(1)] - [( x2 ( x2 1)2
(2)
1 y'
1 x2
- 2x (1 x 2 )2
y"
-
(1 (1
x2 )' x2 )2
二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算
2.2.4 复合函数的求导法则
定理2.2 若函数u u(x)在点x可导，函数y＝f (u) 在点u处可导，则复合函数y f (u(x)) 在点x可导，且 dy dy du dx du dx 或记作： dy f '(u) u '(x) dx
c' 0 (c为任意常数)
(x ) = x -1 .
(ax) = ax lna . (ex) = ex.
1 (log a x) x ln a .
(ln x) 1 . x
(sin x) = cos x.
(cos x) = - sin x.
(tan x) = sec2x .
(cot x) = - csc2x .
的二阶偏导数.
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四
个：（用符号表示如下）
z x
x
x
导数公式、导数基本运算法则
导数公式、导数基本运算法则作为很多算法的基础--导数，一定会被算法工程师经常用到。
例如前面的文章中提到的--牛顿高斯迭代[matlab模型]。
算法中的变量 J 便是函数 y=a\cdot e^{b\cdot x} 在 x_{0} 处对 a、b 的偏导数。
为了想不起来时候有地方查找，这篇文章将记录最基本的导数公式，及导数的基本运算法则。
基础导数公式公式1： f(x) = a....................................................导数： f'(x) = 0公式2： f(x) =x^{a} .................................................导数： f'(x) = a\cdot x^{a-1}公式3： f(x) =a^{x} ................................................ ..导数： f'(x) = a^{x}\cdot ln(a)公式4： f(x) =e^{x} ................................................ ...导数： f'(x) = e^{x}公式5： f(x) =log_{a}(x).........................................导数： f'(x) = \frac{1}{x\cdot ln(a)}公式6： f(x) =ln(x).............................................导数： f'(x) = \frac{1}{x}sin(x)..........................................导数：f'(x) = cos(x)公式8： f(x) =cos(x) .........................................导数：f'(x) = -sin(x)公式9： f(x) =tan(x) ........................................导数：f'(x) = sec^{2}(x)公式10：f(x) =cot(x) ........................................导数：f'(x) = -csc^{2}(x)公式11： f(x) =sec(x) ......................................导数：f'(x) = sec(x) \cdot tan(x)公式12： f(x) =csc(x) ......................................导数：f'(x) = -csc(x)\cdot cot(x)公式13： f(x) =arcsin(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1- x^{2}}}公式14： f(x) =arccos(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}arctan(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}公式16： f(x) =arccot(x) ...............................导数： f'(x) = \frac{-1}{1+x^{2}}以上是我们常见的基本函数的求导公式，其中公式4是公式3的特殊存在，公式6是公式5的特殊存在。
导数的基本公式与运算法则
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 89 从而 y 9x .
16y
将 x2 ，y 3 3 ，代入上式得 所求切线的斜率 2
k 3 . 所求的切线方程为
4
yy33 33 33(x(x22) )，，即即 33xx44yy88 3300。。
22
44
六、对数求导法
v(x)
v2 ( x)
推论:
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi (x)] f1(x) f2 (x)
fn (x)
i 1
f1(x) f2 (x) fn(x).
二、例题分析
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解： y 3x 2 4x cos x.
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
, sin
2x x2
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数。
定理 如果函数u g(x)在点 x可导 , 而y f (u)
在点u g(x)可导 , 则复合函数 y f [g(x)]在点
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
两边取对数得
ln f (x) v(x) ln u(x)
f (x) v(x) ln u(x) v(x)u(x)
f (x)
u(x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，表示函数在其中一点上的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本初等函数的导函数公式以及导数的运算法则来简化计算。
以下是一些常用的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2，则f'(x) = 2x。
3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正常数且a≠1，则f'(x) = a^x ln(a)。
其中ln(x)表示以e为底的对数函数。
例如，f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^x ln(2)。
4. 对数函数：若f(x) = logₐx，其中a为正常数且a≠1，则f'(x)= 1 / (x ln(a))。
例如，f(x) = log₂x，则f'(x) = 1 / (x ln(2))。
5. 三角函数：（1）sin(x) 的导函数为 cos(x)；（2）cos(x) 的导函数为 -sin(x)；（3）tan(x) 的导函数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为secant 函数，其值等于 1 / cos(x)；（4）cot(x) 的导函数为 -csc^2(x)，其中 csc(x) 为 cosecant 函数，其值等于 1 / sin(x)；（5）sec(x) 的导函数为 sec(x)tan(x)；（6）csc(x) 的导函数为 -csc(x)cot(x)。
1.和差法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
即和差函数的导数等于各个函数的导数之和或差。
例如，若f(x)=x^2，g(x)=x，则(f+g)'(x)=(x^2)'+x'=2x+12. 数乘法则：若f(x) 是可导函数，c 为常数，则(cf)'(x) =cf'(x)。
导数公式及运算法则
例1、求下列函数的导数。 (1) y= 5 (2) y= x 4 (3) y= x
-2
y 0
y 4 x
3
3
2 y 2 x 3 x
(4) y= 2 x
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x
1 y x ln 3
思考如何求下列函数的导数：
1 (1) y 4 x
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
y 2 x 3
练习2、求下列函数的导数:
1 2 (1) y 2 ; x x x (2) y ; 2 1 x (3) y tan x;
1 4 答案: (1) y 2 3 ; x x
1 x2 ( 2) y ; 2 2 (1 x )
1 ( 3) y ; 2 cos x
从而切线方程为 y 1 3( x 1),即3 x y 4 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b (4) | 32 1 10 | b 4 | 10, b 6或b 14;
故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.
复合函数
复合函数y f g x 的导数和函数 y f u , u g x 的 导数间的关系为 y y u .
导数的基本公式与运算法则
(3)
y'
x ( )' 1- x2
x '(1-
x2 ) - x(1(1- x2 )2
x2 ) '
1-
x2 - x(-2x) (1- x2 )2
1 x2
(1 - x2 )2
(4) y ' (2x3) ' (3x sin x) ' (e2 ) ' 2(x3 )'-3(x sin x)'0 6x2 - 3(sin x x cos x)
求 z f (x, y) 对自变量 x (或 y)的偏导数时,只须将另一 自变量 y (或 x )看作常数,直接利用一元函数求导公式和
四则运算法则进行计算.
例1 设函数 f (x, y) x3 - 2x2 y 3y4,
求
f
x
(
x,
y),
f
y
(
x,
y),
f
x
(1,1),
f
y
(1,
-1),
(u(x)v(x)) = u(x)v(x) + u(x)v(x);
v( u(
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
-
u( x) u2 ( x)
例2 设函数 z (x2 y 2 ) ln( x2 y 2 ), 求 z z
x y
解：z x
导数的运算公式和法则_OK
(1) y sin 2x
解 10 逐层分解） 令y sinu, u 2x, 则
20 链式求导） dy dy du cos u 2 dx du dx
30 回代）
dy 2cos 2x dx
完了吗？
20
(2) y (2x 1)3 解 令y u3, u 2x＋1, 则 dy dy du 3u2 2 6（2x 1)2
层次（包括四则,复合）, 再按照相应法则求解
23
练习
求下列函数的导数
sin 1
1) y e x 2) y arcsin
x 3) y arctan 1 4) y e2x tan 3 x
x
5) y x2 a2 arccos a（其中x 0,a 0） x
答案：
1) y
sin 1
ex
(sin 1 )
例2 求函数y x sin x sin 的导数
2
解
y
x
sin
x
sin
2
1 sin x x cos x 2x
6
例3 求函数y sin 2x的导数 cos 2x ? 解 y' (2sin xcos x)'
2[(sin x)'cos x sin x(cos x)']
2(cos2 x sin2 x) 2cos 2x
sin 1
ex
cos 1 ( 1 )
sin 1
ex
cos 1
(
1
)
x
xx
x x2
2) y
1 ( 1 ( x)2
x)
1
sin 1
ex
cos
1
x2
x
1 1
导数的基本公式与运算法则(高阶求导)
二、导数的有限次四则运算法则
三、基本初等函数的求导公式表
四、复合函数求导——链式法则
1、设f ( x) = arcsin x, j ( x) = x2 , 求f [j ⅱ ( x)], f [j ( x)],( f [j ( x)])
( x) = 2 x 解: j ¢
\ f [j ¢ ( x)] = arcsin(2 x)
所以
d 1 1 140 d t 2 500
( rad/ min )
例. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 试求当容器内水 位等于锥高的一半时水面上升的速度.
h 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 x 体积为 V , 则 2 R 3 3 1 R 2 h 1 r 2 (h x) [ h ( h x ) ] 3 3 2 3h 两边对 t 求导 r hx 2 dV R dV h d x 3 R 2 2 (h x) , 而 25 (cm s) hx dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h (cm s) , 故 2 2 2 dt R R (h x)
f (cos x2 ) 2 x sin x2
五、隐函数求导
六、对数求导
七、参数方程求导
有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例 解 上式两边取对数，得 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 上式两边对 x 求导，得 a a b y ln b x x y
f [j ( x)] = arcsin x
2
\ ( f [j ( x)])ⅱ = f [j ( x)] j ( x) 1 2x = 2x = 1- x 4 1- x 4
导数的四则运算法则
y (3) 当x 0, 常数 x
3．巩固练习：Βιβλιοθήκη 用导数定义求 的导数.2yx x
2
( x x) 2 x 1
2
f ( x) x
结论： ( x
2
g ( x) x
2
f ( x) g ( x) x x
2
x 6x 3 2 2 ( x 3)
2
3 例4:求曲线y=x +3x－8在x=2处的切
线的方程.
解： f ( x) ( x 3x 8) 3 x 3，
3 2
k f (2) 3 2 3 15 ，
2
又切线过点 (2,6)， 切 线 方 程 为 : y 6 15( x 2)， 即： 15x y 24 0．
2
解：f ( x) ( x sin x)
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
导数的基本公式与运算法则
y
(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex
1 x 1
1 3(x 1)
x
2
4
1
说明 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如,
两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
七、由参数方程所确定的函数的导数
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
1 x2
.
常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(loga
x)
1 x lna
(arcsin x) 1 1 x2
cos x
(sin
x) cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x. 同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 y sec x,求y.
解
y
1 cos
x
(cosx) cos2 x
sin x cos2 x
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 89 从而 y 9x .
16y
将 x2 ，y 3 3 ，代入上式得 所求切线的斜率 2