2013年高考第3讲导数的应用(二)

答案 3
考向一 函数的极值与导数 【例 1】 ?(2011 ·重庆 ) 设 f (x)＝ 2x3＋ ax2＋ bx＋1 的导数为 f′ (x)，若函数 y＝ f′(x)的图象关于
1 直线 x＝－ 2对称，且 f ′(1)＝ 0.
(1)求实数 a，b 的值；
(2)求函数 f (x)的极值． 1
[审题视点 ] 由条件 x＝－ 2为 y＝f′(x)图象的对称轴及 f′ (1)＝0 求得 a，b 的值，再由 f ′(x)
值为零， 12－2a－2b＝ 0，所以 a＋ b＝ 6，由题意知 a，b 都是正实数，所以 ab≤ a＋ b 2＝ 6
2
2
2＝ 9，当且仅当 a＝b＝3 时取到等号．
答案 D
2．已知函数
f(x
1 )＝4x
4－4x3＋ 3
2x
2，则
f(x)(
)．
A．有极大值，无极小值 B．有极大值，有极小值
C．有极小值，无极大值 D．无极小值，无极大值 解析 f′(x)＝x3－ 4x2＋4x＝x(x－2)2
3 解得 x1＝32，x2＝12.
综合①，可知
x
1 －∞， 2
1 2
13 2，2
f ′(x)
＋
0
－
3 2
3 2，＋∞
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以， x1＝32是极小值点， x2＝12是极大值点． (2)若 f(x)为 R 上的单调函数， 则 f′ (x)在 R 上不变号，结合①与条件 a＞0，知 ax2－ 2ax＋1≥ 0
由 V′＝ 0 得 x＝0(舍去 )或 x＝20.
当 x∈(0,20)时， V′＞ 0；当 x∈(20,30)时， V′＜ 0.
所以当 x＝20 时， V 取得极大值，也是最大值．
极小值．
答案 2 5．若函数 f(x)＝xx2＋＋1a在 x＝ 1 处取极值，则 a＝ ________.
解析 ∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴ f ′(1)＝ 0，
2x x＋1 － x2＋ a
又 f′(x)＝
x＋1 2
，
∴f′ (1)＝ 2×1×
1＋1 － 1＋1 2
1＋ a
＝0，
即 2×1×(1＋ 1)－(1＋a)＝ 0，故 a＝3.
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的 函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f ′(x)，解方程 f′(x)＝ 0； (3)比较函数在区间端点和 f′(x)＝0 的点的函数值的大小，最大 (小 )者为最大 (小)值； (4)回归实际问题作答．
在方程根的左右的值的符号， 如果左正右负， 那么 f(x)在这个根处取得极大值， 如果左负右正，
那么 f(x)在这个根处取得极小值． ex
【训练 1】 (2011 ·安徽 )设 f(x)＝ 1＋ ax2，其中 a 为正实数．
4 (1)当 a＝ 3时，求 f(x)的极值点；
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围． 解 对 f(x)求导得 f ′(x)＝ ex1＋1a＋x2a－x222ax.① (1)当 a＝ 4时，若 f′(x)＝0，则 4x2－8x＋3＝0，
.
基础梳理 1．函数的极值 (1)判断 f (x0)是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时， ①如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)＞0，右侧 f′ (x)＜0，那么 f (x0)是极大值； ②如果在 x0 附近的左侧 f ′(x)＜0，右侧 f′ (x)＞0，那么 f (x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝ 0 的根； ③检查 f ′(x)在方程 f′(x)＝0 的根左右值的符号．如果左正右负，那么 f (x)在这个根处取得 极大值； 如果左负右正， 那么 f(x)在这个根处取得极小值， 如果左右两侧符号一样， 那么这个 根不是极值点． 2． 函数的最值 (1)在闭区间 [ a， b] 上连续的函数 f(x)在[ a， b] 上必有最大值与最小值． (2)若函数 f (x)在 [a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数 f(x) 在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f (b)为函数的最小值． (3)设函数 f (x)在 [a，b]上连续，在 (a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如 下： ①求 f(x)在(a，b)内的极值； ②将 f(x)的各极值与 f (a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3． 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
在 R 上恒成立． 因此 Δ＝ 4a2－4a＝4a(a－1)≤ 0，
由此并结合 a＞ 0，知 0＜a≤1.
考向二 函数的最值与导数 【例 2】 ?已知 a 为实数，且函数 f(x)＝(x2－ 4)(x－a)．
(1)求导函数 f′(x)；
(2)若 f′ (－1)＝ 0，求函数 f(x)在[－ 2,2]上的最大值、最小值．
(2)f ′(x0)＝0 是 y＝ f(x)在 x＝x0 取极值的既不充分也不必要条件．
如① y＝|x|在 x＝0 处取得极小值，但在 x＝ 0 处不可导； ②f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝ 0 不是 f (x)＝x3 的极值点．
(3)若 y＝ f(x)可导，则 f ′(x0)＝0 是 f(x)在 x＝x0 处取极值的必要条件．
[审题视点 ] 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值．
解 (1)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，得 f ′(x)＝ 3x2－ 2ax－4.
1
(2)因为
f ′(－ 1)＝0，所以
a＝
， 2
有 f(x)＝x3－1x2－4x＋2，所以 f ′(x)＝ 3x2－x－ 4. 2
令 f′(x)＝0，所以 x＝4或 x＝－ 1. 3
双基自测 1． (2011 福·建 )若 a＞ 0， b＞ 0，且函数 f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2 在 x＝1 处有极值，则 ab 的最
大值等于 ( )．
A． 2 B．3 C．6 D．9 解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数 f(x)在 x＝1 处有极值，可知函数 f(x)在 x＝1 处的导数
－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
(
)．
3
A． 13 万件
B．11 万件
C． 9 万件
D． 7 万件
解析 y′ ＝－ x2＋ 81，令 y′ ＝0 解得 x＝9(－9 舍去 )．当 0＜x＜9 时， y′ ＞0；当 x＞9 时，
y′ ＜0，则当 x＝ 9 时， y 取得最大值，故选 C.
一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设 AE＝ FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边 长的比值．
[审题视点 ] 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义．
的符号求其极值．
解 (1)因 f (x)＝ 2x3＋ ax2＋ bx＋1，
故 f′(x)＝6x2＋2ax＋b.
从而
f′(x)＝6
a x＋
2 ＋ b－ a2，
6

6
a 即 y＝f′(x)的图象关于直线 x＝－ 对称，
6
a1 从而由题设条件知－ ＝－ ，解得 a＝ 3.
62
又由于 f′ (1)＝0，即 6＋2a＋ b＝ 0，解得 b＝－ 12. (2)由(1)知 f(x)＝ 2x3＋3x2－ 12x＋1， f′(x)＝6x2＋6x－ 12＝6(x－1)(x＋2)．
又 f 4 ＝－ 50， f(－ 1)＝ 9，f (－2)＝ 0， f(2)＝ 0，
3 27
2
9 50 所以 f(x)在[－ 2,2]上的最大值、最小值分别为 2、－ 27.
一般地，在闭区间 [a，b]上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值，在开区间 (a，b)内 的连续函数不一定有最大值与最小值， 若函数 y＝f(x)在闭区间 [a，b]上单调递增， 则 f(a)是最 小值， f(b)是最大值；反之，则 f(a)是最大值， f(b)是最小值． 【训练 2】 函数 f(x)＝x3＋ax2＋b 的图象 在点 P(1,0)处的切线与直线 3x＋y＝0 平行 (1)求 a， b； (2)求函数 f (x)在 [0，t](t >0)内的最大值和最小值． 解 (1)f′ (x)＝3x2＋2ax
f′(x)，f (x)随 x 变化情况如下
x f′(x) f(x)
(－ ∞，0) 0
－
0
0
(0,2) ＋
2 (2，＋ ∞)
0
＋
4 3
因此有极小值无极大值． 答案 C
3． (2010 山·东 )已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式
为
y＝－
1 x
3＋
81x
答案 C 4． (2011 广·东 )函数 f(x)＝x3－ 3x2＋ 1 在 x＝________处取得极小值． 解析 f′(x)＝3x2－6x＝ 3x(x－2)
当 x＜0 时， f′ (x)＞0，当 0＜x＜2 时， f′(x)＜0，当 x＞ 2 时， f ′(x)＞ 0，故当 x＝ 2 时取得
两个注意
(1)注意实际问题中函数定义域的确定．
(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还
是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．
三个防范
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外