集合和简易逻辑

1非负整数集—自然数集

A

C b

a b

a

括元素0（以前不包括元素0）；

2正整数集,用N +或N *表示。正整数集不包括元素0。

1.2 集合的表示法

1．列举法 列举法是把集合的元素一一写在大括号里的表示法，如

}{1,2,3A =。红色、白色、蓝色和绿色的集合可写成

}{D =红色,白色,蓝色,绿色

2．描述法 把集合中的元素的公共特性写在大括号里的表示法，如 “所有等腰直角三角形”组成的集合可写成}{

A =等腰直角三角形；

方程2

60x x +-=的根组成的集合A 可写成}

{

2

60B x x x =+-=；

大于零的前三个自然数的集合可写成}{C =大于零的三个自然数。 3．图解法 在不严格的意义下，为直观起见，有时也用图来表示集合，如右图：

1.3 集合与集合的关系和运算

1．包含

子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ⊆ 或 B A ⊇，读作A 包含于B ，或B 包含A 。

在国家标准中，“⊆”可用“⊂”代替，“⊇”可用“⊃”代替。 子集的性质：

（1）任何一个集合A 是它本身的子集； （2）空集是任何一个集合A 的子集；

（3）对于集合A 、B 、C ，若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆。 真子集：如果A B ⊆，且A B ≠，则集合A 叫做集合B 的真子集，

如把我们学校看作是一个集合A ，则我们班就是A 的真子集。又如所有男性是所有人的真子集

2．相等：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么称这两个集合相等。也就是说，两个包含的元素完全相同的集合相等。记作A B =。

3．相交：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ，读作“A 交B ”。 }{

A B x x A x B =∈∈且

交集的性质：

（1）A A A =； （2）A ∅=∅； （3）A B B

A =

例 · {1, 2} ∩ {红色, 白色} =

·{1, 2, 绿色} ∩ {红色, 白色, 绿色} = {绿色}

·{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

4．相并：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ，读作“A 并B ”

。 }{

A B x x A x B =∈∈或

并集的性质：

（1）A A A =； （2）A ∅=∅； （3）A

B B A

=（交换律） 例·{1, 2} ∪ {红色, 白色} = {1, 2, 红色, 白色}

·{1, 2, 绿色} ∪ {红色, 白色, 绿色} = {1, 2, 红色, 白色, 绿色} ·{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

5．补集 全集 ：如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作是一个全集，全集常用U 表示。

补集（差集、余集）：把U 分成A 和B 两个集合，则A 是B 的补集， B 是A 的补集。U 中A 的补集记作U

A （当U 明确时U 中A 的补集简记作A ），

U 中B 的补集记作（当U 明确时U 中B 的补集简记作B ）

。A 有时用A′表示。

}{

A

x x U x A =∈≠且，

}{

B

x x U x B =∈≠且

补集的基本性质： ·A ∪ A′ = U ·A ∩ A′ = ∅ ·(A′)′ = A

·A − B = A ∩ B′

例}{

U =1,2,3,4,5,6,7,8，}{

1,2,3A =，则B U A =-=}{4,5,6,7,8U

A =

1.4 简易逻辑

A B

A

B