人教版高数必修四第3讲：诱导公式(学生版)
【原创说课课件】高中数学(必修4)：三角函数的诱导公式
教法 学生缺乏自信，注意力不够集中，知识容量有限
问题教学法:问题引导→带动课堂→培养独立思考能力。 激励教学法:激励学习的兴趣→引发学习的动力。 教师引导法:有效引导→引起学生的发现，归纳和总结。
学法
观察发现法：通过对角度的分析，对角度进行分类。 自主探究和小组合作探究相结合法：通过思考和讨
论方式，牢牢抓住注意力。
习惯上： 缺乏积极学习主动性，课堂注意力不够集中
能力上： 具备一定的动手能力和总结归纳能力
1 教材分析 2 学情分析
3 教学目标
4 教学重难点 5 教法学法分析 6 教学过程设计 7 板书设计 8 教学反思
知识目标:
• 经历诱导公式的推导过程，掌握 三角函数的化简和求值。
能力目标:
• 在公式的归纳总结过程中，体 会数形结合思想的应用，发展 学生逻辑推理的学科素养及分 析问题和解决问题的能力。
cos() cos ------公式二（教师引导）
6 教学过程设计
tan() tan
7 板书设计
公式二是学生第一次接触的用总结归纳的法则来推导诱导 公式，因此公式二主要由教师引导为主。
8 教学反思
1 教材分析
㈢探索开发新结论
2 学情分析 3 教学目标 4 教学重难点
sin( ) sin
cos( ) cos
归纳总结法：把自身探索与老师的系统讲解相结合， 得出诱导公式的三种类型。
1 教材分析 2 学情分析 3 教学目标 4 教学重难点 5 教法学法分析
6 教学过程设计
7 板书设计 8 教学反思
教学手段
多媒体辅助教学，利用投影展示图片，利用实物投影 仪展示学生成果，制作课件进行动态演示，将信息技 术手段融入课堂教学中，以增加课堂容量。
高中数学必修四诱导公式
高中数学必修四诱导公式考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备，高中数学必修四诱导公式有哪些呢？下面是店铺为大家整理的高中数学必修四诱导公式，希望对大家有所帮助!高中数学必修四诱导公式大全公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
人教数学必修四课件-133三角函数的诱导公式三
讲授新课
例4. 已知sin( ) 4 ,且sin cos 0,
5
求 2sin( ) 3tan( 3 )的值. 4cos( 3 )
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 角的三 角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正
角的三 或三 角的三
角函数
角函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
角函数
角函数
函数
讲授新课
小结
①三角函数的简化过程图：
任意负 公式一 任意正 公式一或 0o~360o间
角的三 或三 角的三 二或四 角的三角
***三角函数的 诱导公式
主讲老师：陈震
复习回顾
诱导公式(一)
sin(2k ) sin(k Z) cos(2k ) cos(k Z) tan( 2k ) tan(k Z)
复习回顾
诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
复习回顾
练习1. 将下列三角函数转化为锐角三角函数：
(1)tan 3 ; (2)sin 31 ;
5
36
(3)cos 519; (4)sin( 17 ).
3
复习回顾
练习2. 求下列函数值：
(1)cos 65 ; (2)sin( 31 );
人教版高数必修四第3讲：诱导公式(学生版)
诱导公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解四组诱导公式及其探究思路2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。
（一）诱导公式诱导公式一: =+)2sin(παk _______________ =+)2cos(παk ______________=+)2tan(παk _____________（其中Z ∈k ）诱导公式二： =-）αsin(________________ =-）αcos(_______________=-）αtan(_______________（其中Z ∈k ）诱导公式三: =-）απsin(____________=-）απcos(___________ =-）απtan(___________（其中Z ∈k ）诱导公式四：=+）απsin(_____________ =+）απcos(___________ =+）απtan(____________（其中Z ∈k ）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．)(2由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；中奇偶指的是k kπ六组诱导公式（公式中k ∈Z ）组数 一二三四五六角 2k πα+πα+πα-α-2πα+2πα-正弦 余弦 正切口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限总口诀奇余偶同，象限定号类型一：利用诱导公式求值例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）16sin()3π-； （2）o cos(945)-.练习：求oooosin10sin(260)cos100cos(170)---的值.例2 (变式应用) 求ooooosin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值练习：求35463755tan()sin()cos tan6366ππππ---.例3 (综合应用) 已知o1cos(75)3α-=-，且α为第四象限角，求osin(105)α+的值.练习：若o1cos(75)3α+=，且α为第三象限角，求o ocos(15)sin(15)αα-+-的值.类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用) 化简cos()2sin()cos(2)5sin()2παπαπαπα-⋅-⋅-+.练习：化简：sin(6)cos(10)tan()cos()sin(8)tan(5)παπααπαππαπα-+---+-；例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33n n n ππππ+⋅+∈.例5 (综合应用) 已知α为第三象限角，且sin()cos(2)tan()()sin()tan()f παπααπαπααπ----=--+.（1）化简()f α； （2）若31cos()25πα-=，求()f α的值； （3）若o1860α=-，求()f α的值.一、选择题1．已知sin(α－π3)＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为( ) A ．13B ．－13C ．233D ．－2332．已知sin110°＝a ，则cos20°的值为( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2D ．－1－a 23．已知点P (sin(π＋θ)，sin(3π2－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．235．化简sin (θ－5π)tan (3π－θ)·cot ⎝⎛⎭⎫π2－θtan ⎝⎛⎭⎫θ－32π·cos (8π－θ)sin (－θ－4π)＋sin(－θ)的结果为( )A ．0B ．1C ．2D ．326．计算sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4的值是( )A ．－34B ．34C ．－34D ．34 二、填空题7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.8．设φ(x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2＋cot(19π－x )，则φ⎝⎛⎭⎫π3＝________. 三、解答题9．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．322．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－353．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各三角函数值： ①sin1 125°； ②tan 37π12·sin 37π12；③sin3tan3； ④sin1－cos1.其中为负值的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．化简1＋2sin (π－3)cos (π＋3)的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k1－k 2D ．－k1－k 2二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. 三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.能力提升一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A ．m 2－12B ．m 2＋12C ．1－m 22D ．－m 2＋122．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A ．a －1a ＋1B ．a ＋1a －1C ．－1D ．13．化简sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )得到的结果是( )A ．0B ．－2sec αC ．2csc αD ．2sec α4．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( )A ．－255B ．255C ．±255D ．52二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于________． 6．求值：tan (－150°)cos (－570°)cos (－1 140°)cot (－240°)sin (－690°)＝________.三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．8．化简：cot α·cos (π＋α)·sin 2(3π＋α)tan α·cos 3(－π－α).9．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．课程顾问签字： 教学主管签字：。
数学：《三角函数的诱导公式》教案(新人教A版必修4)高一
数学：《三角函数的诱导公式》教案（新人教A版必修
4）高一
课题
§诱导公式（1）科目数学年级高一主备人审核人
教学目标
要求学生掌握360? k + ?, 180? ? ?, 180? + ?, 360? ? ?, ? ?诱导公式的推导过程，并能运用化简三角式，从而了解、领会把未知问题化归为已知问题
的数学思想。
教学重点
教学难点
主要教具直尺教学过程设计备注一、
1．公式1：（复习）
2．对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中?为不大于90?的非负角）（以下设?为任意角）
3．公式2：
设?的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180?+?终边与单位圆交于点P’(-x,-y)
sin(180?+?) = ?sin?, cos(180?+?) = ?cos?.
tan(180?+?) = tg?, cot(180?+?) = ctg?.
sec(180?+?) = ?sec?, csc(180?+?) = ?csc?
4．公式3：
如图：在单位圆中作出与角的终边，同样可得：。
新课标高中数学人教A版必修四精品课件1.3.3三角函数的诱导公式(三)
讲授新课
例5.
最新高中数学精品课件试卷
课堂小结
1. 熟记诱导公式五、六； 2. 公式一至四记忆口诀：函数名不变，
正负看象限； 3. 运用诱导公式可以将任意角三角函数
转化为锐角三角函数．
最新高中数学精品课件试卷
课后作业
1. 阅读教材P.23-P.27； 2. 《学案》P.16-P.17的双基训练.
(1) tan 3 ;
5 (3) cos 519;
(2) sin 31 ;
36
(4) sin( 17 ).
3
最新高中数学精品课件试卷
复习回顾
练习2. 求下列函数值：
65
(1) cos ;
(2) sin( 31 );
6
4
(3) sin 670; (4) tan 580.
最新高中数学精品课件试卷
讲授新课 例3. 已 知 tan( ) 3, 求 ：2cos( ) 3sin( ) 的 值.
4cos( ) sin(2 )
最新高中数学精品课件试卷
讲授新课
例4. 已 知sin( ) 4 ,且 sin cos 0,
5
求 2 sin( ) 3 tan( 3 ) 的 值. 4 cos( 3 )
最新高中数学精品课件试卷
讲授新课
练习3. 教材P.28练习第7题. 化简:
cos (1) 2 sin( 2 ) cos(2 );
sin 5
2
(2) cos2 ( ) tan( 360o ) . sin( )
讲授新课
例1. 证明:
最新高中数学精品课件试卷
2021年高中数学《1.4.3诱导公式》教学案新人教版必修4
2021年高中数学《1.4.3诱导公式》教学案新人教版必修4【学习目标】1.借助三角函数的定义及单位圆推导正、余弦函数的诱导公式，并会用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简.2.掌握诱导公式的结构特征及其作用，能灵活使用诱导公式.3.通过诱导公式的推导和分析公式的结构特征，体会从特殊到一般的数学思想.【重点、难点】1.诱导公式的推导及其结构特征的认识；2.用诱导公式进行简单三角函数式的求值与化简；【温故而知新】1.复习思考填空(1)终边相同的角的正、余弦值都相等，即有= ，= ；则正弦函数与余弦函数都为周期函数，周期为。
(2)锐角的终边与的终边位置关系如何？任意角与呢？(3)锐角的终边与的终边位置关系如何？任意角与呢？(4)锐角的终边与的终边位置关系如何？任意角与呢？(5)锐角的终边与的终边位置关系如何？任意角与呢？【教材助读】1.认真阅读课本P17—19，理解诱导公式的推导，完成下列填空(1); ;(2); ;(3); ;(4) ; ;(5); ;(6); ;(7); .几组诱导公式的共同点与规律(1)的三角函数值等于的相同三角函数值,前面加上把看作锐角时原三角函数值的符号;(2)的正弦(余弦)函数值分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号.(3)诱导公式都可统一为“”的形式，记忆的口诀为“奇变偶不变，符号看象限”。
（符号看象限是把α看成锐角时原三角函数值的符号）【预习自测】1.下列等式不正确的是( B ).A.sin(α+180°)=-sin αB.cos(-α+β)=-cos(α-β)C.sin(-α-360°)=-sin αD.cos(-α-β)=cos(α+β)2.已知，分别求出下列函数值（1）（2）（3）（4）（5）【答案】（1）= （2）= （3）=（4）= （5）=【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】求下列函数值：（1）； （2）； （3）.（4） （5）45cos 611sin )4cos(65sinππππ+- （6）)cos()5sin()sin()23cos()cos()2sin(απαπαπαπαπαπ---+--+-【答案】（1）=（2）=（3）=（4）=（5）0 （6）【例2】已知， 求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．【答案】32【变式训练1】已知，且，求()()cos 105sin105αα-+-的值.【答案】【例3】已知：，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．【答案】7【例4】已知是第三象限角，且()()()()()αππααπαπαπα-+----=3sin tan 6cos sin 2tan )(f （1)化简； （2)若，求； （3）若，求【答案】（1）= （2） （3）【我的收获】三、课后知能检测1. （ C ）.A. B. C. B.2.下列式子正确的是（ C ）.A. B.C. D.3.若，则（ A ）.A. B. C. D.4. 在[0，2]上满足的x 的取值范围是（ B ）A.[0，]B.[,]C.[ ,]D.[，]5.若(),2,53cos παππα<≤=+则的值是 （ C ） A ． B ． C ． D ．6.若A,B,C 是三角形的内角，则下列等式成立的是（ D ）A. B.C. D.7.设βαβπαπ,,,(4)cos()sin()(b a x b x a x f ++++=为常数），且那么 （ C ）A ．1B ．3C ．5D ．7 8．已知则 2 .9．已，则1513sin()3cos()772022sin()cos()77πααππααπ++---+=_____________ 10.已知()()()()29cos sin 4cos sin 3=+---++απαααπ，则= ．11.（1）已知角的终边经过一点，求的值；（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．【答案】（1） （2）= =12.已知)900tan()180sin()180cot()540tan()720cos()180sin(,31)3sin(α+α---α-α+α+α+-=α+π 求 【答案】13. (1) 已知sin(π+)=（为第四象限角），求cos(π+)+t an(－)的值.(2)已知,求的值.【答案】（1） （2）14.已知是第三象限角，且()()()παπαπααπαπαπα3tan 2cos 23sin cos 23cos 5sin )(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=f （1）化简；（2），求【答案】（1）= （2）【教学笔记】。
最新2019-2020人教A版高中数学必修四课件：1.3诱导公式(第三课时)优质课件
2.已知,αco为s(7第50三 象)限 1角,求
3
的c值os.(150 ) sin( 150 )
练习1：
sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
练习2：已知，si求n(30 ) 1
练习2：已知角是第三象限角，试证明 ： 1＋sin 1 sin 2 tan 1 sin 1 sin
中间
所以原等式成立
右边
证法二：
左边 cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x 右边
cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x
所以原等式成立
左边右边
练习1：
求证：sin4 sin2 cos2 cos2 1
sin.
奇变偶不变，符号看象限.
1、奇偶指的是k 中k的奇偶性；
2
2、把看作锐角（不是锐角看 作锐角处理）
时前面的三角函数的符 号即为化简后的符号。
例1化简：
sin(2 )cos( )cos( )cos(11 )
1 : 化简
cos(
)sin(3
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
sin
2
cos ,
cos
2
sin .
sin
2
cos ,
cos
高一数学必修四三角函数诱导公式总结
精心整理高一数学必修四三角函数诱导公式总结【公式一：】设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：cot(π+α)=cotα【公式三：】任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα【公式六：】π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)【函数复习资料】一、定义与定义式：三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x 轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：于;达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
与。
人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_三角函数的诱导公式_提高
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2 ± α , π ± α的正弦、余弦、正切)；诱导公式五： sin ⎛ π- α ⎪ = cos α ， cos - α ⎪ = sin α ，其中 k ∈ Z + α ⎪ = cos α ， cos + α ⎪ = - sin α ，其中 k ∈ Z诱导公式六： sin ；4 ⎭ = cos - x ⎪ = cos x - cos x + = sin - x ⎪ . ⎪ ； ⎪ ⎛ π ⎫ π ⎫ 精品文档 用心整理人教版高中数学必修四知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角函数的诱导公式【学习目标】1．借助单位圆中的三角函数线导出诱导公式( π 2．掌握并运用诱导公式求三角函数值，化简或证明三角函数式.【要点梳理】要点一：诱导公式诱导公式一： s in(α + 2k π ) = sin α ， cos(α + 2k π ) = cos α ， tan(α + 2k π ) = tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式二： sin(π + α ) = - sin α ，cos(π + α ) = - cos α ， tan(π + α ) = tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式三： sin(-α ) = - s in α ，cos(-α ) = cos α ， tan(-α ) = - tan α ，其中 k ∈ Z诱导公式四： s in(π - α ) = sin α ， cos(π - α ) = - cos α ， tan(π - α ) = - tan α ，其中 k ∈ Z⎫ ⎛ π ⎫⎝ 2⎭⎝ 2⎭⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫⎝ 2⎭⎝ 2⎭要点诠释：(1)要化的角的形式为 k ⋅ 90 ± α ( k 为常整数)；(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”(4) sin x + ⎝π ⎫ ⎪⎛ π ⎫ ⎛ ⎛ ⎛ π ⎫⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭要点二：诱导公式的记忆记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限” 意思是说角 k ⋅ 90 ± α ( k 为常整数)的三角函数值：当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α 的三角函数值前面加上当视α 为锐资料来源于网络仅供免费交流使用（1）sin25π()()⎛【答案】（1）0（2）-2+23【解析】（1）原式=sin(4π+π)+cos(8π+)-tan(6π+)精品文档用心整理角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.①已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；②已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；③一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：能求出值的要求出值；函数种类要尽可能少；化简后的式子项数最少，次数最低，尽可能不含根号.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.【典型例题】类型一：利用诱导公式求值【三角函数的诱导公式385952例2】例1．求下列各三角函数的值：25π25π+cos+tan(-)；634（2）cos-585-tan-300（3）sin2 13π⎝2⎫⎛21π⎪-cos2⎭⎝4⎫⎛31π⎫⎪+6tan210π-cot2 ⎪⎭⎝3⎭【思路点拨】利用诱导公式把所求角化为我们熟悉的锐角去求解．1（3）26ππ634=sin π6+cosπ-tan3π411=+-1=022（2）原式=cos(180+45)+tan(360-60) =-cos45-tan60资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】（1） sin - π ⎪ ；（2） cos π ；（3）tan （－855°）． 【答案】（1）33π ⎪ = - sinπ = - sin ⎛2π + 【解析】（1） sin - 3 = - sin π + ⎪ = - - sin ⎪ = sin = 3 ⎭ π ⎫ π = cos ⎛ 4π + = cos π + 7π ⎫ 7π ⎛ = cos 6 6 π ⎫π 3 = - cos =-6 ⎭ 6 2b f精品文档 用心整理= - 2 + 2 32（3）原式= sin 2 (6π + π π π) - cos 2 (5π + ) + 6 tan 10π - cot 2 (10π + )2 4 3= sin2π2 - cos 2π 4 + 6 tan 20 - cot 2π3 =1 - 1 1+ 0 -2 3= 1 6【总结升华】（1）对任意角求三角函数值，一般遵循“化负为正，化大为小”的化归方向，但是在具体的转化过程中如何选用诱导公式，方法并不唯一，这就需要同学们去认真体会，适当选择，找出最好的途 径，完成求值．（2）运用诱导公式求任意三角函数值的过程的本质是化任意角的三角函数为锐角三角函数的过程，而诱 导公式就是这一转化的工具． 举一反三：⎛ 10 ⎫ 31⎝⎭63（2） - （3）1 2 2⎛ 10 ⎫ 10⎝ 3 ⎭ ⎝4π 3 ⎫ ⎪ ⎭ = - sin4π 3⎝⎝3 ⎭32⎛ ⎛ π ⎫ π 3．（2） cos316⎪⎝ ⎭ ⎝⎪．（3）tan(－855°)=tan(－3×360°+225°)=tan225°=tan(180°+45°)=tan45°=1．例 2．已知函数 f ( x ) = a sin(π x + α ) + b cos(π x + β ) ，其中 a 、 、α 、β 都是非零实数，又知 （2009）=－1，求 f （2010）．【解析】 f (2009) = a sin(2009π + α ) + b cos(2009π + β )= a sin(2008π + π + α ) + b cos(2008π + π + β )=a sin(π+α)+b cos(π+β)=-a sinα-b cosβ=-(a sinα+b cosβ)．∵f（2009）=－1∴a sinα+b cosβ=1．∴f(2010)=a sin(2010π+α)+b cos(2010π+β)资料来源于网络仅供免费交流使用- - 2 （2）原式 = = = 3 =-1 + 4【变式 2】已知 sin(π - α ) = 2 cos π + β ⎪ ， 3 cos( -α ) = - 2 cos(π + β ) ，且 0＜ α ＜π ，04 时， cos β = 32 精品文档 用心整理= a sin α + b cos β = 1 ．【总结升华】求得式子a sin α + b cos β = 1 ，它是联系已知和未知的纽带．解决问题的实质就是由未知向已知的转化过程，在这个转化过程中一定要抓住关键之处．举一反三：【变式 1】（2016 湖北孝感期末）已知角α 为第四象限角，且 tan α = -（1）求 sin α +cos α 的值；43（2）求sin(π - α) + 2cos( π + α)3 3sin( π - α )cos( π + α )2 2的值．1【答案】（1） - ；（2）－105【解析】（1）因为角α 为第四象限角，且 tan α = -43，∴ sin α = - 4 5 3,cos α = ，…5则 sin α + cos α = - 1．5sin α - 2cos α tan α - 2 - cos α - sin α -1 - tan α4 3- 103 = -10 ．13⎛ 3 ⎫ ⎝ 2 ⎭＜ β ＜π ，求 α 和 β 的值．【解析】由已知得 s in α = 2 sin β ， 3 cos α = 2 cos β ．两式平方相加，消去 β ，得 sin 2 α + 3cos 2 α = 2 ，∴ cos 2α = 1 2，而 0 < α < π ，∴ cos α = ±2 π 3π ，∴ α = 或 α = ． 2 4 4当 α = π 3 π ，又 0 < β < π ，∴ β = ；2 6当 α = 3π 5时， cos β = -，又 0 < β < π ，∴ β = π ． 4 6故 α = π 4 ， β = π6 或 α = 3π 5， β = π ．4 6资料来源于网络仅供免费交流使用【解析】(1)原式 = sinα - sin α - tan α②当 n =2k +1,k ∈Z 时，原式 = sin[α + (2k +1)π ] + sin[α - (2k +1)π ]tan (8π - α )⋅ s in (-α - 2π )（3） tan 2 ⎛ 2n + 1π + α ⎫⎪ - tan 2 ⎛π - α ⎫⎪ , (n ∈ Z ) 精品文档 用心整理类型二：利用诱导公式化简 例 3．化简(1) - sin(180 + α ) + sin(-α ) - tan(360 + α ) tan(α + 180 ) + cos(-α ) + cos(180 - α )；(2) sin(α + n π ) + sin(α - n π ) (n ∈ Z ) .sin(α + n π )cos( α - n π )【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.【答案】（1）-1（2）略 tan α =-= -1 ；tan α + cos α - c os αtan α(2)①当 n = 2k , k ∈ Z 时，原式 = sin(α + 2k π ) + sin(α - 2k π ) 2= .sin(α + 2k π )cos( α - 2k π ) cos α2=- .sin[α + (2k +1)π ]cos[α - (2k +1)π ] cos α【总结升华】(1)诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了；(2)关键抓住题中的整数 n 是表示π 的整数倍与公式一中的整数 k 有区别，所以必须把 n 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.举一反三：【变式 1】化简cos (α - π )⋅ cot (7π - α ) （1） ；（2） sinn π(n ∈ Z ) ；2 2n + 1⎝ 2⎭⎝ 2⎭（4） sin(k π - α )cos[( k - 1)π - α ] ， (k ∈ z) ．sin[(k + 1)π + α ]cos( k π + α ]【解析】（1）原式=cos(π - α ) cot(π - α )tan(2π - α ) [- sin(2π + α )]= cos α cot α(- tan α ) ⋅ (- sin α )= cot 3α资料来源于网络仅供免费交流使用= ⎨-1,(n = 4k + 3) ⎪0,( n = 2k ) sin + α ⎪ + 3cos α - ⎪ 例 4．设 tan α + ⎪ = m ，求证： ⎛ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ m + 3⎫ ⎛ αsin - α ⎪ - cos + ⎪7 ，sin ⎢π + π + α ⎪⎥ + 3cos ⎢ α + - 3π ⎥⎝ 7 ⎭⎦ 7 ⎭ sin ⎢4π - α + π ⎪⎥ - cos ⎢2π + α + ⎪8 ⎫⎤ ⎡ ⎦- sin α + - 3cos α+ tan α + ⎪+ 3 m + 3 7 ⎭ 7 ⎭7 ⎭ = = = 8π ⎫ ⎛ α 8π ⎫ ⎛ α ⎛ α - sin + ⎪ - cos + ⎪ ⎪ + 1tan + 8π ⎫ 8π ⎫7 ⎭ 7 ⎭= m ，得 tan α + ⎪ = m ， ⎛ 精品文档 用心整理（2） sin⎧1,(n = 4k + 1)n π ⎪2⎩（3）原式= cot 2 α - cot 2 α =0（4）由(k π + α )+(k π ― α )=2k π ，[(k ―1)π ― α ]+[(k+1)π + α ]=2k π ，得 cos[(k - 1)π - α ] = cos[(k + 1)π + α ] = - cos(k π + α ) ，sin[(k + 1)π + α ] = - sin(k π + α ) ．故原式 = - sin(k π + α )[- cos(k π + α )]= -1 ．- sin(k π + α )cos( k π + α )【总结升华】 常见的一些关于参数 k 的结论：（1） sin(k π + α ) = (-1)k sin α (k ∈ Z ) ；（2） cos(k π + α ) = (-1)k cos α (k ∈ Z ) ；（3） sin( k π - α ) = (-1)k +1 sin α (k ∈ z) ；（4） cos(k π - α ) = (-1)k cos α (k ∈ Z ) ．类型三：利用诱导公式进行证明⎛ 15π ⎫ ⎛ 13π ⎫= ⎝ 7 ⎭ ⎛ 20π22π ⎫ m + 1 ⎝ ⎭ ⎝7 ⎭ ．【思路点拨】证明此恒等式可采取从“繁”到“简” 从左边到右边的方法．【证明】证法一：左边 = ⎡ ⎛ 8 ⎫⎤ ⎡⎛ 8π ⎫ ⎤⎣ ⎣⎝ ⎦⎡ ⎛ ⎛ 8π ⎫⎤⎛ ⎛ ⎛ 8π ⎫ ⎪⎪⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝7 ⎭∴等式成立．8π ⎫ m + 1=右边．证法二：由 tan α +⎝8π 7 ⎫ ⎛ ⎪ ⎭ ⎝ π ⎫ 7 ⎭资料来源于网络 仅供免费交流使用sin ⎢2π + + α ⎪⎥ + 3cos ⎢2π + + α ⎪⎥ sin ⎢2π + π - + α ⎪⎥ - cos ⎢2π + π + + α ⎪⎥ ⎡ ⎝ 7 ⎭⎦⎡ ⎝ 7 ⎭⎦sin + α ⎪ + 3cos + α ⎪ sin ⎢π - + α ⎪⎥ - cos ⎢π + + α ⎪⎥ sin + α ⎪ + 3cos + α ⎪ sin + α ⎪ + cos + α ⎪ ⎡ ⎝ 7 ⎭⎦tan + α ⎪ + 3tan + α ⎪ + 1 A⎛ π B + C ⎫ ⎛ B + C ⎫2 2 ⎭ = tan - ⎪ = cot =右边，等式得证．2sin θ - cos θ + ⎪ - 1tan(9π + θ ) + 1 2 ⎭ 2 ⎭ ⎝ ⎝3π ⎫ =⎛ 3π θ ⎫ ⎛ π θ ⎫⎤ -2sin - ⎪ ⋅ (- sin θ ) - 1 2sin ⎢π +- ⎪⎥ sin θ - 1 ⎝ 2 ⎭ ⎣ ⎝ 2 ⎭⎦π ⎪ = =∴左边 = 精品文档 用心整理⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦ ⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦= ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ ⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛ π ⎫⎤⎣ ⎣ ⎝ 7 ⎭⎦= ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭ ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝ 7 ⎭ ⎝ 7 ⎭⎛ π ⎫⎝ 7 ⎭m + 3 = = =右边，⎛ π ⎫ m + 1 ⎝ 7 ⎭∴等式成立．举一反三：【三角函数的诱导公式 385952 例 4 】【变式 1】设 A 、B 、C 为 ∆ABC 的三个内角，求证： （1） sin (A + B ) = sin C ；（2） sin A B + C = cos2 2；A +B C（3） tan= cot 2 2【解析】（1）左边= sin( A + B) = sin(π - c) = sin C =右边，等式得证．（2）左边= sin = sin = cos - ⎪ = cos ⎪ =右边，等式得证．2 ⎝ 2 ⎝ 2 ⎭（3）左边= tanA +B 2 ⎛ πC ⎫ C⎝ 2 2 ⎭ 2⎛ ⎛ π ⎫ ⎪【变式 2】求证：．1 - 2sin2 (π + θ ) tan(π + θ ) - 1证明：∵左边 =⎡ = 1 - 2sin 2 θ 1 - 2sin 2 θ-2sin ⎛ - θ ⎫ sin θ - 1⎝ 2 ⎭-2cos θ sin θ - 1 (sin θ + cos θ )2 sin θ + cos θ= = ，1 - 2sin2 θ cos 2 θ + sin 2 θ - 2sin 2 θ sin 2 θ - cos 2 θ sin θ - cos θ资料来源于网络仅供免费交流使用右边 = tan(9π + θ ) + 1 （2）若 α 是第三象限角，且 c os(α - 3π（2）由 cos(α - 3π s(π -61500 (- 3 )4 2 1 8精品文档 用心整理tan θ + 1 sin θ + cos θ= = ，tan(π + θ ) - 1 tan θ - 1 sin θ - cos θ∴左边=右边，故原式得证．类型四：诱导公式的综合应用例 5 ． （ 2015秋 浙 江 岱山 县 月 考 ）f (α = )π - i α n( - π ) α - c o - α s+ π α - - α π（1）化简 f (α ) ；1) = ，求 f (α ) 的值； 2 5（3）若 α =－1860°，求 f (α ) 的值．【思 路 点 拨 】 （ 1 ） 利 用 诱 导 公 式 对f (α ) = sin(π - α )cos(2 π - α ) tan(-α - π ) tan(-π + α )sin( -α - π ) 化简即可；1) = ， α 是第三象限，即可求得 f (α ) 的值； 2 5（3）由于 α =－1860°=―1800°―60°，利用诱导公式即可求得 f (α ) 的值．sin 4 α 9【答案】（1） -；（2） f (α ) = ；（3） -cos α 8【解析】（1）∵ f (α ) = sin(π - α )cos(2 π - α ) tan(-α - π ) tan(-π + α )sin( -α - π )sin 4 α = sin α cos α ⋅ (- tan α )[-(- tan α )] ⋅ s in α = -；cos α（2）∵ cos(α - 3π 1) = ，2 5∴ sin α = - 1 5，又 α 是第三象限角，∴ cos α = - 2 6 5，∴ f (α ) =6；1500（3）∵ α =－1860°，∴ f (α ) = f (-1860︒) = - sin 4 (-1860︒)cos(-1860︒)=- 9=- ．2【总结升华】这是一个与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函资料来源于网络仅供免费交流使用⎪ +cos ⎛π ⎫ ⎪ ，求 f ⎛ π - α ⎪ 的值．cos(α + β ) = cos ⎢ - (α - β )⎥ ，又 α 、 β 均为锐角．⎛于是， f - α ⎪ = sin + cos 0 = 2 ．精品文档 用心整理数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．举一反三：【变式 1】已知α 、 β 均为锐角，cos(α + β ) = sin(α - β ) ，若 f (α) =sin α +⎝⎫⎝ 2 ⎭【解析】由 cos(α + β ) = sin(α - β ) 得⎡ π ⎤ ⎣ 2 ⎦π ⎫ 4 ⎭则 α + β =π 2 - (α - β ) ，即 α = π4 ．⎛ π ⎫π ⎝ 2 ⎭2资料来源于网络仅供免费交流使用。
人教版高中数学必修四：1.2.4 诱导公式 课件(共20张PPT)
三山东、省昌乐数及第学中学应用:求值
例 1 已 知 s i n 4 ,且 是 第 二 象 限 角 ， 求 c o s,t a n 的 值 . 5 解 ： Q sin2co s2 1 先定象限,后定值
cos21sin21(4)29
5 25
又 是 第 二 象 限 角 ， c o s 0
cos 3 ,
注：(1)注意方程思想的运用； (2)分类讨论的数学思想．
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山东省昌乐及第中学三、数学应用:求值
拓展延伸一
已知tan α=2,求:
化弦为切
(1) 2 sin 3 c o s 4 sin 9 cos
(2)
2 sin 2 4 sin 2
山东省昌乐及第中学
简单应用
下列四个命题中可能成立的一个是（ B ）
A.sin 1 且 cos 1
2
2
B.sin 0且 cos 1
C. tan 1且 cos 1
D. 在 第 四 象 限 时, tan sin cos
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称为商数关系
角α 是否可以为任意角？ 可以证明吗？
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山东省昌乐及第中学
的终边
y
T
P(x,y)
1
A(1,0)
-1
o M1 x
-1
还可以用什么方法证明？
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诱导公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解四组诱导公式及其探究思路2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。
（一）诱导公式诱导公式一: =+)2sin(παk _______________ =+)2cos(παk ______________=+)2tan(παk _____________（其中Z ∈k ）诱导公式二： =-）αsin(________________ =-）αcos(_______________ =-）αtan(_______________（其中Z ∈k ）诱导公式三: =-）απsin(____________ =-）απcos(___________ =-）απtan(___________（其中Z ∈k ）诱导公式四：=+）απsin(_____________ =+）απcos(___________ =+）απtan(____________（其中Z ∈k ）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．)(2由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；中奇偶指的是k kπ组数 一二三四五六角 2k πα+πα+πα-α-2πα+2πα-正弦 余弦 正切口诀 函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限总口诀奇余偶同，象限定号类型一：利用诱导公式求值例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）16sin()3π-； （2）o cos(945)-.练习：求oooosin10sin(260)cos100cos(170)---的值.例2 (变式应用) 求ooooosin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值练习：求35463755tan()sin()cos tan6366ππππ---.例3 (综合应用) 已知o1cos(75)3α-=-，且α为第四象限角，求osin(105)α+的值.练习：若o1cos(75)3α+=，且α为第三象限角，求o ocos(15)sin(15)αα-+-的值.类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用) 化简cos()2sin()cos(2)5sin()2παπαπαπα-⋅-⋅-+.练习：化简：sin(6)cos(10)tan()cos()sin(8)tan(5)παπααπαππαπα-+---+-；例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33n n n ππππ+⋅+∈.例5 (综合应用) 已知α为第三象限角，且sin()cos(2)tan()()sin()tan()f παπααπαπααπ----=--+.（1）化简()f α； （2）若31cos()25πα-=，求()f α的值； （3）若o1860α=-，求()f α的值.一、选择题1．已知sin(α－π3)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为( ) A ．13 B ．－13C ．233D ．－2332．已知sin110°＝a ，则cos20°的值为( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2D ．－1－a 23．已知点P (sin(π＋θ)，sin(3π2－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．235．化简sin θ－5πtan 3π－θ·cot ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θtan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－32π·cos 8π－θsin －θ－4π＋sin(－θ)的结果为( )A ．0B ．1C ．2D ．326．计算sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4的值是( )A ．－34B ．34C ．－34D ．34二、填空题7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.8．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cot(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.三、解答题9．已知角α终边上一点P (－4,3)，求cosπ2＋αsin －π－αcos 11π2－αsin 9π2＋α的值．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．322．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45 B ．－45C ．35D ．－353．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各三角函数值： ①sin1 125°；②tan 37π12·sin 37π12；③sin3tan3； ④sin1－cos1.其中为负值的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5．化简1＋2sin π－3cos π＋3的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. 三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.能力提升一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( )A ．m 2－12B ．m 2＋12C ．1－m 22D ．－m 2＋122．若tan(7π＋α)＝a ，则sin α－3π＋cos π－αsin －α－cos π＋α的值为( )A ．a －1a ＋1 B ．a ＋1a －1C．－1 D．13．化简sin[α＋2n ＋1π]＋sin[α－2n ＋1π]sin α＋2n πcos α－2n π(n ∈Z )得到的结果是( ) A ．0B ．－2sec αC ．2csc αD ．2sec α4．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B ．255C ．±255D ．52二、填空题5．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于________． 6．求值：tan －150°cos －570°cos －1 140°cot －240°sin －690°＝________. 三、解答题7．已知ta n(π＋α)＝－12，求下列各式的值． (1)2cos π－α－3sin π＋α4cos α－2π＋sin 4π－α； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．8．化简：cot α·cos π＋α·sin 23π＋αtan α·cos 3－π－α.9．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．课程顾问签字： 教学主管签字：（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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