人教版高数必修四第3讲：诱导公式(学生版)

诱导公式

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1.理解四组诱导公式及其探究思路

2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。

（一）诱导公式

诱导公式一: =+)2sin(παk _______________ =+)2cos(παk ______________

=+)2tan(παk _____________（其中Z ∈k ）

诱导公式二： =-）

αsin(________________ =-）

αcos(_______________ =-）

αtan(_______________（其中Z ∈k ）

诱导公式三: =-）

απsin(____________ =-）

απcos(___________ =-）απtan(___________（其中Z ∈k ）

诱导公式四：=+）

απsin(_____________ =+）

απcos(___________ =+）απtan(____________（其中Z ∈k ）

作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。 口决：奇变偶不变，符号看象限．

)(2

由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；

中奇偶指的是

k k

π

组数 一

二

三

四

五

六

角 2k πα+

πα+

πα-

α-

2

πα+

2

πα-

正弦 余弦 正切

口诀 函数名不变，符号看象限

函数名改变，符号看象限

总口诀

奇余偶同，象限定号

类型一：利用诱导公式求值

例1 (直接应用) 求下列各三角函数值 （1）16

sin()3

π-； （2）o cos(945)-.

练习：求o

o

o

o

sin10sin(260)cos100cos(170)---的值.

例2 (变式应用) 求o

o

o

o

o

sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值

练习：求35463755tan()sin()cos tan

6366

ππππ

---.

例3 (综合应用) 已知o

1

cos(75)3

α-=-，且α为第四象限角，求o

sin(105)α+的值.

练习：若o

1cos(75)3

α+=

，且α为第三象限角，求o o

cos(15)sin(15)αα-+-的值.

类型二：利用诱导公式化简三角函数式

例3(直接应用) 化简

cos()

2sin()cos(2)5sin()

2

π

απαπαπ

α-⋅-⋅-+.

练习：化简：sin(6)cos(10)tan()

cos()sin(8)tan(5)

παπααπαππαπα-+---+-；

例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33

n n n ππππ+⋅+∈.

例5 (综合应用) 已知α为第三象限角，且sin()cos(2)tan()

()sin()tan()

f παπααπαπααπ----=--+.

（1）化简()f α； （2）若31

cos()25

πα-

=，求()f α的值； （3）若o

1860α=-，求()f α的值.

一、选择题

1．已知sin(α－π3)＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为( ) A ．1

3 B ．－13

C ．233

D ．－233

2．已知sin110°＝a ，则cos20°的值为( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2

D ．－1－a 2

3．已知点P (sin(π＋θ)，sin(3π

2－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

4．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )

A ．2

B ．－2

C ．0

D ．2

3

5．化简sin θ－5πtan 3π－θ·cot ⎝

⎛⎭

⎪

⎫

π2－θtan ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－32π·cos 8π－θsin －θ－4π＋sin(－θ)的结果为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

2

6．计算sin 4π3·cos 25π6·tan 5π

4的值是( )

A ．－3

4

B ．34

C ．－

34

D ．

34

二、填空题

7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.

8．设φ(x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋cot(19π－x )，则φ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3＝________.