收敛数列的性质

2.有界性 定理2.3 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
an
a,
由定义,
取 1,
则N,使得当n N时恒有an a 1,
即有 a 1 an a 1.
记 M max{a1 , , aN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有an M, 故an有界.
注意：有界性是数列 收敛的必要条件.
an
a
;即an
a
1 2
(a
b);
n
N 2时,
bn
b
;即bn
b
1 2
(a
b);
取N max{N0 , N1, N2},当n N时
an
1 2
(a
b)
bn
，
与条件相矛盾。
思考：如果把条件“an bn”换成“ an bn ”，那么能否
把结论换成
lim
n
an
lim
n
bn
？
例考虑数列{1},{ 1 } n n2
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极 限的常用方法。
教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、 局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性 定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。
一、数列极限的性质
1.唯一性
定理 每个收敛的数列只有一个极限.
例：求
4n2 1
lim
n 2n 2 5n 6
解：
lim
n
4n2 1 2n2 5n
6
lim
n
2
4
5 n
1
n2
6 n2
lim (4
n
1 n2
)
40
2
lim (2
n
5 n
6 n2
)
200
例4 求
lim
n
a0nm b0nk
a1nm1 b1nk1
am bk
, a0
b0
0
解: 当a0 0,b0 0, m和k为非负整数时有
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0. b n n B
注 : bn为常数c时有
lnim(an c) A c lnim(can ) cA
分析: an
bn
an
(bn
),
an bn
an
1 bn
(an bn ) ( A B) an A bn B
若数列 an 收敛，则它只有一个极限。
证
设
lim
n
an
a,
又
lim
n
an
b,
由定义, 对于 0, N1, N2.使得
当n
N1时恒有an
a
2
;
当n
N2时恒有an
b
2
;
取N maxN1 , N2, 则当n N时有
xn
a
2
xn b 2
即
a
b
an
a
an
b
2
2
由的任意性: a b. 故极限唯一.
lim
an
lim an
n
0
0
n an 1 lim an 1 0 1
n
若 a 1 ，则
an
1
1
lim
lim
1
n a n 1 n 1 ( 1 )n 1 0
cn 满足：存在正数 N0 ，当 n N0 时有
an cn bn
则数列 cn 收敛，且
lim
n
cn
a
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法。
.
证
lim
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an
a,
lim
n
bn
a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n N1时恒有 an a ,
当n N2时恒有 bn a ,
即an a a' 0 类似可证a 0情形。
4.保不等性
定理2.5 设数列an与bn 均收敛，若存在正数N0，
使得当 n N0 时有 an bn ，则
lim
n
an
lim
n
bn
。
证明
:
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b;
若a
b, 则对
1 2
(a
b)
0,
正整数N1，N 2;使当
n
N1时,
lim
n
a0nm b0 n k
a1nm1 b1nk 1
am bk
1
lim
n
nkm
a0
a1
1 n
b0
b1
1 n
am
1 nm
bk
1 nk
0ab,00当,当k k
m, m,
,当k m,
例4
求 lim nn
a
an n
1
,
其中a
1,
an 1
解：若 a 1 则
lim
n a n 1 2
若 a 1，则由 lim a n 0 有 n
anbn AB an A bn a bn B
1 bn
1 A
bn B bn B
2 B2
bn
B
例：求 lim 3n 1 n 1 n n n
解：由于 lim 3n 1 lim (3 1) 3,
n n
n
n
lim n 1 lim (1 1) 1
n n
n
n
所以 lim 3n 1 n 1 31 3 n n n
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1
n
lim n lim 1 1
n
n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
1
1
1
lim(
) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
定理2.7
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
推论 无界数列必定发散.
3.保号性
定理2.4
若
lim
n
an
a
0
（或
a 0），则对任何
a(0, a) （或 a(a,0) ），存在正数Ｎ，使
得当 n N 时有 an a（或 an a ）。
证明
设 lim n
an
a
0,
则对 a' a 0, a' (a,0)存在N
使得当n N时,有 an a
取 N max{N1 , N2 }, 当 n N时 上两式同时成立,
即 a an a , a bn a ,
当 n N时, 恒有 a an cn bn a ,
即 cn a 成立,
lim
n
cn
a.
注意: 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
利用夹逼准则求极限关键是构造出an与bn , 并且 an与bn的极限是容易求的 .
例1 设an 0(n 1,2, ),证明:
若
lim
n
an
a, 则 lim n
an
a.
证
lim
n
an
a,
0, N N ,使得当n N时
恒有an a ,
从而有 an
a
an a an a
an a a
a
故 lim n
an
a.
5.夹逼准则
定理2.6 设收敛数列an、bn 都以a为极限，数列
例2 求数列 {n n} 的极限。
解： 记an n n 1 hn ， 这里 hn 0(n 1) ，则
有：
2
1 an 1 hn 1 n 1
左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,