收敛数列的性质
收敛数列的性质
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
§2 收敛数列的性质
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
2-2收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
保不等式性
定理2.5
设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正数 N0 ,
当 n N0 时, 有 an bn ,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
若
b
a,
取
ab, 2
由保号性定理,存在 N N0,当 n N 时,
因为 是任意的，所以 a b .
| an a | ;
(1)
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
有界性
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
定理2.3
若数列 {an } 收敛, 则 {an } 为有界数列 ， 即存在 M 0, 使得 | an | M , n 1, 2,L .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
后退 前进 目录 退出
§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质和函数极限的性质
故存在
N1
,
使当
n
>
N1
时,
从而
xnaa 2ba 2b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
当 n > N1 时,
xn
a
2
b
同理, 因 limynb, 故存在 N2 ,
n
使当 n > N2 时, 有
从而
ynba 2ba 2b
取 N m N 1 ,N a 2 ,x 则当 n > N 时, 便有
组成的数列：
1 2k
是其子数列. 它的第k 项是 x n kx 2k2 1 k (k1 ,2 ,3 ， )
(2) 收敛数列与其子数列的关系
定理2.4
若nl i m xna, 则 {xn}的任意子 { xnk } 也收敛，且 kl i m xnka.
证设
的任一子数列 .
若
则 0, N,当
时, 有
第二节
第二章
极限的基本性质
一、收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性
4. 收敛数列与其子列的关系
第二章
二、函数极限的性质 1. 唯一性 2. 局部有界性 3. 局部保号性 4. 函数极限与数列极限的关系
一、收敛数列的性质
1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性)
函数 f (x) 有界.
3. 局部保号性
定理2.3' (函数极限的局部保号性)
(1) 如果
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f(x)0. (f(x)0)
(2) 如果
据此，可由函极数限在符 该号点推邻得域函内数的在符该号点 推得邻极域限内符的号符号
§2.2收敛数列性质
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
12
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
1 1 1 练习1 求极限: lim n n 1 n 2 n n
1 解： n n n 1
n
lim
n
1 n n
注 有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. n 例:数列 {(1) } 是有界的, 但却不收敛. 推论 无界数列必定发散.
华北科技学院理学院
2017年11月29日星期三
3
《数学分析》(1)
§2.2 收敛数列的性质
a n a , 且b a c, 定理 2.4（保号性） 设 lim n
当n N时, 有 a n bn .
ab 证 由 于a b, 由保号性 2 ab an . N 1 N , 当n N 1时, 2 ab bn . N 2 N , 当n N 2时, 2
取N max{N 1 , N 2 }, 当n N时, a n bn .
二、 极限的四则运算
定理2.7
设 lim an a , lim bn b, 则
n n
n
(1) lim(a n bn ) a b;
( 2) lim(a n bn ) a b;
n
an a ( 3) lim , 其中b 0. n b b n
n
则n n 1 hn ,
2 . n
n( n 1) 2 n (1 hn ) 1 hn n 2 , 则hn 2 n 2 故 1 n 1 hn 1 . 又因 n 2 1 , l im 1 l im 1 n n n
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。
教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。
一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。
证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。
2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。
即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。
证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。
例如数列{}n)1(-有界但不收敛。
当然：无界⇒发散。
3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。
证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。
（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。
1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
收敛数列性质知识点总结
收敛数列性质知识点总结一、定义在数学中，数列是由一系列按照特定顺序排列的数构成的序列。
而收敛数列是指当数列中的元素随着项数的增加逐渐趋于某一有界的值，这一值称为数列的极限。
即数列的极限存在且有限。
二、收敛数列的性质1. 有界性收敛数列是有界的，即存在一个上界和一个下界，使得数列中的每一项都在这个上下界之间。
证明：由于数列是收敛的，意味着存在一个极限值L，从而数列中的每一项都接近这个极限值。
因此，可以找到一个范围，使得数列中的每一项都在这个范围内。
2. 单调性如果一个数列是收敛的，那么它必然是单调的，即要么递增，要么递减。
证明：假设数列不是单调的，即存在两个相邻的数，其中一个大于另一个。
根据收敛数列的定义，接近极限的数列项越来越接近极限值，所以当数列不单调时，存在一个数列项接近极限值，另一个数列项远离极限值。
这与收敛数列的性质相矛盾，因此数列必须是单调的。
3. 极限值的唯一性对于一个收敛数列，它只有一个极限值。
证明：假设数列有两个极限值L1和L2，并且L1不等于L2。
根据数列的定义，当项数趋于无穷大时，数列的每一项都逐渐接近极限值。
但是当这两个极限值不相等时，数列无法同时逼近这两个不同的值，这与收敛数列的定义相矛盾。
因此，收敛数列的极限值必须是唯一的。
4. 极限运算法则如果数列{an}和{bn}分别收敛到a和b，那么有限个数列的极限和、差、积、商仍然收敛，并且它们的极限分别等于这些极限的和、差、积、商。
证明：（1）和的极限：设{an}收敛到a，{bn}收敛到b，那么对于任意的ε>0，存在N1，N2，使得当n>N1时，|an-a|<ε/2，当n>N2时，|bn-b|<ε/2。
那么当n>max{N1,N2}时，有|an+bn - (a+b)| = |(an-a) + (bn-b)| <= |an-a| + |bn-b| < ε/2 + ε/2 = ε因此{an+bn}收敛到a+b。
收敛数列的性质
性质4: “两边夹”定理 设an , bn 为收敛数列,且 lim an lim bn a
n n
若 自然数 N 0 ,使当 n N 0时,有 an cn bn 则 lim cn a （迫敛性）
n
性质5: 极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ,则
n n
（1） lim (an bn ) lim an lim bn a b
n n n
(an bn ) lim an lim bn （3） lim ( ) (b 0) n b lim bn b n
性质1:收敛的数列必定有界（有界性）
注意：逆命题不成立.有界未必收敛.
例如： xn (1)n
推论：无界数列必定发散.
n
保号性
性质2:若 lim xn a p( p) ,则 正整数
N,使当 n N 时,有: xn p( p) 推论1:若 lim xn a 0( 0) ,则 正整数 N,使当 n N 时,有: xn 0( 0)
n
lim an
n
推论2:如果数列 xn 从某项起有 xn 0( 0),且
lim xn a,那么 a 0( 0)
n
注意:如果数列 xn 0( 0) , lim xn a不能推 出
a 0( 0)
n
1 例如：lim n n
性质3:收敛数列的极限是唯一的（唯一性）
第2节收敛数列的性质64585
n
n
令 n an a, 则所证结论转化为
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
证明：令 n an a, 则待证结果转化为:
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
由
lim
n
n
0,
记为 { xnk }
nk k (教材P12)
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a ，那么它的任 一子数列也收敛于 a .
证 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
lim
n
xn
a,
故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 n N 时，
| xn a | 成立。
N2 ,n
N 2 ,|
bn
b
|
2(a
, 1)
取N max{N1, N2 },当n N ,得 | anbn ab | .
(3) 先证 lim 1 1 n bn b
对于
|b| 2
0,
N 1 ,
s.t
当n
N1时,
|
bn
b
|
|
b 2
|
,
| bn || b | | bn b |
5o
lim
n
an
a的充要条件是{an
a}为无穷小.
例6
例4 :
已知
lim
数学分析2.2收敛数列的性质
第二章数列极限2 收敛数列的性质定理2.2(唯一性)：若数列{ a n }收敛，则它只有一个极限.证：设a=，对任何b≠a，取ε0=，则在(a;ε0)之外有{ a n }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ a n }的有限个项，所以b不是{ a n }的极限。
所以收敛数列只有一个极限.定理2.3(有界性)：若数列{a n}收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| a n |≤M.证：设=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|a n -a|≤1；又|a n|-|a|≤|a n -a|≤1；∴|a n|≤1+|；记M=max{|a1|,|a2|,…, |a N|,1+|}，则|a n|≤M，∴{a n}为有界数列.所以收敛数列有界.定理2.4(保号性)：若=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有a n>a’(或a n<a’).（注：在应用保号性时，常取a’=）证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n>a-ε=a’；当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n<ε+a=a’.所以原命题得证.定理2.5(保不等式性)：设{a n}与{b n}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有a n≤b n，则.证：设，则∀ε，∃自然数N1 ,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+b.取N={N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤b n<ε+b，∴a<b+2ε，由ε的任意性，得a≤b，即. 所以原命题得证.注：当a n<b n时，取ε0，则∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a< a n +ε0;当n>N2时，有b> b n-ε0. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a<<b.∴a<b，即<.例1：设a n≥0(n=1,2,…). 证明=a，则.证：∀ε，∃自然数N，使得当n>N时，有|a n -a|<ε.∵a n≥0，由保不等式性可知a≥0；当a=0时，有a n<ε，则<ε，即|-0|<ε，∴.当a>0时，则有|-|=<, ∴.定理2.6(迫敛性)：设收敛数列{a n},{b n}都以a为极限，数列{c n}满足：存在正数N0时有a n≤c n≤b n，则数列{c n}收敛，且=a.证：∀ε，∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤c n≤b n<ε+a，即| c n -a|<ε; ∴数列{c n}收敛，且=a. 原命题得证。
1-3收敛数列的性质
2007／09／24§1.3 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.证,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设由定义知,使得 ,, ,021N N ∃>∀ε;,1ε<->a x N n n 恒有时当;,2ε<->b x N n n 恒有时当一、收敛数列的性质{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.2ε=ε+ε<.时才能成立上式仅当b a =故收敛数列极限唯一.2. 有界性定义: 对数列{n x }, 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列{n x }有界, 否则, 称为无界.例如,};1{+n n 数列}.2{n 数列数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.有界无界相应的, 可以给出有上界和有下界的定义定理2 收敛的数列必定有界.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列+-=n n x3. 子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{n x 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列，简称子列.}{ k n x 记为一子数列也收敛于}{n x 定理3如果数列收敛于a , 那么它的任.a, N K =取,时则当K k >.N n n n N K k ≥=>,|ε<-a x k n 于是｜证, }{ }{ 的任一子列是数列设n n x x k,lim a x n n =∞→由总有时使得当 , N n >. ||成立ε<-a x n ,N 0, *∈∃>∀N ε故对.lim a x k n n =∞→证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sin n )14(P .)1( 1是发散的数列比如：+-=n n x4. 不等式性质P20证明见 ; ; ,, ,lim 14oβαβαβα<><<=∞→n n n n a a n a a a 充分大时有那么当满足设：定理; , ,lim ,lim 2 n n n n n n o b a n b a b b a a <<==∞→∞→充分大时有那么当且设. , ,lim ,lim 3 b a b a n b b a a n n n n n n o ≤≤==∞→∞→那么有有充分大时且当设定理5.0,lim )3(;][lim )2(;][lim )1(,lim ,lim ≠=⋅=⋅±=±==∞→∞→∞→∞→∞→b b a b a b a b a b a b a b b a a n n n n n n n n n n n n n 其中则设证二、极限的四则运算; )1(绝对值的三角形不等式; , , )2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性b b b nn 11lim ,0)3(=≠∞→时先证, . , ,0112||时当对于N n t s N b >∃>2||||b b b n <-.02||||>>b b n 且此时,1时所以当N n >.||22b b bn -≤|||||11| b b b b b b n n n -=-.11lim ,b b n n =∞→即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11| 2ε<-≤-b b bb b n n . , 0, ,lim 2t s N b b n n ∃>∀=∞→ε对由于.2|| , 22εb b b N n n <->有时当便有时因此当 ,},max{21N N n >说明：有+无=无，无+无=不定；有=⨯⨯无=不定;无,不定无推广到有限项.例2:145432lim 22-++-∞→n n n n n 22145432lim nn n n n -++-=∞→221lim 4lim 5lim 4lim 3lim 2lim n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→-++-=52=例3:)...1(lim 12-∞→++++n n q q q q q q n n n ---=∞→∞→1lim 11lim n n q q q ∞→---=lim 1111 .11 q-=qq n n --=∞→11lim .)...1(lim ,1||12-∞→++++<n n q q q q 计算极限设:解三、无穷小:定义. ,,0 }{ 简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列n a:6定理;}||{}{ 1 为无穷小为无穷小的充要条件是n n oa a ;)( 2仍是无穷小或差两个无穷小之和o ; }{ ,}{,}{ 3为无穷小那么为有界数列为无穷小设n n n n oa c c a;}{ ,}{,N ,0 4*也是无穷小那么为无穷小如果设n n n n o a b n b a ∈≤≤.}{lim 5为无穷小的充要条件是a a a a n n n o -=∞→....lim ,lim :421a na a a a a n n n n =+++=∞→∞→求证已知例分析：a na a a n n =+++∞→...lim 210)()()(lim 21=-++-+-∞→na a a a a a n n ⇔.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则0)(lim lim =-⇔=∞→∞→a a a a n n n n ,a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若证明：, a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则:则待证结果转化为,0lim =∞→n n α由 0,>∀ε对.2 ,εα<>n N n 时当,N *∈∃N 使得所以2)(||21εααα⋅-++++<n N n n N n nN αααα+++++ 212||21εααα++++<n N ,0lim 21=+++∞→n N n ααα 而,,N 1*1N N N >∈∃所以,1时使得当N n >,2||21εααα<+++n N ,22 21εεεααα=+<+++n n 故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列{n x }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,ε+<<ε-a y a n 即,2ε<->a z N n n 时恒有当,ε+<<ε-a z a n 上两式同时成立,,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→例5).12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 求解,11112222+<++++<+n nn n n n n n nn n n n n 111lim lim 2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnn n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n1lim : 0, 61=>∞→na a n 求证设例nn na a n a 111 , 1, :≤≤>≥我们有时当先设证明,1lim 1=∞→nn n 由于知由夹逼定理 ,.11lim 1成立对≥=∞→a a nn 于是这时再设 ,1 ),1,0(1>∈-aa .1111lim 1lim 11==⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→n na a n n)13( lim :7 --+∞→n n n 求极限例n n n n n n 434134)13( 0 :<+≤-++=--+<我们有不等式解0.)13( lim ,}4{=--+∞→n n nn 所以是无穷小因为例８.ka a a ≤≤≤≤ 210设则knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim证明：kn n k n n k n n n n k k a ka a a a a a →≤+++≤= 21由夹逼定理，knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3 A：2；3（偶数）；5；6；8；9.。
收敛数列的性质
如果数列{an}收敛 那么数列{an}一定有界 ❖定理2.4(收敛数列的保号性)
如果数列{an}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有an0(或an0) •推论
如果数列{an}从某项起有an0(或an0) 且数列{an} 收敛于a 那么a0(或a0)
定理2.5(保不等式性) 设{an}与{bn}均为收敛数列.若存在
正数N0 , 使得当N
N0时有an
bn
,
则
lim
n
an
lim
n
bn
.
证
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
则 0,分别存在N1与N2,
使得当n N1时有a an , (1)
当n N2时有bn b .
(2)
取N max{N0 , N1, N2}
故由迫敛性得证.
例2 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n
n2 n
1
n2 1
1
n2 n
n ,
n2 1
又 lim n
n lim
n2 n n
1 1 1 1,
n
lim n lim 1 1, 由夹逼定理得
n n2 1
n
1
1 n2
1
1
xn
a.
证 由定理2.5可得 a≥0
任给 0,
lim
n
xn
a,
(对1
a )
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
故 lim n
第二节 收敛数列的性质
{收敛。
（证明过程见书上33页，留与大家自己阅读理解）
小结 (1), 唯一性; (2), 有界性; (3), 保号性; (4), 四则运算法则; (5), 迫敛性定理; (6), 收敛数列与其子列的关系. 作业 P33: 1（3）（4）（6), 3, 4, 6.
第二章 数列极限
§2 收敛数列的性质
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 证明 假设同时有 lim xn =a 及 lim xn =b , 且 a<b.
n→∞ n→∞
按极限的定义, 对于ε = b−a >0, 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn−a|<ε = b−a 及|xn−b|<ε = b−a , 2 2 因此同时有 xn < b+a 及xn > b+a , 2 2 这是不可能的. 所以只能有a=b.
注：上定理条件中即便换为xn > 0(或xn < 0),也未必有 lim xn = a > 0 n →∞ 1 或 lim x n < 0 例如： x n = n→ ∞ n 定理4.（保不等式性）
(
)
设{an }与{bn }均为收敛数列.若存在正整数N 0 , 使当n > N 0时有
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛, 那么它的极限唯一. 定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界. 定理3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a>b(或a<b), 那么存在正整 数N, 当n>N时, 有xn>b(或xn<b).
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an
a
;即an
a
1 2
(a
b);
n
N 2时,
bn
b
;即bn
b
1 2
(a
b);
取N max{N0 , N1, N2},当n N时
an
1 2
(a
b)
bn
，
与条件相矛盾。
思考：如果把条件“an bn”换成“ an bn ”，那么能否
把结论换成
lim
n
an
lim
n
bn
？
例考虑数列{1},{ 1 } n n2
2.有界性 定理2.3 收敛的数列必定有界.
证
设
lim
n
an
a,
由定义,
取 1,
则N,使得当n N时恒有an a 1,
即有 a 1 an a 1.
记 M max{a1 , , aN , a 1, a 1},
则对一切自然数n,皆有an M, 故an有界.
注意：有界性是数列 收敛的必要条件.
例：求
4n2 1
lim
n 2n 2 5n 6
解：
lim
n
4n2 1 2n2 5n
6
lim
n
2
4
5 n
1
n2
6 n2
lim (4
n
1 n2
)
40
2
lim (2
n
5 n
6 n2
)
200
例4 求
lim
n
a0nm b0nk
a1nm1 b1nk1
am bk
, a0
b0
0
解: 当a0 0,b0 0, m和k为非负整数时有
lim
an
lim an
n
0
0
n an 1 lim an 1 0 1
n
若 a 1 ，则
an
1
1
lim
lim
1
n a n 1 n 1 ( 1 )n 1 0
cn 满足：存在正数 N0 ，当 n N0 时有
an cn bn
则数列 cn 收敛，且
lim
n
cn
a
本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一 个计算数列极限的方法。
.
证
lim
n
an
a,
lim
n
bn
a,
0, N1 0, N2 0, 使得
当n N1时恒有 an a ,
当n N2时恒有 bn a ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n
n lim n2 n n
1 1 1 1
n
lim n lim 1 1
n
n2 1
n
1
1 n2
由夹逼定理得
1
1
1
lim(
) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
定理2.7
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0. b n n B
注 : bn为常数c时有
lnim(an c) A c lnim(can ) cA
分析: an
bn
an
(bn
),
an bn
an
1 bn
(an bn ) ( A B) an A bn B
lim
n
a0nm b0 n k
a1nm1 b1nk 1
am bk
1
lim
n
nkm
a0
a1
1 n
b0
b1
1 n
am
1 nm
bk
1 nk
0ab,00当,当k k
m, m,
,当k m,
例4
求 lim nn
a
an n
1
,
其中a
1,
an 1
解：若 a 1 则
lim
n a n 1 2
若 a 1，则由 lim a n 0 有 n
§２ 收敛数列的性质
教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极 限的常用方法。
教学要求：（１）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、 局部有界性、保号性、保不等式性；
（２）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性 定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。
一、数列极限的性质
1.唯一性
定理 每个收敛的数列只有a bn B
1 bn
1 A
bn B bn B
2 B2
bn
B
例：求 lim 3n 1 n 1 n n n
解：由于 lim 3n 1 lim (3 1) 3,
n n
n
n
lim n 1 lim (1 1) 1
n n
n
n
所以 lim 3n 1 n 1 31 3 n n n
例2 求数列 {n n} 的极限。
解： 记an n n 1 hn ， 这里 hn 0(n 1) ，则
有：
2
1 an 1 hn 1 n 1
左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
取 N max{N1 , N2 }, 当 n N时 上两式同时成立,
即 a an a , a bn a ,
当 n N时, 恒有 a an cn bn a ,
即 cn a 成立,
lim
n
cn
a.
注意: 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
利用夹逼准则求极限关键是构造出an与bn , 并且 an与bn的极限是容易求的 .
若数列 an 收敛，则它只有一个极限。
证
设
lim
n
an
a,
又
lim
n
an
b,
由定义, 对于 0, N1, N2.使得
当n
N1时恒有an
a
2
;
当n
N2时恒有an
b
2
;
取N maxN1 , N2, 则当n N时有
xn
a
2
xn b 2
即
a
b
an
a
an
b
2
2
由的任意性: a b. 故极限唯一.
即an a a' 0 类似可证a 0情形。
4.保不等性
定理2.5 设数列an与bn 均收敛，若存在正数N0，
使得当 n N0 时有 an bn ，则
lim
n
an
lim
n
bn
。
证明
:
设
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b;
若a
b, 则对
1 2
(a
b)
0,
正整数N1，N 2;使当
n
N1时,
例1 设an 0(n 1,2, ),证明:
若
lim
n
an
a, 则 lim n
an
a.
证
lim
n
an
a,
0, N N ,使得当n N时
恒有an a ,
从而有 an
a
an a an a
an a a
a
故 lim n
an
a.
5.夹逼准则
定理2.6 设收敛数列an、bn 都以a为极限，数列
推论 无界数列必定发散.
3.保号性
定理2.4
若
lim
n
an
a
0
（或
a 0），则对任何
a(0, a) （或 a(a,0) ），存在正数Ｎ，使
得当 n N 时有 an a（或 an a ）。
证明
设 lim n
an
a
0,
则对 a' a 0, a' (a,0)存在N
使得当n N时,有 an a