《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》

【例2】已知b (1, 1), a b 3, | a b | 2, 求|a |.
【练习】 已知a与b 的夹角为60, a ( 2, 0) b 1，则 a 2b ( A. 3 B. 2 3 ) C. 4 D. 2
【例4】 已知向量a=(λ,－2)，b=(－3，5)， 若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取值范围.
x1 x2 y1 y2
从而 a b x1 x2 y1 y2
2. 长度、角度、垂直的坐标表示：
2 2 2 (1) a ( x , y ) a x y 或 a x2 y2
2. 长度、角度、垂直的坐标表示：
2 2 2 (1) a ( x , y ) a x y 或 a x2 y2
二、新知探究
【探究】 已知两个非零向量 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y2 ), 怎样用a与b 的坐标表示a b 呢？
1. 推导坐标公式：
1. 推导坐标公式： a x1i y1 j , b x2 i y2 j , a b ( x1i y1 j )( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j y1 x2 j i y1 y2 j
x1 x2 y1 y2
1. 推导坐标公式： a x1i y1 j , b x2 i y2 j , a b ( x1i y1 j )( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j y1 x2 j i y1 y2 j
( 3) a b a b 0 即 x1 x2 y1 y2 0
ab (4) cos ab
x1 x2 y1 y2 x y
2 1 2 1
x y
2 2
2 2
例题精析:
【例1】已知A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5) （1）试求∠ABC的余弦值； （2）试判断△ABC的形状，并证明。
10 6 6 ( , ) ( , ) 3 5 5
【思考】 设m 、n是两个单位向量 , 其夹角为60, 试求向量 a 2m n与b 2n 3m 的夹角.
【练习】在ABC中, AB (2, 3), AC (1, k ), 且ABC的一个内角为直角 ,求 k 的值.
一、温故知新
1. 向量的数量积的定义是什么?
2. 向量数量积a b 的几何意义是什么 ?
3、平面向量数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数， 则： (1) a b b a; ( 2) ( a ) b (a b ) a ( b ); ( 3) ( a b ) c a c b c 但(a b )c a (b c )
4、平面向量的坐标运算：
向量 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y2 ), 有： a b ( x1 x 2 , y1 y2 ) a b ( x1 x 2 , y1 y2 ) a (x1 , y1 )
二、新知探究
三、课堂小结
1.向量的坐标运算沟通了向量与解析 几何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用 向量方法来解决. 2 . a∥ b a⊥ b
x1 y2 x2 y1 0
x1 x2 y1 y2 0
二者有着本质区别.
Baidu Nhomakorabea
(2) 若表示向量a的有向线段的起点和终 点 的坐标分别为 A ( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 2 2 | a || AB | ( x1 x2 ) ( y1 y2 )
( 3) a b a b 0 即 x1 x2 y1 y2 0