2004年天津市中考数学试卷

2004年天津市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2sin45°的值等于（）
A．1B．C．D．2
2．（3分）若x＜2，则的值是（）
A．﹣1B．0C．1D．2
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（）A．正八边形B．正六边形C．正五边形D．正方形
5．（3分）下列命题中正确的是（）
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6．（3分）如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）
A．CE•CD=BE•BA B．CE•AE=BE•DE
C．PC•CA=PB•BD D．PC•PA=PB•PD
7．（3分）为适应国民经济持续快速协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时．若天津到上海的路程为1 326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x，y应满足的关系式是（）
A．x﹣y=B．y﹣x=
C．=7.42D．=7.42
8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（）A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac=0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≤0 9．（3分）如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于（）
A．B．C．1D．
10．（3分）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）不等式5x﹣9≤3（x+1）的解集是．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为．
13．（3分）已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1半径为3cm，则⊙O2的半径为cm．
14．（3分）如图等腰梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全
等三角形最多有对．
15．（3分）已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x﹣y的值等于．16．（3分）若a、b都是无理数，且a+b=2，则a，b的值可以是（填上一组满足条件的值即可）．
17．（3分）如图，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD=30°，则∠M等于度．
18．（3分）已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=时，x的值等于，．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）在一次数学知识竞赛中，某班20名学生的成绩如下表所示：
分别求这些学生成绩的众数、中位数、和平均数．
20．（8分）用换元法解分式方程：．
21．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）．（Ⅰ）求b、c的值；
（Ⅱ）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长．（答案可带根号）
22．（8分）已知一次函数y=x+m与反比例函数y=（m≠﹣1）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．
（1）求x0的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
23．（8分）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．
24．（8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）
参考数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．
25．（10分）已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．
26．（10分）已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：
（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3=ax2+bx+c，其图象经过点（﹣5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立？
若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．
2004年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）2sin45°的值等于（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：2sin45°=2×=．
故选：B．
2．（3分）若x＜2，则的值是（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【解答】解：==﹣1．
故选：A．
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
4．（3分）若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（）A．正八边形B．正六边形C．正五边形D．正方形【解答】解：设此多边形边数为x，根据题意，得
（x﹣2）×180=120•x，
解之，得x=6，所以此图形是正六边形．
故选：B．
5．（3分）下列命题中正确的是（）
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【解答】解：根据菱形的判定，知对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
A、B、C错误，D正确．
故选：D．
6．（3分）如图⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC与DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）
A．CE•CD=BE•BA B．CE•AE=BE•DE
C．PC•CA=PB•BD D．PC•PA=PB•PD
【解答】解：由相交弦定理知，CE•ED=BE•AE，由割线定理知，PC•PA=PB•PD，只有D正确．
故选：D．
7．（3分）为适应国民经济持续快速协调的发展，自2004年4月18日起，全国铁路实施第五次提速，提速后，火车由天津到上海的时间缩短了7.42小时．若天津到上海的路程为1 326千米，提速前火车的平均速度为x千米/时，提速后火车的平均速度为y千米/时，则x，y应满足的关系式是（）
A．x﹣y=B．y﹣x=
C．=7.42D．=7.42
【解答】解：提速前的时间为：，提速后的时间为：．那么所列方程为：=7.42．
故选：C．
8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a﹣b+c＞0，则一定有（）A．b2﹣4ac＞0B．b2﹣4ac=0C．b2﹣4ac＜0D．b2﹣4ac≤0
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下．
∵a﹣b+c＞0，
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0．
故选：A．
9．（3分）如图，已知等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD为∠ABC的平分线，则的值等于（）
A．B．C．1D．
【解答】解：∵等腰△ABC中，顶角∠A=36°
∴∠ABC=72°
又∵BD是∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠DBC=36°=∠A
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴
设AD=x，AB=y，
∵∠A=∠ABD，∴BD=AD，
则BC=BD=AD=x，CD=y﹣x
∴，设=k，则上式可以变化为﹣1=k
解得：k=或k=（舍去），则的值等于．
故选：B．
10．（3分）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【解答】解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则=，=，+=+≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
∴PA•PE=PB•PC，故③正确；
故选：B．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）不等式5x﹣9≤3（x+1）的解集是x≤6．
【解答】解：不等式去括号，得
5x﹣9≤3x+3，
移项合并同类项，得
2x≤12，
系数化1，得
x≤6．
所以，不等式5x﹣9≤3（x+1）的解集是x≤6．
12．（3分）已知关于x的方程x2﹣3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为2．
【解答】解：设方程x2﹣3x+m=0的两根是a，b，
又a=2b，
∴a+b=3b=3，
可得b=1，则a=2．
故a•b=m=2．
故填空答案：2．
13．（3分）已知⊙O1和⊙O2相外切，且圆心距为10cm，若⊙O1半径为3cm，则⊙O2的半径为7cm．
【解答】解：因为⊙O1和⊙O2相外切，
∴圆心距=⊙O1半径+⊙O2半径，
∴⊙O2的半径=圆心距﹣⊙O1半径=10﹣3=7．
14．（3分）如图等腰梯形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，那么图中的全等三角形最多有3对．
【解答】解：有3对，分别为△ABC≌△DCB，△DAB≌△ADC，△AOB≌△DOC．证明：∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB
∵BC=BC
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∵四边形ABCD为等腰梯形
∴AC=BD
∵AB=DC，AD=DA
∴△DAB≌△ADC（SSS）
∴∠ABD=∠DCA
∵∠ABC=∠DCB
∴∠OBC=∠OCB
∴OB=OC
∴∠ABD=∠DCA，∠AOB=∠DOC，OB=OC
∴△AOB≌△DOC（AAS）．
15．（3分）已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x﹣y的值等于1．
【解答】解：∵x2+y2=25，x+y=7
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=49，
解得2xy=24，
∴（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2=25﹣24=1，
又因为x＞y
∴x﹣y=．
16．（3分）若a、b都是无理数，且a+b=2，则a，b的值可以是π；2﹣π（填上一组满足条件的值即可）．
【解答】解：本题答案不唯一．
∵a+b=2，
∴b=2﹣a．
例如a=π，则b=2﹣π．
故答案为：π；2﹣π．
17．（3分）如图，已知两个等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，一条直线经过点A，分别与两圆相交于点C、D，MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，若∠BCD=30°，则∠M等于60度．
【解答】解：如图，连接BD，O1C，O1B，O2B，O2D，
∵MC切⊙O1于点C，MD切⊙O2于点D，
∴∠O1CM=∠O2DM=90°；
∵⊙O1与⊙O2是等圆，∠BCD=30°，
∴∠CDB=∠BCD=30°，
∴∠CBD=120°，BC=BD，
∴△O1BC≌△O2BD，∠O1CB=∠O2DB，
∴∠O1CM+∠O2DM=∠BCM+∠BDM=180°，
∴∠M=180﹣∠CBD=60°．
18．（3分）已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P从点A出发，沿A→B→C→E运动，到达E点．若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y，则当y=时，x的值等于
，．
【解答】解：经过分析，点P只有在AB边，或者BC边上时，才有可能使得y=，当点P在AB边上时，y=•x•1=，解得x=，
当点P在BC边上时，如图所示，y=•（1+）•1﹣•（x﹣1）•1﹣••（2﹣x）=，
解得x=．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）在一次数学知识竞赛中，某班20名学生的成绩如下表所示：
分别求这些学生成绩的众数、中位数、和平均数．
【解答】解：平均数是：=72（分）；
由列表中80分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是80（分）；
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是70分，因此这组数据的中位数应该是70（分）．
20．（8分）用换元法解分式方程：．
【解答】解：设，则原方程可化为y+=2，即y2﹣2y+1=0．
解得y=1，则．即x2﹣x﹣2=0．
解得x1=2，x2=﹣1．
经检验原方程的解为x1=2，x2=﹣1．
21．（8分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）．（Ⅰ）求b、c的值；
（Ⅱ）若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长．（答案可带根号）
【解答】解：（1）由题意可知：y=（x﹣2）2=x2﹣4x+4
因此b=﹣4，c=4；
（2）易知：B（0，4）．
因此OB=4，OA=2，在直角三角形AOB中，根据勾股定理有：
AB===2，
∴△OAB的周长为：OA+OB+AB=6+2．
22．（8分）已知一次函数y=x+m与反比例函数y=（m≠﹣1）的图象在第一象限内的交点为P（x0，3）．
（1）求x0的值；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵点P（x0，3）在一次函数y=x+m的图象上．
∴3=x0+m，即m=3﹣x0．
又点P（x0，3）在反比例函数y=的图象上，
∴3=，即m=3x0﹣1．
∴3﹣x0=3x0﹣1，
解得x0=1；
（2）由（1），得
m=3﹣x0=3﹣1=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2，反比例函数的解析式为y=．
23．（8分）如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1．
（Ⅰ）求∠P的度数；
（Ⅱ）求DE的长．
【解答】解：（1）连接OC
∵OC⊥PD
∴OC=OA=1
在Rt△OPC中
OC=1，OP=2
∴sin∠P==
∴∠P=30°；
（2）在Rt△POC中
OP=2，OC=1
∴PC===
∵OC⊥PD，BD⊥PC
∴△POC∽△PBD
即==
∴==
解得PD=，BD=
∴CD=PD﹣PC=﹣=
∵CD2=DE•BD
∴（）2=DE•
解得DE=．
24．（8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4m，∠θ1=40°，∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）
参考数据：sin36°=0.5878，cos36°=0.8090，tan36°=0.7265，sin40°=0.6428，cos40°=0.7660，tan40°=0.8391．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=d1=4m，∠ACB=∠θ1=40°，
∴AB=BC×tan40°=4tan40°≈3.356m，
在Rt△ABD中，BD=d2，∠ADB=θ2=36°，
∴BD=AB÷tan36°≈4.62m
∴CD=d2﹣d1=BD﹣CB=4.62﹣4≈0.62m．
∴楼梯占用地板的长度增加了0.62m．
25．（10分）已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分
别为r、R，且r＜R．
（Ⅰ）如图1，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点．求证：AM•AN=2Rr；（Ⅱ）如图2，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是弧EBF上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP•AQ=2Rr是否成立，并证明你的结论．
【解答】（Ⅰ）证明：延长AO交⊙O于D，连接MD，
∵过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点
∴OA⊥MN，AM=AN
∵AD是⊙O的直径
∴∠AMD=∠ABM=90°
∵∠MAD=∠MAD
∴△ABM∽△AMD
∴AM：AB=AD：AM
∴AM：AB=AD：AN
∴AM•AN=2Rr；
（Ⅱ）解：延长AO交⊙O于D，连接PD，
∵过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，
∴CA⊥PQ
∵AD是⊙O的直径
∴∠APD=∠ACQ=90°
∵∠Q=∠D
∴△ACQ∽△APD
∴AC：AP=AQ：AD
∴AP•AQ=2Rr．
26．（10分）已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（Ⅰ）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填在表格中：
（Ⅱ）观察第（Ⅰ）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立；
（Ⅲ）试问，是否存在二次函数y3=ax2+bx+c，其图象经过点（﹣5，2），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≤y3≤y2均成立？
若存在，求出函数y3的解析式；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）
（Ⅱ）在实数范围内，对于x的同一个值y2=x2+1=（x﹣1）2+2x，y1=2x，
∴y2﹣y1=（x一1）2+2x﹣2x=（x一1）2≥0，
∴y1≤y2；
（Ⅲ）由y1=2x，y2=x2+1得：
y2﹣y1=x2+1﹣2x=（x﹣1）2
即当x=1时，有y1=y2=2．
所以（1，2）点为y1和y2的交点．
因为要满足y1≤y3≤y2恒成立，所以y3图象必过（1，2）点．
又因为y3﹣y1=ax2+bx+c﹣2x恒大于等于0，即ax2+（b﹣2）x+c恒大于等于0，
所以二次函数ax2+（b﹣2）x+c必定开口向上，
即有a＞0且（b﹣2）2﹣4ac≤0，
同样有y2﹣y3=（1﹣a）x2﹣bx+（1﹣c）恒大于0，
有1﹣a＞0 且b2﹣4（1﹣a）（1﹣c）≤0，
又因为函数过（﹣5，2）和（1，2）两点，所以有
25a﹣5b+c=2 ①
a+b+c=2 ②
①﹣②得b=4a，
将b=4a代入②得：c=2﹣5a，
代入（b﹣2）2﹣4ac≤0得，
（4a﹣2）2﹣4a（2﹣5a）=16a2﹣16a+4﹣8a+20a2
=36×a2﹣24a+4=4（3a﹣1）2≤0
等式成立时a=，
将b=4a，c=2﹣5a 代入b2﹣4（1﹣a）（1﹣c）≤0，
（4a）2﹣4（1﹣a）（1﹣（2﹣5a））=36×a2﹣24a+4=4（3a﹣1）2≤0 满足条件a=
所以y3的解析式为y3=（x2+4a+1）=+x+．。