2008年全国初中数学联赛

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6小题，每题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的．将你所选择的答案的代号填在题后的括号内．每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式22

11

a b +的值为 （ ） A ．5

B ．7

C ．9

D ．11.

【答案】B

【解析】 由题设条件可知2310a a -+=，2310b b -+=，且a b ≠，所以a ，b 是一元二次方程

2310

x x -+=的两根，故3a b +=，1ab =，因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====． 故选B 2．如图，设AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，若6AB =，5BC =，3EF =，则线段BE 的长为（ ） A ．

185

B ．4

C ．215

D ．245

【答案】D

【解析】 因为AD ，BE ，CF 为三角形ABC 的三条高，易知B ，C ，E ，F 四点共圆，

于是AEF ABC △∽△，故

35AF EF AC BC ==，即3cos 5BAC ∠=，所以4

sin 5

BAC ∠=． 在Rt ABE △中，424

sin 655

BE AB BAC =∠=⨯=．故选D

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ）

A ．15

B ．

310

C ．

25

D ．

12

. 【答案】C

【解析】 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，

51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个．

所以所组成的数是3的倍数的概率是

82

205

=．故选C 4．在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点M ，N 分别在直线AC 和直线AB 上，则 （ ） A ．BM CN > B ．BM CN =

E

F

D

C

B

A

C ．BM CN <

D ．BM 和CN 的大小关系不确定

【答案】B

【解析】

∵12ABC ∠=，BM 为ABC ∠的外角平分线，∴1

(18012)842

MBC ∠=-=． 又180********BCM ACB ∠=-∠=-=，∴180844848BMC ∠=--=， ∴BM BC =．

又11

(180)(180132)2422

ACN ACB ∠=-∠=-=，

∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=-∠-∠=--∠+∠168(13224)=-+

12ABC ==∠，

∴CN CB =. 因此，BM BC CN ==．故选B

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的

价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为 （ ）

A ．398T ⎛⎫ ⎪⎝⎭.

B ．498⎛⎫ ⎪⎝⎭.

C ．5

98⎛⎫

⎪⎝⎭

. D ．98.

【答案】B.

【解析】 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况．

设5种商品降价前的价格为a ，过了n 天. n 天后每种商品的价格一定可以表示为

()()98110%120%1010k

n k

k

n k

a a --⎛⎫

⎛⎫⋅-⋅-=⋅⋅ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

，

其中k 为自然数，且0k n ≤≤．

要使r 的值最小，五种商品的价格应该分别为：981010i

n i

a -⎛⎫

⎛⎫⋅⋅ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

，11

88(1010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，

2

2

991010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3

3

981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，4

4

981010i n i a +--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

，

其中i 为不超过n 的自然数.

所以r 的最小值为4

4

4

98910108981010i n i i n i

a a +---⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎛⎫

⎝⎭⎝⎭

= ⎪⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

．故选B ．

6．已知实数x ，y 满足(2008x y =，则223233x y x y -+-2007-的值为（ ）

A ．2008-

B ．2008

C ．1-

D ．

1.

【答案】D ．

【解析】

∵(

2008x y

=

，

∴x

y

=

y x

=

由以上两式可得x y =．所以(2

2008x =，解得22008x =，所以

22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=．

故选D ．