【高考数学】2016年北京卷压轴题的分析与解
2016年北京高考数学理科答案与解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =-I .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.1,2()2x +y =02x-y=0x =0x +y =33. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b r r不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移个单位，即πsin 2()sin 23y x s x ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10--=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=aOCBAyx14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴ ∵222a c b+=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4AC +=cos A C +()A A A =++ A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD I 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD∵PA PD = ∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系 易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =-u u u v ，，，(011)PD =--u u u v ，，，(201)PC =-u u u v，，，(210)CD =--u u u v，，设n v为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y =v ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨⎪⎝⎭⋅=⎪⎩v u u u v v v u u u v ，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n θ=<v u u u⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =-u u u r ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-u u u u r有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-u u u u r u u u r∴()1,,BM λλ=--u u u u rOx yz PABCD∵BM ∥面PCD ，n u u r为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=u u u u r r即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】 （I ）()e a x f x x bx -=+Q∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=- ② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=.直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos My θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-. ∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<<L ，对于第一个“G 时刻”，有11i i a a a >≥，1231i i =-L ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =-L ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=-L ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a +L ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016北京市高考压轴卷数学(理)附答案解析
2016北京市高考压轴卷理科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N = （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-2.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．33.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F∠=（ ） A ．14 B ．13C 2D 24.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B 2C ．1D 2 5.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=≤≤+ B.1,0cos sin 4πρθθθ=≤≤+C.cos sin ,02πρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04πρθθθ=+≤≤6.若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A.1-B.13- C.13D.1 7.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<8.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nmy x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 210第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.执行右侧的程序框图，若输入9x =，则输出y = .10.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 11.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.12.已知曲线C ：24x y =--直线l ：x=6。
2016北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析
2016北京市高考压轴卷文科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设常数a ∈R ，集合A={}0)a ()1(≥--x x x ，B={}1-≥a x x .若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） （A ）（－∞，2） （B ）（－∞，2] （C ）（2，+∞） （D ）[2，+∞） 2.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞3.将函数3sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π64.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A ．()p ⌝∨()q ⌝ B ．p ∨()q ⌝C ．()p ⌝∧()q ⌝D ．p ∨q5.函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是(A) 1- (B) 2(C)(D) 06.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，则P 到各顶点的距离的不同取值有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．1321D ．6109878.下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分）9.方程x 31139x=+-的实数解为 . 10.学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别是75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .11. 设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b +的最小值为 . 12. 已知抛物线28y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .13.向量(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为 。
(精校版)2016年北京理数高考试题文档版(含答案)
解：（Ⅰ）由题意得
a
c 3, a2 1 ab 1, 2 2 b2 c
2
,
解得
a
2,
b
1
.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， A(2,0), B(0,1) ，
！
设 P(x0, y0 ) ，则 x02 4y02 4.
功 当
x0
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）C （2）C （3）B （4）D
（5）C （6）A （7）A （8）B
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 1 （11) 2
（13） 2
（10） 60 （12） 6
您 所以 n (1,2,2).
又 PB (1,1,1) ，所以 cos n, PB n PB 3 .
祝 n PB 3
所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 . 3
（Ⅲ）设 M 是棱 PA 上一点，则存在 [0,1] 使得 AM AP . 因此点 M (0,1 ,), BM (1,,) . 因为 BM 平面 PCD ，所以 BM ∥平面 PCD 当且仅当 BM n 0 ，
（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时）， 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断 和
的大小，（结论不要求证明）
（17）（本小题 14 分）
如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 平 面 PAD
2016年高考北京卷理数试题解析
2016年北京高考数学（理科）答案与解析学而思高考研究中心－成文波、邓杨、邓一维、高杨凯钰、韩晓东、哈茹雪、马佛青、问延炜、吴承峰、吴一炯、王睿瑶、武洪姣、杨连锋、张剑、赵铭雪1. C【解析】集合{|22}A x x =-<<，集合{|1,0,1,2,3}B x =-，所以{1,0,1}A B =- .2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值为2124⨯+=.3. B【解析】开始1a =，0k =；第一次循环12a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =，条件判断为“是”跳出，此时2k =.4. D【解析】若=a b 成立，则以a ，b 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b，a b -表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b - 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b - 成立，则以a ，b为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以=a b不一定成立，从而不是必要条件.5. C【解析】 A .考查的是反比例函数1y x=在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A错； B .考查的是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C .考查的是指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,+∞单调递减，所以有1122xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以C 对；D 考查的是对数函数ln y x =的性质，ln ln ln x y xy +=，当0x y >>时，0xy >不一定有ln 0xy >，所以D 错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高1h =，底面积111122S =⨯⨯=，所以体积1136V Sh ==.7．A【解析】点π,4P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭上，所以πππ1sin 2sin 4362t ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移s 个单位，即πs i n 2()s i n 23y x s x ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，所以π+π,6s k k =∈Z ，所以s 的最小值为π6.8．B【解析】取两个球往盒子中放有4种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1个； ②黑+黑，则丙盒中黑球数加1个； ③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加1个； ④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加1个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机． ③和④对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样． 综上，选B ．9.1-【解析】()()()11i i 1i ++=-++a a a∵其对应点在实轴上 ∴10+=a ，1=-a10.60【解析】由二项式定理得含2x 的项为()2226C 260-=x x11.2【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算cos =x ρθ，sin =y ρθ直线的直角坐标方程为10-=x∵2cos =ρθ，()222sin cos 2cos +=ρθθρθ∴222+=x y x圆的直角坐标方程为()2211-+=x y圆心()1,0在直线上，因此AB 为圆的直径，2=AB12.6【解析】∵3542+=a a a ∴40=a∵16=a ，413=+a a d ∴2=-d ∴()61661662⨯-=+=S a d13. 2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB ，π4∠=AOB ∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a又∵2228+==a b c ∴2=a14．2，1a <-．【解析】由()323330x x x '-=-=，得1x =±，如下图，是()f x 的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴ ()()max 12f x f =-=；⑵ 当1a -≥时，()f x 有最大值()12f -=；当1a <-时，2x -在x a >时无最大值，且()3max23a x x ->-．所以，1a <-．15．【解析】⑴∵222a c b +=+∴222a c b +-=∴222cos 2a c b B ac +-===∴π4B ∠=⑵∵πA B C ++=∴3π4A C +=cos A C +()A A A =+A A =+πsin()4A =+∵3π4A C +=∴3(0,π)4A ∈∴ππ(,π)44A +∈∴πsin()4A +最大值为1上式最大值为116． 【解析】⑴81004020⨯=，C 班学生40人 ⑵在A 班中取到每个人的概率相同均为15设A 班中取到第i 个人事件为,1,2,3,4,5i A i = C 班中取到第j 个人事件为,1,2,3,4,5,6,7,8j C j =A 班中取到i j A C >的概率为i P所求事件为D则1234511111()55555P D P P P P P =++++ 12131313145858585858=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 38= ⑶10μμ<三组平均数分别为7,9,8.25,总均值08.2μ=但1μ中多加的三个数据7,9,8.25,平均值为8.08，比0μ小， 故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面PAD 面ABCD AD =面PAD ⊥面ABCD∵AB ⊥AD ，AB ⊂面ABCD ∴AB ⊥面PAD ∵PD ⊂面PAD ∴AB ⊥PD 又PD ⊥PA ∴PD ⊥面PAB⑵取AD 中点为O ，连结CO ，PO∵CD AC ==∴CO ⊥AD ∵PA PD =∴PO ⊥AD以O 为原点，如图建系易知(001)P ，，，(110)B ，，，(010)D -，，，(200)C ，，， 则(111)PB =- ，，，(011)PD =-- ，，，(201)PC =-，，，(210)CD =-- ，，设n为面PDC 的法向量，令00(,1)n x y = ， 011,120n PD n n PC ⎧⋅=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=⎪⎩，，则PB 与面PCD 夹角θ有sin cos ,n PBn PB n PBθ⋅=<>===⑶假设存在M 点使得BM ∥面PCD设AM APλ=，()0,','M y z由（2）知()0,1,0A ，()0,0,1P ，()0,1,1AP =- ，()1,1,0B ，()0,'1,'AM y z =-有()0,1,AM AP M λλλ=⇒-∴()1,,BM λλ=--∵BM ∥面PCD ，n为PCD 的法向量 ∴0BM n ⋅=即102λλ-++=∴1=4λ∴综上，存在M 点，即当14AM AP =时，M 点即为所求.18．【解析】（I ）()e a x f x x bx -=+∴()e e (1)e a x a x a x f x x b x b ---'=-+=-+∵曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为(e 1)4y x =-+ ∴(2)2(e 1)4f =-+，(2)e 1f '=- 即2(2)2e 22(e 1)4a f b -=+=-+①2(2)(12)e e 1a f b -'=-+=-② 由①②解得：2a =，e b =（II ）由（I ）可知：2()e e x f x x x -=+，2()(1)e e x f x x -'=-+令2()(1)e x g x x -=-，∴222()e (1)e (2)e x x x g x x x ---'=---=-∴g 的最小值是(2)(12)e 1g =-=-∴()f x '的最小值为(2)(2)e e 10f g '=+=-> 即()0f x '>对x ∀∈R 恒成立 ∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，112c ab a ==，又222a b c =+，解得2,1,a b c ===∴椭圆的方程为2214x y +=. ⑵方法一：设椭圆上一点()00,P x y ，则220014x y +=. 直线PA ：()0022y y x x =--,令0x =，得0022M y y x -=-. ∴00212y BM x =+- 直线PB ：0011y y x x -=+,令0y =，得001N x x y -=-. ∴0021x AN y =+- 0000000000220000000000221122222214448422x y AN BM y x x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅=+⋅+--+-+-=⋅--++--+=--+将220014x y +=代入上式得=4AN BM ⋅ 故AN BM ⋅为定值.方法二：设椭圆 上一点()2cos ,sin P θθ，直线PA:()sin 22cos 2y x θθ=--,令0x =，得sin 1cos M y θθ=-. ∴sin cos 11cos BM θθθ+-=-直线PB :sin 112cos y x θθ-=+,令0y =，得2cos 1sin N x θθ=-.∴2sin 2cos 21sin AN θθθ+-=-2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM θθθθθθθθθθθθθθ+-+-⋅=⋅----+=--+=故AN BM ⋅为定值.20．【解析】⑴ (){}25G A =，⑵ 因为存在1n a a >，设数列A 中第一个大于1a 的项为k a ，则1k i a a a >≥，其中21i k -≤≤，所以()k G A ∈，()G A ≠∅． ⑶ 设A 数列的所有“G 时刻”为12k i i i <<< ，对于第一个“G 时刻”1i ，有11i i a a a >≥，1231i i =- ，，，，则 111111i i i a a a a ---≤≤．对于第二个“G 时刻”()21i i >，有21i i i a a a >≥（2121i i =- ，，，）．则212211i i i i a a a a ---≤≤．类似的321i i a a -≤，…，11k k i i a a --≤．于是，()()()()11221211k k k k k i i i i i i i i k a a a a a a a a a a ----+-++-+-=- ≥． 对于N a ，若()N G A ∈，则k i N a a =；若()N G A ∉，则k N i a a ≤，否则由⑵，知1k k i i N a a a + ，，，中存在“G 时刻”，与只有k 个“G 时刻”矛盾．从而，11k i N k a a a a --≥≥，证毕．。
2016年北京高考数学真题及答案解析(文科) .doc
8:30
新考人员理论考试、操作考核。考核地点以准考证为准。
相关老师
上课、理论考试地点：市卫计委大院金园宾馆副楼餐厅三楼会议室。
2016年北海市母婴保健技术服务资格考试和
换证培训考核培训班课程表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
时间
内容
授课人
7月6日
（星期三）
上午
7:40～8:10 培训班报到
8:10～10:30
母婴保健相关法律法规及文件；
黄春明
10:30～12:00
女性生殖系统生理与解剖；
孕产期保健技术规范，孕产期疾病防治；
黄晓虹
下午
15:00～18:00
计划生育技术常规操作（含结扎和终止妊娠手术相关知识）;
徐意玲
7月7日
（星期四）
上午
8:00～10:30
分娩期保健；安全分娩技术服务规范；
产前检查和产前诊断；
连冬梅
10:30～12:00
新生儿窒息复苏理论;
新生儿窒息复苏救治技能示范教学。
李 莲
下午
15:00～16:30
新生儿保健和疾病防治；
王莉莉
16:30～18:00
孕产妇HIV、梅毒和乙肝感染处理及母婴传播预防；
地中海贫血防治；母乳喂养适宜技术。
黄燕萍
7月8日
上午
9：00～11：00（金园宾馆副楼餐厅三楼会议室）
换证人员理论考核
8:00～12:00（金园宾馆主楼五楼会议室）
新考人员操作培训（含换证增加结扎或终止妊娠手术项目的全体人员）
连冬梅 徐意玲
李 莲
7月23日
2016高考北京卷数学解析(总)
2016高考北京卷数学解析新东方在线郭少山2016年高考数学考试已经结束，新东方在线郭少山老师第一时间为大家带来2016高考北京卷数学试题解析，我们来逐题看一下。
【真题】【郭少山老师解析】北京卷的第一题当中考了一个集合，集合和不等式是综合的最好的衔接。
集合A确实考了不等式，关于绝对值不等式的解法初中就有了。
最后考了集合和集合之间的运算，这道题比较简单，主要是帮助大家能在非常紧张的情绪下快速的稳定下来。
【真题】【郭少山老师解析】第二题也是历年一个必考点，是线性规划的问题。
然而这个线性规划是非常传统的，其中目标函数是一个标准的解决性。
这道题有的同学说，我可以把这道题画出来，然后把我们的目标函数进行平移，从而解决最值问题。
这两道题虽然是简单题，我想请问同学们这样一个问题，简单题比的是正确率吗？简单题比的是会与不会吗？简单题在我们考试当中比的就是速度，俗话说考场一刻值千金。
如果我们能在简单题上省出五分钟，是不是最后一道难题，压轴题，给我们更多的思考空间。
这道题我不建议可以一上来就画图，这道题非常的典型，这时候我完全可以直接带点来看，谁最大谁就是最大值。
【真题】【郭少山老师解析】这道题是我们今年北京2016年理科的第七题。
选择题的倒数第二题，难度在历年来讲都不会太容易，这时候我们一起来分析一下究竟区分点在什么地方，为什么说是一道比较好的有区分度的题目。
首先他说函数上有一个点P，把点向左平移s个单位，这个地方有一个审题的问题，因为通常来讲我们在讲三角函数的过程当中，一般来说我们所谓的平移是对函数或者是对自变量进行平移，然而这道题有一点点小的变化，是对图像上的点进行平移，这个地方需要把题目审住。
然后向左平移s单位以后，然后说得到一个点P’，并且P’位于sin(2x)的图像上，一个是参数t，一个是s的最小值。
关于参数t第一句话就足够了，因为过点P(π/4，t)，可以代入函数y当中，解出来非常简单。
第二个s 的最小值从何而来，在我们的本质上就考察了三角函数是有周期性的。
2016年北京市高考数学试卷及解析(文科)
2016年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A、{x|2＜x＜5}B、{x|x＜4或x＞5}C、{x|2＜x＜3}D、{x|x＜2或x＞5}2、（5分）复数=（）A、iB、1+iC、﹣iD、1﹣i3、（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A、8B、9C、27D、364、（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A、y=B、y=cosxC、y=ln（x+1）D、y=2﹣x5、（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）A、1B、2C、D、26、（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A、B、C、D、7、（5分）已知A（2，5），B（4，1）、若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A、﹣1B、3C、7D、88、（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊、学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米） 1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A、2号学生进入30秒跳绳决赛B、5号学生进入30秒跳绳决赛C、8号学生进入30秒跳绳决赛D、9号学生进入30秒跳绳决赛二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为、10、（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为、11、（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为、12、（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=，b=、13、（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=、14、（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种、三、解答题（共6小题，满分80分）15、（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和、16、（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π、（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间、17、（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费、18、（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC、（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由、19、（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点、（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值、20、（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c、（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件、参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A、{x|2＜x＜5}B、{x|x＜4或x＞5}C、{x|2＜x＜3}D、{x|x＜2或x＞5}题目分析：由已知条件利用交集的定义能求出A∩B、试题解答解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}、故选：C、点评：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义的合理运用、2、（5分）复数=（）A、iB、1+iC、﹣iD、1﹣i题目分析：将分子分线同乘2+i，整理可得答案、试题解答解：===i，故选：A、点评：本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题、3、（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）题目分析：根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案、试题解答解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为9，故选：B、点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答、4、（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A、y=B、y=cosxC、y=ln（x+1）D、y=2﹣x题目分析：根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项、试题解答解：A、x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B、y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C、x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确、故选：D、点评：考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算、5、（5分）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（）题目分析：先求出圆（x+1）2+y2=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式求解、试题解答解：∵圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），∴圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为：d==、故选：C、点评：本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用、6、（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A、B、C、D、题目分析：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率、试题解答解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===、故选：B、点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用、7、（5分）已知A（2，5），B（4，1）、若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y 的最大值为（）A、﹣1B、3C、7D、8题目分析：平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可、试题解答解：如图A（2，5），B（4，1）、若点P（x，y）在线段AB上，令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7、故选：C、点评：本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键、8、（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊、学生序号 1 2 3 4 5 67 89 10立定跳远（单位：米） 1.961.921.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳（单位：次）63 a 7560 6372 70a﹣1 b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A、2号学生进入30秒跳绳决赛B、5号学生进入30秒跳绳决赛C、8号学生进入30秒跳绳决赛D、9号学生进入30秒跳绳决赛题目分析：根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论、试题解答解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛，故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，故选：B、点评：本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推理过程，是解答的关键、二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9、（5分）已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为、题目分析：根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案、试题解答解：∵向量=（1，），=（，1），∴与夹角θ满足：cosθ===，又∵θ∈[0，π]，∴θ=，故答案为：、点评：本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公式，是解答的关键、10、（5分）函数f（x）=（x≥2）的最大值为2、题目分析：分离常数便可得到，根据反比例函数的单调性便可判断该函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值、试题解答解：；∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；∴x=2时，f（x）取最大值2、故答案为：2、点评：考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值的方法、11、（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为、题目分析：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案、试题解答解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，棱柱的高为1，故棱柱的体积V=，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键、12、（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），则a=1，b=2、题目分析：由双曲的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），列出方程组，由此能出a，b、试题解答解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（，0），∴，解得a=1，b=2、故答案为：1，2、点评：本题考查双曲线中实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用、13、（5分）在△ABC中，∠A=，a=c，则=1、题目分析：利用正弦定理求出C的大小，然后求出B，然后判断三角形的形状，求解比值即可、试题解答解：在△ABC中，∠A=，a=c，由正弦定理可得：，=，sinC=，C=，则B==、三角形是等腰三角形，B=C，则b=c，则=1、故答案为：1、点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的判断，考查计算能力、14、（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②这三天售出的商品最少有29种、题目分析：①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数、试题解答解：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种，当第三天售出的18种商品都是第一天或第二天售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种、故答案为：①16；②29、点评：本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题、三、解答题（共6小题，满分80分）15、（13分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4、（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和、题目分析：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和、试题解答解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+、点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题、16、（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π、（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间、题目分析：（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间、试题解答解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==、由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=、再由，得、∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）、点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题、17、（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费、题目分析：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，由此能求出为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，w至少定为3立方米、（2）当w=3时，利用频率分布直方图能求出该市居民的人均水费、试题解答解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米、（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元、点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查当w=3时，该市居民该月的人均水费的估计的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用、18、（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC、（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由、题目分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC；（2）利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC，即可证明平面PAB⊥平面PAC；（3）在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF、利用线面平行的判定定理证明、试题解答（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC=C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC=C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF、∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF、点评：本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题、19、（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点、（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值、题目分析：（1）由题意可得a=2，b=1，则，则椭圆C的方程可求，离心率为e=；（2）设P（x0，y0），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|、由，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2、试题解答（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；（2）证明：如图，设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，取x=0，得；，PB所在直线方程为，取y=0，得、∴|AN|=，|BM|=1﹣、∴==﹣===、∴四边形ABNM的面积为定值2、点评：本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题、20、（13分）设函数f（x）=x3+ax2+bx+c、（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件、题目分析：（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由﹣c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围；（3）先证若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得单调区间有3个，求出导数，由导数的图象与x轴有两个不同的交点，运用判别式大于0，可得a2﹣3b ＞0；再由a=b=4，c=0，可得若a2﹣3b＞0，不能推出f（x）有3个零点、试题解答解：（1）函数f（x）=x3+ax2+bx+c的导数为f′（x）=3x2+2ax+b，可得y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=f′（0）=b，切点为（0，c），可得切线的方程为y=bx+c；（2）设a=b=4，即有f（x）=x3+4x2+4x+c，由f（x）=0，可得﹣c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x的导数g′（x）=3x2+8x+4=（x+2）（3x+2），当x＞﹣或x＜﹣2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当﹣2＜x＜﹣时，g′（x）＜0，g（x）递减、即有g（x）在x=﹣2处取得极大值，且为0；g（x）在x=﹣处取得极小值，且为﹣、由函数f（x）有三个不同零点，可得﹣＜﹣c＜0，解得0＜c＜，则c的取值范围是（0，）；（3）证明：若f（x）有三个不同零点，令f（x）=0，可得f（x）的图象与x轴有三个不同的交点、即有f（x）有3个单调区间，即为导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即4a2﹣12b＞0，即为a2﹣3b＞0；若a2﹣3b＞0，即有导数f′（x）=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点，当c=0，a=b=4时，满足a2﹣3b＞0，即有f（x）=x（x+2）2，图象与x轴交于（0，0），（﹣2，0），则f（x）的零点为2个故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件。
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故 g (x) 在 x = −1 处取得极大值 g (−1) = 2 ， 在 x = 1 处取得极小值 g (1) = −2 ． 令 h(x) = −2x, x ∈ R ， 则 h(x) 的图象经过点 (−1, 2), (1, −2) ．函数 g (x) 与 h(x) 的图象如下图所示，从中即可得出此题的结果． (1) 2 ；(2) (−∞, −1) ． y y = x3 − 3x 1 −1 O −2 y = −2x x
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1 2016 年北京卷理科数学
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题 (理 18). 设函数 f (x) = xea−x + bx ，曲线 y = f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y = (e − 1)x + 4 ． (1) 求 a, b 的值； (2) 求 f (x) 的单调区间．
分析 第 (1) 小题是典型的利用导函数求函数的切线方程的问题；第 (2) 小题是简单的利用导函数研究函数 的单调性的问题． 解 (1) 函数 f (x) 的导函数 f ′ (x) = ea−x (1 − x) + b, 因此根据题意有 f (2) = 2(e − 1) + 4, f ′ (2) = e − 1, (2) 由 (1) 可知， a = 2, b = e.
1 2016 年北京卷理科数学
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题 (理 14). x3 − 3x, x ⩽ a, −2x, x > a. ； ．
设函数 f (x) =
(1) 若 a = 0 ，则 f (x) 的最大值为
(2) 若 f (x) 无最大值，则实数 a 的取值范围是
解
利用函数图象解决问题．令 g (x) = x3 − 3x, x ∈ R ，则 g ′ (x) = 3 (x + 1) (x − 1) ,
解
每次操作只有可能发生下列 4 种情形中的一种： 1. 甲盒中放入红球，乙盒中放入黑球； 2. 甲盒中放入黑球，丙盒中放入红球； 3. 甲盒中放入红球，乙盒中放入红球； 4. 甲盒中放入黑球，丙盒中放入黑球．
由于袋中的红球和黑球一样多，因此情形 3 和情形 4 出现的次数必然一样多，于是可得乙盒中红球与丙盒 中黑球一样多，选 B．只发生情形 1 即为选项 A,D 的反例，只发生情形 2 即为选项 C 的反例．
1 2016 年北京卷理科数学
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题 (理 19). x2 y2 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 a b 为 1． (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 设 P 是椭圆 C 上一点，直线 P A 与 y 轴交于点 M ，直线 P B 与 x 轴交于点 N ．求证： |AN | · |BM | 为定值． 分析 第 (1) 小题考查椭圆的基本量；第 (2) 小题考查基本的利用代数方法研究几何的能力． 解 根据题意画出示意图如图． y M √ 3 ， A(a, 0), B (0, b), O(0, 0) ， △OAB 的面积 2
1 2016 年北京卷理科数学
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题 (理 20). 设数列 A : a1 , a2 , · · · , aN (N ⩾ 2) ．如果对小于 n (2 ⩽ n ⩽ N ) 的每个正整数 k 都有 ak < an ，则 称 n 是数列 A 的一个“ G 时刻” ．记 G(A) 是数列 A 的所有“ G 时刻”组成的集合． (1) 对数列 A : −2, 2, −1, 1, 3 ，写出 G(A) 的所有元素； (2) 证明：若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ，则 G(A) ̸= ∅ ； (3) 证明：若数列 A 满足 an − an−1 ⩽ 1 (n = 2, 3, · · · , N ) ，则 G(A) 的元素个数不小于 aN − a1 ． 分析 第 (1) 小题是为了让解题者熟悉“ G 时刻”所作的铺垫；第 (2) 小题提示解题者将具体的“ G 时刻”设 出，然后利用其定义解决问题，考查了最值原理．第 (3) 小题中结论的形式 aN − a1 提示我们去寻找类似 于“裂项”的结构． 解 (1) G(A) = {2, 5} ．
解得
[ ] f (x) = xe2−x + ex, f ′ (x) = e (1 − x)e1−x + 1 .
考察函数 g (x) = xex + 1, x ∈ R ，由于 g ′ (x) = ex (x + 1), 故 g (x) 的最小值为 g (−1) = 1 − 由此可知 f ′ (x) > 0 ．所以 f (x) 在 R 上单调递增． 1 > 0, e
2016 年全国高考数学压轴题的分析与解
⺫录
1 2016 年北京卷理科数学 2 2016 年北京卷文科数学 2 7
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试卷点评
2016 年北京卷理科数学
今年的北京卷延续了去年的命题风格：与实际生活相联系的选择题第 8 题，考查函数的图象与
性质的填空第 14 题．今年的解析几何大题和导数大题比去年难度都有所下降，创新大题的难度则略微提升， 总的来说是稳中有降．值得注意的是理科的第 8 题，文科的第 8 题和第 14 题看似简单，但是对思维僵化、 对应用数学知识 (尤其是逻辑知识) 解决实际问题的能力有所欠缺的学生将造成不小的障碍． 题 (理 8). 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球， 将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过 程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ( A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球 ) B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
B O
P A N
√ 3 1 (1) 根据椭圆 C 的离心率为 可得 a2 = 4b2 ，又 △OAB 的面积 ab = 1 ，于是可得 a = 2 ， b = 1 ， 2 2 因此椭圆 C 的方程为 x2 + y 2 = 1. 4 Å ã Å ã sin θ 2 cos θ (2) 设 P 点坐标为 (2 cos θ, sin θ) ，可求得 M 点坐标为 0, ， N 点坐标为 , 0 ，故 1 − cos θ 1 − sin θ Å |AN | · |BM | = 2 cos θ −2 1 − sin θ ãÅ ã 2 (sin θ + cos θ − 1) sin θ = 4. −1 =2 1 − cos θ (1 − sin θ) (1 − cos θ)