10.电磁感应 大学物理习题答案

1 1 3 3 2 R B R B 1 R h1 B R 2 2 2 4
d a
O
图 10-9
R
c b
1 cd
d 1 3 2 dB R dt 4 dt
方向
d c
在 Oab 中， 2
d R 2 dB 1 R 2 B ， 2 ab 2 6 dt 6 dt
i
负号表示 i 方向与确定 n 的回路方向相反

（ 2） q i
1 1 28 104 3.14 0.12 (1 2 ) [ B(0) B(2)] S cos 4.4 10 2 C 3 R R 110 2
dx v 等速 dt
N1 I1 2R
在线圈 2 中的全磁通 12 N 2 BS N 2 0
N1 I 1a 2 2R
M
12 0 N 1 N 2 a 2 I1 2R
10-11 如图 10-11 所示，A、C 为两同轴的圆线圈，半径分别为 R 和 r，两线圈相距为 l，若 r 很小，可认为 由 A 线圈在 C 中所产生的磁感应强度是均匀的，求两线圈的互感系数。若 C 线圈匝数增加 N 倍，则 互感系数又为多少？ 解：设线圈 A 中通有电流 I，在线圈 C 的圆心处的磁感应强度 B



在斜面上， mg sin ma ， a g sin
v at gt sin ， i gt sin Bl cos
1 Bglt sin 2 2
D θ C 图 10-6
B
B
（2）此时，在 BADC 回路中产生感应电流，所以 AB 还受安培力作用，大小为
B
n
π/3 a
图 10-1
d dB S cos a 2 cos( ) (6t 8) 10 4 1.6 (6t 8) 10 6 V dt dt 3 3.2 10 5 2 10 2 A t 2 s ， i 3.2 10 5 V ， I 3 R 1.0 10
I
I C b
v
a D
B
0I 0I ，方向垂直纸面向上。 2 x 2 ( x a)
a
d i (v B) dx vBdx
图 10-5
CD d i
0Iv 2 a b 1 1 Iv 2a b a b 0Iv 2a b )dx 0 [ln ln ] ln ( 2 2 a x x a 2 2a a 2 2(a b)
1 BL( L 2 R) 2
10-5 两平行长直导线载有等量反向电流 I， 金属棒 CD 与两导线共面且垂直， 相对位置如图 10-5 所示。CD 棒以速度 v 平行于导线电流运动时，求 CD 棒中的动生电动势，哪端的电势高？ 解：如图建立坐标系，在 x 处（棒上）取线元 dx ，方向 C D ，该处
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10-9 在半径为 R 的细长螺线管内有
dB 0 的均匀磁场，一等腰梯形金属框 abcd 如图 10-9 放置。已知， dt
ab＝2R，cd＝R，求： （1）各边产生的感生电动势； （2）线框的总电动势。 解： （1）径向上的电动势为零，即 ad cd 0 在 Odc 中，以 dc 为底，设 h1 为高
若 C 线圈匝数增加 N 倍，则 M N
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10-12 一长直导线旁，共面放置一长 20cm、宽 10cm、共 100 匝的密绕矩形线圈，长直导线与矩形线圈的 长边平行且与近边相距 10cm，如图 10-12 所示。求两电路的互感系数。 解：在距长直导线 r 处，取一面元 dS ldr ，则 d BdS


d (v B) dl vBdl Bldl
Lr 1 NM NM d B ldl BL( L 2r ) 2 r
N

r
B
O L-r 图 10-4 M
负号表示电动势方向为 M N ， U NM NM

B
O
v
R
d m 1 dx 2 2 RB 2 RBv m (2 Rx R ) B ， 2 dt dt
由于静止 U 型导轨上电动势为零，所以半圈导线上电动势为 2 RBv 负号表示电动势方向为逆时针，即上端电势高。
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图 10-3
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0I ldr 2r
CD 0 ， C 端电势高。
10-6 如图 10-6 所示，质量为 m，长为 l，电阻为 R 的金属棒 AB 放置在一个倾斜的光滑 U 形框架上，并由 静止下滑，磁场 B 垂直向上。求： （1）U 形框架为绝缘时，AB 棒内的动生电动势与时间的函数关系； （2）U 形框架为导体时（不计电阻） ，AB 棒下滑速度随时间的变化关系，最大速度为多少？ 解： （1） i ( v B ) BA vB sin l vBl cos A
2 2 i B l Fi BlI Bl v cos ，方向水平向右。 R R
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沿斜面 ， mg sin Fi cos ma m
dv ，即 dt
mg sin
B 2l 2 cos 2 dv vm R dt
解得
v max
mgR sin 2 2 ( 1 e B l cos 2
（2）任取线元 dl， d (v B ) dl vB sin 90 cos dl vB cos Rd



d vBR cos d 2vRB ，由 (v B) 指向知，上端电势高

2
2
10-4 长为 L 的铜棒 NM，以角速度 绕支点 O 在水平面上转动，支点距棒的一端点 N 的距离为 r，设均 匀磁场 B 垂直向下，如图 10-4 所示。求棒两端的电势差。 解：在棒上距 O 点 l 处取线元 dl ，方向 N M ，则
（ 2） i
d 4.24 104 cos100 t V dt
图 10-7
10-8 一半径为 R、单位长度上匝数为 n 的通电长直螺线管，其横截面上的磁场如图 10-8 所示。若电流的变 化率为 dI/dt（＞0） ，求： （1）管内外的感生电场； （2）当电子分别置于 a 点、O 点和 b 点处时，电子 所获得的瞬时加速度大小和方向各为何？ a 解： （1）取以轴线为圆心，半径为 r 的圆，回路方向为逆时针 r1 d (B S ) O R
B
0IR ，方向竖直向上。 2( R 2 x 2 )3 2
0IR 2 0IR 2 r 2 2 ， B S BS B r 2 x3 2 x3
I R 图 10-2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x
x R 时， B
3 0 Ir 2 d 3 2 2 4 dx （ 2） i 0IR r x ， x NR 时， i v dt 2 dt 2R2 N 4
i Ek dl E k 2 r
L
dt
r2
b 图 10-8
r R 时： E k 2 r r 2
dB r dB r dI ， E k 0 n ，方向逆时针方向。 dt 2 dt 2 dt r1 dI a 点： E ka 0 n ，电子受力 F e E ka ma1 2 dt ner dI e a1 E ka 大小 a1 0 1 ，方向水平向右。 m 2m dt O 点： E ko 0 ， a2 0
r R 时： E k 2 r R 2
R 2 dB 0 nR 2 dI dB ， E k dt 2r dt 2r dt
b 点： E kb
0 nR 2 dI neR 2 dI e ， a3 E kb ，大小 a3 0 ，方向水平相左。 m 2r2 dt 2r2 dt
10-2 如图 10-2 所示，两个具有相同轴线的导线回路，其平面相互平行。大回路中有电流 I，小的回路在大 的回路上面距离 x 处，x>>R，即 I 在小线圈所围面积上产生的磁场可视为是均匀的。若
率变化， （1）试确定穿过小回路的磁通量Φ和 x 之间的关系； （2）当 x＝NR（N 为一正数） ，求小回 路内的感应电动势大小； （3）若 v＞0，确定小回路中感应电流方向。 解： （1）大回路电流 I 在轴线上 x 处的磁感应强度大小 r
（3）由楞次定律可知，小线圈中感应电流方向与 I 相同。 动生电动势 10-3 一半径为 R 的半圆形导线置于磁感应强度为 B 的均匀磁场中，该导线以 速度 v 沿水平方向向右平动，如图 10-3 所示，分别采用（1）法拉第电磁 感应定律和（2）动生电动势公式求半圆导线中的电动势大小，哪一端电 势高？ 解： （1） 假想半圆导线在宽为 2R 的 U 型导轨上滑动， 设顺时针方向为回路方向， 在x处
B 2l 2 cos 2 t mR
) ， v max
mgR sin 。 B 2 l 2 cos 2
感生电动势 10-7 一长直导线中通有交变电流 I＝5.0sin100πt A，在与其相距 d＝5.0cm 处放有一矩形线圈，共 100 匝， 线圈长 l＝4.0cm，宽 a＝2.0cm，如图 10-7 所示。求 t 时刻： （1）线圈中的磁通链数是多少？（2）线 圈中的感生电动势是多少？ 解： （1）取矩形线圈的回路方向为顺时针方向，在距长直电流为 x 处取宽为 dx 的小面元
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法拉第电磁感应定律 10-1 如图 10-1 所示，一半径 a＝0.10m，电阻 R＝1.0×10 3Ω 的圆形导体回路置于均匀磁场中，磁场方向与 回路面积的法向之间的夹角为π/3，若磁场变化的规律为
B(t ) (3t 2 8t 5) 10 4 T
求： （1）t＝2s 时回路的感应电动势和感应电流； （2）最初 2s 内通过回路截面的电量。 解： （1） B S BS cos
方向
ab
（2）线框总电动势 i 2 1 (
3 2 dB )R 6 4 dt
互感 10-10 一螺绕环横截面的半径为 a，环中心线的半径 R，R>>a，其上由表面绝缘导线均匀地密绕两个线圈， 一个为 N1 匝，另一个为 N2 匝，求两线圈的互感系数。 解：设线圈 1 中通有电流 I1，则螺绕环中的磁感应强度 B 0 n1 I 1 0
0 R2 I 2( R 2 l 2 ) 3 2
A
R r C l 图 10-11
M
0R2 I 0R 2 r 2 BS r 2 I I 2( R 2 l 2 ) 3 2 I 2( R 2 l 2 ) 3 2 NR 2 r 2 BS 02 2 32 I 2( R l )
I d B dS N 0 ldx ， 2 x
I

0 NIl d a dx 0 NIl d a ln 2 d x 2 d
d a
l
7 2 107 100 4 102 ln sin100 t 1.35 10 6 sin100 t Wb 5