高数考前必做试卷：经典考试题(带评分标准)
高等数学考试题目及答案
高等数学考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = x^4 \)D. \( f(x) = \sin(x) \)答案：B2. 极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值是多少？A. 0B. 1C. \(\infty\)D. -1答案：B3. 以下哪个积分是发散的？A. \(\int_0^1 \frac{1}{x^2} dx\)B. \(\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx\)C. \(\int_0^1 \frac{1}{x} dx\)D. \(\int_1^\infty \frac{1}{x} dx\)答案：C4. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是什么？A. \( e^x \)B. \( e^{-x} \)C. \( \ln(e) \)D. \( 1 \)答案：A5. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3}\)答案：C6. 函数 \( y = \ln(x) \) 的二阶导数是什么？A. \( \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{x} \)C. \( -\frac{1}{x} \)D. \( -\frac{1}{x^2} \)答案：A7. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = e^x \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = x^2 \)D. \( f(x) = \ln(x) \)答案：B8. 以下哪个函数是偶函数？A. \( f(x) = x^3 \)B. \( f(x) = x^2 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：D9. 函数 \( y = x^2 \) 的不定积分是什么？A. \( \frac{x^3}{3} \)B. \( \frac{x^2}{2} \)C. \( \frac{x^3}{2} \)D. \( \frac{x^4}{4} \)答案：A10. 以下哪个函数是单调递增的？A. \( f(x) = e^{-x} \)B. \( f(x) = \ln(x) \)C. \( f(x) = -x^2 \)D. \( f(x) = x^3 \)答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 的最小值是 ________。
高等数学试题及答案（考前复习必备）
高等数学试题及答案（考前复习必备）试卷选编高等数学试题一、填空题（每小题１分，共１０分）________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋──────的定义域为_________√１－ｘ2_______________。
２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx 上点（０，１）处的切线方程是______________。
ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h）３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ，则ｌｉｍ─────────────── h→o h＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是____________。
ｘ５．∫─────ｄｘ＝_____________。
１－ｘ4１６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。
x→∞Ｘ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。
_______R √R2－ｘ2８．累次积分∫ｄｘ∫ｆ（Ｘ2 ＋Ｙ2 ）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为____________。
0 0ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程───＋──（───）2 的阶数为____________。
ｄｘ3 ｘｄｘ2∞∞１０．设级数∑ａn发散，则级数∑ａn _______________。
n=1 n=1000二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）（一）每小题１分，共１０分１１．设函数ｆ（ｘ）＝──，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（）ｘ１１１①１－──②１＋──③────④ｘｘｘ１－ｘ１２．ｘ→0 时，ｘｓｉｎ──＋１是（）ｘ①无穷大量②无穷小量③有界变量④无界变量３．下列说法正确的是（）①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）①上升的凸弧②下降的凸弧③上升的凹弧④下降的凹弧５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）①Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数②Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数③Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０ｄｄ④──∫Ｆ（ｘ）ｄｘ＝──∫Ｇ（ｘ）ｄｘｄｘｄｘ1６．∫│ｘ│ｄｘ＝（）-1①０②１③２④３７．方程２ｘ＋３ｙ＝１在空间表示的图形是（）①平行于ｘｏｙ面的平面②平行于ｏｚ轴的平面③过ｏｚ轴的平面④直线ｘ８．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ3 ＋ｙ3 ＋ｘ2 ｙｔｇ──，则ｆ（ｔｘ，ｔｙ）＝（）ｙ①ｔｆ（ｘ，ｙ）②ｔ2ｆ（ｘ，ｙ）１③ｔ3ｆ（ｘ，ｙ）④──ｆ（ｘ，ｙ）ｔ2ａn＋１∞９．设ａn≥０，且ｌｉｍ─────＝ｐ，则级数∑ａn （）n→∞ａ n=1①在ｐ〉１时收敛，ｐ〈１时发散②在ｐ≥１时收敛，ｐ〈１时发散③在ｐ≤１时收敛，ｐ〉１时发散④在ｐ〈１时收敛，ｐ〉１时发散１０．方程ｙ'＋３ｘｙ＝６ｘ2ｙ是（）①一阶线性非齐次微分方程②齐次微分方程③可分离变量的微分方程④二阶微分方程（二）每小题２分，共２０分１１．下列函数中为偶函数的是（）①ｙ＝ｅx ②ｙ＝ｘ3＋１③ｙ＝ｘ3ｃｏｓｘ④ｙ＝ｌｎ│ｘ│１２．设ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）可导，ａ〈ｘ1〈ｘ2〈ｂ，则至少有一点ζ∈（ａ，ｂ）使（）①ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）②ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）③ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｂ－ａ）④ｆ（ｘ2）－ｆ（ｘ1）＝ｆ'（ζ）（ｘ2－ｘ1）１３．设ｆ（X）在 X＝Xo 的左右导数存在且相等是ｆ（X）在 X ＝Xo 可导的（）①充分必要的条件②必要非充分的条件③必要且充分的条件④既非必要又非充分的条件ｄ１４．设２ｆ（ｘ）ｃｏｓｘ＝──［ｆ（ｘ）］2 ，则ｆ（０）＝１，则ｆ（ｘ）＝（）ｄｘ①ｃｏｓｘ②２－ｃｏｓｘ③１＋ｓｉｎｘ④１－ｓｉｎｘ１５．过点（１，２）且切线斜率为４ｘ3 的曲线方程为ｙ＝（）①ｘ4 ②ｘ4＋ｃ③ｘ4＋１④ｘ4－１１ x１６．ｌｉｍ───∫３ｔｇｔ2ｄｔ＝（）x→0 ｘ3 0１①０②１③──④∞３ｘｙ１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ─────＝（）x→0 ｘ2＋ｙ2y→0①０②１③∞④ｓｉｎ１１８．对微分方程ｙ"＝ｆ（ｙ，ｙ'），降阶的方法是（）①设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ'ｄｐ②设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝───ｄｙｄｐ③设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───ｄｙ１ｄｐ④设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝─────ｐｄｙ∞∞１９．设幂级数∑ａnｘn在ｘo（ｘo≠０）收敛，则∑ａnｘn 在│ｘ│〈│ｘo│（）n=o n=o①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与ａn有关ｓｉｎｘ２０．设Ｄ域由ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ2所围成，则∫∫─────ｄσ＝（）D ｘ1 1 ｓｉｎｘ①∫ｄｘ∫─────ｄｙ0 x ｘ__1 √y ｓｉｎｘ②∫ｄｙ∫─────ｄｘ0 y ｘ__1 √x ｓｉｎｘ③∫ｄｘ∫─────ｄｙ0 x ｘ__1 √x ｓｉｎｘ④∫ｄｙ∫─────ｄｘ0 x ｘ三、计算题（每小题５分，共４５分）___________／ｘ－１１．设ｙ＝／──────求ｙ' 。
2020高考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）
2020⾼考数学（理）必刷试题+参考答案+评分标准（55）2020⾼考数学模拟试题（理科）⼀、单项选择题：本题共8⼩題，每⼩题5分，共40分。
在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合題⽬要求的。
1.⼰知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B=A.{x|-l≤x≤2}B. {x|0≤x≤2}C. {x|x≥-l}D. {x|x≥0}2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是A.x∈R, X2-X+1≤0B. x∈R, x2-x+1<0C. x∈R, x2-x+l<0D. x∈R, x2-x+l≤03.若双曲线(a>0,b>0)的离⼼率为，则其渐近线⽅程为A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. x±2y=0D. 2x±y=04.设a=log0.53,b=0.53,c=,则a,b,c的⼤⼩关系为A.aB. aC. bD. b5.为弘扬我国古代的“六艺⽂化”，某夏令营主办单位计划利⽤暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周⼀门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第⼀周，课程“御”不排在最后⼀周，则所有可能的排法种数为A. 216B. 480C. 504D. 6246.函数y=|x|+sinx的部分图象可能是7.若x=α时，函数f(x)=3sinx+4cosx取得最⼩值，则sinα=A. B. C. D.8.函数,若⽅程f(x)=-2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A. (-∞,4)B. (-∞,4]C. (-2,4)D. (-2,4]满意不满意⼆、多项选择题：本題共4⼩题，每⼩题5分，共20分。
在每⼩题给出的选项中，有多项符合題⽬要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.某⼤学为了解学⽣对学校⾷堂服务的满意度，随机调査了50名男⽣和50名⼥⽣，每位学⽣对⾷堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所⽰的列联表.经计算K 2的观测值k ≈4.762，则可以推断出A. 该学校男⽣对⾷堂服务满意的概率的估计值为B. 调研结果显⽰，该学校男⽣⽐⼥⽣对⾷堂服务更满意C. 有95%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异D. 有99%的把握认为男、⼥⽣对该⾷堂服务的评价有差异10. 已知函数f(x)=sin(3x+)(-＜＜)的图象关于直线x=对称，则 A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[，]上单调递増C. 若|f(x 1)-f(x 2)|=2,则|x 1-x 2\的最⼩值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=-cos3x 的图象11. 如图,在正⽅体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则A. 直线BD 1丄平⾯A 1C 1DB. 三棱锥P-A 1C 1D 的体积为定值C. 异⾯直线AP 与A 1D 所成⾓的取值范⽤是[45°,90°]D. 直线C 1P 与平⾯A 1C 1D 所成⾓的正弦值的最⼤值为12. 已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点P(x 1,y 1),G(x 2,y 2)，点P 在l 上的射影为P 1，则 A. 若X 1+X 2=6.则|PQ|=8B. 以PQ 为直径的圆与准线l 相切C. 设M （O,1）,则|PM|+|PP 1|≥D. 过点M （0,1）与抛物线C 有且只有⼀个公共点的直线⾄多有2条三、填空題：本題共4⼩題，每⼩题5分，共20分。
高数考试题和答案
高数考试题和答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2xD. x^2+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：B4. 曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -2D. 2答案：C5. 以下哪个级数是收敛的（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...D. 1 + 2 + 3 + 4 + ...答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
答案：6x7. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是________。
答案：1/38. 函数f(x)=e^x的反函数是________。
答案：ln(x)9. 微分方程dy/dx = 2x的通解是________。
答案：y = x^2 + C10. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^x。
解：lim(x→∞) [(x+1)/(x-1)]^x = lim(x→∞) [(1+2/(x-1))]^x = e^212. 求函数f(x)=x^2-4x+3的极值点。
解：f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0，得x = 2。
检查二阶导数f''(x) = 2，因为f''(2) > 0，所以x = 2是极小值点。
高数考试题及答案
高数考试题及答案第一题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求函数f(x)的导函数f'(x)。
解析：导函数f'(x)表示函数f(x)在某一点的斜率或变化率。
根据导函数定义，可以通过对函数f(x)进行求导来得到导函数f'(x)。
对函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1进行求导，应用幂函数求导法则得到：f'(x) = 6x^2 - 6x + 4答案：函数f(x)的导函数f'(x)为6x^2 - 6x + 4。
第二题：已知函数f(x) = sin(2x)，求函数f(x)的极值点及极值。
解析：函数的极值点即导函数为零的点，可以通过求导并解方程来找到极值点。
对函数f(x) = sin(2x)进行求导得到：f'(x) = 2cos(2x)将f'(x) = 0带入方程2cos(2x) = 0，解得cos(2x) = 0。
由cos(2x)的周期性可知，cos(2x) = 0的解为：2x = π/2 + kπ，其中k为整数x = (π/4 + kπ/2)，其中k为整数接下来对找到的极值点进行二阶导数测试，即求二阶导数f''(x)：f''(x) = -4sin(2x)当x = π/4 + kπ/2时，代入二阶导数f''(x)进行判断，得到：f''(π/4 + kπ/2) = -4sin(2(π/4 + kπ/2))由sin函数的性质可知，sin(2(π/4 + kπ/2)) = sin(π/2 + kπ) = 1，故：f''(π/4 + kπ/2) = -4由于二阶导数f''(x)的值恒为负数，说明此时的极值点为极大值点。
综上所述，函数f(x) = sin(2x)的极值点为x = (π/4 + kπ/2)，其中k为整数，极大值为f(π/4 + kπ/2) = 1。
大学高数必考试题及答案
大学高数必考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数不存在答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项不是微分方程：A. dy/dx = yB. d^2y/dx^2 + y = 0C. ∫y dx = x^2 + CD. dy/dx + y = x答案：C4. 若级数∑(1/n^2)收敛，则下列级数中也收敛的是：A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^3)C. ∑(1/n^1.5)D. ∑(1/n^0.5)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=______。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为______。
答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为______。
答案：xln(x)-x+C4. 微分方程dy/dx+2y=x的通解为______。
答案：y=(1/3)e^(-2x)(x+Ce^(2x))三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。
答案：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。
在区间[1,3]上，f'(x)在x=2处由负变正，因此x=2是极小值点，f(2)=3-4+3=2。
检查端点值，f(1)=1^2-4+3=0，f(3)=3^2-4*3+3=0。
因此，最小值为0，最大值为2。
2. 求由曲线y=x^2与直线x=1和x轴所围成的面积。
答案：由曲线y=x^2，直线x=1和x轴围成的面积可以通过积分求得。
积分区间为[0,1]，被积函数为y=x^2。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (63)
2020高考数学模拟试题（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0} 2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣114．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣16808．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．189．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+] 11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．412．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合，则A∩B＝（）A．{x|﹣3≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣3≤x＜1}D．{x|﹣1≤x≤0}【解答】解：解一元二次不等式x2+2x﹣3≤0得：﹣3≤x≤1，即A＝{x|﹣3≤x≤1}，解根式不等式＜2得：0≤x＜4，即B＝{x|0≤x＜4}，即A∩B＝，故选：B．2．设复数z＝，则|z|＝（）A．B．C．D．【解答】解：z＝＝＝＝﹣﹣i，则|z|＝＝＝＝，故选：D．3．在等差数列{a n}中，若a3＝5，S4＝24，则a9＝（）A．﹣5B．﹣7C．﹣9D．﹣11【解答】解：数列{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a3＝5，S4＝24，∴a1+2d＝5，4a1+d＝24，联立解得a1＝9，d＝﹣2，则a9＝9﹣2×8＝﹣7．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），且a＝（）α，b＝，c＝logα，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点（3，5），∴3α＝5，∴α＝log35∈（1，2），∴0＜a＝（）α＜1，b＝＞1，c＝logα＜logα1＝0，∴c＜a＜b．故选：A．5．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A．该市总有15000 户低收入家庭B．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800 户C．在该市无业人员中，低收入家庭有4350 户D．在该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有800 户【解答】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%，则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A正确；该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B正确；该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C正确；该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D错误．故选：D．6．平面内不共线的三点O，A，B，满足||＝1，||＝2，点C为线段AB的中点，若||＝，则∠AOB＝（）A．B．C．D．【解答】解：延长OC到E，使得CE＝OC＝，连AE，BE，则四边形OAEB为平行四边形，∴BE＝1，∴cos∠OBE＝＝，∴∠OBE＝，∴∠AOB＝π﹣∠OBE＝π﹣＝．故选：C．7．（1+2x﹣）8的展开式中x2y2项的系数是（）A．420B．﹣420C．1680D．﹣1680【解答】解：（1+2x﹣）8的展表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，故其中有2个因式取2x，有2个因式取﹣，其余的4个因式都取1，可得含x2y2的项．故展开式中x2y2项的系数是•22•••＝420，故选：A．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍薨．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（）A．B．C．27D．18【解答】解：原图为正四棱台，两底的长分别为2和6，高为2，该刍薨的体积为，故选：B．9．函数f（x）＝6|sin x|﹣的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除C，f（π）＝1﹣＜0，排除B，f（）＝6﹣≈6﹣＞4，排除D，故选：A．10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）}，设点（x，y）∈A，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[﹣2﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，2+]D．[﹣4，2+]【解答】解：如图，作直线x+2y＝0，当直线上移与圆x2+（y﹣1）2＝1相切时，z＝x+2y 取最大值，此时，圆心（0，1）到直线z＝x+2y的距离等于1，即，解得z的最大值为：2+，当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+2y取最小值，同理，即z的最小值为：﹣2，所以z∈．故选：C．11．关于函数f（x）＝|cos x|+cos|2x|有下列四个结论：①f（x）是偶函数；②π是f（x）的最小正周期；③f（x）在[π，π]上单调递增；④f（x）的值域为[﹣2，2]．上述结论中，正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：f（x）＝|cos x|+cos|2x|＝|cos x|+2cos2|x|﹣1，由cos|x|＝cos x，可得f（x）＝|cos x|+2cos2x﹣1＝2|cos x|2+|cos x|﹣1，由f（﹣x）＝2|cos（﹣x）|2+|cos（﹣x）|﹣1＝f（x），则f（x）为偶函数，故①正确；可令t＝|cos x|，可得g（t）＝2t2+t﹣1，由y＝|cos x|的最小正周期π，可得f（x）的最小正周期为π，故②正确；由y＝cos x在[﹣，0]递增，在[0，]递减，可得f（x）在[，π]递增，在[π，]递减，故③错误；由t∈[0，1]，g（t）＝2（t+）2﹣，可得g（t）在[0，1]递增，则g（t）的值域为[﹣1，2]，故④错误．故选：B．12．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推，若该数列前n项和N 满足：①N＞80②N是2的整数次幂，则满足条件的最小的n为（）A．21B．91C．95D．101【解答】解：依题意，因为N满足条件①N＞80②N是2的整数次幂，所以S n＝N＝2k，（k∈N*，且k≥7）如图：第m行各项的和为2m﹣1，前m行之和＝（21﹣1）+（22﹣1）+……+（2m﹣1）＝（2+22+23+……+2m）﹣m＝2m+1﹣m﹣2，设满足条件的n在第m+1行，则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1，故N＝2m+1，则m+2＝1+2+4+……+2s，则满足条件的m的最小值为13，且N为第14行的第4项．所以n＝+4＝95．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．椭圆＝1的离心率是．【解答】解：由椭圆的标准方程可知，a＝2，b＝，∴c＝＝1∴e＝＝．故答案为：．14．设某总体是由编号为01，02，……，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为06．1818 0792 4544 1716 5809 7983 8617第1行6206 7650 0310 5523 6405 0526 6238第2行【解答】解：由题意依次选取的样本编号为：18，07，17，16，09，（17重复，舍去）06；所以选出来的第6个个体编号为06．故答案为：06．15．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：2，则实数a的值为．【解答】解：抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，可得直线AF的方程为y＝1﹣x，设M（x1，y1），N（﹣，y2），可得y2＝1﹣•（﹣）＝2，由|FM|：|MN|＝1：2，可得＝，可得y1＝，代入直线方程可得x1＝，代入抛物线方程可得＝a•，可得a＝．故答案为：．16．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB＝3，则△SED面积的最小值为．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每道试题考试必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a﹣b）2＝c2﹣ab．（1）求角C；（2）若4c cos（A+）+b sin C＝0，且a＝1，求△ABC的面积．【解答】（1）由（a﹣b）2＝c2﹣ab，得a2+b2﹣c2＝ab，所以由余弦定理，得，又因为C∈（0，π），所以；（2）由，得，得﹣4c sin A+b sin C＝0，由正弦定理，得4ca＝bc．因为c≠0，所以4a＝b，又因a＝1，所以b＝4，所以△ABC的面积．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC＝BC，AB＝2BC，D为线段AB上一点，且AD＝3DB，PD⊥平面ABC，PA与平面ABC所成的角为45°．（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；（2）求二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵AC＝BC，AB＝2BC，∴，∴AB2＝AC2+BC2，∴AC⊥BC，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠CAB＝30°，设BD＝1，由AD＝3BD，得AD＝3，BC＝2，AC＝2，在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AD2+AC2﹣2AD•AC cos30°＝3，∴CD＝，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AD，∵PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，又PD∩AD＝D，∴CD⊥平面PAB，又CD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．（2）解：∵PD⊥平面ABC，∴PA与平面ABC所成角为∠PAD，即∠PAD＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，PD＝AD，由（1）得PD＝AD＝3，以D为坐标原点，分别以DC，DB，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（，0，0），A（0，﹣3，0），P（0，0，3），＝（0，﹣3，﹣3），＝（），则＝＝（0，0，3）是平面ACD的一个法向量，设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，1），设二面角P﹣AC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角P﹣AC﹣D的平面角的余弦值为．19．已知椭圆C：+y2＝1，不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）若线段MN的中点坐标为（1，），求直线l的方程；（2）若直线l过点P（p，0），点Q（q，0）满足k QM+k QN＝0，求pq的值．【解答】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式相减，可得，①由题意可知x1+x2＝2，y1+y2＝1，代入①可得直线MN的斜率k＝＝﹣，所以直线MN的方程y﹣＝﹣（x﹣1），即x+2y﹣2＝0，所以直线MN的方程x+2y﹣2＝0；（2）由题意可知设直线MN的方程y＝k（x﹣p），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得（1+4k2）x2﹣8k2px+4k2p2﹣4＝0，则x1+x2＝，，x1x2＝，由k QM+k QN＝0，则+＝0，即y1（x2﹣q）+y2（x1﹣q）＝0，∴k（x1﹣p）（x2﹣q）+k（x2﹣p）（x1﹣q）＝0，化简得2x1x2﹣（p+q）（x1+x2）+2pq ＝0，∴﹣﹣+2pq＝0，化简得：2pq﹣8＝0，∴pq＝4．20．某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为x A x B x C x D，家长猜测的序号依次为y A y B y C y D，其中x A x B x C x D和y A y B y C y D都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（x A﹣y A）2+（x B﹣y B）2+（x C﹣y C）2+（x D﹣y D）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．【解答】解：（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为x A，x B，x C，x D为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序x A，x B，x C，x D为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究y A y B y C y D的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820 P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．21．已知函数f（x）＝ln（ax+b）﹣x（a，b∈R，ab≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≤0恒成立，求e a（b﹣1）的最大值．【解答】解：（1）①当a＞0时，则f（x）的定义域为（﹣，+∞），＝，由f′（x）＝0，得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣，1﹣）单调递增，在（1﹣，+∞）单调递减，②当a＜0时，则f（x）的定义域为（﹣∞，﹣），由f′（x）＝0得x＝1﹣＞﹣，所以f（x）在（﹣∞，﹣）单调递减，（也可由符合函数单调性得出）．（2）由（1）知：当a＜0时，取x0＜且x0＜0时，f（x0）＞ln（a×+b）﹣x0＞0，与题意不合，当a＞0时，f（x）max＝f（1﹣）＝lna﹣1+≤0，即b﹣1≤a﹣alna﹣1，所以e a（b﹣1）≤（a﹣alna﹣1）e a，令h（x）＝（x﹣xlnx﹣1）e x，则h′（x）＝（x﹣xlnx﹣lnx﹣1）e x，令u（x）＝x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则u′（x）＝﹣lnx﹣，则u″（x）＝，u′（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．则u′（x）max＝u′（1）＜0，从而u（x）在（0，+∞）单调递减，又因为u（1）＝0．所以当x∈（0，1）时，u（x）＞0，即h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，u（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以h（x）max＝h（1）＝0．四、（二）选考题：请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1．（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到m，进一步转换为．直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）＝1，转换为直角坐标方程为．（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数．（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，当且仅当x＝y＝z时取等号．又∵0＜xy＜1，∴，∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；（2）∵＝，∴．∵，，，当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，∴，∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．。
数学高级考试试题及答案
数学高级考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 0.5B. √2C. 3D. 0.33333...答案：B2. 已知函数f(x) = 3x^2 - 5x + 2，求f(1)的值。
A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是等比数列？A. 1, 2, 3, 4B. 1, 3, 9, 27C. 2, 4, 6, 8D. 1, 2, 4, 8答案：B4. 计算下列积分：∫(2x^3 - 5x^2 + 3)dxA. x^4 - 2x^3 + 3x + CB. x^4 - 5x^3 + 3x^2 + CC. 2x^4 - 5x^3 + 3x^2 + CD. 2x^4 - 10x^3 + 12x^2 + C答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的首项a1 = 3，公差d = 2，求第5项a5的值。
答案：132. 计算复数z = 3 + 4i的模。
答案：53. 求函数y = x^3 - 3x + 1的导数。
答案：3x^2 - 34. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标。
答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的极值点。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3, 3。
通过二阶导数测试或一阶导数改变符号，可得x = 1/3为极大值点，x = 3为极小值点。
2. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
答案：(x-2)(x-3) = 0，解得x = 2, 3。
3. 已知一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，求斜边长。
答案：根据勾股定理，斜边长c = √(3^2 + 4^2) = 5。
4. 计算定积分：∫(0到π) sin(x)dx。
答案：[-cos(x)](0到π) = -cos(π) - (-cos(0)) = 2。
高数极限必做150题及答案
极限必做150解答033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nxx x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→⎡⎤+-+⎣⎦==-+++⎛⎫---+=+++=+++= ⎪⎝⎭)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭+⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n nn a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++⎝⎭+-→∞+-+-+-→→→=⎝⎭====⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⎛ ⎪+⎝⎭====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a bn n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤++--⎢⎥⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=+-+⎛⎫== ⎪⎝⎭令同第二题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++⎡⎤=+-++-++⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=++=-+=-=⎢⎥+++⎣⎦)00010110112lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan cos()sin()244424.lim26.lim tan()427.lim sin x x x x xx xx x xxx x x x x x x x xe ee eex e e x ππππππ→→→→→→→--→---------→+=====⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x xx x x xxxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞⎛⎫-+-+⎛⎫- ⎪ ⎪ +-+-⎝⎭⎝⎭+======⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞⎪-→∞⎛⎫⎪+⎝⎭→∞-→=+⎛⎫⎪-⎝⎭=+=+-=22lim cos1lim()221cos cos sinlim limtancos()cos0002232.lim coscos33.limcosln()ln()2ln134.lim35.limx xx a x axxx xxx ax ax a xaa x a axxe e exae e ex x x x xx xππ→+∞→+∞→→→+∞⎡⎤⎫-⎢⎪⎥-⎭⎣⎦-→----→→+===⎛⎫⎪⎝⎭===++--+同第二题-[]00011211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim1ln(sec tan)36.limsinln(1sin)cos ln(1sin)ln coslim lim lim137.lim()lim(axax axaxaxx x xxx x xx xxxxbexb b e abee abx x ex xxx x x xx x xx a ax a a∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=22122111(ln ln) 0005111)lim()ln lim ln ln1(1)138.lim111lim explim explim1(1)139.lim5x xx xx xxxx x x x x xxa bx xx x xxxxx a a ax x x xxaxbxa xb a b a b aexb x xb x x bex-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++⎛⎫+⎪+⎝⎭⎛⎫----===-== ⎪++⎝⎭-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a xa a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα⎛⎫+< ⎪⎝⎭=+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-<⇒+<⇒+<=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减 所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=⇒=⇒=--+-+⇒=⇒=--=⇒====→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：1212()im1lim1()~()lim1lim 1()lim11111,,1,224k x x k x x kx f x g x Ax x f x g x Axk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞-=⇒==-=→∞=⇒=⇒===--==-所以k+4。
2020高考数学(理)必刷试题+参考答案+评分标准 (6)
2020高考数学模拟试题（理科）一．选择题：（本大题共10小题，每小题4分,共40分.）1.若2')1(2)(x xf x f +=，则(0)f '等于（ ）A. 2B.0C.-4D.-22.若,a b R ∈，则复数22(610)(45)a a b b i -++-+-在复平面上对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.设某中学的女生体重y （单位:kg ）与身高x （单位cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,...)i i x y i n =用最小二乘法建立回归方程为ˆ0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（）A. 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本的中心(,)x yC.若该中学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某女生身高增加160cm ，则可断定其体重必为50.29 kg4.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A. 2y x =-B. y x =-C. 2y x =D. y x = 5.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设A 表示事件“4个人去的景点不相同”，B 表示事件“小赵独自去一个景点”，则(/)P A B （） A.29 B. 13 C. 49 D. 596.设P 是60°的二面角α—l —β内一点，PA ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 分别为垂足，PA ＝4，PB ＝2，则AB 的长是( )A ．2 3B ．2 5C ．27D ．4 2 7.数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。
现从中任意选取6人分成两组分配到A,B 两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是（） A. 220 B.440 C. 255 D.5108.函数x x x x f cos sin )(+=的导函数原点处的部分图象大致为 ( )9.若X 是离散型随机变量，12()3P X x ==，21()3P X x ==，又已知4()3E X =，2()9D X =，则12x x -的值为（ ） A ．53 B ．23C ．3D ．110.已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是（） A. (]0,1B. (],1-∞C.(],e -∞ D.[),e +∞二．多项选择题（本小题共3小题，满分12分）11.已知函数()f x 与()fx '的图象如图所示，则函数()xf x y e=（ ） A ．在区间(1,2)-上是减函数 B ．在区间31(,)22-上是减函数C. 在区间1(,3)2上是增函数 D ．在区间(1,1)-上是减函数12. 对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时，()f x 的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.下列函数为2倍值函数的是（ ）A.2()f x x = B.32()22f x x x x =++ C.()ln f x x x =+ D.()x x f x e=13.如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将ABM ∆沿直线AM 翻折成1AB M ∆，连接B 1D ，N 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是( ) A.存在某个位置，使得CN ⊥AB 1；B.翻折过程中，CN 的长是定值； C.若AB=BM ，则AM ⊥B 1D ；D.若AB=BM=1，当三棱锥B 1-AMD 的体积最大时，三棱锥B 1-AMD 的外接球的表面积是4π.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）14. 己知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x << .15.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则=m . 1237a a a a ++++L = .16.点P 是棱长为1的正方体1111D C B A ABCD - 的底面ABCD 上一点，则 →→⋅1PC PA 的取值范围是 .17.设函数()f x 是定义在()0,+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()2f x xf x x '+>，则不等式()()()220182018420x f x f --->的解集为 .三、解答题 （共82分)18.（本题 12 分）已知复数Z 满足23Z i Z i -=++（其中i 为虚数单位） (1)求Z ； (2)若2a iZ+为纯虚数，求实数a 的值。
大学高等数学试卷9(含答案与评分标准,结构规整可直接考试)
高等数学一、 单项选择题（20分）1． 下列级数中条件收敛的是（ ）A 、∑∞=+-11)1(n nn n B 、∑∞=-11)1(n n n C 、∑∞=-121)1(n n n D 、∑∞=11n n 2．⎰⎰≤++42222y x yx d eσ的值为（ ）A 、)1(24-e πB 、)1(24-e πC 、)1(4-e πD 、4e π3．若000=∂∂==y y x x xf ，000=∂∂==y y x x yf ，则在点),(00y x 处函数),(y x f 是（ ）A 、连续；B 、不连续；C 、可微；D 、都不定。
4．函数223333y x y x Z --+=的极小值点（ ） B 、)0,0(； B 、)2,2(； C 、)2,0(； D 、)0,2(。
5．曲线积分⎰+cds y x )(22，其中c 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分面积是（ ）A 、22a π；B 、3a π；C 、32a π；D 、24a π。
二、 填空题（20分）1．二元函数),(y x f z =在点),(y x 的全微分存在的充分条件是 。
2．)23(9124223+=+'-''x ey y y x 的特解*y 可设作*y = 。
3．设)sin ,,(y x ye x f z=μ，则du = 。
4．若)(x f 在],[ππ-上满足狄里赫条件，则∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a=⎪⎩⎪⎨⎧±=πx x f x x ___,__________)(___,_____________,__________的间断点为为连续点 5．在xoy 平面上,则由曲线2x y =与24x y -=所围成区域的面积为 。
三、（12分）已知)(x f y =所表示的曲线与直线x y =相切于原点，且满足),(sin 2)(x f x x f ''-=-求)(x f 。
高数考试试题及答案
高数考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数为：A. 2B. -2C. 3D. -3答案：A2. 曲线y=x^2在点(2,4)处的切线斜率为：A. 4B. 2C. 1D. 0答案：A3. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. ∞答案：B4. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，其在x=2处的极值是：A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 无法确定5. 函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴有两个交点，则c的取值范围是：A. c>0B. c<0C. c>4D. c<4答案：D6. 函数y=x^3-3x^2+4x-1的单调递增区间是：A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 1)∪(2, +∞)D. (1, 2)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-6x+8的最小值为______。
答案：22. 曲线y=x^3-3x^2+2的拐点坐标为______。
答案：(1, -2)3. 设f(x)=ln(x+√(1+x^2))，则f'(x)=______。
答案：1/(√(1+x^2)+x)4. 若函数f(x)=x^3+2x^2-5x+1，则f''(x)=______。
答案：6x+4三、解答题（每题10分，共50分）1. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
2. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：单调递增区间为(2, +∞)，单调递减区间为(-∞, 2)3. 求曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线方程。
答案：y=-2x+14. 求函数f(x)=x^2-4x+c的图像与x轴交点的坐标。
答案：交点坐标为(2±√(4-c), 0)5. 求函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
高中数学必考试题及答案
高中数学必考试题及答案1. 函数的单调性若函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上单调递增，则下列哪个选项是正确的？A. 该函数在(-∞, +∞)上单调递减B. 该函数在(-∞, +∞)上单调递增C. 该函数在(-∞, +∞)上先递减后递增D. 该函数在(-∞, +∞)上先递增后递减答案：B2. 几何概率一个圆的半径为r，圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于半径的一半的概率是多少？A. 1/2B. 1/4C. 1/3D. 1/5答案：B3. 等比数列的求和等比数列{a_n}的首项为a_1=2，公比为q=2，求前5项的和S_5。
A. 62B. 30C. 32D. 63答案：C4. 直线与圆的位置关系已知直线l的方程为y=x-1，圆C的方程为(x-2)^2 + (y-2)^2 = 1，求直线l与圆C的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 三角函数的化简求值已知sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cos(π/2 - θ)的值。
A. 3/5B. 4/5C. -3/5D. -4/5答案：B6. 导数的几何意义函数f(x) = x^2 - 4x + 3的导数f'(x)在x=2处的值为多少？A. -4B. 0C. 4D. 2答案：B7. 复数的运算已知复数z = 1 + 2i，求z的共轭复数的值。
A. 1 - 2iB. -1 + 2iC. -1 - 2iD. 1 + 2i答案：A8. 排列组合从5个不同的元素中取出3个元素进行排列，有多少种不同的排列方式？A. 60B. 120C. 10D. 20答案：A9. 立体几何一个正四面体的棱长为a，求其外接球的半径。
A. a/√2B. a/√3C. a/2D. a/√6答案：B10. 统计与概率在一次射击比赛中，甲、乙、丙三人射击的命中率分别为0.7、0.6、0.5。
如果三人独立射击，至少有两人命中的概率是多少？A. 0.71B. 0.69C. 0.65D. 0.59 答案：C。
高等数学试卷参考答案及评分标准
共3页第1页高数试卷（A ）参考答案及评分标准一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1.曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-；2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A ；4.设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰ 的值是2-；5.设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =；6.二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7.设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sx y z S ++⎰⎰的值是44R π；8.设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二.计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z z x x y∂∂∂∂∂.解12z f f x ϕ∂=+∂，（3分）21111222()z f x f x f f x yϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂（4分）11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.共3页第2页解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰（1+1+3+2分）12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰.解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰（3+2+3分）13.（本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 25241812d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（1+1+2+2+1分）三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程.解设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --=（1），（2分）又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++=（2）（2分）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==--（2分）四（15）。
高数考试题库及答案解析
高数考试题库及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,4]上的最大值是：A. 0B. 3C. 6D. 7答案：D解析：首先求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=3/2。
在区间[1,4]上，f'(x)在x<3/2时为负，x>3/2时为正，说明f(x)在x=3/2处取得极小值。
计算f(3/2)=-1/4，再计算区间端点f(1)=0和f(4)=6，可知最大值为f(4)=6。
2. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)的表达式为：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)答案：A解析：根据导数的运算法则，f'(x)=[sin(x)]'+[cos(x)]'=cos(x)-sin(x)。
二、填空题1. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(2,0)处的切线斜率为______。
答案：-12解析：首先求导y'=3x^2-12x+9，将x=2代入y'得到切线斜率为-12。
2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为______。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3](0,1) = 1/3。
三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的单调增区间为(1,3)，单调减区间为(-∞,1)和(3,+∞)。
解析：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0解得x=1,3。
根据导数符号变化，可得单调区间。
2. 求曲线y=x^2-4x+3与直线y=2x平行的切线方程。
答案：切线方程为：x-y-1=0。
解析：曲线y=x^2-4x+3的导数为y'=2x-4，令y'=2得到x=3，此时切点坐标为(3,2)。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为多少？A. 0B. 1C. 1D. 3答案：A2. 设 $ f(x) = e^x $，则 $ f''(x) $ 等于多少？A. $ e^x $B. $ e^x + x $C. $ e^x x $D. $ e^x + 2 $答案：A3. 设 $ y = \ln(x + 1) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \frac{1}{x + 1} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ \frac{1}{x 1} $D. $ \frac{1}{x + 2} $答案：A4. 设 $ y = x^2 $，则 $ y'' $ 等于多少？A. 2B. 4D. 1答案：B5. 设 $ y = \sin(x) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \cos(x) $B. $ \cos(x) $C. $ \tan(x) $D. $ \tan(x) $答案：A二、填空题1. 设函数 $ f(x) = x^4 2x^3 + x^2 $，则 $ f'(x) $ 的表达式为______。
答案：$ 4x^3 6x^2 + 2x $2. 设 $ y = \ln(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{x} $3. 设 $ y = e^x $，则 $ y'' $ 的表达式为______。
答案：$ e^x $4. 设 $ y = \cos(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \sin(x) $5. 设 $ y = \sqrt{x} $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
高数考试试题及答案
高数考试试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 2C. 4D. 32. 微分方程\( y'' - y' - 6y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 - 6 = 0 \)C.\( r^2 + r - 6 = 0 \) D. \( r^2 + 6 = 0 \)3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1 \)，则\( f(0) \)的值是：A. 0B. 1C. 无法确定D. 无穷大4. 曲线\( y = x^3 \)在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 3B. 1C. 0D. -35. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的原函数是：A. \( x^2 \)B. \( x^3 \)C. \( e^x \)D. \( x \ln(x) - x \)6. 定积分\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{4} \)C.\( \frac{1}{2} \) D. 17. 无穷级数\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)的和是：A. \( \frac{\pi^2}{6} \)B. \( \frac{\pi^2}{4} \)C.\( e \) D. \( \ln(2) \)8. 若\( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)，则级数\( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \)：A. 一定收敛B. 一定发散C. 可能收敛也可能发散D. 无法判断9. 函数\( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi/4 \)10. 函数\( f(x) = x^3 - 3x \)的极值点是：A. \( x = 1 \)B. \( x = -1 \)C. \( x = 0 \)D.\( x = \pm 1 \)二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数\( g(x) = 3x - 5 \)的反函数是 \( g^{-1}(x) = ______ \)。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
高等数学经典考试试题及参考答案
高等数学班级 学号 姓名 得分一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．00limx y →→=【 】(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) ∞2．若函数(,)z f x y =具有连续偏导数，则曲面(,)z f x y =在点(,,(,))x y f x y 处的切平面的法向量为【 】(A)(,,1)x y f f - (B)(,,1)x y f f (C)(,,0)x y f f (D)(1,,)x y f f - 3．设D 是由2y x =与28y x =-所围成的闭区域，则2d d Dx y x y =⎰⎰【 】(A) 2422d d x x y y -⎰⎰ (B) 222822d d x xx x y y -⎰⎰(C)22228d d xxx x y y -⎰⎰(D) 04．已知(,)f x y 为连续函数，则22221lim(,)d d x y f x y x y ρρπρ→+≤=⎰⎰【 】(A) 0 (B) (0,0)f (C) ∞ (D) 15．设级数1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑【 】(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6．下列级数中，收敛的是【 】(A)111ln(1)n nn∞=+∑(B)1!3nn n ∞=∑(C) 121nn n n ∞=-⎛⎫⎪⎝⎭∑ (D) 11(1)nn n n∞=+-∑二、填空题（每小题3分，共18分） 7．设()(2)z x y x y =+-，则(2,1)d z = ．8．改换二次积分的积分次序，得 120d (,)d x x f x y y ⎰⎰＝ ．9．2222221()d x y z x y z v ++≤++=⎰⎰⎰．10．设L 是圆周221x y +=的逆时针方向，则2(2)d (3)d Lx y y x x x y +++=⎰．11．设L 是连接(0,1)及(1,0)两点的直线段，则()d Lx y s +=⎰ ．12．将()arctan f x x =展开为x 的幂级数，得()f x = ， 且 (2007)(0)f= ．三、计算与应用题（每小题6分，共54分）13．设 22(,,)u f x y z x y z ==-+，求：⑴ 点(1,1,1)处的梯度gra d (1,1,1)f ；⑵ 点(1,1,1)处沿方向(3,0,4)l =的方向导数．14．设 22(,)z f x y x y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求22z x∂∂．15．在曲面1xyz =的第一卦限部分上求一点，使这点到原点的距离最短． 16．计算22[cos()2]d [2cos()2]d Lx y y x y x y x y +++++⎰，其中 L ：sin y x = 从 0x = 到 x π=．17．求 d z S ∑⎰⎰，其中∑是锥面z =含在柱面 22(1)1x y -+=内部的部分．18．求幂级数 1121n nn xn -∞=+∑ 的收敛域．19．将函数 ()f x x = (0)x π≤≤ 展开为正弦级数．20．求(2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中 ∑ 是曲面 22z x y =+ (01)z ≤≤的上侧．21．计算 2m ax {,}d d Dx y x y ⎰⎰，其中 D ：11,02x y -≤≤≤≤．四、证明题（每小题5分，共10分）22．设 2(32)x z f y z -=-，其中f 是可导函数，证明：623z z xy∂∂+=∂∂．23．设级数1n n u ∞=∑条件收敛，且 1limn n nu l u +→∞=（l 是常数），指出 ||l 的值， 并证明 你的结论．参 考 答 案一、单项选择题（每小题3分，共18分）1．C 2. A 3. D 4. B 5. A 6. A 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 3d 6d x y - 8.212d (,)d y y f x y x ⎰⎰ 9.45π10. 2π11. 12.21(1)21nn n xn ∞+=-+∑，2006!-三、计算与应用题（每小题6分，共54分）13．（1）gra d (1,1,1)f (2,2,1)=- ； （2）214．122z y f xf x∂''=+∂ ；22221112222244z f y f xyf x f x∂'''''''=+++∂ 15． 令 222(1)F x y z xyz λ=+++-01x y z F F F xyz '=⎧⎪'=⎪⎨'=⎪⎪=⎩得 1x y z ===，所求点为（1，1，1）16．与路径无关17．原式d xyD x y =2cos 2202d d πθπθρρ-=⎰9=18． 121lim222nn n n n ρ-→∞+=⋅=+ ， 收敛半径 12R =当12x =时，原级数为112(1)n n ∞=+∑，发散当12x =-时，原级数为1(1)2(1)nn n ∞=-+∑，收敛故原级数的收敛域为 [12-，12）19．将()f x 奇延拓、周期延拓，使延拓后的函数是(,)-∞+∞上以2T π=为周期的奇函数12(1)()s i n 2n n b f x n x d x nππ+-==⋅⎰，11(1)()2sin n n f x nx n+∞=-=⋅∑(0)x π≤< 20．设Σ1： 221(1)z x y =+≤ 上侧1(2)d d d d (2)d d d d x z y z z x y x z y z z x y∑∑+++++⎰⎰3d v Ω=⎰⎰⎰22113d d d z πρθρρ=⎰⎰⎰32π=1(2)d d d d x z y z z x y ∑++=⎰π1(2)d d d d 2x z y z z x y ∑∴++=⎰π21．221122211m ax {,}d d d d d d x xDx y x y x x x x y x --=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰215=22．122z x f ∂='∂- ，322f z yf '-∂='∂-623z z xy∂∂+=∂∂23．||1l =若||1l >，则1nn u∞=∑发散，与1n n u ∞=∑条件收敛矛盾；若||1l <，则1||n n u ∞=∑收敛，与1n n u ∞=∑条件收敛矛盾．。
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高等数学（下）考试试题及评分标准
1、填空题(每题4分,共16分)
1.(4分) 级数收敛的必要条件是 .
2. (4分) 交换二次积分的次序= .
3. (4分) 微分方程的一个特解形式可以设为 .
4. (4分) 在极坐标系下的面积元素 .
2、选择题(每题4分,共16分)
1. (4分) 已知曲面上点处的切平面平行于平面,则点的坐标是 ( ).
A. (1,-1,2);
B. (-1,1,2);
C. (1,1,2);
D. (-1,-1,2).
2. (4分) 级数为（）.
A.绝对收敛;
B. 条件收敛;
C.发散;
D. 收敛性不确定.
3. (4分) 若是锥面被平面与所截下的部分,则曲面积分( ).
A. ;
B. ;
C. ;
D. .
4. (4分) 幂级数的收敛半径为( ).
A. B. C. D.
3、解答题(每题7分,共63分)
1．(7分) 设求.
2．(7分) 计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
3．(7分) 求,其中是平面被圆柱面截出的有限部分.
4．(7分) 求幂级数的收敛域.
5．(7分) 将展开为麦克劳林级数.
6．(7分) 求曲线积分,其中为上从到的上半圆周.
7．(7分) 求微分方程在初始条件下的特解.
8．(7分) 求曲面积分 ,其中为曲面的内侧.
9．(7分) 计算曲线积分,其中是以,为顶点的三角形折线.
四、(5分) 试确定参数的值,使得在不含直线上点的区域上,曲线积分
与路径无关，其中是该区域上一条光滑曲线，并求出当从到时的值.
评分标准
1、1. 2.
3.;
4.
2、1. C; 2. A; 3.D. 4.D.
3、1.解 3 分
3 分
7分
2.解 3 分
5分
6分
7分
3.解 1分
2分
4分
6分
7分
4. 解 2分
当时收敛4分
当时发散6分
收敛域为. 7分
5.解 2分
3分
5分
6分
7分
6.解, 1分
3分
由格林公式得6分
7分
7.解3分
4分
5分
将代入上式得 6分
所求特解为7分
8.解利用高斯公式得
4分
6分
7分
9.解
2分
4分
6分
7分
4、解 1分
2分
令可得
因为所以3分
因曲线积分与路径无关,故取从点经点到点的折线积分4分
5分。