三次B样条曲线PPT课件
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三次周期B样条曲线的算法
lt;1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
（2）的矩阵的形式：p0 = pN, pN+1 = p1.
4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 1 p1 p2 . . . pN-1 pN Q1 Q2 . . . QN-1 QN
=6
1 4 1 1 4
（3）的矩阵的形式：p0 = p1, pN+1 = pN.
6 -6 1 4 1 1 4 1 1 4 1 … 1 4 1 6 -6 p0 p1 p2 . . . pN pN+1 0 Q1 Q2 . . . QN-1 QN 0
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
B样条曲线专题知识省公共课一等奖全国赛课获奖课件
/10/10
第10页10
B-样条曲线定义
t n 1个控制点 Pi
n i0
及参数节点向量Tn,k
nk
i i0 (ti ti1)
确定如下的k阶（k 1次）B样条曲线：
n
P(t) Pi Ni,k (t)，t [tk1, tn1] 共n-k+2段 i0
B-样条曲线示例
/10/10
第11页11
1阶B-样条基函数
其它
Ni,k (t)在区间ti ,tik 上有定义，称后者为前者的支撑区间。
/10/10
第20页20
3阶B-样条基函数图形
Ni,3 (t)
Ni,3 (t)的图形
/10/10
第21页21
3阶B样条曲线示例
/10/10
t2
T=[t0,t1,…,tn+1,tn+2,tn+3]
tn1
第22页22
知其然，知其所以然…
此时：Tn,4 {0,1,..., n 4}
1 t [i ,i 1)
Ni,1(t) 0
其它
根据如下的基函数递推公式计算Ni,4 (t)：
Ni,k
(t)
t k
i 1
N i ,k 1 (t )
i
k
k 1
t
N i 1,k 1 (t )，i
0,1,..., n
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第33页33
三次均匀B样条曲线（3）
• 顶点数
• 定义区间
• 段数
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第24页 24
B-样条基函数性质
• 局部性 • 权性 • 连续性
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第25页25
B-样条基函数局部性
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次B样条曲线ppt课件
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
10
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
11
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
12
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
13
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
P
0,3(0)
P
0,3(1)
P"0,
3
(0)
1 2 ( P2 P0 ),
1 2
( P3
P1 ),
P2 2P1 P0
,
P"0,3 (1) P3 2P2 P1,
数字图像处理
29
三次B样条曲线
三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢
P1
P2
P0
P3
数字图像处理
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
16
2.3 B 样条曲线的性质
1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修
28
三次B样条曲线
性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
三次周期B样条曲线的算法
1/6
=
-1
MB
MB = 1/6
-1 3 -3 1 3 -6 3 0 =1/6 -3 0 3 0 1 4 1 0
P(u) = 1/6(u3 u2 u 1)
-1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 0 3 0 1 4 1 0
p0 p1 p2 p3
P(u) = p0(1-u)3/6 + p1(3u3-6u2+4)/6+ p2(-3u3+3u2+3u+1)/6 +p3u3/6 = p0B0,3(u) + p1B1,3(u) + p2B2,3(u) + p3B3,3(u) -1 3 -3 1 3 -6 3 0 -3 0 3 0 p0 p1 p2 p3 p0 p1 p2 p3
三次周期B样条曲线的算法
• 另一种方法: 0 ≤ u<1和四个控制点p0,p1,p2和p3. 设P(u)是一个三次周期B样条,满足条件: P(0) = (p0 + 4p1 + p2)/6, P(1) = (p1 + 4p2 + p3)/6, P′(0) = (p2 – p0)/2, P′(1) = (p3 – p1)/2. P(0) P(1) P′(0) P′(1) 1 0 =1/6 -3 0 4 1 0 -3 1 4 3 0 0 1 0 3 p0 p1 p2 p3
P′(u) = 1/6(3u2 2u 1)
-1 3 -3 1 = ½ (u2 u 1) 2 -4 2 0 -1 0 1 0
P′′(u) = (u 1) -1 3 -3 1 1 -2 1 0
p0 p1 p2 p3
三次B样条的性质
• C2连续性 记 Pk(u)为对应于控制点pk, pk+1,pk+2 和pk+3. Pk(1) = (pk + 4pk+1 + pk+2)/6 = Pk+1(0)，这是连续性 Pk′(1) = ½ (pk+3 – pk+1) = Pk+1′(0)，这是C1连续性 Pk′′(1) = pk+1 -2pk+2 +pk+3 = Pk+1′′(0)，这是C2连续性
三次样条曲线PPT课件
第17页/共43页
• Charles Hermite（1822－ 1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。 1858年利用椭圆函数首先得 出五次方程的解。1873年证 明了自然对数的底e的超越性。 在现代数学各分支中以他姓氏
f (x) 再用
计算插值，即
y* f (x*).
y y* • • 1
y0 •
• •
x0 x1 x*
xn
第8页/共43页
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
第9页/共43页
两种插值方式的图例
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
45Leabharlann 三次样条插值第10页/共43页
1.2 样 条 函 数 的 工程背 景
• Charles Hermite（1822－ 1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
• 在函数论、高等代数、微分方 程等方面都有重要发现。 1858年利用椭圆函数首先得 出五次方程的解。1873年证 明了自然对数的底e的超越性。 在现代数学各分支中以他姓氏
f (x) 再用
计算插值，即
y* f (x*).
y y* • • 1
y0 •
• •
x0 x1 x*
xn
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几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
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两种插值方式的图例
1
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0.6
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n=10
0.4
0.3
0.2
0.1
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-4
-2
0
2
4
6
分段线性插值
1
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0.8
0.7
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0.4
0.3
0.2
0.1
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-1
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1.2 样 条 函 数 的 工程背 景
B样条曲线图片版
B样条曲线的性质
7. 连续阶性：
曲线在重数为 m 的节点处，连续阶能达到k-1-m 。
连续阶=次数-重数 整条曲线的连续阶能达到次数-重数的最大值
B样条曲线的性质
8. 退化性：
节点矢量中两端节点具有重数k，所rnstein基。 B样条曲线用分段Bezier曲线表示后，各曲线段就具有了相对的独 立性，移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状。例 如:T=(0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2)
控制顶点是唯一一组
B样条曲线的性质
2. 凸包性：
k 阶P(t)在区间(ti, ti+1) , k-1<=i<=n 上的部分位于k个点Pi-k+1…,Pi的 凸包内，整条曲线则位于各凸包Ci的并集之内。
每3个控制顶点构成一个凸包
B样条曲线的性质
3. 局部性
k 阶B样条曲线上参数为
的一点P(t)至多与k个控制顶点
B样条曲线的类型
3. 非均匀B样条曲线
任意分布的节点矢量 T=[t0,t1,…,tn+k]，只要在数学上成立（节点序 列非递减，两端节点重复度≤k，内节点重复度≤k-1）都可选取。 例如:T=(0,0,2,2,3,5,8,11,16)
B样条曲线的性质
1. 表示唯一性：
给定节点向量、给定控制顶点的k阶B样条曲线表示唯一。
区间 的一个分割 :ax0 x1 xn b
节点
定义于分割上的函数 g(x)满足两条件： k次样条函数
Ø 在[xi,xi1]上， g(x)是x的 k次多项式
Ø g(x)Ck1[a,b]
g(x)在区间 上有直到 k-1阶的连续导数
节点序列上定义的满足一定的连续性的分段函数 连续阶最高
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
讲 B样条曲线曲面 NURBS曲线曲面PPT课件
三次Hermite曲线---弗格森 了解内容
a 0 0 0 11 Pk
C
b
1
c 0
d
3
1 0 2
1 1 1
1
Pk
1
0 0
Rk Rk 1
Mh是Hermite矩阵。
。 Gh是Hermite几何矢量
2 2 1 1 Pk
3
0
1
3 0 0
2 1 0
1
0
0
Pk
1
Rk Rk 1
局部性质。 局变差减小性质。 凸包性。 在仿射与透射变换下的不变性。 在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。
13
第13页/共33页
NURBS曲线---性质
如果某个权因子为零，那么相应控制顶点对曲线没有影响。
若
，则当
时，非有理与有理Bezier曲线和非
有理B样条曲线是NURBS曲线的特殊情况
i
P67-68
8
第8页/共33页
NURBS曲线曲面
NURBS方法的主要优点
既为标准解析形状(初等曲线曲面)，又为自由型曲线 曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。
修改控制顶点和权因子，为各种形状设计提供了充分 的灵活性。
具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。 对几何变换和投影变换具有不变性。 非有理B样条、有理与非有理Bezier方法是其特例。
7
第7页/共33页
NURBS曲线曲面
B样条曲线、Bezier曲线都不能精确表示出抛物 线外的二次曲线，B样条曲面、Bezier曲面都 不能精确表示出抛物面外的二次曲面，而只能 给出近似表示。
提出NURBS方法，即非均匀有理B样条方法主要 是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方 法既相统一、又能精确表示二次曲线弧与二次 曲面的数学方法。
4.4三次样条插值(共70张PPT)
解 做差商表(P111),由于是等距离(jùlí)节点,
hi xi xi1 0.15 i 1,2,3,4
i
hi hi1 hi
1 2
,
i
hi1 hi1 hi
1 2
第二十六页，共七十页。
由第二类边界条件得
2 1
M0 5.86667
0.5
2
0.5
M
1
5.14260
0.5
x1 6
] f
[
xi
1
,
xi
,
xi
1
]
（i 1,2,..., n 1）
M
n
1
2Mn
6
f [xn1, xn , xn ]
第二十二页，共七十页。
三次(sān cì)样条插值
第二类边界条件 s'' (x0 ) f '' (x0 ) M 0 , s'' (xn ) f '' (xn ) M n 同理可得
yi xi
yi1 xi1
2 (6 Mi
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6
M
i 1
)( xi
xi1)
记hi xi xi1
i
hi hi1 hi
则法方程为其中xedx1008731273130873127313169030903平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
B样条曲线曲面解析课件
2 局部性：样条函数的定义区间是几段；移动控制点 Pi，曲线影响区间是什么；某一段曲线有几个控制点 定义；移动曲线上一点，曲线的哪些区间变化；
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
两端插值的标准节点矢量是什么；
2 de Boor求值算法推导：
n
j
P(t) Pi Ni,k (t) Pi Ni,k (t)
i0
i jk 1
i
j
j k
图3.1.28 B样条曲线的deBoor算
法的几何意义
3.3.4 节点插入算法
通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部 性质，提高B样条曲线的形状控制的灵活性，可 以实现对曲线的分割等。
插入一个节点
在定义域某个节点区间 ti ,ti1 内插入一个节点t，得到
新的节点矢量：
T 1
重新编号成为
Pj1 Pj ,
Pj1 (1 j )Pj1 j Pj ,
Pj1 Pj1,
j 0,1,,i k 1 j i k 2,,i r j i r 1,, n 1
j
t tj t jk 1 t j
r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。
Pik 1 Pik 2 Pik 3
de Boor-Cox递推定义
1 Ni,1(t) 0
ti x ti1 Otherwise
Ni,k (t)
t ti tik 1 ti
Ni,k1(t)
tik t tik ti1
Ni1,k 1(t)
并约定
0 0
0
t0, t1 ,, tk1, tk ,, tn , tn1,, tnk , t 几1 个问n题k
i0
t [tk1, tn1]
Ni,k (t)
k 1 tik 1 ti
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
7.非均匀三次B样条曲线z
31
决定红色的曲线需要用到哪几个节点？
N2,3 (u) N1,3 (u) N0,3 (u) N3,3 (u)
32
N2,3 (u) N1,3 (u) N0,3 (u) N3,3 (u)
33
ri (u ) N i ,3 (u ))Vi
i 0
3
u [0,1]
上述表达式中的基函数总共与哪些节 点相关呢？
10
N i ,k (u ) : {ui , , ui k 1}
问题: 给出节点节点矢量[u0 , u1,, un ,, un k 1 ] 总共可以决定多少个k次B样条基函数呢?
11
讲授提纲
• 复习 (均匀三次B样条曲线和B样条基函数）
• 非均匀B样条曲线的表达形式(重点)
• B样条曲线的插值 • B样条曲线构造的Matlab程序实现
36
r (u ) Vi N i ,k (u ) 其节点矢量 有一条k次B样条曲线：
i 0
n
是U=[u0,u1,…,um-1,um]。试解答如下问题： (1)用n和k表示m； (2)写出该曲线的定义域 (2) 如果k=3，n充分大，当改动控制顶点V2时， 有几段曲线的形状会发生变化？分别写出这 几段曲线的控制顶点和定义域。 (3) 如果k=3，n=5，在节点矢量除u0=u1=u2=u3 外再无其它重节点，请绘出该曲线的草图， 并在曲线段之间用黑点隔开。 37
编写B样条基函数
• function a=N03(u) • a=(1-u)*(1-u)*(1-u)/6
• function a=N13(u) • a=(3*u*u*u-6*u*u+4)/6
40
V1
P0
V2
P1
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如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
数字图像处理
2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
数字图像处理
1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
数字图像处理
1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
数字图像处理
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
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2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
数字图像处理
1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
数字图像处理
1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
数字图像处理
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。