三次B样条曲线PPT课件
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(3)满足插值条件yi =S(xi),i=0，1，…，n.
数字图像处理
1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
数字图像处理
2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。
如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
数字图像处理
1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
数字图像处理
2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
Leabharlann Baidu
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
数字图像处理
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，
数字图像处理
1.3 二次样条函数
设定区间〔a,b〕上一个分割Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值二次样条函数，如
果满足下列条件：
(1)在每个小区间
x i
1 2
,
x i
1 2
i 0,1,...,n 内，S(x)是二次
数字图像处理
2. B 样条曲线
以Bernstein基函数构造的Bezier曲 线或曲面有许多优越性，但有两点不足：其一 是Bezier曲线或曲面不能作局部修改，控制多 边形的一个顶点发生了变化，整条Bezier曲线 的形状便发生变化；其二是Bezier曲线或曲面 的拼接比较复杂。因此，1972年，Gordon、 Riesenfeld等人提出了B样条方法，在保留 Bezier方法全部优点的同时，克服了Bezier方 法的弱点。
如果满足下列条件:
(1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分
是三次多项式函数；
(2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
S (k ) ( xi 0) S (k ) ( xi 0), k 0,1,2,
即小区间上的三次多项式函数，在拼接点处xi 具有二
阶连续拼接。
➢ 如左图所示，六个
时修改某一局部的形状带来了很大的方控便制顶。点控制的三
次B样条曲线由三
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
2.3 B 样条曲线的性
质➢ 1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1
个
顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一
个
控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线
曲线和曲面
1. 样条函数的概念
➢ 1.1: 一般样条函数的定义 ➢ 1.3: 二次样条函数 ➢ 1.2: 三次样条函数
2. B 样条曲线
➢ 2.1: B样条曲线的定义 ➢ 2.5: 三次B样条曲线
➢ 2.2: B样条曲线基函数性 ➢ 2.6: 二、三次B样条曲线的
质
应用
➢ 2.3: B样条曲线的性质 ➢ 2.7: 非均匀B样条曲线
始， 就具有广泛而又深刻的实用背景，因此，样条函数及其 参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计 的基础。
数字图像处理
1.1 一般样条函数的定义
给定一组平面上顶点 (xi,yi) (i=0，1，…，n)， 并设在区间[a,b]上的Δ：a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,那么在 〔a,b〕上的一个函数 S(x) 称为K阶连续样条函数，如果它
➢ 2.4: 二次B样条曲线
数字图像处理
1. 样条函数概念
➢ 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg在 1946年首先提出的，他定义了一种B样条函数。尽管有 10年的时间未受到重视，但从60年代开始，随着电子 计算机技术的飞速发展和数据拟合以及函数逼近在生产 实验中的广泛应用，样条函数的理论和应用已迅速发展 成了一门成熟的学科。由于样条(Spline)函数发展的开
所组成的多边形称为B样条曲线的特征多边形。
其中，基函数 Gi,n (t) 定义为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
二次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
这也就是S(xy)i 在 整S(个xi )区i间 0[,a1,..b.n]上具有K阶连续。
若S(x)满足
，则称S(x)为插值样条函
数。
数字图像处理
1.2 三次样条函 数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b,
在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数，
数字图像处理
2.1 B 样条曲线的定义
给定m+n+1个平面或空间顶点 Pi (i=0，1，…，m+n)， 称n次参数曲线段 ：
n
Pk,n (t) PikGi,n (t), i0
t [0,1]
为第k段n次B样条曲线段 (k=0，1，…，m)，这些曲线段
的全体称为n次B样条曲线，其顶点Pi(i=0，1，…，n+m)
多项式函数，这里，
x
i
1
2
xi1 xi 2
(i 1,2,...,n), x1 2
x0 , xn1 2
xn ,称为半节点；
(2)在半节点
x i
1
(i=1，2，…，n)处成立
2
S
(k
)
(
x i
1
0)
S
(k
)
(
x i
1
0),
k 0,1,
2
2
(3)满足插值条件yi S ( xi ), i 0,1,..., n.
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
Leabharlann Baidu
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
➢ B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
(1)
j
Cnj1 (t
3）对称性：G当i,n (t)
1 n
(i
时1 ，t )Gi ,n1 (t )
1 n
(n
i
t )Gi 1,n 1 (t )
4）递推性：t [0,1],i 0,1,...,n; n 1
数字图像处理
B 样条曲线的基函 数
一次B 样条曲线的基函数
二次B 样条数曲字线图像的处基理函数
B 样条曲线的基函数
n
i
j)n
t [0,1], i 0,1,...,n
具有如下性质：
1）有界正性：当t [0,1] 0 Gi,n (t) 1, (i 0,1,..., n)
时，
n
Gi,n (t) 1, t [0,1]
i0
2）权性： t即[0,1] Gi,n (t) Gni,n (1 t), (i 0,1,..., n)
满足下面两个条件：
(1)在每个小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内，S(x) 是具有K阶或K阶以上连续函数。
(2)在xSi((ki)=(x1i，20，) …S，(k) n(x-i1)处0),成立 k 0,1,..., K ,
即S(x)在拼接点处xi(i＝1，2，…，n-1)也具有K阶连续，