数学分析课后习题答案21.1

设 T 为 D 的任一分割,将 D 分成 n 个可求面积的小区域 σ 1 , σ 2 , σ n ,易知在每个小区
域 σ i 内必同时含有 D 内有理点和非有理点,从而
M i = sup f ( x, y ) = 1 , mi = inf f ( x, y ) = 0 .
( x , y )∈s i
1． 把重积分
∫∫ xydσ 作为积分和的极限，计算这个积分值，其中 D = [0,1]× [0,1] ，并用直
D
i i 线网 x = , y = (i, j = 1,2, n − 1) 分割这个正方形为许多小正方形，每个小正方形 n n
取右上顶点作为其节点. 解
n n i j 1 = lim ⋅ ⋅ 2 xyd σ ∑∑ ∫∫ n →∞ n n n i j = = 1 1 D
ds 的值. 2 2 x + y ≤100 100 + cos x + cos y
∫∫
解 由于 f ( x, y ) =
1 在 D = {( x, y ) | x + y ≤ 10}上连续，据中值定理 100 + cos x + cos 2 y
2
知：存在 (ξ ,η ) ∈ D 使得 I =
∆∆ ， DD 为 D 的面积。 100 + cos 2 ξ + cos 2 η
( x , y )∈σ i
S (T ) = ∑ M i ∆σ i = ∑ ∆σ i = 1 , s (T ) = ∑ mi ∆s i = 0 .
i =1 i =1 i =1
n
n
n
由 T 的任意性知: lim S (T ) = 1 ≠ 0 = lim s (T ) .故函数 f ( x, y ) 在 D 上不可积.
n n i =1 i =1
从而 L ⊂ ∪ ∆ i ， 记 ∆ = ∪ ∆i ， 则 ∆ 为一多边形， 设 ∆ 的面积为 W， Li ⊂ ∆ i (i = 1,2, , n) ， 那么
l l W ≤ nε 2 = ([ ] + 1)ε 2 ≤ ( + 1)ε 2 = (l + ε )ε ，
ε
ε
因此 L 的面积 WL ≤ W ≤ (l + ε )ε 。
T →0 T →0
7．证明：若 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续， g ( x, y ) 在 D 上可积且不变号，则存在一点
(ξ ,η ) ∈ D ，使得 ∫∫ f ( x, y ) g ( x, y )dσ = f (x ,η ) ∫∫ g ( x, y )dσ .
D D
证
不妨设 g ( x, y ) ≥ 0 (( x, y ) ∈ D ) .令 M , m 分别是 f 在 D 上的最大、最小值.从而
从而
100 DD DD ，因此 ≤ I ≤ 2。 ≤I≤ 51 102 100
9 证明：若平面曲线 x = ϕ (t ), ψ = ψ (t ), α ≤ t ≤ 的导数） ，则此曲线的面积为零。 证 由条件，该平面曲线 L 的长度
β 光滑（即 ϕ (t ),ψ (t ) 在 [α , β ] 上具有连续
D D
≤M
由介值性定理，存在 (ξ ,η ) ∈ D ，使得 f (x ,η ) =
∫∫ f ( x, y) g ( x, y)dxdy ∫∫ g ( x, y)dxdy
D
故
∫∫ f ( x, y) g ( x, y)dxdy =
D
f (x ,η ) ∫∫ g ( x, y )dxdy .
D
8．应用中值定理估计积分 I =
'
'
∫∫ f ( x, y)dσ > 0 ,与已知 ∫∫ f ( x, y)dσ = 0 矛盾.故必在 D 上 f ( x, y) ≡ 0
D D'
6．设 D = [0,1]× [0,1] ,证明函数 f ( x, y ) = 在 D 上不可积. 证
1, ( x, y )为D内有理点（即皆为有理数） 0, ( x, y ) D内非有理点
l=∫
β
α
ϕ / (t ) + ψ / (t )dt
l
i
2
2
为有限值。对 ∀ε > 0 ，将 L 分成 n = [ ] + 1 段： L1 ， L2 ， , Ln ，在每段 Li 上取一点 P ，
ε
使 Pi 与 其 一 端 点 的 弧 长 为
l ， 以 Pi 为 中 心 作 边 长 为 ε 的 正 方 形 ∆ i ， 则 2n
∑
k =1
n
f ( p k )∆σ k 都满足 ∑ f ( p k )∆σ k − I < 1 . (2)
k =1
n
特别,当 T < δ 时,以上作出的积分和也满足(2),这于它也满足(1)矛盾.因此 f ( x, y ) 在 D 上有 界 3．证明二重积分中值定理 (性质 7). 性质 7(中值定理) 若 f 为闭域 D 上连续函数,则存在 (ξ ,η ) ∈ D ,使得
∫∫ f ( x, y)dσ =
D
f (x ,η )DD .
证
根据定理 16.8, f 在 D 上一定存在最大值 M 与最小值 m..因此,对 D 中一切点有
m ≤ f ≤ m .由性质 4 知: m ⋅ DD ≤ ∫∫ f ( x, y )dσ ≤ M ⋅ DD ,即
D
m≤
1 f ( x, y )dσ ≤ M . DD ∫∫ D
知: ∃η > 0 使得 f ( P ) > δ
2
, ∀P ∈ D1 ( D1 = U ( P0 ,η ) ∩ D ) .又因 f ( x, y ) ≥ 0 且连续，所以
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f ( x, y)dσ + ∫∫ f ( x, y)dσ ≥ 2 ⋅ ∆∆
∆ ∆1 ∆ − ∆1
再由定理 16.10 知:存在 (ξ ,η ) ∈ D ,使得
∫∫ f ( x, y)dσ =
D
f (x ,η )DD
4．若 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上的非负连续函数,且在 D 上不恒为零,则 证
∫∫ f ( x, y)dσ > 0
D
由题设存在 P0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D使得f ( P0 ) > 0. 令 δ = f ( P0 ) ,则由连续函数的局部保号性
由 ε 的任意性有 W L = 0 ，即曲线 L 的面积为零。
m ∫∫ g ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ f ( x, y ) g ( x, y )dxdy ≤ M ∫∫ g ( x, y )dxdy
D D D
若
∫∫ g ( x, y)dxdy ≠ 0 ，则必大于零，于是 m ≤
D
∫∫ f ( x, y) g ( x, y)dxdy
D
∫∫ g ( x, y)dxdy
d
1
>0
故
∫∫
D
f ( x, y )dσ > 0
/
5．若 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，且在 D 上连续，且在 D 内任一个区域 D ⊂ D 上有
∫∫ f ( x, y)dσ = 0 ，则在 D 上 f ( x, y) ≡ 0 .
D'
证：假设存在 p 0 ( x 0 , y 0 ) ∈ D ，使得 f ( p 0 ) ≠ 0 .不妨设 f ( p 0 ) > 0 。由连续函数的保号性 知 ： ∃η > 0 ， 使 得 对 一 切 p ∈ D ( D = D ∩ (U ( p 0 ,η )), 有 f ( p 0 ) > 0 , 由 上 题 知
D
f ( pi ) >
I +1+ G ∆σ k
.从而
∑ f ( p )∆σ
i =1 i i
n
i
=
∑ f ( p )∆σ
i≠k i
i
f ( p k )∆σ k −
∑ f ( p )∆σ
Hale Waihona Puke Baidui≠k i
> I +1
(1)
另一方面,由于 f 在 D 上可积知:存在 δ > 0 ,对于任一 D 的分割 T = {σ 1 , σ 2 , σ n } , 当 T < δ 时,T 的任一积分和
1 n 2 (n + 1) 2 1 = lim 4 ⋅ = n →∞ n 4 4
2． 证明：若函数 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上可积，则 f ( x, y ) 在 D 上有界. 证 假设 f 在 D 上可积，但在 D 上无界，那么，对 D 的任一分割 T = {σ 1 , σ 2 , σ n } ， f
必 在 某 个 小 区 域
σ k 上 无 界 . 当 i ≠ k 时 , 任 取 pi ∈ σ k , 令
f 在 σ k 上 无 界 , 从 而 存 在 pi ∈ σ k 使 得
+ f ( p k )∆σ k ≥
G=
∑ f ( p )σ
i≠k i
i
, I =
∫∫ f ( x, y)dxdy . 由 于