湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛参考答案.doc
参考答案：一、1、解：选（A ） 提示：由)(1x fy -=-，得f （y ）=-x ，故y=-f （x ）是)(1x fy -=-的反函数，即-f （x ）=f （-x ），由此可见y=f （x ）是奇函数， 2、解：选（C ），提示：如图，从而b ＜0，2a+b ＜0，2a-b ＞0。
又f （0）=c ＜0，故a-c ＞0，进而M-N=|a-b+c|+|2a+b|-|a+b+c|-|2a-b|=（a-b+c ）+（a+b+c ）-（2a+b ）-（2a+b ）-（2a-b ）=-2（a-c ）＜0 ∴M ＜N 3、解：选（B ），提示：由如下四图可推得4、解：选（A ），提示：左边= SinAcosA+sinAcosB+cosAsinB+sinBcosB=21（Sin2A+sin2B ）+sin （A+B ）=sin （A+B ）cos （A-B ）+sin （A+B ） 右边=2sin[180o-（A+B ）]=2sin （A+B ）故有sin （A+B ）cos （A-B ）+sin （A+B ）=2sin （A+B ） 即sin （A+B ）[cos （A+B ）-A]=0而sin （A+B ）＞0，故cos （A-B ）=1，故A=B 又取A=B=30O ，C=120O 代入条件式，知满足条件。
故△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形。
5、6、解：选（D ），提示：设椭圆另一个焦点为F （x ，y ），由于A 、B 为椭圆上的点，由椭圆定义知|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，则|BF|-|AF|=|AC|-|BC|，由|AC|=15，|BC|=13，得|BF|-|AF|=2，故点F 的轨迹为双曲线的一部分。
二、7、解：8个，提示：X 一定包含1，2，3这三个元素，而4，5，6三个数可属于X ，也可不属于X ，每一个数有2种可能，故所求的不同的X 共有23=8个。
8、解：a ＞0，提示：必要性，若a a x x a x f -+-=||)(22为奇函数，则a0（若不然，则f （x ）的定义域为空集），且由aa x x a a a x x a -+--=-+--||||2222 可得 .0,2||||φa a a x a x ∴=-++充分性，若a ＞0，则f （x ）的定义域为],0()0,[a a ⋃-，这时xx a x f 22)(-=，显然f （-x ）=-f （x ），f （x ）为奇函数。
2014年湖南省高中数学竞赛真题及答案解析(A卷)word
2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题 Word版含答案
2017年湖南省高中数学联合竞赛试题一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,2,,2017X =L ，集合(){,,,,S x y z x y z X =∈，且三条件x y z <<，y z x <<，z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈，且(),,z w x S ∈，则下列选项正确的是（ ）A ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈且(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉且(),,x y w S ∉2．已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥，与棱1AA 交于D ，若122AA AB ==，则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A ．48 B ．24 C ．16 D ．123．已知椭圆C ：22184x y +=.对于任意实数k ，椭圆C 被下列直线中所截得弦长，与被直线l ：1y kx =+所截得的弦长不可能相等的是（ ）A ．0kx y k ++=B ．10kx y --=C ．0kx y k +-=D ．20kx y +-=4．对任意正整数n 与k （k n ≤），用(),f n k 表示不超过n k⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数的个数（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则()100,3f =（ ） A ．11 B ．13 C ．14 D ．195．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆则是钝角三角形 D ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆则是锐角三角形6．将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列{}n a ：5，9，14，20，…，为“梯形数列”。
2011年湖南省高中数学竞赛试卷B卷及答案.doc
2011年湖南省高中数学竞赛试卷B 卷及答案注意事项：1、首先填写所在县（市）学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写10小题，每小题6分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、2()(1)()(0)(),()21x F x f x x f x f x =+≠-是偶函数,且不恒等于零则 （ C ） A 、是偶函数 B 、不是奇函数也不是偶函数C 、是奇函数D 、可能是奇函数也可能是偶函数2、假设x 、y 都是正数并且成反比，若x 增加了a% ，则y 减少了 ( D )00000000100100()()()()1100100a a a A B C D a a a a+++3、若方程x =k 的取值范围是 ( C )()0A k ≤≤≥111 (B)k< (C)0k< (D)k 4444、函数()||2f x x x x =-+的图象与轴的交点个数为 （ B ） A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 16、若集合M={1，3，a},N={a 2,1}且M ∪N={1，3，a}，那么满足条件的a 的值为 ( D )()A ±± 0 (B) 1 (C) 07、若3log 1,5aa <则的取值范围是 ( D ) 3333()115555A a a k k a <<><<<<> (B) (C)0 (D)0或8、当13,()26x f x x x c ≤≤=-+时函数的值域为 （ A ）[][]32()(),(3)(1),()(1),(3),(3)23A f f f f f f c f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (B) (C) (D)9、设f （x ）是(,),(2)(),(),f x f x x f x x -∞+∞+=-≤≤=上的奇函数且当01时,(7.5)f =则 ( C ) ()A 1.5 (B) 0.5 (C) -0.5 (D) -1.510、如果3,||3||0,x y x y x y x x y +=+=+和是非零实数使得和那么等于（ B ）()A二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分，请将正确答案填在横线上）11、已知()(1,0),3,0M N l -两点到直线的距离分别为1和3,则满足条件的直线的条数是 6 12、若p 是质数，且方程24440x px p +-=的两个实根均为整数，则p 的值为 3713、()f x =函数 [-1,5]14、已知2221,x y +=2则z=3x+2y 的最大值和最小值分别为 三、 解答题（本大题共5小题，每小题66分，解答要求有必要的过程）15、（本小题满分12分）对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若① 30xy z w a b c === ② 1111xyzw++=试求a b c ++的值。
2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]
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2021年湖南省高中数学竞赛B卷试题与答案[1]2021年湖南省高中数学竞赛b卷试题与答案一、多项选择题（本主题共有8个子题，每个子题得7分，共56分。
在每个子题给出的四个选项中，只有有一项是符合题目要求的。
）1、已知集M？？xx？3n，n？ZQxx？3n？1，n？ZPxx？3n？1，n？Z还有一个？m、 b？q、c？p、 d？A.Bc、然后呢？？ad?m，bd?p，cd?q，d以上都不对。
2、有一个长方体的箱子，它的十二条棱长之和是140，并且从箱子的一角到最远的一角的距离是21，那么这个箱子的总表面积是（）a776、b784、c798、d800.3、一个三角形的三边恰为m2?m?1,2m?1,m2?1,则这个三角形的最大角为?a?2.3.5.b、公元33462224年。
如果实数x，y满足？十、2?+? Y5?= 那么9岁？十、1?+? Y1.的最大值是？a2、b4、c8、d64.5、你会喜欢我吗？F十、在cosx的图像向右移动一个单位后，围绕x轴进行对称变换，4得到函数y？cos2x的图像，然后是f？十、会吗？？asinx、bcosx、c2sinx、d2cosx。
6.程序框图如图所示。
程序运行后的k输出值为（）A3、B4、C5、D6。
7.开始k＝0?已知f?x?=a-23是r上奇函数，则方程fx=的根为2x?15315a2，b,c，d。
523?s＝0否s＜100？是已知向量ob＝?2,0?，向量oc＝?2,2?，向量ca＝2cos?,2sin?，则向量oa与向量ob的夹角的范围是??8、S=S+SS输出KK=K+1 5.A.0B？4.412?? 5.5.CD122?? 1212?1结束二。
填空（这个大问题有6个小问题，每个小问题7分，总共42分。
请在横线上填写正确答案。
）9.设定顺序？一的通称是an=2n-7？NN然后呢？a2a15？___;。
10、已知方程x?ax?1有一个负根而没有正根，则实数a的取值范围是＿＿＿。
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案
年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。
2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。
3、解题书写不要超出装订线。
4、不能使用计算器。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。
）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。
二00八年湖南省高中数学竞赛试题 参考答案及评分标准
二00八年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）1.解：集合B A ⊗的元素：0021=⨯=z ，16822=⨯=z ，0003=⨯=z ，0804=⨯=z ，故集合B A ⊗的所有元素之和为16. 选A .2. 解: 设{}n a 的公比为q ，则81241253===a a q ，进而21=q . 所以，数列{}1+n n a a 是以821=a a 为首项，以412=q 为公比的等比数列. ()n n n n a a a a a a -+-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++41332411411813221. 显然，33281322121<+⋅⋅⋅++≤=+n n a a a a a a a a . 选C . 3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为24335=种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此类的方法数为60223513=⋅⋅A C C 种；第2类，一场馆去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数为90241513=⋅⋅C C C 种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为81502439060=+=P .选D . ４． 解：设a OA =，b OB =，则b x 表示与-示点A 到直线OB 上任一点C 的距离AC，而表示点A 到B 的距离. 当()b a b -⊥时，.OB AB ⊥由点与直线之间垂直距离最短知，AB AC ≥，即对一切R x ∈，不等式-≥-恒成立．反之，如果AB AC ≥恒成立，则()AB AC ≥min ，故AB 必为点A 到OB 的垂直距离，AC OB ⊥，即()-⊥. 选C .5．解：用2-x 代替4)2()2(=-++x f x f 中的x ，得4)4()(=-+x f x f .如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(4x f y -=-，即点()y x ,关于点()2,2的对称点()y x --4,4也在)(x f y =的图象上.反之亦然，故①是真命题.用2-x 代替)2()2(x f x f -=+中的x ，得)4()(x f x f -=.如果点()y x ,在)(x f y =的图象上，则)4(x f y -=，即点()y x ,关于点2=x 的对称点()y x ,4-也在)(x f y =的图象上，故②是真命题.由②是真命题，不难推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.6. 解：假设AB 、CD 相交于点N ，则AB 、CD 共面，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，而过圆的弦CD 的中点N 的弦AB 的长度显然有CD AB ≥，所以②是错的．容易证明，当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心两侧时，MN 最大为５，故③对．当以AB 为直径的圆面与以CD 为直径的圆面平行且在球心同侧时，MN 最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．7. 解：因为00002818036052008++⨯=，所以，0)28sin(sin )28sin sin(00<-=-=a ；0)28sin(cos )28cos sin(00<-=-=b ； 0)28cos(sin )28sin cos(00>=-=c ；0)28cos(cos )28cos cos(00>=-=d ． 又0028cos 28sin <，故.c d a b <<<故选B.8. 解：由()()101311463)(323++++=+++=x x x x x x f ，令y y y g 3)(3+=，则)(y g 为奇函数且单调递增.而()()110131)(3=++++=a a a f ,()()1910131)(3=++++=b b b f , 所以9)1(-=+a g ,9)1(=+b g ,9)1(-=--b g ,从而)1()1(--=+b g a g , 即11--=+b a ,故2-=+b a .选D.二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）9． 解：由条件得 9631-+-=-+-y x y x ①当9≥y 时，①化为661-=+-x x ，无解；当3≤y 时，①化为661-+=-x x ，无解；当93≤≤y 时，①化为16122---=-x x y ②若1≤x ，则5.8=y ，线段长度为１；若61≤≤x ，则5.9=+y x ，线段长度为25；若6≥x ，则5.3=y ，线段长度为４．综上可知，点C 的轨迹的构成的线段长度之和为()1254251+=++．填()125+．10. 解:P 优于P '，即P 位于P '的左上方，“不存在Ω中的其它点优于Q ”，即“点Q 的左上方不存在Ω中的点”.故满足条件的点的集合为(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且.填(){}00,2008|,22≥≤=+y x y x y x 且． 11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程150=++r t s ①的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为.2152C下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能有一个数超过100，不妨设100>s .将方程①化为49)101(=++-r t s记101-='s s ，则方程49=++'r t s 的自然数解的组数为.251C因此，150x 的系数为7651251132152=-C C C .填7651.12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为21，底面面积为833=S . 又因为体积为89，所以高为3.该球的直径为()23122=+，球的体积ππ34343==R V .填π34. 13.解：第一行染2个黑格有24C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定.因此，共有染法为()9024616=⨯++⨯种.填90.14.解：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=5251)(k k k f ，则 )(5251521511525515)5(k f k k k k k k k f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+ 故)(k f 是周期为5的函数.计算可知：0)2(=f ；0)3(=f ；0)4(=f ；0)5(=f ；1)6(=f . 所以， )2008(5120072008f x x -+=；)2007(5120062007f x x -+=；…；)2(5112f x x -+=. 以上各式叠加，得[])2008()3()2(5200712008f f f x x +⋅⋅⋅++-+=[]{})3()2()6()3()2(401520071f f f f f x +++⋅⋅⋅++-+= 3401520071=⨯-+=x ；同理可得4022008=y .所以，第2008棵树的种植点为()402,3.填()402,3.三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）15．证明：由对称性，不妨设b a ≤，令t ba =，则因βα≤≤≤b a ，可得 .αββα≤=≤b a t …………………………（3分） 设t t t f 1)(+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤αββαt ，则对t 求导，得211)(t t f -='.…………（6分） 易知，当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,βαt 时，0)(<'t f ，)(t f 单调递减；当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈αβ,1t 时，0)(>'t f ，)(t f 单调递增. …………………………………………………………………（9分）故)(t f 在βα=t 或αβ=t 处有最大值且αββαβα+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f 及βααβαβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 两者相等. 故)(t f 的最大值为βααβ+，即βααβ+≤+=t t t f 1)(.………………（12分） 由t b a =，得βααβ+≤+b a a b ，其中等号仅当βα==b a ,或αβ==b a ,成立. …………………………………………………………………………（14分）１6． 解：如果某方以1:3或0:3获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是，问题转化为：求“乙在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分） 乙胜五局的概率为531⎪⎭⎫ ⎝⎛；………………………………………………（6分） 乙胜四局负一局的概率为3231415⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；………………………………（9分） 乙胜三局负二局的概率为.32312325⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛C ……………………………（12分）以上结果相加，得乙在五局中至少赢三局的概率为.8117……………（14分）17. 解：（1）因为()x x x f -+=1ln )(，所以函数的定义域为()+∞-,1，…（2分） 又x x x x f +-=-+='1111)(.……………………………………………（5分） 当[]n x ,0∈时， 0)(<'x f ，即)(x f 在[]()*∈N n n ,0上是减函数，故 ().1ln )(n n n f b n -+==()()().1ln 1ln 1ln n n n n b n a n n =++-+=-+=…………………………（8分）因为()()()141421212222<-=+-k k k k k ,所以 ()()()()()121121212126754532312421253122222+<+⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅k k k k k k k . …………………………………………………………………………（12分） 又容易证明1212121--+<+k k k ，所以 ()()()*-∈--+<+<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=N k k k k k k a a a a a a p k k k 1212121242125312421231， ………………………………………………………………（14分） n p p p +⋅⋅⋅++21()()()12123513--++⋅⋅⋅+-+-<n n 112-+=n112-+=n a .即 .11221-+<+⋅⋅⋅++n n a p p p ……………………（16分）18. 证明：（1）设()00,y x P 、()11,y x M 、()22,y x N . 则椭圆过点M 、N 的切线方程分别为192511=+y y x x ，192522=+y y x x .…………………………………………（3分） 因为两切线都过点P ，则有19250101=+y y x x ，19250202=+y y x x . 这表明M 、N 均在直线192500=+y y x x ① 上.由两点决定一条直线知，式①就是直线MN 的方程，其中()00,y x 满足直线l 的方程. …………………………………………………………………（6分）（1）当点P 在直线l 上运动时，可理解为0x 取遍一切实数，相应的0y 为.107500-=x y代入①消去0y 得01637052500=--+y x x x ② 对一切R x ∈0恒成立. …………………………………………………………（9分）变形可得 01910635250=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 对一切R x ∈0恒成立.故有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.01910,063525y y x 由此解得直线MN 恒过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q .……………………………（12分） （2）当MN ∥l 时，由式②知.70176370552500--≠---x x 解得.53343750=x 代入②，得此时MN 的方程为03553375=--y x ③ 将此方程与椭圆方程联立，消去y 得 .012251280687533255332=--x x …………………………………………（15分） 由此可得，此时MN 截椭圆所得弦的中点横坐标恰好为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 的横坐标，即.14252553327533221=⨯--=+=x x x 代入③式可得弦中点纵坐标恰好为点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 的纵坐标，即 .10925332125491357533142575-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯-⨯=y 这就是说，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-109,1425Q 平分线段MN .……………………………（18分）。
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A ．6B ．3C ．1D ．23.设函数()2cos ,f x x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦（）A ．0B ．116πC ．18πD ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m +--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（）答案：B ．提示：z ni z mi n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的，答案是（）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=0<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n C r -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠； ②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是．答案：28.x ≤≤提示：所求不等式为关于[]x 的一元二次不等式．由[][]2436450x x -+≤，得[]31522x ≤≤，故[]27x ≤≤，即28.x ≤< 8.在三棱锥S -ABC 中，4,7,9,5,6,8,SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤则三棱锥的体积的最大值为．答案：提示：设SAB α∠=，根据余弦定理有222cos 2SA AB SB SA AB α+-=≤⋅22245712455+-=-⨯⨯，故1sin sin 2SAB S SA AB αα∆=≤=⋅⋅≤由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以13CSAB SAB F S BC ∆≤⋅≤事实上，取7,6SB BC ==，且CB ⊥面SAB时，可以满足已知条件，此时CSAB V =9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2。
2022年湖南省高中数学竞赛试卷(含详解)
2022年湖南省高中数学竞赛试题说明:1、评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题严格按标准给分,不设中间档次分.2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次给分.一、填空题(本大题共10小题, 每小题7分,满分70分).1.已知函数32()1()f x x ax x a R =+++∈在区间21(,)33--内为减函数,在区间1(,)3-+∞内为增函数,则a = 2 .【解析】因由题可知,2()321f x x ax '=++,且13x =-是函数()f x 的极值点,即1()03f '-=得2a =.2.设A B 、是两个集合,称(,)A B 为一个“对子”.当A B ≠时,将(,)A B 与(,)B A 视为不同的“对子”.满足条件{1,2,3,4}A B =的不同的对子(,)A B 的个数为 81 .【解析】分类讨论:①当A =Φ时,则{1,2,3,4}B =只有一种情形;②当A 为单元集时(有14C 种),如取{1}A =时,则{2,3,4},B =或{1,2,3,4}B =两种,其个数相当于是{1}的子集个数2,故由分步办事乘法原理知,此时有1428N C =⨯=种;③当A 为双元集时(有24C 种),如取{1,2}A =时,则B 除含有元素3,4外,可含或不含{1,2}A =中元素.其情况相当于是{1,2}的子集个数224=,故由分步办事乘法原理知,此时有24424N C =⨯=种;④同理,当A 为三元集时有334232C ⨯=种),当{1,2,3,4}A =时有444216N C =⨯=种;综上可知,由分类办事加法原理得共有,1824321681N =++++=种. 如图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( B )3.设函数2()()f x x x m m R +=++∈,若()0f t <,则你对函数()y f x =在区间(,1)t t +中零点存在情况的判断是 1 . 【解析】由于()0f t <,且抛物线开口向上,可知其与x 轴有两个交点12,x x ,且12x t x <<,而又由于211x x -=,可知21t x t <<+,显然(1)0f t +>,且图象在(,1)t t +上单调递增,故只有一个零点.4.已知椭圆22:12x C y +=的两个焦点分别为12,,F F 点00(,)P x y 满足2200012x y <+≤,则12||||PF PF +的取值范围是.【解析】由题知点00(,)P x y 在椭圆内部(含边界),故有122||||2c PF PF a ≤+≤,即求.5.已知复数1z 满足1(2)(1)1(z i i i -+=-为虚数单位),复数2z 的虚部为2,则12z z ⋅为实数的条件是2z =42i + .【解析】 由1(2)(1)1z i i -+=-得12z i =-,又设22()z a i a R =+∈,所以12(22)(4),z z a a i =++-又12z z ⋅为实数,所以得4a =,即242z i =+.6.已知数列{}n a 满足递推关系式1221(),n n n a a n N ++=+-∈且{}2n na +λ为等差数列,则λ的取值是1λ=-.【解析】由已知得,112(1)2n n n a a +-=-+,两边同除以12n +得,11111222n n n n a a ++--=+,显然数列1{}2n n a -是公差为12的等差数列.或者由1111221212222n n n n n n n n n n n a a a a +++++λ+λ+-+λ+λ--λ-=-=为常数,所以1λ=-,即求. 7. 过函数()cos f x x x x =+的图象上一点的切线的斜率为k ,则k 的取值范围是 [-1,3]【解析】由()1sin 12sin()[1,3]3f x x x x π'=-=-+∈-8.已知平面内三点A B C 、、满足||3,||4,||5AB BC CA ===,则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值为-25 .【解析】由条件知AB BC ⊥,所以2()25AB BC BC CA CA AB CA AB BCCA ⋅+⋅+⋅=⋅+=-=-. 9.边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成060的二面角,则BC 中点与A的距离为【解析】取BD 中点O ,容易证明ACO ∆是边长为,所以AC =.设BC 中点为M ,在ACB ∆中AM ==10.规定一又筷子由同色的2支组成.现有黑、白、黄筷子各8只,不用眼睛看,任意地取出筷子来,使得至少有两双筷子不同色,则至少要取出 11 只筷子才能做得到. 【解析】因为11只筷子中必有2支筷子同色,不妨设它是黄色的一双筷子,则黑色或白色的筷子至少有3只,其中必有一双同色,即同为黑色或白色,故11只筷子足以保证成功.但少于11只不行,如只取10只筷子,就可能出现8只黄色，黑色和白色各1只的情形,不合要求.二、解答题(大本题共4个小题,满分80分) 11. (本小题满分20分)如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部,试问:在允许将抛物线平移或旋转的条件下,平面内2022条抛物线的内部能否盖住整个平面?请作判断,并证明你的结论. 【解析】不能.证明如下:因为每条抛物线有一条对称轴,所以2022条抛物线至多有2022条对称轴.……8分.在平面上任作一条不平行于每一条对称轴的直线,l 则直线l 和至多2022条对称轴相交至多得2022个交点.……12分这至多2022个交点将直线l 截割若干段,其中2条为射线,其它的为线段,位于抛线线内部的至多只有2022条线段.……16分所以,抛物线不能盖住平面上的直线l ,当然不能盖住整个平面.……20分. 12. (本小题满分20分)设22221111,12(1)1k a k k k k =+++++++-求证:20102011222011(,)a a ∈.【证明】:易知k a 的表达式共有21k +项,分别考察其前k 项的和与后1k +项的和.……4分因为2222211111,1211k k k k k k k k k ++++>=+++-++ 又当2k ≥时,2222211111,121k k k k k k k k ++++<=+++-所以, 22221111111121k k k k k k k<++++<++++- ①……8分同理可证2222111111112(1)1k k k k k k k k<++++<++++++- ②……12分 由①+②,可得221k a k k<<+由此得11112k k k a a ++<<……16分 取2010k =,得201020111201112a a <<,即20102011222011a a <<所以,20102011222011(,)a a ∈……20分.13.(本小题满分20分)(Ⅰ)设实数0t >,求证:2(1)ln(1)2t t++>.(Ⅱ)从编号为1到100的100张卡片中,每次随机地抽取1张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为p ,求证:21p e<.【证明】:(Ⅰ)构造函数2()ln(1),2xf x x x =+-+……2分则22()(1)(2)x f x x x '=++,当0x >时,()0f x '>,所以()f x 在(0,)+∞上为增函数……6分所以()(0)f t f >,即2ln(1)02t t t +->+,变形即得2(1)ln(1)2t t++>……10分 (Ⅱ)由条件知20100999881100p ⨯⨯⨯⨯=……14分又222998190,988290,918990,⨯<⨯<⨯<所以199()10p <.………16分在(1)的结论中令19t =,得19210101912(),99n e >>即19291()10e <.所以,21p e<……20分.14.(本小题满分20分)如图所示,已知由ACB ∆的顶点A 引出的两条射线AX AY 、分别交BC 于点X Y 、.求证:22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅成立的充要条件是BAX CAY ∠=∠. 【证明】:(Ⅰ)先证充分性若BAX CAY ∠=∠,如图所示,,BAX CAY ∠=∠=α又作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,则sin sin ABX ACY S AB AX BX ADS AC AY CY AD∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅α⋅……2分 由此得AB AX BXAC AY CY⋅=⋅ ①……6分 同理AB AY BY AC AX CX⋅=⋅ ②……8分 由①×②得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅,变形整理,即得22AB CY CX AC BX BY ⋅⋅=⋅⋅……10分 (Ⅱ)再证必要性作ABC ∆的高AD ,垂足为D ,不妨设,,BAX CAY XAY ∠=α∠=β∠=θ,则 sin sin ABX ACY S AB AX BX AD S AC AY CY AD ∆∆⋅⋅α⋅==⋅⋅β⋅,所以sin sin AB AX BXAC AY CY⋅⋅α=⋅⋅β ③……12分同理,sin()sin()AB AY BYAC AX CX⋅⋅α+=⋅⋅β+θθ ④……14分 由③×④得22sin sin()sin sin()AB BY BX AC CX CY α⋅α+⋅=⋅β⋅β+⋅θθ,由题设得22AB BY BXAC CX CY⋅=⋅ 所以得sin sin()sin sin()α⋅α+=β⋅β+θθ……16分即sin (sin cos cos sin )sin (sin cos cos sin )α⋅α+α=β⋅β+βθθθθ所以,22(sin sin )cos (sin cos sin cos )sin 0α-β+αα-ββ=θθ1(sin sin )(sin sin )cos (sin 2sin 2)sin 02α+βα-β+α-β=θθ12sin cos 2cos sin cos 2cos()sin()sin 022222α+βα-βα+βα-β⋅⋅⋅⋅+⋅α+β⋅α-β⋅=θθ即sin()sin()cos cos()sin()sin 0α+β⋅α-β⋅+α+β⋅α-β⋅=θθsin()[sin()cos cos()sin ]sin()sin()0α-βα+β+α+β=α-βα+β+=θθθ因为α+β+∠θ=BAX 是ACB ∆的一个内角,所以上式中只能是sin()0α-β= 则,α=β,即BAX CAY ∠=∠……20分.。
2021年湖南省高中数学竞赛试卷A Word版含答案
2021年湖南省高中数学竞赛（A 卷）（2021-06-27）一、选择题（每个5分，共6题）1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则7个剩余分数的方差为A. 1169B. 367C. 36672.半径为R 的球的内部装有4个有相同半径r 的小球，则小球半径r 可能的最大值是 A. 323+B.636R +C.13+525+3.已知数列{a n }和{b n }对任意*n N ∈，都有n n a b >，当n →+∞时，数列{a n }和{b n }的极限分别是A 和B ，则A. A B >B. A B ≥C. A B ≠D. A 和B 的大小关系不确定4.对全部满足15n m ≤≥≤的m,n,极坐标方程11cos nm C ρ=-θ表示的不同双曲线条数为A. 6B. 9C. 12D. 155.使关于x 36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是 A. 63 B.3 C. 63 D.66.设22{|,,}M x y x y Z =αα=-∈，则对任意的整数n ，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M 中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题（每个8分，共6题）7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列123(,,,...)A =ααα，定义△A 为序列213243(,,,...)α-αα-αα-α，它的第n 项是1n n +α-α，假定序列△（△A ）的全部项都是1，且19920α=α=，则1α的值为：9.满足使1[]223n I =+为纯虚数的最小正整数n=10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为： 11.记集合1234234{0,1,2,3,4,5,6},{|,1,2,3,4}7777i a a a a T M a T i ==+++∈=，将M 中的元素按从大到小挨次排列，则第2021年数是：12.设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θ+-θ=≤θ≤π，对于下列四个命题：①M 中全部直线均经过一个定点②存在定点P 不在M 中的任一条直线上③对于任意整数(3)n n ≥存在正n 边形，其全部边均在M 中的直线上 ④M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： （写出全部真命题的代号）三、解答题（共4题，满分72分）13.（本小题满分16分）如图所示，AB 为Rt △ABC 的斜边，I 为其内心，若△IAB 的外接圆的半径为R ，Rt △ABC 的内切圆半径为r ，求证：(22)R r ≥+.14.（本小题满分16分）如图，A ，B 为椭圆22221x y a b +=（a>b>0)和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且满足()(,||1)AP BP AQ BQ R +=λ+λ∈λ>求证：（Ⅰ）三点O 、P 、Q 在同始终线上；（Ⅱ）若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别是k 1、k 2、k 3、k 4，则k 1+k 2+k 3+k 4是定值。
二0一六年湖南省高中数学竞赛试卷(高一)(有答案)
二0一六年湖南省高中数学竞赛试卷高一一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分）1．在平面直角坐标系xoy 中，函数xy 2=图象上的动点P 与坐标原点O 的距离的最小值为 .A 1 .B 2 .C 4 .D 22．设c b a ,,均为正整数，且c b a ≥≥，满足12=++c b a ，则以c b a ,,为边长的三角形有.A 3个 .B 4个 .C 5个 .D 6个3．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<+=0,40,10,2)(x x x x x x f π ，则=-)))2(((f f f.A π+4 .B π+2 .C π .D 14．在四边形ABCD 中，已知00130,100,1=∠=∠==CDA ABC BC AB ，则=BD.A 22 .B 1 .C 2 .D3 5．已知抛物线m x x y -+-=2与x 轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则整数m 的值有 个.A 4 .B 5 .C 6 .D 76．不等式组⎩⎨⎧≤+≥-a x x 110151000有有限个实数解，则a 的值为 .A 2014 .B 2015 .C 2016 .D 20177．已知两素数p 、q 之和为2019，则()()1111---+-p q q p 的值为.A 2014 .B 2015 .C 2016 .D 20178．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于34π，则该圆锥的体积为 .A π8122 .B π818 .C π8154 .D π8110 9．已知函数)0(2)(2>+=x x x f ，则)2016()1014()1013(f f f N +++=L 的整数部分为 .A 1520800 .B 1520558 .C 4032 .D 301310．设正整数y 使得92-y 恰能表示成5个连续正整数的平方和，则y 的最小值为.A 6 .B 8 .C 10 .D 12二、填空题（本大题4个小题，每小题6分，共24分）11．若3)(x x f y +=是偶函数，且10)10(=f ，函数6)()(+=x f x g ，则=-)10(g12．设集合{}03|=+=ax x A ，{}3,1-=B ，满足B A ⊆。
湖南省高中数学竞赛试题
2010年湖南省高中数学竞赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．对于非零向量,a b 有两个命题有两个命题. . 命题甲：a b ⊥；命题乙：函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数为一次函数. . 则甲是乙的（）条件）条件. .A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．如图，若Ω是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台4．如图，在半径为1r =的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设n S 为前n 个圆的面积之和个圆的面积之和. . . 取正数取正数9933π4ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. . 若若4πn S ξ-<，则n 的取值为（）.A ．大于100的所有自然数的所有自然数B ．大于100的有限个自然数的有限个自然数C ．不大于100的所有自然数的所有自然数D ．不大于100的有限个自然数的有限个自然数 5．设直线2x =与双曲线22:14xy Γ-=的渐近线交于点1E 、2E ，记11OE e =，22OE e =，任取双曲线Γ上的点P . . 若若()12OP ae be a b =+∈R 、，则（，则（ ））. A ．2201a b <+< B ．22102a b <+< C ．221a b +≥ D ．2212a b +≥6．一厂家有一批长40cm 40cm、宽、宽30cm 的矩形红布的矩形红布. . . 现该厂家要将每块矩形红布剪一次后现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子拼成一面三角形旗子. . . 则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（则红布可以拼成三角形旗子的种数是（ ））. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题7．设定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数6cos y x =的图象与5tan y x =的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为1P ，直线1PP 与函数sin y x =的图象交于点2P ，则线段12PP 的长为________.8．在等比数列{}n a 中，11a =，20104a =，函数()()()()122010f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则函数()y f x =在点()0,0处的切线方程为______.9．如果执行图所示的程序，输入正整数n 、()m n m ≥，那么，输出的p 等于______.10．已知y =f f((x x))为区间[0,10,1]]上的连续函数，且恒有0≤f f((x x))≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分∫f (x )10d x . . 先产生两组（每组先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数x 1,x 2,⋅⋅⋅,x N 和y 1,y 2,⋅⋅⋅,y N ，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,⋅⋅⋅,N )；再数出其中满足y i ≤f f((x i )()(i i =1,2,⋅⋅⋅,N N))的点数N 1. . 那么，由随机模拟方法可得积分那么，由随机模拟方法可得积分∫f f((x x))d x 10的近似值为______.11．设n a 是()()32,3,nxn -=⋅⋅⋅的二项展开式中x 的系数的系数.. . 则则1823nn n a ==∑______. 12．若三个非零的实数()()()x y z y z x z y x ---，，成等比数列，则其公比是______.13．设函数()2π4sin sin cos 242x f x x x ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭．若()2f x m -<成立的充分条件是π2π63x ≤≤，则实数m 的取值范围是______．14．空间有五个点，任意四点不共面．空间有五个点，任意四点不共面. . . 若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为______.三、解答题15．已知当[]1,e x ∈时，不等式()21ln 12a x x a x ≤-++恒成立恒成立. . . 试求实数试求实数a 的取值范围范围. .16．如图，1O 、2O 在O 内滚动且始终保持与O 内切，切点分别为P 、Q ，MN是1O 和2O 的外公切线的外公切线. . . 已知已知1O 、2O 、O 的半径分别为1r 、2r 、R . . 求证：求证：22MNPQ为定值为定值. .17．设椭圆22122:1x y C a b +=，22222:1x yC m n +=，过原点O 引射线分别与椭圆1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点上一点. .（1）求证：OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件点P 的轨迹方程为222232222:1xy x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线得出相应的正确结论（不要求证明）. 18．设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是整数1，2，…，n 的一个排列，且满足的一个排列，且满足 （1）11a =；（2）()121,2,,1i i a a i n +-≤=⋅⋅⋅-.记上述排列的个数为()f n . . 试求试求()2010f 被3除的余数除的余数. .参考答案1．C 【解析】 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 2．B 【解析】【解析】 【详解】注意到222()()f x a bx b a x a b =⋅+--⋅，a b ⊥⇔0a b ⋅=. 而0a b ⋅=时，()f x 可能是常数函数，不一定为一次函数可能是常数函数，不一定为一次函数. .而f(x)f(x)是一次函数，必有是一次函数，必有0a b ⋅=. 所以甲是乙的必要不充分条件所以甲是乙的必要不充分条件. . 故答案为B 3．D 【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，交点必然在B 1C 1上，与EH ∥B 1C 1矛盾，所以FG ∥EH ；由EH ⊥平面A 1ABB 1，得到EH ⊥EF ，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台的定义与题中的图形．没能正确理解棱台的定义与题中的图形． 4．A 【解析】 【详解】记第n 个圆的半径为n r . 易知，132n n r r -=，圆面积134n n a a -=，211ππa r ==.则213134π4π13414nn n S r ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=⋅=-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 由99334π4π3π44nn S ⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1003310044nn ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为:A 5．D 【解析】【解析】 【详解】【详解】易求得()12,1E ，()22,1E -.则()1222,OP ae be a b a b =+=+-.由点P 在双曲线上得()()222214a b a b +--=，化简得41ab =.故22122a b ab +≥=.故答案为D 6．D 【解析】 【详解】【详解】如图所示，共有四种不同的拼法如图所示，共有四种不同的拼法. .故答案为：D 7．23. 【分析】【分析】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，再求出sin x 的值即得解值即得解. . 【详解】画出函数6cos y x =，5tan y x =，sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象，如图所示上的图象，如图所示. .观察图象可知，线段12PP 的长即为满足6cos 5tan x x =时对应的sin x 的值，的值，所以sin 6cos 5tan =5cos xx x x=⋅，所以26cos 5sin x x = 因为22sin cos 1x x +=，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0sin 1x ∴<<，则26sin 5sin 60x x +-=，所以2sin 3x =，故线段12PP的长为23. 故答案为：23.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8．20102y x =【解析】 【详解】【详解】令()()()()122010g x x a x a x a =--⋅⋅⋅-.则()()f x xg x =.因为()()()f x g x xg x ='+'， 所以，()()()20102010212201012010002f g a a a a a ==⋅⋅⋅=='.故在点()0,0处的切线方程为20102y x =.故答案为：20102y x =9．m nA 【解析】 【详解】 由图可知由图可知()()12mn P n m n m n A =-+-+⋅⋅⋅=.故答案为：mn A10．N 1N【解析】因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：∫f(x)10dx 是由直线x ＝0，x ＝1及曲线y ＝f(x)与x 轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足y i ≤f(x i )的有N 1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N 1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x ＝0到x ＝1上与x轴围成的面积为N 1N ×1＝N 1N ，即∫f(x)10dx ＝N 1N .考点：定积分的定义、几何概型. 11．17 【解析】 【详解】因为223Cn nn a -=，所以，()()23218311nn a n n n n =⨯=--. 从而，()1818223118171nn n n a n ====-∑∑.故答案为：1712．152±【解析】【解析】 【详解】注意到()()()x y z y z x z y x -+-=-,所以，所以，()()()()()()()()1y z x z y x y z x z y x xy z x y z x y z y z x ----+==⋅---- 即21q q += (q 为公比）为公比）. .解得152q ±=. 13．()1,4【解析】 【详解】【详解】()()2π1cos 24sin cos22sin 1sin 12sin 12sin 2x f x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⋅+=++-=+． 当π2π63x ≤≤时，()2f x m -<恒成立，即()()22f x m f x -<<+恒成立．恒成立．故有()()()()maxmin22f x m f x -<<+．易知()max 3f x=，()min 2f x =．故14m <<．14．4 【解析】【解析】【详解】首先构造下左图首先构造下左图..已知其符合条件且恰有四个三角形已知其符合条件且恰有四个三角形. . 下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个下面假设存在某种情况使三角形的个数不少于五个. .若仅有两条线段未连，则这两条线段必无公共端点（如下左图），否则存在四面体，否则存在四面体. . . 但仅有但仅有四个三角形，矛盾四个三角形，矛盾. .若至少有三条线段未连，当有某条线段作为三个三角形的边时，如上右图，仅有三个三角形；当每条线段至多作为两个三角形的边时，则至多有()25C 3243⎡⎤-⨯⎢⎥=⎢⎥⎣⎦个三角形个三角形.. 故答案为：故答案为：4 4 15．(())()2e 2ee 2e 1a g -≥=-【解析】【解析】 【详解】不等式可化为()2ln 2xa x x x -≥-.因为[]1,e x ∈，所以，ln 0x x ->.于是，不等式化为22ln xx a x x-≥-.设()[]()221,eln x x g x x x x -=∈-. . 注意到注意到()()()211ln 20ln xx x g x x x⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=>-'， 其中，()1,e x ∈，且()g x 在1x =和e x =处连续，所以，()g x 在[]1,e x ∈上为增函数上为增函数. .故()()2e 2e e 2e 1a g -≥=-.16．见解析．见解析 【解析】【解析】【详解】设12O OO θ∠=，易知，1O 、2O 分别在线段OP 、OQ 上，且1O M MN ⊥，2O N MN ⊥. 则()2221212MN O O r r =--. ① 在12O OO 中，由余弦定理得中，由余弦定理得 ()()()()2221212122cos O O R r R r R r R r θ=-+----()()()()2121221cos r r R r R r θ=-+---. 将上式代入式①得将上式代入式①得()()()21221cos MN R r R r θ=---.又()2221cos PQ R θ=-， 故()()21222R r R r MN PQ R--=为定值为定值. . 17．（1）见解析；（2）见解析）见解析【解析】【详解】【详解】（1）设射线OA 的参数方程为()02π,0x tcos t y tsin θθθ=⎧≤≤>⎨=⎩. 设()11cos ,sin A t t θθ，()22cos ,sin B t t θθ，()33cos ,sin P t t θθ. 将点A 的坐标代入1C 的方程，整理得2222211cos sin t a b θθ=+. 再将3sin y t θ=，3cos x t θ=，代入上式化简得2222221311x y t t a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 同理，2222222311x y t t m n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故OA 、OP 、OB 成等比数列成等比数列2123224123111t t t t t t ⇔=⇔⋅= 222222221x y x y a b m n⎛⎫⎛⎫⇔++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设双曲线1C 、2C 的方程分别为()222210,0x y a b a b -=>>和()222210,0x ym n m n -=>>. 过原点O 引射线分别与曲线1C 、2C 交于点A 、B ，P 为线段AB 上一点，则OA 、OP 、OB 成等比数列的充要条件是点P 的轨迹方程为222232222:1x y x y C a b m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.18．见解析．见解析【解析】【解析】【详解】可验证()11f =，()21f =，()32f =. 设4n ≥. . 则则22a =或3.对于22a =，排列数是()1f n -. . 这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，这是因为通过删除第一项，且以后所有项都减且以后所有项都减1，可以建立一一对应的数列立一一对应的数列. .对于23a =，若有32a =，则44a =，这样排列数为()3f n -；若32a ≠，则2一定排在4的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列的后面，由此得出所有奇数顺序排列的后面是所有偶数的倒序排列. . 因此，()()()131f n f n f n =-+-+. 设()r n 是()f n 除以3的余数的余数. . 则(())(())121r r ==，(())32r =. 当4n ≥时，()()()()131mod3r n r n r n ⎡⎤≡-+-+⎣⎦. 由此得(){}r n 构成周期为8的数列：的数列：11，1，2，1，0，0，2，0，….，…. 因(())20102mod8≡，所以，(())20101r =，即(())2010f 被3除的余数为1.。
湖南省高中数学竞赛试题及答案
湖南省高中数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题含答案2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )A．x 9x 12 2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①3.方程x2 x 1 x x22B．x 9x 122C．x 9x 12 D．x 9x 1222sinxcosx2)上为单调增函数的是( )B．②1C．①和③ D．②和④(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于( ) A．0B．12C．22D．44.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为( ) A．9B．12D．186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于( ) A．807.已知曲线C：y A．( 1,2)B．40C．24D．-48x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是( ) B．( 2,2 1)C．[0,2 1)D．(0,2 1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为( ) A．Smax的Smin2B．6 2C．2 3263高中数学竞赛试题含答案9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyzB．yzx7，则x、y、z的大小关系为( )C．zxyD．zyx10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．1 18B．1 9C．1 6D．13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆169|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.12.已知△ABC中，, ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}34，则35B {x|f[f(x)] x}.(1). 求证：A B2(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？高中数学竞赛试题含答案17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有an 1 11an18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .求证：23arcsin3参考答案一、选择题：ADCBC CCCBA 二、填空题：三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而A B. 解(2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.2由A≠φ，知a=0 或a 0 1即a4 1 4a 0342222B中元素是方程a(ax 1) 1 x 即ax 2ax x a 1 0的实根由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为2高中数学竞赛试题含答案(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0因此，要A=B，即要方程ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得a222223 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax ax a，代入①有2ax+1=0.11131 0,由此解得a . ,再代入②得2a4a2a413故a的取值范围是[ ,]44897616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且__-__6897 ① __-__由此解得x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y 9 令μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77max因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令a0 1,则有ak 1 ak ak 1，且1naka于是n k 1k 1ak 1k 1ak 1nakak 1(k 1,2, ) ak 1ak 1由算术-几何平均值不等式，可得1 aa1a2aaan+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1注意到a0 a1 1，可知高中数学竞赛试题含答案11n 11nan 1，即n 1 11an18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18因为cosC 12|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又|CA| |CB| (2a__-__) a2，所以cosC 1 2，由题意得1 2 ,a 25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).x2y21(y 0) 所以C点的轨迹方程为2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为1k__k2)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得(__-__150k2225k2 400,x1x2 显然有△≥0，所以x1 x2 2216 25k16 25k而由椭圆第二定义可得339|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x25525144450k81k __k __ 25 25 25__ 25k216 25k216 25k2k225222k2__-____-__取最小值，显然. 只要考虑的最小值，即考虑1 1616k2 k22525k2当k=0时，|| ||取最小值16.当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得|BM| || (342) 16 5x2y21(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但2516集.高中数学竞赛试题含答案19.证明：由题意可得sin2 sin2 sin2 1，且α、β、(0, 所以sin 1 sin sin2222)1(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2222因为cos( ) cos( )，所以sin cos( ) sin[当当2( )]2时，时，2.22( )，同样有2故2另一方面，不妨设，则sin3,sin33令sin 1 则sin23,sin 1 1 ()2 sin2 ，331 sin2 sin2 1 1sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)因为1 1 ，所以cos( 1 1) cos( ) 所以cos( ) cos( 1 1) 所以1 1如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin。
湖南省高中数学竞赛试卷
注意事项： 1．首先填写所在县（市）学校、年级和姓名．2．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写． 3．本试卷共19题，满分150分．一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知集合M ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ,y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为（ ）A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．(3,－1)C ．{3,－1}D ．{(3,－1)}2． 已知1(0),()π(0),0(0).x x f x x x +>⎧⎪==⎨⎪<⎩则f {f [f (－1)]}＝ （ ） A ．π- B ．π C ．π1-- D ．π1+3． 周长相同的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S 3、S 4、S 6，则（ ）A ．S 3＞S 4＞S 6B ．S 6＞S 4＞S 3C ．S 6＞S 3＞S 4D ．S 3＞S 6＞S 44． 若n 是自然数，则1(1)22(1)nk n n --=+-的值 （ ） A ．一定是偶数 B ．一定是奇数C．是偶数但不是2D ．可以是偶数也可以是奇数5． 设全集U＝{x |1≤x ≤6，x ∈N }，A ＝{2,3,4}，若(){1,2,3,5,6}UA B =，则集合B 可以为 （ ） A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．{4,5,6}D ．{2,6,7}6． 函数y ＝f (x ＋4)的图象过点（－2,3），则函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称的图形一定过点 （ ） A ．(2,－3)B ．(－2,3)C ．(－3,－3) D ．(－3,3)7． 方程x 2－3|x |－2＝0的最小根的负倒数是 （ ）A ．－1B ．1(32C ．1(32-D ．13)48． 已知2{1,},{1,}M y y x x N y y x x ==+∈==+∈R R ，则MN 等于（ ）A ．{(0,1),(1,2)}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．[)1,+∞9． 设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ) f (x －2)＝－2012，且f (1)＝503，则f (2013)的值等于 （ ） A ．503B ．－503C ．4D ．－410．函数f (x )是(0,＋∞)上的单调递增函数，当n ∈N *时，f (n )∈N *，且f (f (n ))＝3n ，则f (1)的值等于 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在 横线上．）11的整数部分是a ，小数部分是b，则2(1a ab ++的值为 ．12．在正实数集上定义一个运算*，其规则为：当a ＞b 时，a *b ＝b a；当a ≤b 时，a *b ＝b 2．根据这个规则，方程4*x ＝16的解是 ．13．设x 为正实数，则函数212y x x x=-++的最小值是 ． 14．如图所示，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构 成，如：1→2→3→5→7就是一条移动路线．则从1到7共有移动路 线 条．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，请将正确的答案填在横线上．） 15．（本小题满分12分） 已知函数22(1),()(12),2(2).x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a ．13 5 72 4 616．（本小题满分12分）在△ABC中，已知AD是BC边上的中线，求证：AD＜12(AB＋AC)．AD CB某项工程，，由甲、乙两队共同承建需要2811天，需支付18000元；若由乙、丙两队共同承建需要3313天，支付费用16800元；由甲、丙两队共同承建则需要21112天，支付费用16100元．在保证一周内完成工程任务的前提下，选择哪个队单独承建所需费用最少？=++====．f x x px q A x x f x B x f f x x(),{()},{[()]}（1）求证：A B⊆；（2）如果{1,3}A=-，求B．19．（本小题满分14分）已知a，b是实数，关于x，y的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(x,y)，求a，b满足的关系式．。
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2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案：B ．
提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设k
x x A ⊕
=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，
故1x A =或3.x A =
答案：A ．
2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）
A ．6
B ．3
C ．1
D ．2 3.设函数
()2c o s ,f
x x x =-{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，()()12f a f a ++
+()n f a 5,π=则()2
315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）
A ．0
B ．1
16
π C ．18π D ．21316π
答案：D ．
提示：因为{}n a 是公差为
8
π
的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a
()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-+
+-=
即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π++
+-++
+=，所以
33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
即33102cos
2cos
1cos 5.48a a π
π
π⎛
⎫
-++= ⎪⎝
⎭
记()102cos
2cos
1cos 54
8g x x x π
π
π⎛⎫
=-++- ⎪⎝
⎭
，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛
⎫'=+++> ⎪⎝
⎭，
即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2
x π
=
，所以3.2
a π
=
所以()2
2
2
3151320.2242416
f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m
+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）
答案：B ． 提示：z n i z m i n ++
-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且
0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由
n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近
点2F ．
5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭
是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）
A ．顺时针旋转60所得
B ．顺时针旋转120所得
C ．逆时针旋转60所得
D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．
提示：设两向量所成的角为θ
，则(
)1,11cos ,2θ⋅==又
0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=
．又
110,022
<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案：B ．
提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有
2
3
650n C
r -+-=，即()()3444.2
n n r --=+
因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：
①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故
0r ≠；
②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；
③当2r =时，有()()3492n n --=，即2
7800,n n --
=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --
=，但它没有正整数解，故 3.r ≠
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）
7.规定：对于x R ∈，当且仅当()
*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式
[][]2
436450x x -+≤的解集是 ．
答案：28.x ≤≤。