湖南省高中数学竞赛试题及答案

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案：B ．

提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设k

x x A ⊕

=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，

故1x A =或3.x A =

答案：A ．

2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）

A ．6

B ．3

C ．1

D ．2 3.设函数

()2c o s ,f

x x x =-{}n a 是公差为

8

π

的等差数列，()()12f a f a ++

+()n f a 5,π=则()2

315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）

A ．0

B ．1

16

π C ．18π D ．21316π

答案：D ．

提示：因为{}n a 是公差为

8

π

的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a

()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-+

+-=

即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π++

+-++

+=，所以

33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

即33102cos

2cos

1cos 5.48a a π

π

π⎛

⎫

-++= ⎪⎝

⎭

记()102cos

2cos

1cos 54

8g x x x π

π

π⎛⎫

=-++- ⎪⎝

⎭

，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛

⎫'=+++> ⎪⎝

⎭，

即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2

x π

=

，所以3.2

a π

=

所以()2

2

2

3151320.2242416

f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m

+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）

答案：B ． 提示：z n i z m i n ++

-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且

0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由

n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近

点2F ．

5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭

是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）

A ．顺时针旋转60所得

B ．顺时针旋转120所得

C ．逆时针旋转60所得

D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．

提示：设两向量所成的角为θ

，则(

)1,11cos ,2θ⋅==又

0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=

．又

110,022

<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案：B ．

提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有

2

3

650n C

r -+-=，即()()3444.2

n n r --=+

因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：

①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故

0r ≠；

②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；

③当2r =时，有()()3492n n --=，即2

7800,n n --

=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --

=，但它没有正整数解，故 3.r ≠

二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）

7.规定：对于x R ∈，当且仅当()

*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式

[][]2

436450x x -+≤的解集是 ．

答案：28.x ≤≤