核心素养提升练 利用导数研究函数的极值、最值

核心素养提升练

利用导数研究函数的极值、最值

(30分钟 60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知函数f(x)=x3-x2+cx+d有极值,则c的取值范围为( )

A.c<

B.c≤

C.c≥

D.c>

【解析】选A.因为f(x)=x3-x2+cx+d,

所以f′(x)=x2-x+c,要使f(x)有极值,则方程f′(x)=x2-x+c=0有两个实数解,

从而Δ=1-4c>0,所以c<.

2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x) ( )

A.既有极小值,也有极大值

B.有极小值,但无极大值

C.有极大值,但无极小值

D.既无极小值,也无极大值

【解析】选B.由导函数图象可知,y=f′(x)在(-∞,x0)上为负,y=f′(x)在

(x0,+∞)上非负,所以y=f(x)在(-∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增,所以y=f(x)在x=x0处有极小值,无极大值.

3.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为( )

A.(1+ln 3)

B.ln 3

C.1+ln 3

D.ln 3-1

【解析】选A.设F(x)=f(x)-g(x)=x3-ln x,求导得:F′(x)=3x2-.

令F′(x)>0得x>;

令F′(x)<0得0

所以当x=时,F(x)有最小值为F=+ln 3=(1+ln 3).

4.若函数f(x)=e-x+tln x有两个极值点,则实数t的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【解析】选A.f′(x)=-e-x+=0有两个正根,即t=xe-x有两个正根,令g(x)=xe-x, g′(x)=e-x-xe-x,当g′(x)>0时,x<1,故y=g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)

上单调递减,g(x)max=g(1)=,当x→+∞时,g(x)>0,所以t∈.

5.(2019·南充模拟)若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 ( )

A.(1,5)

B.[1,5)

C.(1,5]

D.(-∞,1)∪(5,+∞)

【解析】选B.由题意f′(x)=3x2+2x-a,函数开口向上,对称轴为x=-,若函数f(x)在区间(-1,1)内恰有一个极值点,则

即解得1≤a<5.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知函数f(x)=aln 2x+bx在x=1处取得最大值ln 2-1,则a=________,

b=________.

【解析】f′(x)=+b=(x>0),

当f′(x)=0时,x=-,当x=1时,函数取得最大值ln 2-1,即

解得a=1,b=-1.

答案:1 -1

7.(2018·珠海模拟)已知函数f(x)=5sin x-12cos x,当x=x0时,f(x)有最大值13,则tan x0=______.

【解析】f(x)=5sin x-12cos x

=13sin(x-θ)(cos θ=,sin θ=)

当x=x0时f(x)有最大值13,

所以x0-θ=+2kπ,k∈Z

所以x0=θ++2kπ,

tan x0=tan(θ++2kπ)=tan(θ+)

===-.

答案:-

8.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,则实数a的取值范围是

________.

【解析】若f′(x)=3x2-3=0,则x=±1,且x=1为函数的极小值点,x=-1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6-a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a<1<6-a2且

f(a)=a3-3a≥f(1)=-2.解a<1<6-a2,得-

a3-3a+2≥0,a3-1-3(a-1)≥0,(a-1)(a2+a-2)≥0,即(a-1)2(a+2)≥0,即a≥-2,故实数a的取值范围为[-2,1).

答案:[-2,1)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知函数f(x)=.

(1)求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程.

(2)证明:f(x)仅有唯一的极小值点.

【解析】(1)因为f′(x)=,所以k=f′(1)=-2.又因为f(1)=e+2,所以切线方程为:y-(e+2)=-2(x-1),即

2x+y-e-4=0.

(2)令h(x)=e x(x-1)-2,则h′(x)=e x·x,

所以x∈(-∞,0)时,h′(x)<0,x∈(0,+∞)时,h′(x)>0.当x∈(-∞,0)时,易知h(x)<0,

所以f′(x)<0,f(x)在(-∞,0)上没有极值点.

当x∈(0,+∞)时,因为h(1)=-2<0,h(2)=e2-2>0,所以f′(1)<0,f′(2)>0,f(x)在(1,2)上有极小值点.

又因为h(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)仅有唯一的极小值点.

10.已知二次函数f(x)=x2+ax+b+1,关于x的不等式f(x)-(2b-1)x+b2<1的解集为(b,b+1),其中b≠0.

(1)求a的值.

(2)令g(x)=,若函数φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在极值点,求实数k的取值范围,并求出极值点.

【解析】(1)因为f(x)-(2b-1)x+b2<1的解集为(b,b+1),即x2+(a-2b+1)x+b2+b<0的解集为(b,b+1),所以方程x2+(a-2b+1)x+b2+b=0的解为x1=b,x2=b+1,所以

b+(b+1)=-(a-2b+1),解得a=-2.

(2)φ(x)的定义域为(1,+∞).