高中数学高二理科选修2-3排列组合导学案
选修2-3排列与组合导学案
1.2.1 排列的概念课前预习学案一、预习目标预习排列的定义和排列数公式,了解排列数公式的推导过程,能应用排列数公式计算、化简、求值。
二、预习内容1.一般的,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
2.叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号 表示。
3.排列数公式A =mn ;4.全排列: 。
A =nn 。
课内探究学案一、学习目标1.了解排列、排列数的定义;掌握排列数公式及推导方法;2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列,并能运用排列数公式进行计算。
3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展,总结数学规律,培养学习兴趣。
学习重难点:教学重点:排列的定义、排列数公式及其应用教学难点:排列数公式的推导 二、学习过程合作探究一: 排列的定义 问题:(1)从红球、黄球、白球三个小球中任取两个,分别放入甲、乙盒子里 (2)从10名学生中选2名学生做正副班长; (3)从10名学生中选2名学生干部; 上述问题中哪个是排列问题?为什么? 概念形成1、元素: 。
2、排列:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的... 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列....。
说明:(1)排列的定义包括两个方面:① ②按一定的 排列(与位置有关)(2)两个排列相同的条件:①元素 ,②元素的排列 也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号表示 议一议:“排列”和“排列数”有什么区别和联系?4、排列数公式推导探究:从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少?3n A 呢?mA n 呢?)1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A mn (,,m n N m n *∈≤)说明:公式特征:(1)第一个因数是n ,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是1n m -+,共有m 个因数; (2),,m n N m n *∈≤即学即练:1.计算 (1)410A ; (2)25A ;(3)3355A A ÷ 2.已知101095mA =⨯⨯⨯,那么m =3.,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( )A .5079k k A --B .2979k A -C .3079k A -D .3050k A -例1. 计算从c b a ,,这三个元素中,取出3个元素的排列数,并写出所有的排列。
导学案2-3组合
【 学习目标
1.对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握;
2.能运用列组合概念及两个原理解决排列组合的综合体;
3.提高合理选用知识分析问题、解决问题的能力。
重点难点
重难点:排列、组合综合问题。
核心素养
a.数学抽象:对组合定义的理解。
b.逻辑推理:归纳推理出组合的概念。排列数和组合数的联系。
三、总结提升
1.有5本小说,6本杂志,从这11本书中任取3本,其中必须包括小说和杂志,则不同的取法总数是()
A. B. C. D.
2.从单词“eguation”中取5个不同的字母排成一排,含有“gu”(其中“gu”相连且顺序不变)的不同排法共有( )
A.120种B.480种C.720种D.840种
3.某乒乓球队共有男、女队员18人,现从中选出男、女队员各一人组成一对双打组合,由于在男队员中有2人主攻单打项目,不参与双打组合,这样一共有64种组合方式,则乒乓球队中男队员的人数为( )
二.合作交流
1.平面内有10个点,其中有某4个点在一条直线上,此外没有3个点在一条直线上.
(l)可以确定多少条直线?(2)可以确定多少个三角形?(3)可以确定多少个四边形?
2.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行,且底面的任意一条对角线与另一底面的边也不平行,以它的顶点为顶点的四面体有多少个?
三.质疑探究
从五棱柱的10个顶点中选出5个顶点,最多可作多少个不同的四棱锥?
四.构建知识框架
组合数公式:
组合数公式还可以写出:
五.检测巩固
1.平面内有相异的11个点,有且仅有n( )个点在一条直线上,过每两点作直线共有50条不同的直线.(l)求n; (2)求这11个点可确定多少个圆?
(word完整版)高中数学选修2-3导学案,正规模版1.2
54⨯⨯,则12)(68)(69n -3452)(1)!n m m -+,N m ∈*且72100C +1-n m C +2-n m C81720C +的值9例3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用一种颜色,问共有几种不同的着色方法?变式:某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中两位同学要么都请,要么都不请,共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表?练2. 高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动,(1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条;2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥,可得不同的三棱锥有个;3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学,不同方法的种数是;4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息,不同方法的种数是;5. 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成没有重复数字的五位数?1. 在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法?2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名,有多少种选法?⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,有多少种选法?⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内,有多少种选法?⑷如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题,要“先分类,后分步”,对特别元素,应优先考虑.※知识拓展根据某个福利彩票方案,在1至37这37个数字中,选取7个数字,如果选出的7个数字与开出的7个数字一样既得一等奖.问多少注彩票可有一个一等奖?如果要将一等奖的机会提高到60000001以上且不超过5000001,可在37个数中取几个数字?10。
高二数学选修2-3导学案--排列
一、三维目标:知识与技能:了解排列和排列数的概念并应用其解决简单的排列问题;过程与方法:通过实例让学生理解排列的概念,能用列举法、树形图列出排列,并从列举过程中体会排列数与计数原理的关系,体会将实际问题归为计数问题的方法。
通过排列数公式的推导,体会从特殊到一般的思考问题的方法情感态度与价值观:通过学习,让学生知道能用计数原理推导排列数公式,并能解决实际问题,体会数学的力量,积发学习热情;同时培养有序、全面地思考问题的习惯。
二、学习重、难点:重点:理解排列的概念,能用列举法、树形图列出排列,从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式。
难点:对排列要完成的“一件事”的理解,对“一定顺序”的理解。
三、学法指导:本节的学习主要应用两个计数原理,解题是要注意:1.分清要完成的事情是什么;2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立,“步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制。
四、知识链接:1.分类加法计数原理定义:2.分步乘法计数原理定义:五、学习过程:A问题1:从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?A问题2:从3个不同的元素 a , b ,c中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?所有不同的排列是什么?A问题3:从1,2,3,4这 4 个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?用树型图排出,并写出所有的排列?A问题4:试归纳排列的概念?说明:排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;B 问题5:两个排列相同的条件? ① ②A 问题6:排列数的定义:注意区别排列和排列数的不同:“一个排列”是指:从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素按照一定的顺序.....排成一列,不是数;“排列数”是指从n 个不同元素中,任取m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,是一个数。
高中数学选修2-3导学案 排列(包含3个课时)
排列(第1课时)【教学目标】理解排列的意义,并能借助树形图写出所有的排列。
【问题情境】1.(1)高二(1)班准备从甲,乙,丙这三名学生中选出2人分别担任班长和副班长,有多少种选法?(2)从1,2,3这3个数字中取出2个数字组成两位数,这样的两位数共有多少个?上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来刻画?【合作探究】2.排列的定义:3.两个排列相同当且仅当排列的______________、______________相同.4.排列数的定义:排列数公式m n A =____________________________.5.全排列_____________________________________________________全排列数公式n n A =____________________________.【展示点拨】例1.判断下列问题是否为排列问题,并说明理由。
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?若选出3个座位安排3位客人,又有多少种方法?(2)从集合 1,2,3,9M = 中,任取两个元素作为a,b ,可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=?可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22221x y a b-=?例2.(1)写出从a,b,c,d 这4个字母中,取出2个字母的所有排列;(2)写出从a,b,c,d 这4个字母中,取出3个字母的所有排列.思考:你能写出a,b,c,d 这4个字母都取出的所有排列吗?例3. 借助树形图,写出从a,b,c,d,e 这5个字母中取出2个字母的所有排列。
例4.计算:⑴316A ; ⑵66A ; ⑶46A【学以致用】1.判断下列问题是否是排列问题。
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?(2)10个人走进只有6把不同椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐一人,共有多少种不同的做法?2. 从0,1,2,3这4个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数,试写出所有满足条件的三位数.3. a,b,c 排成一行,其中a 不排第一位, b 不排第二位,c 不排第三位,写出所有满足条件的排列。
高二数学选修2-3导学案2.2组合
§1.2.2组合(一)【三维目标】知识与技能:理解组合与组合数概念,对于一个实际问题,能区别是排列问题还是组合问题过程与方法:通过实例体会组合与排列的联系与区别,进而推导出组合数公式情感态度价值观:通过学习,培养学生分析问题、解决问题的能力,同时渗透等价转化的思想方法【学习重点】:对组合与组合数概念的理解与简单应用【学习难点】:对组合数公式的推导与理解【学法指导】类比排列与排列数学习组合与组合数【知识链接】1分类加法计数原理定义:2.分步乘法计数原理定义:3.排列的概念:4.排列数的定义:A=5.排列数公式:mn6阶乘:A=7.排列数的另一个计算公式:mn【学习过程】A问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?一一列出来?B问题2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?一一列出来?A问题3:问题1与问题2有什么区别?A 问题4:试归纳组合的概念?B 问题5:判断下列问题是组合还是排列(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票?有多少种不同的飞机票价? ( ) ( )(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛,需要进行多少场比赛? ( ) (3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务,有多少种不同的选法?选出三人参加某项劳动,有多少种不同的选法? ( ) ( )(4)10个人互相通信一次,共写了多少封信? ( ) B 问题6:1、2、3和3、1、2是相同的组合吗?B 问题7:什么样的两个组合叫相同的组合?B 问题8:排列与组合的相同点与不同点:B 问题9:给出组合数定义?C 问题10、组合数公式的推导:Ⅰ、从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢?(排列是先组合再排........列)..Ⅱ、从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的排列数34A 是多少呢?Ⅲ、对3个不同元素进行全排列33A 是多少?Ⅳ、试归纳34C ,34A ,33A 之间的关系?Ⅴ、推广:试归纳一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ,从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ,每一个组合中m 个元素全排列数mm A 之间的关系?Ⅵ、组合数的公式:m n C = = =),,(n m N m n ≤∈*且规定: 01n C =.A 例1、不使用计算器计算(1)37C(2)410C(3)46464645A A A A +(4)310131002100A C C +【达标检测】B1.下面几个说法中,正确的是个数是…………………………………………………( )① 组合数就是一个组合中元素的个数; ② 两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合; ③ 从n 个元素中抽取m(m ≦n)个元素的排列,可以看作先从n 个元素中抽取m 个进行组合,再对m 个元素进行全排列.A.0B.1C.2D.3B2.下面各式中,不正确的是……………………………………………………………( )A.0!=1B.1n A =nC.1=n n CD.1C 1n =C3.计算24582A C +的值是…………………………………………………………………( )A.64B.80C.13464D.40 C4.已知a,b,c,d,e 五个元素,试写出每次取出3个元素的所有组合为: C5.判断下列各命题是排列问题还是组合问题: (1)从五种不同的水稻良种中,选出3种:①分别种在土质一样的三块田里作试验,有多少种方法? 是 问题. ②分别种在土质不同的三块田里作试验,有多少种方法? 是 问题. (2)从50件不同的产品中抽出5件来检查,有多少种不同的抽法? 是 问题. (3)五个人中互送照片一张,共送了多少张照片? 是 问题. (4)平面内有不共线的三点:①过其中任意两点作直线,一共可以作多少条直线? 是 问题. ②以其中一点为端点,并过另一点的射线有多少条? 是 问题. (6) ①从5本不同的书中选出2本借给某人,有多少种不同的借法? 是 问题.②若从5本不同的书中选出2本分别借给甲、乙两人,又有多少种不同的借法?是 问题.C6.用排列数或组合数表示下列问题,并计算出结果. (1) 从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.①构成多少个不同的分数? 答案 ②可以构成多少个不同的真分数? 答案 (2) 从10名同学在任选出3名同学.①担任三种不同的职务,有多少种不同的选法? 答案 ②组成一个代表队参加数学竞赛,有多少种不同的选法? 答案 (3) 从10本不同的书中任选3本.①3个同学每人一本,有多少种不同的借法? 答案 ②借给一个同学,有多少种不同的借法? 答案7计算:(1)315C = ;(2)3468C C = .【课后小结】:【课后反思】:漠河县高机中学高二数学选修2-3导学案 备课人:杨艳民 备课日期: 备课组长:§1.2.2组合 (二)【三维目标】知识与技能:熟记组合数公式,掌握组合数的两个性质,能运用组合数公式及性质进行计算与证明过程与方法:通过典型习题的训练,对组合数公式和性质的使用更加熟练情感态度价值观:通过学习,培养运算能力及抽象思维能力 【学习重点】:运用组合数公式及性质进行计算与证明 【学习难点】:运用组合数公式及性质进行计算与证明 【学法指导】:熟记组合数公式及组合数的两个性质,一般情况下,第一个公式熟记侧重计算,第二个公式侧重于证明【知识链接】:1.下面的问题中属于组合的是(在括号内打√)(1) 集合{0,1,2,3,4}的含两个元素的子集的个数是多少?…………………( ) (2) 五个足球队进行单循环赛,共要比赛多少场?……………………………… ( ) (3) 从1~9中取2个相加,有多少个不同的和?……………………………… ( )如果相减,有多少个不同的差?…………………………………………… ( ) (4) 某小组有9位同学,从中选出正副班长各一人,有多少种不同的选法?… ( )若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法?…………… …( )2.=mn A = .0!= .3.=m n C = = 、=0n C . =1n C 4. 47C = ; (2)37C = ; (3)410C = ; (4)610C = ; 【学习过程】A 问题1:计算:(1)=26C 、=46C 、=+3727C C 、=38C 、=197100C .B 问题2:证明下列恒等式: (1)mn nmn C C -=; (2)1m nm n m 1n C C C -++=A 问题3:小结:组合数的性质:① ② 性质①常用来简化运算,性质②通常用来证明组合恒等式.A 问题4:=+299399C C 、若x2172x 17C C =+,则x 的值是 .B 问题5:(1)计算:69584737C C C C +++; (2)求证:n m C 2+=n m C +12-n m C +2-n m C .C 问题6:解方程:(1)3213113-+=x x C C ; (2)333222101+-+-+=+x x x x x A C C .B 问题7:求下列各题中的n 的值. (1)34n nA C = ; (2)nn n C C C 76510711=-小结:①注意约简,②用排列数和组合数公式将等式转化为n 的一元方程解之.【达标训练】A1.若2312n n C A =,则n 等于( )A.8B.7C.6D.4 B2.已知m 、n 、x ∈N 且nx m x C C =,那么m,n 间的关系是( )A.m=nB.m+n=xC.m=n 或m+n=xD.m=n 或m-n=x B3.899989100C C - =( )A.89100CB.9099CC.8899CD.88100C B4.已知,C C 3m 15m 15-=则m= . C5.根据条件,求x 的值.(1)若27x 7C C =,则x= ;(2)若x1618x 218C C -=,则x= ;(3)若3:44C :C 2x 3x =,则x= ;(4)若8x 12x C C =,则x= ;C6.利用组合数的性质进行计算(1)=+-+4m 51m 5m C C C ;(2)=+++9799969895979496C C C C ; (3)=++++210242322C C C C ;(4)=++++1720251403C C C C .C7、求证:11+⋅-+=m n mn C mn m C .【课后小结】:【学习反思】:漠河县高机中学高二数学选修2-3导学案 备课人:杨艳民 备课日期: 备课组长: §1.2.2组合 (三)【三维目标】知识与技能:深刻理解组合的概念,能应用所学知识分析、解决简单的实际问题 过程与方法:通过对典型例题的分析,掌握解决问题的方法和策略,提高分析问题解决问题的能力情感态度价值观:通过学习,明确组合是又一类特殊而重要的计数问题 【学习重点】根据组合要领分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
高中数学选修2-3第一章 排列组合二项式定理导学案
§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)【学习要求】1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题【学法指导】两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据,其基本思想贯穿本章始终,理解两个原理的关键是分清分类与分步.【知识要点】两个计数原理1.分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法.2.分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法.【问题探究】探究点一分类加法计数原理问题1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?问题2问题1中最重要的特征是什么?问题3由问题1你能归纳出一般结论吗?问题4分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件事”有什么关系?例1在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?问题5若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学,那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?小结如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有m n种不同的方法,那么完成这件事共有m1+m2+m3+…+m n种不同的方法.跟踪训练1某校高三共有三个班,其各班人数如下表:(1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法?(2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?探究点二分步乘法计数原理问题1如图,从丽水经杭州到上海的途径有多少种?问题2用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字,以A1,A2,…,B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?问题3由上述问题1,2,你能归纳猜想出一般结论吗?问题4分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件事”有什么关系?问题5如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事需要n个步骤,做每一步中都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢?例2某商店现有甲种型号电视机10台,乙种型号电视机8台,丙种型号电视机12台,从这三种型号的电视机中各选一台检验,有多少种不同的选法?小结利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计“分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内容是什么,各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数原理求解.跟踪训练2已知a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数是多少?探究点三两个计数原理的综合应用问题比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理,你能找出它们的区别与联系吗?例3书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?(3)从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?小结解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道应用哪个原理解题的情况,其思维障碍在于没有区分该问题是“分类”还是“分步”,突破方法在于认真审题,明确“完成一件事”的含义.具体应用时灵活性很大,要在做题过程中不断体会和思考,基本原则是“化繁为简”.跟踪训练3现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?【当堂检测】1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( )A .7B .12C .64D .812.从A 地到B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如果一天内汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 ( ) A .1+1+1=3 B .3+4+2=9 C .3×4×2=24 D .以上都不对 3.十字路口来往的车辆,如果不允许回头,共有不同的行车路线 ( ) A .24种 B .16种 C .12种 D .10种4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a ,b 组成复数a +b i ,其中虚数有________个. 5.将3封信投入6个信箱内,不同的投法有________种.【课堂小结】1.本课主要学习了两个重要的计数原理,应用两个原理时,要仔细区分原理的不同,加法原理关键在于分类,不同类之间互相排斥,互相独立;乘法原理关键在于分步,各步之间互相依存,互相联系. 2.通过对这两个原理的学习,要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.【拓展提高】1.用前六个大写的英文字母和1~9九个阿拉伯数字,以,,,,,2121B B A A ⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?2.一种号码拨号锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.3.现有高一年级的学生3名,高二年级的学生5名,高三年级的学生4名. (1)从中任选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法?【课后作业】§1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(二)【学习要求】巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能应用两个原理解决实际问题.【学法指导】用两个计数原理解决具体问题时,首先要分清是“分类”还是“分步”,其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准,在“分类”时要做到“不重不漏”,在“分步”时要正确设计“分步”的程序,注意步与步之间的连续性.【双基检测】1.如图所示,在由开关组A 与B 所组成的并联电路中,接通电源,则只闭合一个开关能使电灯发光的方法种数为 ()A .6B .5C .30D .12.用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ,B ,C ,D 中,每个矩形只涂入一种,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂色方法共有 ( ) A .72种 B .48种 C .24种 D .12种3.在夏季,一个女孩有红、绿、黄3件上衣,红、绿、黄、白、黑5种裙子,这位女孩夏季某一天去学校上学,有________种不同的穿法.【题型解法】题型一 两个计数原理在排数中的应用 例1 数字不重复的四位偶数共有多少个?小结 排数问题实际就是分步问题,需要用乘法原理解决.此题中,由于数字0的出现,又进行了分类讨论,即在解决相关的排数问题时,要注意两个原理的综合应用. 跟踪训练1 用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个: (1)三位整数?(2)无重复数字的三位整数?(3)小于500的无重复数字的三位整数?题型二 两个计数原理的实际应用 例2 (1)给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A ~G 或U ~Z ,后两个要求用数字1~9,最多可以给多少个程序命名?(2)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分.一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链,长链中每个位置上都有一个称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基,分别用A 、C 、G 、U 表示(如图所示).在一个RNA 分子中,各种碱基能以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA 分子由100个碱基组成,那么能有多少种不同的RNA 分子?小结 以上两个问题分别表示两个原理在计算机字节与生物学中的应用,要解决好实际问题,首先要将问题与学习过的两个原理联系,确定用分类还是分步,或是分类和分步综合应用.跟踪训练2 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态,因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法,即二进制.为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用一个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成.问:(1)一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码(GB 码)包含了6 763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?【当堂检测】1.某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生、女生各一人去参加座谈会,则不同的选法有() A.48种B.24种C.14种D.12种2.已知函数y=ax2+bx+c为二次函数,其中a,b,c∈{0,1,2,3,4},则不同的二次函数的个数为() A.125 B.15 C.100 D.103.(a1+a2)·(b1+b2+b3)·(c1+c2+c3+c4)的展开式中有________项.4.由0,1,2,3这四个数字,可组成多少个:(1)无重复数字的三位数?(2)可以有重复数字的三位数?5.随着人们生活水平的提高,某城市家庭汽车拥有量迅速增长,汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照号码组成办法,每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字,并且3个字母必须合成一组出现,3个数字也必须合成一组出现.那么按照这种办法共能给多少辆汽车上牌照?【课堂小结】本课时主要讲解了两个基本原理的应用,通过不同类型的题目,要仔细体会两个计数原理的具体用法,尤其是在自然科学、现代科技中处处都离不开两个计数原理的应用,从而深刻体会数学本身的重要性,进一步坚定学好数学的信念.【拓展提高】1.某商场有6个门,如果某人从其中的任意一个门进入商场,并且要求从其他的门出去,共有多少种不同的进出商场的方式?2.在在平面直角坐标系内,斜率在集合B={1,3,5,7}, y轴上的截距在集合C={2,4,6,8}内取值的不同直线共有条.3.将三封信投入4个邮箱,不同的投法有种.4.自然数2520有多少个约数?5.现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5个人,每个人都可以值多天或不值班,但相邻两天不准同一个人值班,问此值班表共有多少种不同的选法?6.用1,2,3三个数字,可组成个无重复数字的自然数.【课后作业】§1.1习题课分类加法计数原理与分步乘法计数原理【学习要求】1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能根据实际问题特征,正确选择原理解决实际问题.【知识要点】两个计数原理在解决计数问题中的用法在利用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析,是分类还是分步.【题型解法】题型一抽取(分配)问题例1高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种小结解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.(2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.跟踪训练13个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?题型二涂色问题例2一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.(1)如图1,圆环分成的3等份为a1,a2,a3,有多少种不同的种植方法?(2)如图2,圆环分成的4等份为a1,a2,a3,a4,有多少种不同的种植方法?小结(1)涂色问题的基本要求是相邻区域不同色,但是不相邻的区域可以同色.因此一般以不相邻区域同色,不同色为分类依据,相邻区域可用分步涂色的办法涂色.(2)涂色问题往往涉及分类、分步计数原理的综合应用,因此,要找准分类标准,兼顾条件的情况下分步涂色.跟踪训练2如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.题型三 种植问题例3 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.小结 按元素性质分类,按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法,区分“分类”与“分步”的关键,是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情,分类中的每一种方法都完成了这件事情,而分步中的每一种方法不能完成这件事情,只是向事情的完成迈进了一步.跟踪训练3 将3种作物种植在如图所示的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有________种(以数字作答).【当堂检测】1.某电话局的电话号码为168*****,若后面的五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码一共有 ( ) A .20个 B .25个 C .32个 D .48个2.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax +By =0的系数,则形成不同的直线最多有 ( ) A .18条 B .20条 C .25条 D .10条3.如图是5个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜色,且相邻正方形涂不同的颜色.如果颜色可反复使用,那么共有________种涂色方法.4.由0,1,2,3这四个数字,可组成多少个: (1)无重复数字的三位数? (2)可以有重复数字的三位数?【课堂小结】1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、也是最重要的原理,是解答排列、组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成;应用分步乘法计数原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.3.一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏. 4.若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时,则使用间接法会简单一些.【拓展提高】1.有4名同学分别报名参加学校的足球队,篮球队,乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,不同的报名种数是2.如图6个扇形区域F E D C B A 、、、、、,现给这6个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可供选择,有多少种染色方法?3.将一个四棱锥S ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少?§1.2.1排列(一)【学习要求】1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.【学法指导】排列是分步乘法计数原理的一个重要应用,学习中要理解排列数公式的推导过程,从中体会“化归”的数学思想.【知识要点】1.排列:一般地,从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素,按照 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement).2.排列数:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号 表示.3.排列数公式:A mn = (n ,m ∈N *,m ≤n )= .【问题探究】探究点一 排列(数)的概念问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的安排方法?问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数? 问题3 怎样判断一个具体问题是否为排列问题? 例1 判断下列问题是否是排列问题.(1)从1、2、3、4四个数字中,任选两个做加法,其结果有多少种不同的可能? (2)从1、2、3、4四个数字中,任选两个做除法,其结果有多少种不同的可能? (3)会场有50个座位,要求选出3个座位安排3位客人就座,有多少种不同的方法?小结 判断一个问题是否为排列问题的依据是否是有顺序,有顺序且是从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个不同的元素的问题就是排列,否则就不是排列. 跟踪训练1 判断下列问题是否是排列问题:(1)某班共有50名同学,现要投票选举正、副班长各一人,共有多少种可能的选举结果? (2)从2,3,5,7,9中任取两数分别作对数的底数和真数,有多少不同对数值?(3)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得多少个不同的点的坐标?探究点二 排列的列举问题问题 对于简单的排列问题,怎样写出从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列? 例2 写出下列问题的所有排列:(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数,共有多少个不同的两位数? (2)写出从4个元素a ,b ,c ,d 中任取3个元素的所有排列.小结 在写出所要求的排列时,可采用“树形”图或“框”图一一列出,一定保证不遗漏.跟踪训练2 写出下列问题的所有排列:(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票?(2)A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相,要求自左向右,A 不排第一,B 不排第四,共有多少种不同的排列方法?探究点三 排列数公式的推导及应用问题1 由例2中两个问题知:A 24=4×3=12,A 34=4×3×2=24,你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值? 问题2 由以上规律,你能写出A m n 吗?有什么特征?若m =n 呢?例3 (1)计算:2A 58+7A 48A 88-A 59. (2)求证:A m n +1=m ·A m -1n +A m n .小结 利用排列数公式进行运算时,要注意排列数之间的关系,两种形式中,一种形式用于化简,证明等,而另一种形式常用于求解.跟踪训练3 (1)某年全国足球甲级(A 组)联赛共有10个队参加,每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛?(2)解不等式:2996->x X A A【当堂检测】1.下列问题属于排列问题的是 ( ) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地; ②从10个人中选2人去扫地;③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队; ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算. A .①④ B .①② C .④ D .①③④2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )A .甲乙,乙甲,甲丙,丙甲B .甲乙丙,乙丙甲C .甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙D .甲乙,甲丙,乙丙 3.设m ∈N *,且m <15,则(15-m )(16-m )…(20-m )等于( )A .A 615-mB .A 15-m 20-mC .A 620-m D .A 520-m4.8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地上,有________种不同的种法(用数字作答).【课堂小结】1.排列有两层含义:一是“取出元素”,二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关,所以,取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.2.排列数公式有两种形式,可以根据要求灵活选用.【拓展提高】1.(1)215A;(2)66A(3)28382AA -;(4)6688A A .2.某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行 场比赛;3.一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假设每股道只能停放1列火车)?【课后作业】§1.2.1排列(二)【学习要求】1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题.【双基检测】1.4×5×6×…×(n -1)×n 等于( )A .A 4nB .A n -4nC .n !-4!D .A n -3n2.6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为( ) A .36 B .120 C .720 D .2403.从集合M ={1,2,…,9}中,任取两个元素作为a ,b , ①可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1?②可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2-y 2b2=1?其中属于排列问题的是________,其结果为________.4.有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,若某女生必须担任语文科代表,则不同的选法共有________种(用数字作答).【题型解法】题型一 无限制条件的排列问题例1 (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?小结 本题两小题的区别在于:第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学,各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本,各人得到哪本书相互之间没有联系,要用分步乘法计数原理进行计算.跟踪训练1 (1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任意挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的 信号?(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案?题型二 元素“在”与“不在”问题例2 用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?小结解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法.排列问题的实质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素,解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.跟踪训练2五个学生和一个老师站成一排照相,问老师不排在两端的排法有多少种?题型三元素“相邻”与“不相邻”问题例37人站成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?小结处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.跟踪训练3对于本例中的7人,(1)甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种?(2)甲、乙、丙排序一定时,有多少种排法?(3)甲在乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?【当堂检测】1.用1,2,3,4,5这5个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数共有()A.30个B.36个C.40个 D.60个2.6人站成一排,甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A.720 B.144 C.576 D.6843.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法种数为()A.42 B.30 C.20 D.124.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球,分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中,若不允许有空袋,且红口袋中不能装入红球,则有________种不同的放法.【课堂小结】1.对有特殊限制的排列问题,优先安排特殊元素或特殊位置.2.对从正面分类繁杂的排列问题,可考虑使用间接法.3.对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题,可使用“捆绑法”、“插空法”.【拓展提高】1.(1)6男2女排成一排,2女相邻,有多少种不同的站法?(2)6男2女排成一排,2女不能相邻,有多少种不同的站法?(3)4男4女排成一排,同性者相邻,有多少种不同的站法?(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻,有多少种不同的站法?2.用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?3.用0,1,2,3,4,5六个数字,能排成多少个满足条件的四位数.(1)没有重复数字的四位偶数?(2)比1325大的没有重复数字四位数?4.有4位男学生3位女学生排队拍照,根据下列要求,各有多少种不同的排列结果?(1)4个男学生必须连在一起;(2)其中甲、乙两人之间必须间隔2人.(3)若三女生互不相邻(4)若甲、乙两位同学必须排两端(5)若甲、乙两位同学不得排两端(6)若甲、乙两女生相邻且不与第三女生相邻5.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,求共有多少种不同的排法?6.一条铁路原有n个车站,为适应客运需要新增)1(mm个车站,客运车票增加62种,问原有多少个车站,现有多少个?【课后作业】§1.2.2组合(一)【学习要求】1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.【学法指导】组合研究的问题与排列是平行的,两者的区别是有无“顺序”.学习中可和排列相比较,领悟概念的本质,组合数公式推导中要研究组合与排列的关系.【知识要点】1.组合:一般地,从n个不同元素中,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).2.组合数:从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素的的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.3.组合数公式:C m n=A m nA m m==(n,m∈N*,m≤n).【问题探究】探究点一组合的概念问题1从3名同学甲、乙、丙中选2名去参加一项活动,有多少种不同选法?问题2问题1和“从3名同学中选出2名去参加一项活动,其中1名参加上午的活动,1名参加下午的活动”有何区别?问题3排列与组合有什么联系和区别?例1判断下列各事件是排列问题,还是组合问题.(1)10个人相互各写一封信,共写了多少封信?(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话?(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次?。
高二数学选修2-3§1.2.1排列(三)导学案
§1.2.1 排列(三)班级 姓名 使用时间:2014.4.24【温故知新】1.解决排列应用题常用方法有:(1) 位置分析法:以位置为主,特殊位置优先考虑.(2) 元素分析法:以元素为主,先满足特殊元素的要求,再处理其他元素.(3) 定序问题倍除法 (4)插空法 (5)捆绑法 (6)间接法2.练一练(1)6名学生排成两排,每排3人,则不同的排法种数为 .(2)从集合{}1,2,...,9M =中,任取两个元素作为,a b ①可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=?②可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程22221x y a b-=?其中属于排列问题的是 ,其结果为 .(3)有5名男生和3名女生,从中选出5人分别担任5个不同学科的科代表,若女生必须担任语文科代表,则不同的选法共有 种(用数字作答)【典型例题】一.特殊优先法1.(1)从4名短跑运动员中选出4人参加4100m ⨯接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案?(2) 从6名短跑运动员中选出4人参加4100m ⨯接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有多少种参赛方案?(3) 从4名短跑运动员中选出4人参加4100m ⨯接力赛,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方案?(4) 从6名短跑运动员中选出4人参加4100m ⨯接力赛,甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,问共有多少种参赛方案?二.相邻问题“捆绑法”2.用1到8这八个数字组成没有重复数字的八位数,要求1与2相邻,3与4相邻,5与6相邻,这样的八位数共有多少个?其中偶数有多少个?练习1:一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为.练习2: 5个人照相,甲必须站在乙的右边,有多少种排列方式?三. 不相邻问题“插空法”3.在1,2,3,4,5,6,7的任一排列中,相邻两数都互质的排列方式共有多少种?练习:我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架歼-15飞机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有多少种?四.定序问题“倍除法”定序问题可以用“倍除法”:先把所有元素进行全排列,再除以固定顺序的元素的全排列4. (1)七人排队,其中甲乙丙3人顺序一定的排队方式有多少种?(2)7个人排队,其中ABC三人顺序一定,EF两人顺序一定,则共有多少种不同排法?(3)某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行、工程丙必须在工程乙完成后才能进行、工程丁必须在工程丙完成后进行。
苏教版理科数学2—3第一章导学案1.3 组合(1)
普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-3[苏教版]§1.3 组合(1)教学目标:1.理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合;2.能正确认识组合与排列的联系与区别;3.了解组合数的意义,理解排列数与组合数的联系,掌握组合数的计算公式.教学重点,难点组合的概念和组合数公式.教学过程一.问题情境1.情境:(1)复习排列的有关内容:排列的概念、排列数公式.(2)考察下面两个问题:①高二(1)班从甲、乙、丙3名同学中选出2名学生代表去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?②高二(1)班从甲、乙、丙3名同学中选出2名学生代表去参加一项活动,有多少种不同的选法?③从1,2,3三个数字中选出两个数字组成两位数,这样的两位数共有多少个?④从1,2,3三个数字中选两个数字,能构成多少个不同的集合?2.问题:上述四个问题有哪些区别和联系?②④有什么共同特征?可用怎样的数学模型来刻画?二.学生活动引导观察:①③是上节课所学的排列.①中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而②只要求选出2名同学,是与顺序无关的,只要选出的元素相同就是同样的结果.④也是如此.上节中对应的排列问题还可以这样解决:第一步,先从3个元素中选出2个构成一组;第二步,再将这组中的两个元素按一定的顺序排成一列.②④其实就是第一个步骤的结果.这就是本节将要研究的组合问题.三.建构数学1.组合的概念:一般地,从n个不同元素中取出m()≤个元素并成一组,叫做从n个不m n同元素中取出m个不同元素的一个组合.说明:1.不同元素;2.“只取不排”——无序性;3.相同组合:元素相同.练习:判断下列问题哪个是排列问题,哪个是组合问题:(1)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?(组合)(2)从4个风景点中选出2个,并确定它们的游览顺序,有多少种不同的方法?(排列)图1-3-1思考:1,2,3和1,3,2是相同的组合吗?如何才能无重复无遗漏地把所有的组合写出来呢?例1.写出从,,a b c 这3个元素中,每次取出2个元素的所有组合. 解:先画一个示意图(图1-3-1):由此即可写出所有的组合:,,a b a c b c .2. 组合数的概念:从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号mn C 表示.(组合数是一个数) 由例1知323=C .又如:从4个景点选出2个进行游览的组合:AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD 一共6个组合,即:624=C ,那么又如何计算m n C 呢?3.组合数公式的推导:(1)提问:从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢?排列与组合的区别:组合是选择的结果,排列是选择后再排序的结果,是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得,故我们可以考察一下34C 和34A 的关系,如下:组 合 排列,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b ca b c a cb b a c b ca ca b cb aa b da b d a d b b a d b d a d a b d b a a cd a cd a d c ca d cd a d a c d cab cdb cd b dc cbd cd b d b c d cb→→→→由此可知:每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ,可以分如下两步:① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有34C 个;② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有33A 种方法. 由分步计数原理得:34A =⋅34C 33A ,所以,333434A A C =.(2)推广:一般地,求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ,可以分如下两步① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ;② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ,根据分步计数原理得:m n A =m n C mm A ⋅. (3)组合数的公式:(1)(2)(1)!m mnn mmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且.四.数学运用 1.例题:例2.计算:(1)29C ;(2)58C ;(3)735C ;(4)47C ;(5)710C . 解:(1)29983621C ⨯==⨯;(2)58876545654321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯;(3)7353534296724520761C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ ;(4)35;(5)120.例3.求证:11+⋅-+=m nmn C mn m C .证明:()()()111!!1!1!!!m m nnm m n n CC n mn mm n m m n m +++⋅=⋅==--+---(由繁至简)例4.设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值. 解:由题意可得:⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x 即:24x ≤≤,∵x N +∈, ∴2x =或3x =或4x =,当2x =时原式值为4;当3x =时原式值为7;当4x =时原式值为11. ∴所求值为4或7或11.例5.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分法? 略解:90222426=⋅⋅C C C .例6.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法共有多少种?解法一:(直接法)小组构成有三种情形:3男,2男1女,1男2女,分别有34C ,1624C C ⋅,2614C C ⋅,所以,一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅=100种方法. 解法二:(间接法)10036310=-C C . 2.练习:课本21P 练习1,2,5,7. 五、回顾小结此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理.六、课外作业:课本21P 练习3,6,课本第25页 习题1.3第1,2,3题.。
北师大版选修2-3数学组合导学案
组 合导学案(第一课时)主备人:李斌 审核人:高二数学组(理)使用日期:2013-5-班级: 姓名 组名 小组长签名学习目标:1、 正确理解组合的意义,明确组合与排列的区别与联系;2、 掌握组合数公式,能够应用组合数公式解决一些简单问题。
学习重难点:重点:组合数公式; 难点:组合数公式的推导学法指导:1、小组长带领组员回顾排列,预习组合 2、运用类比的思想找出排列与组合的区别 3、个个组员分别完成导学案4、将不能独立完成问题提交组上,有本组组员共同讨论完成,若本组共同无法完成,将问题提交“交流平台”全班共同或代课老师完成5、完成以后,组内预演展示已达到课堂展示完美6、课堂上注意利用“红色”笔做好改正和记录7、课后组长带领大家对本节中出现的错误,共同讨论进行纠错,个个组员将纠错内容记录在“纠错本”上。
知识链接:1、理解排列定义的两点:(1) (2) ;2、mn A = = ;3、mn A = 11m n A --,()1!n += !n ,()1!!n n +-= ,1!n n -=4、(1)n 个元素进行排列,其中m 个必须相邻,用 方法,有 种排法; (2)n 个元素进行排列,其中m 个互不相邻,用 方法,有 种排法; (3)n 个元素进行排列,其中m 个不在一起,用 方法,有 种排法; (4)n 个元素进行排列,其中m 个必须在某个位置或不在某个位置,用 方法; 自主学习:1、某城市有3个大型体育场A ,B,C,需要选择2个体育场承办一次运动会,它选择的组合:有 种; 2、从,,,a b c d 4个元素中取出两个,它取出的组合: 有 种; 3、组合的定义:从n 个不同的元素中 ,叫作从n 个不同元素中抽取m 个元素的一个组合;4、结合排列和组合的定义可以看到它们都是从n 各不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的计数问题,但是排列与元素的顺序 ,而组合与元素的顺素 。
5、组合数:从n 各不同的元素中取出m ()m n ≤个元素的 ,叫作从n 个不同元素中抽取m 个元素的组合数,用 表示;6、若,m n N +∈且m n ≤,则mn C = = = , 7、0n C = ,nn C = ;8、组合数性质:m n C = 1mn C += 合作交流:【问题1】谈一谈排列与组合的区别,(可以举一些例说明)【问题2】指出组合数的定义,组合数公式与排列数公式的关系及mn C =? (可以举一些例说明)【问题3】利用组合数公式试着推导组合数的两个性质: (1)mn C =n mnC -; (2)11m m m n n nC C C -+=+拓展延伸:题型一:组合与排列的区别: 例1:(1)甲,乙,丙三人作为班干部的候选人,从中选2名作为班干部,其中1名为正班长,1名为副班长,有多少种不同的方法?(2)甲,乙,丙三人作为班干部的候选人,从中选2名作为班干部,有多少种不同的方法?方法小结(自我感觉)题型二:有关组合的计算与证明 例2 :(1)47C ; (2)710C方法小结(自我感觉) 例3(1)已知8567117,10nn nnC C C C -=求;(2)求383321nnnn C C -++的值(3) 计算:222234550......A A A A +++方法小结(自我感觉)例4证明下列各式(1)11m m n nm C C n m++=∙-(2)1233333m m m m m n n nnn C C C C C ++++++++=;(3)11122m m m m n nn n C C C C +-++++=;自我总结(自我感觉)这节课你学到了一些什么?你想进一步探究的问题是什么?※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:A 型题:我巩固,我夯基: 1计算:9796959898982C C C ++ 2求方程:2561616x xx C C --=的解B 型题:我提高,我发展:3计算:533333310876543C C C C C C C ------C 型题:我创新,我飞翔: 4解方程:232551616x x x CC +++=5解不等式:211123x x x x C C --++<课后总结:学后反思:组合导学案(第二课时)主备人:李斌审核人:高二数学组(理)使用日期:2013-5- 班级:姓名组名小组长签名学习目标:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题.学习重点难点:组合数公式的掌握。
人教版选修2-3 1.2.2(2)组合导学案
1.2.2《组合》(第2课时)导学案制作 朱春梅 高二数学组 2016-05-12 【学习目标】1.进一步理解组合的定义,掌握组合数的计算公式.2.会解决一些简单的组合问题.3.体会解决简单的组合综合问题,提高分析问题和解决问题的能力. 【重点难点】1.重点是常见组合问题的解决策略.2.难点是实际问题的转化和分类讨论在解题中的应用. 【预习导航】 1、组合定义:2、组合数:3、组合数公式:4.练习:计算下列各组组合数的值【学习过程】自主探究:组合数的两个性质问题1:通过练习4你能发现什么结论,可以推广吗?性质1)性质2)练习 计算:1.2.合作探究:例1在100件产品中有98件合格品,2件次品。
产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? (4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?4626C C 与812412C C 与310710CC 与354546,C C C 与6979710,CC C 与299399C C +2839382C C C +-变式:按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?(1)甲、乙、丙三人必须当选;(2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;【课堂巩固练习】1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人,若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分法有 _________种2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中至多有一个人参加,则有不同的选法种数为_____.3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数为()4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员,则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有()【总结概括】本节课你学到了什么?【课后作业】课本P27A组9, 1032328778.()()A C C C C++32328778.()()B C C C C+++32328778.C C C C C+3218711.D C C C2353.AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C A A+。
高中数学选修2-3导学案 排列组合综合应用(包含2个课时)
排列组合应用问题(第1课时)【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。
2.能运用排列组合知识分析实际问题,提高分析问题和解决问题的能力。
【基础练习】1.将3名同学安排到2个工厂去实习,共有______________种不同的分配方案.2.用0到9这10个数字,可组成______________个没有重复数字的四位偶数.3.一个小组共有组长2人,组员7人,现在要求选出5人参加一项活动,要求这5人中至少一名组长,共有_________________种不同的选法.【合作探究】例1.高二(1)班有30名男生,20名女生。
从50名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员,共有多少种不同的选法?例2.2名女生、4名男生排成一排,问:(1)2名女生相邻的不同排法共有多少种?(2)2名女生不相邻的不同排法共有多少种?(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种?变式:七个家庭一起外出旅游,若其中四家分别是一个男孩,三家分别是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。
(1)一共用多少种站法?(2)甲站在正中间的排法有几种?(3)甲不排头,也不排尾,共有几种排法?(4)甲只能排头或排尾,共有几种排法?(5)甲不站排头,乙不站排尾,共有多少种排法?(6) 若三个女孩要站在一起,有多少种不同的排法?(7)若三个女孩要站在一起,四个男孩也要站在一起,有多少种不同的排法?(8) 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?(9)若三个女孩互不相邻,四个男孩也互不相邻,有多少种不同的排法?(10)若其中的A小孩必须站在B小孩的左边,有多少种不同的排法?例3.从0,1,2,...,9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数,其中大于13000的共有多少个?例4六本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法?(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;(2)分成三份,每份2本;(3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;(5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本.【学以致用】1.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数(1)有多少个五位数(2)有多少个五位数的奇数(3)有多少个大于31250的五位数?2.从6双不同的颜色的鞋子中任取4只,其中恰有两只可以配成一双鞋子的取法有多少种?3.按下列条件,各有多少种不同的送书方法?(1)5本不同的书送给6个人.(2)5本不同的书送给6个人,每人最多1本.(3)6本不同的书送给5人.(4)6本不同的书送给5人,每人最少1本.(5)3本相同的书送给5人,每人最多1本.(6)3本相同的书送给5人.4.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,那么共有多少种不同的安排方法?5.有一张节目表上原有6个节目,如果保持这些节目的相对位置不变,再添入3个节目,共有多少种不同的安排方法?排列组合应用问题(第1课时练习)【基础训练】1.如果有20个代表出席一次会议,每位代表与其他代表握一次手,那么一共握手_______次.2.200件产品中有3件是不合格品,现从中任意抽取5件,其中至少有2件是不合格品的抽法的种数为___________________________(列出算式).3.若从一个小组中选出正、副组长各1人与选出4名学生代表的选法种数之比为2:13,则这个小组的人数是_________.4.以正六边形的顶点为顶点的直角三角形共有_______个.5.若不同的5种商品在货架上排成一排,其中,a b两种必修排在一起,而,c d两种不能排在一起,则不同的排法种数共有______种.6.6个男生和4个女生排成一排,若女生既不相邻又不能在两端,则有_____种不同的排法.【思考应用】7.7人站成一排,下列情况中各有多少种不同的站法?(1)甲站在正中间,乙站在排头,丙站在排尾;(2)甲站在乙得右边(不一定相邻);(3)甲、乙、丙三人中任何两人均不相邻.8.用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个比4032大且没有重复数字的四位数?9.要举办一台文艺晚会,现从高一年级的4个文艺节目中选出2个,高二年级的5个文艺节目中选出3个,高三年级的3个文艺节目中选出2个编制节目,问:有多少种不同的演出顺序?Ð的OA边上有4个异于O点的点,以这10个点(含O点)为顶点,能得到多少个不同的三角10.在AOB形?【拓展提升】A B C D这4所中学任教,每校2人,其中甲、乙两人不得分配到A11.有8名师范大学毕业生被分配到,,,中学去,问:不同的分配方法有多少种?12.空间7个点最多能确定多少对异面直线?排列组合综合应用(第2课时)【教学目标】1.强化综合运用两个计数原理解决计数问题的能力。
高中数学 2.2《组合》导学案 新人教A版选修2-3
高中数学选修2-3 2.2《组合》导学案姓名: 班级: 组别: 组名:【学习目标】1.知道组合的定义,记住组合数的计算公式2.能说出组合与排列的区别与联系3.能解决一些简单的组合问题【重点难点】重点:组合与排列的区分难点:组合问题的简单应用【知识链接】1.排列的定义:2.排列数公式:【学习过程】阅读教材第21页至第23页,回答下列问题知识点一:组合的定义问题1:下列两个问题有何不同?(1)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动,有多少种不同的选法?问题2:组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.用符号表示。
问题3:排列与组合的概念有什么共同点与不同点?不同点:共同点:.问题5:写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合,并说出每一个组合对应的排列个数.问题6:你能得出组合数的计算公式吗?m nC = = = 规定:阅读教材第23页至第25页,回答下列问题知识点二:典例分析例1.计算下列各式的值(1)97999699C C + (2)n n n n C C 321383+-+例2.高一(1)班有30名男生,20名女生,现要抽取6人参加一次有意义的活动,问以下条件下有多少种不同的抽法?⑴只在男生中抽取⑵男女生各一半⑶女生至少一人【基础达标】A1.给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )①由1,2,3,4构成的2个元素的集合 ②五个队进行单循环比赛的分组情况③由1,2,3组成两位数的不同方法数④由1,2,3组成无重复数字的两位数A ①③B ②④C ①②D ①②④A2.r r C C -++1710110的不同值有( )A .1个B .2个C .3个D .4个B3.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合M 满足B ⊂M ⊂A ,则这样的集合M 共有 ( )A .12个B .13个C .14个D .15个B4.已知的值为与则n m ,43211+-==m n m n m n C C CC5.某校开设10门课程供学生选修,其中A 、B 、C 这3门课程由于上课时间相同,至多只能选修1门。
人教新课标版数学高二-选修2-3导学案 组合 (一)
1.2.2组合(一)(结合配套课件、作业使用,效果更佳)周;使用时间17 年月日;使用班级;姓名【学习目标】1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题.重点:组合及组合数的概念.难点:用公式解决简单的组合问题.【检查预习】预习相应课本内容完成导学案“自主学习”部分,准备上课回答.【自主学习】知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除;②从3,5,7,11中任取两个数相乘.以上两个问题中哪个是排列?①与②有何不同特点?从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除思考1可以得到多少个不同的商?思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数?思考3你能得出C24的计算公式吗?【合作探究】探究点一组合概念的理解例1判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有4个车站,则这条铁路线上需准备多少种车票?(3)从7本不同的书中取出5本给某同学.(4)3人去做5种不同的工作,每人做一种,有多少种分工方法?(5)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得一本,有多少种分配方法?探究点二组合的列举问题例2从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,列出所有组合为________.探究点三组合数公式及应用角度1有关组合数的计算与证明例3(1)计算C410-C37·A33;(2)证明:m C m n=n C m-1n-1.角度2含组合数的方程或不等式例4(1)已知1C m5-1C m6=7C m7,求Cm8+C5-m8.(2)解不等式:C4n>C6n.【学生展示】探究点一、二、【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.下列问题中,组合问题的个数是( )①从全班50人中选出5人组成班委会;②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员; ③从1,2,3,…,9中任取出两个数求积;④从1,2,3,…,9中任取出两个数求差或商.A.1B.2C.3D.42.满足方程216C x x -=C 5x -516的x 值为( ) A.1,3,5,-7B.1,3C.1,3,5D.3,53.不等式C n -310<C n -210的解为( ) A.3≤n ≤7B.3≤n ≤6C.n =3,4,5D.n =3,4,5,6,7 4.下列等式不正确的是( )A.C m n =n !m !(n -m )!B.C m n =C n -m n C.C m n =m +1n +1C m +1n +1 D.C m n =C m +1n +1 【小结作业】小结:作业:本节限时练。
高中数学高二理科选修2-3排列组合导学案
《排列(1)》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念;2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念;2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】(预习教材P14~ P18,找出疑惑之处)复习1:交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字,并且2个字母必须合成一组出现,4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?复习2:从甲,乙,丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另一名参加下午的活动,有多少种不同的选法?【教学过程】(一)导入探究任务一:排列问题1:上面复习1,复习2中的问题,用分步计数原理解决显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?新知1:排列的定义一般地,从n个元素中取出m()个元素,按照一定的排成一排,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试:写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列. 反思:排列问题有何特点?什么条件下是排列问题?探究任务二:排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出(nm≤)个元素的的个数,叫做从n个不同元素取出m元素的排列数,用符合表示.试试:从4个不同元素a,b, c,d中任取2个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?问题:⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少?⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少?⑶从n个不同元素中取出m(nm≤)个元素的排列数是多少?新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m(nm≤)个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,用公式表示为=nnA(二)深入学习例1计算:⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式:计算下列各式:⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯,则n = ,m = .变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 .(,n N ∈)例3 求证: 11--=m n m n nA A变式 求证: 7766778878A A A A =+-小结:排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试 n 2 3 4 5 6 7n !练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个? .【当堂检测 】1. 计算:=+243545A A ;2.. 计算:=+++44342414A A A A ;3. 某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行 场比赛;4. 5人站成一排照相,共有 种不同的站法;5. 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个3位数,共可得到 个不同的三位数.1. 求证:11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假设每股道只能停放1列火车)?3.一部记录片在4个单位轮映,每一单位放映1场,有多少种轮映次序?【反思 】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列(2)》导学案【学习目标 】1熟练掌握排列数公式; 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点 】 1熟练掌握排列数公式; 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导 】 (预习教材P 5~ P 10,找出疑惑之处) 复习1:.什么叫排列?排列的定义包括两个方面分别是 和 ;两个排列相同的条件是 相同, 也复习2:排列数公式:mn A = (,,m n N m n *∈≤)全排列数:nn A = = . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ,全部取出的排列数是【教学过程 】 (一)导入 探究任务一:排列数公式应用的条件 问题1:⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 新知:排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数,对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二:解决排列问题的基本方法问题2:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?新知:解排列问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明了时,可通过求差采用间接法求解;另外,排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”;“分离”问题可能用“插空法”等. (二)深入学习 例1 (1)6男2女排成一排,2女相邻,有多少种不同的站法? (2)6男2女排成一排,2女不能相邻,有多少种不同的站法? (3)4男4女排成一排,同性者相邻,有多少种不同的站法? (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻,有多少种不同的站法?变式::某小组6个人排队照相留念.(1) 若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法? (2) 若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法? (3) 若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法? (4) 若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法? (5) 若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?小结:对比较复杂的排列问题,应该仔细分析,选择正确的方法.例2 用0,1,2,3,4,5六个数字,能排成多少个满足条件的四位数.(1)没有重复数字的四位偶数?(2)比1325大的没有重复数字四位数?变式:用0,1,2,3,4,5,6七个数字,⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数?⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个?※动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行实验,有多少种不同的种植方法?练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数?【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量,要在土质相同的土地上进行试验,应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中,不同的投寄方法有种.3. 用1,2,3,4,5,6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排,两端不能排女生,共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试,若每天至多安排一次考试,则不同的排法有种.1..一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上?2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,求共有多少种不同的排法?【反思 】1. 正确选择是分类还是分步的方法,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件:从不同元素中取出元素,然后排顺序.《组合(1)》导学案【学习目标 】1. 正确理解组合与组合数的概念;2. 弄清组合与排列之间的关系;3. 会做组合数的简单运算;. 【重点难点 】1. 正确理解组合与组合数的概念;2. 弄清组合与排列之间的关系;3. 会做组合数的简单运算; 【学法指导】(预习教材P 21~ P 23,找出疑惑之处)复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是 和 . 复习2:排列数的定义:从 个不同元素中,任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号 表示复习3:排列数公式:mn A = (,,m n N m n *∈≤)【教学过程 】 (一)导入探究任务一:组合的概念问题:从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?新知:一般地,从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试:试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思:组合与元素的顺序 关,两个相同的组合需要 个条件,是 ;排列与组合有何关系? 探究任务二.组合数的概念:从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 表示. 探究任务三 组合数公式 m n C = =我们规定:=0nC (二)深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人,(1)从中选3个人组成一组,有多少种不同的方法?列出所有可能情况; (2)从中选3个人排成一排,有多少种不同的方法?变式: 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛: (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况.小结:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要正确区分排列与组合.例2 计算:(1)47C ; (2)710C变式:求证:11+⋅-+=m n m nC mn m C※ 动手试试 练1.计算:⑴ 26C ; ⑵ 38C ;⑶ 2637C C -; ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ,B ,C ,D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上,写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课,要求每个学生从中选学3门,共有多少种选法?【当堂检测 】1. 若8名学生每2人互通一次电话,共通 次电话.2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂,已知a B ∈,且B 中含有3个元素,则集合B 有个. 3. 计算:310C = .4. 从2,3,5,7四个数字中任取两个不同的数相乘,有m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则m :n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ,不包含字母b 的所有组合 1.计算:⑴ 215C ; ⑵ 2836C C ÷;2. 圆上有10个点:⑴ 过每2个点画一条弦,一共可以画多少条弦?⑵ 过每3点画一个圆内接三角形,一共有多少个圆内接三角形? 、【反思 】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式:(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或者:)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《 组合(2)》导学案【学习目标 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题; 【重点难点 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题; 【学法指导 】(预习教材P 24~ P 25,找出疑惑之处)复习1:从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合;从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 表示.复习2: 组合数公式: m n C = =【教学过程 】 (一)导入探究任务一:组合数的性质问题1:高二(6)班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法? ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法? ⑶ 上面两个问题有何关系?新知1:组合数的性质1:mn n m n C C -=.一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n m -个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应....,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数,即:mn n m n C C -=试试:计算:1820C反思:⑴若y x =,一定有yn x n C C =?⑵若yn x n C C =,一定有y x =吗?问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类是不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的,共有 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的,共有 个.从中你能得到什么结论?新知2 组合数性质2 m n C 1+=m n C +1-m n C(二)深入学习例1(1)计算:69584737C C C C +++;变式1:计算2222345100C C C C ++++例2 求证:n m C 2+=n m C +12-n m C +2-n m C变式2:证明:111m m m n n n C C C ++++=小结:组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛,但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 :解不等式:46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+,求x 的值练2. 解方程: (1)3213113-+=x x C C(2)333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测 】1. 908910099C -C =2. 若231212n n-C C =,则n =3.有3张参观券,要在5人中确定3人去参观,不同方法的种数是 ;4. 若7781n n n C C C +=+,则n = ;5. 化简:9981m m m C -C C ++= .1. 计算:⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆,贰圆,伍圆,拾圆的人民币各1张,一共可以组成多少种币值?3. 若128n n C C =,求21n C 的值【反思 】1. 组合数的性质1:mn n m n C C -=2. 组合数性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C《组合(3)》导学案 【学习目标 】 1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合;2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题.【重点难点 】1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合;2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题.【学法指导 】(预习教材P 27~ P 28,找出疑惑之处)复习1:⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数...,用符号 表示;从 个 元素中取出 (n m ≤)个元素的 的个数,叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数,用符合 表示. ⑵ mn A =mn C = =m n A 与mn C 关系公式是 复习2:组合数的性质1: .组合数的性质2: .【教学过程 】 (一)导入探究任务一:排列组合的应用问题:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案?⑵ 如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事?新知:排列组合在实际运用中,可以同时使用,但要分清他们的使用条件:排列与元素的顺序有关,而组合只要选出元素即可,不要考虑元素的顺序.试试:⑴平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条? ⑵平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段多少条? 反思:排列组合在一个问题中能同时使用吗? (二)深入学习 例1 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.⑴ 有多少种不同的抽法?⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?变式:在200件产品中有2件次品,从中任取5件: ⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种?⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种?⑶ 其中没有次品的抽法有多少种? ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种?小结:对综合应用两个计数原理以及组合知识问题,思路是:先分类,后分步.例2 现有6本不同书,分别求下列分法种数:⑴分成三堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本;⑵分给3个人,一人3本,一人2本,一人1本;⑶平均分成三堆.变式:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法?例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用一种颜色,问共有几种不同的着色方法?变式:某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中两位同学要么都请,要么都不请,共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表?练2. 高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, (1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条;2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥,可得不同的三棱锥有个;3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学,不同方法的种数是;4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息,不同方法的种数是;5. 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成没有重复数字的五位数?1. 在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法?路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 百度文库2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名,有多少种选法?⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,有多少种选法?⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内,有多少种选法?⑷如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题,要“先分类,后分步”,对特别元素,应优先考虑.1111。
人教版选修2-3 1.2.1(1)排列导学案
1.2.1《排列》(第1课时)导学案制作朱春梅审核高二数学组 2016-05-09【学习目标】理解并掌握排列的概念,能正确写出一些简单排列问题的所有排列.会推导排列数公式.能利用排列数公式进行求值和证明.【重点难点】排列的简单应用,能应用排列数公式求值和证明.排列概念的理解,排列数公式的推导.【预习导航】预习课本P14-P18.1.排列的概念是什么?2.排列数的概念,公式是什么?怎么得来的?3.排列与排列数有何区别?问题生成:一:排列问题探究一问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?问题3:上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来刻画?排列的概念:概念辨析例1 下列问题中哪些是排列问题?(1)10名学生中抽2名学生开会(2)10名学生中选2名做正、副组长(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除(5)以圆上的10个点为端点作弦(6)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的射线(7)有10个车站,共需要多少种车票(8)有10个车站,共需要多少种不同的票价?例2从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛,并排定他们的出场顺序,有多少种不同的方法?二 排列数 排列数的概念:问题探究二:问题1:“排列”和“排列数”有什么区别和联系?问题2:探究一中你是怎样求出的排列数3423,A A ?若从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少?3n A 呢?mnA 呢?1. 排列数公式(1)m n A ==nnA例1 计算 38A 88A 410A例2解方程232100x x AA =2. 排列数公式(2)()!!m n n A mn-=规定:例3证明11-++=m nm n m n mA A A【课堂巩固练习】 1计算243545A A +44342414AA A A +++2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有______种不同的种植方法?3.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有( )4.若45151617⨯⨯⨯⨯⨯= mnA 则m=_____ n=_____.【总结概括】 本节课你学到了什么?【课后作业】课本P27习题1.2 A 组1 ,3D.27种 C.6种 种 B.3 种1 . A。
高中数学选修2-3导学案 组合(包含3个课时)
组合(第1课时)【教学目标】1.理解组合意义;能判断一个问题是组合问题还是排列问题;2.明确排列与组合的区别和联系,了解组合数C n m的意义,理解排列数A n m和组合数C n m的联系.会用组合数公式进行计算或求值. 【问题情境】问题1:从甲、乙、丙三人中选出两人分别担任班长和副班长,共有多少种选法? 2:从甲、乙、丙三人中选出两人作为学生代表,共有多少种选法?思考:两个问题有什么联系和区别?定义:①一般地,从,叫做从n 个元素中取出m 个元素的一个;②从n 个不同的元素中取出m 个(m≤n)个元素的所有,叫做组合数;记作. 问题3:从a 、b 、c 、d 四个元素中任选三个元素,填表:(1)试写出所有选出的三个元素的组合;(2)写出所有选出的三个元素的排列.思考:(1)34C 与34A 在数量上有什么关系?(2)分析选出的三个元素的组合与排列有什么关系?推广到一般情形,m n C 与m n A 有什么关系?【合作探究】一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ,可以分为两步:第一步:; 第二步:;根据分步计数原理,m n A =,因此可以可到组合数公式:mnC ==.【展示点拨】例1.指出下列问题是排列问题还是组合问题?为什么?(1)从甲乙丙丁四个旅游景点选出三个去游览,有多少种选法?(2)从26个英文字母中选出10个按照字母顺序排成一排,有多少种选法? (3)从5人中选出两人去参加两个会议有多少种选法? (4)10人见面,每两人握一次手,共握手多少次?(5)空间5个点(任意3点不共线),最多能构成多少个平面?例2.利用组合数公式计算:(1)29C (2)58C (3) 1344C C + (4)233556C C C +-例3. (1)若3212n nA C =,求n. (2)若345112n n nC C C -<,求不等式的解集.例4.(1)凸五边形有多少条对角线? (2)凸n(n>3)边形有多少条对角线?【学以致用】1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?(1)从正方体的顶点中任选2个作直线,能作多少条直线?(2)从集合{2,3,4,5,6}中任选两个数分别作为log a b 的底数和真数,有多少种选法?(3)从集合{2,3,4,5,6}中任选两个数分别作为a,b 2. 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个. 3.集合{0,1,2,3,4}共有子集.4. (1)平面内有10个点,以其中2个点为端点的线段共有条; (2)平面内有10个点,以其中2个点为端点的有向线段共有条.5.(1)解方程:723435x x x C A ---=; (2)46n n C C >.组合(第1课时练习)【基础训练】1.在10名学生中选出3名学生参加数学竞赛,不同的选法有种.2.有下列问题:①在北京、上海、南京3个民航站之间的直达航线,共有多少种不同的飞机票?②3名同学相聚后,每2人握1次手,一共握手多少次?③学校图书馆有10本不同的数学竞赛参考书,任取4本借给甲同学,共有多少种不同的取法?④高二(1)班的45名同学,在春节时互相通电话问候1次,他们之间一共通话多少次?其中属于组合问题的是_____(填序号).3.在10名女生和15名男生中,选2名性别相同的学生参加一个活动,不同的选法有____种.4.有下列式子:①!C ;!()!m n n m n m =-②11C C ;m m n n n m --=③A !C ;m mn n m = ④!(1)!C !.m n m m n -=其中一定成立的是.5.设集合A {,,,},B A,a b c d =?如果B a ,且B 中有3个元素,那么满足条件的集合B 共有_______个.6.已知甲、乙两组各有8人,现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛,比赛人员的组成共有种可能. 【思考应用】7.现有4名男生和5名女生,从中选出5名代表,要求男生不少于3名,共有多少种不同的选法?8.已知456C ,C ,C n n n 成等差数列,求12C n 的值.9.解下列方程或不等式:(1)421212121;x x x C C C ---<< (2)46135n n n C C --=10.正方体六个表面的中心所确定的直线中,异面直线共有多少对?【拓展提升】11.6本不同的书分给甲、乙、丙3位同学.(1)若甲、乙、丙每人各得2本,则有多少种不同的分法? (2)若甲得1本,乙得2本,丙得3本,则有多少种不同的分法?12.某餐厅供应饭菜,每位顾客可在餐厅提供的菜肴中任意选择2荤2素共4种不同的品种,现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还要准备多少种不同的素菜?组合(第2课时)【教学目标】1.理解并掌握组合数的两个重要性质;会用组合数公式及其性质进行计算、求值;2.能运用组合知识分析简单的实际问题,提高分析问题的能力。
人教新课标版数学高二-选修2-3导学案 排列(一)
1.2.1排列(一)(结合配套课件、作业使用,效果更佳)周;使用时间17 年月日;使用班级;姓名【学习目标】1.理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.重点:排列的概念;难点:理解并掌握排列数公式,能应用排列知识解决简单的实际问题.【检查预习】预习课本,完成导学案“自主学习”部分,准备上课回答.【自主学习】知识点一排列的定义从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动.思考1让你安排这项活动需要分几步?思考2甲丙和丙甲是相同的排法吗?一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.知识点二排列数及排列数公式思考1从1,2,3,4这4个数字中选出两个能构成多少个无重复数字的两位数?思考2从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数?思考3从几个不同的元素中取出m个(m≤n)元素排成一列,共有多少种不同排法?【合作探究】探究点一 排列的概念例1 下列问题是排列问题的为________.①选2个小组分别去植树和种菜;②选2个小组分别去种菜;③某班40名同学在假期互发短信;④从1,2,3,4,5中任取两个数字相除;⑤10个车站,站与站间的车票.探究点二 排列数的计算或证明例2 (1)用排列数表示(55-n )(56-n )…(69-n )(n ∈N *且n <55);(2)计算2A 58+7A 48A 88-A 59; (3)求证A m n +1-A m n =m A m -1n .类型三 排列的列举问题例3 写出下列问题的所有排列:(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,应该有多少种机票?(2)A 、B 、C 、D 四名同学排成一排照相,要求自左向右,A 不排第一,B 不排第四,共有多少种不同的排列方法?【学生展示】探究点一、二、【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题【当堂检测】1.4×5×6×…(n-1)·n等于()A.A4nB.A n-4nC.(n-4)!D.A n-3n2.下列问题属于排列问题的是()①从10个人中选2人分别去种树和扫地;②从10个人中选2人去扫地;③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队;④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算.A.①④B.①②C.④D.①③④3.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个4.写出下列问题的所有排列.(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排;(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长.【小结作业】小结:作业:本节限时练。
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《排列(1)》导学案【学习目标】1. 理解排列、排列数的概念;2. 了解排列数公式的推导.【重点难点】1. 理解排列、排列数的概念;2. 了解排列数公式的推导.【学法指导】(预习教材P14~ P18,找出疑惑之处)复习1:交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法,每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字,并且2个字母必须合成一组出现,4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?复习2:从甲,乙,丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另一名参加下午的活动,有多少种不同的选法?【教学过程】(一)导入探究任务一:排列问题1:上面复习1,复习2中的问题,用分步计数原理解决显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢?新知1:排列的定义一般地,从n个元素中取出m()个元素,按照一定的排成一排,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试:写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列. 反思:排列问题有何特点?什么条件下是排列问题?探究任务二:排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从个元素中取出(nm≤)个元素的的个数,叫做从n个不同元素取出m元素的排列数,用符合表示.试试:从4个不同元素a,b, c,d中任取2个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少种不同的排列方法?问题:⑴从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少?⑵从n个不同元素中取出3个元素的排列数是少?⑶从n个不同元素中取出m(nm≤)个元素的排列数是多少?新知3 排列数公式从n个不同元素中取出m(nm≤)个元素的排列数=mnA新知4 全排列从n个不同元素中取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,用公式表示为=nnA(二)深入学习例1计算:⑴410A;⑵218A; ⑶441010AA÷.变式:计算下列各式:⑴215A; ⑵66A⑶28382AA-; ⑷6688AA.例2若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯,则n = ,m = .变式:乘积(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 .(,n N ∈)例3 求证: 11--=m n m n nA A变式 求证: 7766778878A A A A =+-小结:排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 动手试试 n 2 3 4 5 6 7n !练2. 从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个? .【当堂检测 】1. 计算:=+243545A A ;2.. 计算:=+++44342414A A A A ;3. 某年全国足球甲级(A 组)联赛共有14队参加,每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次,共进行 场比赛;4. 5人站成一排照相,共有 种不同的站法;5. 从1,2,3,4这4个数字中,每次取出3个排成一个3位数,共可得到 个不同的三位数.1. 求证:11211--++=-n n n n n n A n A A2. 一个火车站有8股岔道,停放4列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假设每股道只能停放1列火车)?3.一部记录片在4个单位轮映,每一单位放映1场,有多少种轮映次序?【反思 】1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式《排列(2)》导学案【学习目标 】1熟练掌握排列数公式; 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【重点难点 】 1熟练掌握排列数公式; 2. 能运用排列数公式解决一些简单的应用问题. 【学法指导 】 (预习教材P 5~ P 10,找出疑惑之处) 复习1:.什么叫排列?排列的定义包括两个方面分别是 和 ;两个排列相同的条件是 相同, 也复习2:排列数公式:mn A = (,,m n N m n *∈≤)全排列数:nn A = = . 复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ,全部取出的排列数是【教学过程 】 (一)导入 探究任务一:排列数公式应用的条件 问题1:⑴ 从5本不同的书中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法?⑵ 从5种不同的书中买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法? 新知:排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数,对元素可能相同的情况不能使用.探究任务二:解决排列问题的基本方法问题2:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?新知:解排列问题时,当问题分成互斥各类时,根据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时,根据乘法原理,可用位置法;这两种方法又称作直接法.当问题的反面简单明了时,可通过求差采用间接法求解;另外,排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”;“分离”问题可能用“插空法”等. (二)深入学习 例1 (1)6男2女排成一排,2女相邻,有多少种不同的站法? (2)6男2女排成一排,2女不能相邻,有多少种不同的站法? (3)4男4女排成一排,同性者相邻,有多少种不同的站法? (4)4男4女排成一排,同性者不能相邻,有多少种不同的站法?变式::某小组6个人排队照相留念.(1) 若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法? (2) 若排成一排照相,其中甲必在乙的右边,有多少种不同的排法? (3) 若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻有多少种排法? (4) 若排成一排照相,且甲不站排头乙不站排尾,有多少种不同的排法? (5) 若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?小结:对比较复杂的排列问题,应该仔细分析,选择正确的方法.例2 用0,1,2,3,4,5六个数字,能排成多少个满足条件的四位数.(1)没有重复数字的四位偶数?(2)比1325大的没有重复数字四位数?变式:用0,1,2,3,4,5,6七个数字,⑴能组成多少个没有重复数字的四位奇数?⑵能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个?※动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行实验,有多少种不同的种植方法?练2.在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数?【当堂检测】1. 某农场为了考察3个水稻品种和5个小麦品种的质量,要在土质相同的土地上进行试验,应该安排的试验区共有块.2. 某人要将4封不同的信投入3个信箱中,不同的投寄方法有种.3. 用1,2,3,4,5,6可组成比500000大、且没有重复数字的自然数的个数是.4. 现有4个男生和2个女生排成一排,两端不能排女生,共有种不同的方法.5. 在5天内安排3次不同的考试,若每天至多安排一次考试,则不同的排法有种.1..一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上?2.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序.除第一个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,求共有多少种不同的排法?【反思 】1. 正确选择是分类还是分步的方法,分类要做到“不重不漏”,分步要做到“步骤完整.2..正确分清是否为排列问题满足两个条件:从不同元素中取出元素,然后排顺序.《组合(1)》导学案【学习目标 】1. 正确理解组合与组合数的概念;2. 弄清组合与排列之间的关系;3. 会做组合数的简单运算;. 【重点难点 】1. 正确理解组合与组合数的概念;2. 弄清组合与排列之间的关系;3. 会做组合数的简单运算; 【学法指导】(预习教材P 21~ P 23,找出疑惑之处)复习1:什么叫排列?排列的定义包括两个方面,分别是 和 . 复习2:排列数的定义:从 个不同元素中,任取 个元素的 排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数,用符号 表示复习3:排列数公式:mn A = (,,m n N m n *∈≤)【教学过程 】 (一)导入探究任务一:组合的概念问题:从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?新知:一般地,从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.试试:试写出集合{}a,b,c,d,e 的所有含有2个元素的子集.反思:组合与元素的顺序 关,两个相同的组合需要 个条件,是 ;排列与组合有何关系? 探究任务二.组合数的概念:从n 个 元素中取出m ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 表示. 探究任务三 组合数公式 m n C = =我们规定:=0nC (二)深入学习例1 甲、乙、丙、丁4个人,(1)从中选3个人组成一组,有多少种不同的方法?列出所有可能情况; (2)从中选3个人排成一排,有多少种不同的方法?变式: 甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛: (1)列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况.小结:排列不仅与元素有关,而且与元素的排列顺序有关,组合只与元素有关,与顺序无关,要正确区分排列与组合.例2 计算:(1)47C ; (2)710C变式:求证:11+⋅-+=m n m nC mn m C※ 动手试试 练1.计算:⑴ 26C ; ⑵ 38C ;⑶ 2637C C -; ⑷ 253823C C -.练2. 已知平面内A ,B ,C ,D 这4个点中任何3个点都不在一条直线上,写出由其中每3点为顶点的所有三角形.练3. 学校开设了6门任意选修课,要求每个学生从中选学3门,共有多少种选法?【当堂检测 】1. 若8名学生每2人互通一次电话,共通 次电话.2. 设集合{}A a,b,c,d,e ,B A =⊂,已知a B ∈,且B 中含有3个元素,则集合B 有个. 3. 计算:310C = .4. 从2,3,5,7四个数字中任取两个不同的数相乘,有m 个不同的积;任取两个不同的数相除,有n 个不同的商,则m :n = .5.写出从a,b,c,d,e 中每次取3个元素且包含字母a ,不包含字母b 的所有组合 1.计算:⑴ 215C ; ⑵ 2836C C ÷;2. 圆上有10个点:⑴ 过每2个点画一条弦,一共可以画多少条弦?⑵ 过每3点画一个圆内接三角形,一共有多少个圆内接三角形? 、【反思 】1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式:(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+==或者:)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且《 组合(2)》导学案【学习目标 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题; 【重点难点 】1.2. 进一步熟练组合数的计算公式,能够运用公式解决一些简单的应用问题; 【学法指导 】(预习教材P 24~ P 25,找出疑惑之处)复习1:从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素 一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合;从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数....用符号 表示.复习2: 组合数公式: m n C = =【教学过程 】 (一)导入探究任务一:组合数的性质问题1:高二(6)班有42个同学⑴ 从中选出1名同学参加学校篮球队有多少种选法? ⑵ 从中选出41名同学不参加学校篮球队有多少种选法? ⑶ 上面两个问题有何关系?新知1:组合数的性质1:mn n m n C C -=.一般地,从n 个不同元素中取出m 个元素后,剩下n m -个元素.因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合,与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应....,所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数,即:mn n m n C C -=试试:计算:1820C反思:⑴若y x =,一定有yn x n C C =?⑵若yn x n C C =,一定有y x =吗?问题2 从121,,,+n a a a 这n +1个不同元素中取出m 个元素的组合数是 ,这些组合可以分为两类:一类含有元素1a ,一类是不含有1a .含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素与1a 组成的,共有 个;不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这 个元素中取出 个元素组成的,共有 个.从中你能得到什么结论?新知2 组合数性质2 m n C 1+=m n C +1-m n C(二)深入学习例1(1)计算:69584737C C C C +++;变式1:计算2222345100C C C C ++++例2 求证:n m C 2+=n m C +12-n m C +2-n m C变式2:证明:111m m m n n n C C C ++++=小结:组合数的两个性质对化简和计算组合数中用用处广泛,但在使用时要看清公式的形式.例3解不等式()321010n n-C n -<∈+C N .练3 :解不等式:46n nC C <※ 动手试试练1.若542216444x x C -C C C -=+,求x 的值练2. 解方程: (1)3213113-+=x x C C(2)333222101+-+-+=+x x x x x A C C【当堂检测 】1. 908910099C -C =2. 若231212n n-C C =,则n =3.有3张参观券,要在5人中确定3人去参观,不同方法的种数是 ;4. 若7781n n n C C C +=+,则n = ;5. 化简:9981m m m C -C C ++= .1. 计算:⑴ 197200C ; ⑵ 21-+•n n n n C C2. 壹圆,贰圆,伍圆,拾圆的人民币各1张,一共可以组成多少种币值?3. 若128n n C C =,求21n C 的值【反思 】1. 组合数的性质1:mn n m n C C -=2. 组合数性质2:m n C 1+=m n C +1-m n C《组合(3)》导学案 【学习目标 】 1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合;2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题.【重点难点 】1. 进一步理解组合的意义,区分排列与组合;2. 进一步巩固组合、组合数的概念及其性质;3. 熟练运用排列与组合,解较简单的应用问题.【学法指导 】(预习教材P 27~ P 28,找出疑惑之处)复习1:⑴ 从 个 元素中取出 ()m n ≤个元素的 组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数...,用符号 表示;从 个 元素中取出 (n m ≤)个元素的 的个数,叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数,用符合 表示. ⑵ mn A =mn C = =m n A 与mn C 关系公式是 复习2:组合数的性质1: .组合数的性质2: .【教学过程 】 (一)导入探究任务一:排列组合的应用问题:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: ⑴ 这位教练从17位学员中可以形成多少种学员上场方案?⑵ 如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事?新知:排列组合在实际运用中,可以同时使用,但要分清他们的使用条件:排列与元素的顺序有关,而组合只要选出元素即可,不要考虑元素的顺序.试试:⑴平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条? ⑵平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段多少条? 反思:排列组合在一个问题中能同时使用吗? (二)深入学习 例1 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.⑴ 有多少种不同的抽法?⑵ 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?⑶ 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?变式:在200件产品中有2件次品,从中任取5件: ⑴ 其中恰有2件次品的抽法有多少种?⑵ 其中恰有1件次品的抽法有多少种?⑶ 其中没有次品的抽法有多少种? ⑷ 其中至少有1件次品的抽法有多少种?小结:对综合应用两个计数原理以及组合知识问题,思路是:先分类,后分步.例2 现有6本不同书,分别求下列分法种数:⑴分成三堆,一堆3本,一堆2本,一堆1本;⑵分给3个人,一人3本,一人2本,一人1本;⑶平均分成三堆.变式:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法?例 3 现有五种不同颜色要对如图中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用一种颜色,问共有几种不同的着色方法?变式:某同学邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中两位同学要么都请,要么都不请,共有多少种邀请方法?※动手试试练1. 甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表?练2. 高二(1)班共有35名同学,其中男生20名,女生15名,今从中取出3名同学参加活动, (1)其中某一女生必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一女生不能在内, 不同的取法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的取法有多少种?【当堂检测】1. 凸五边形对角线有条;2. 以正方体的顶点为顶点作三棱锥,可得不同的三棱锥有个;3.要从5件不同的礼物中选出3件送给3个同学,不同方法的种数是;4.有5名工人要在3天中各自选择1天休息,不同方法的种数是;5. 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成没有重复数字的五位数?1. 在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题.有多少种不同的选法?路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 百度文库2. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各选2名,有多少种选法?⑵如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,有多少种选法?⑶如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内,有多少种选法?⑷如果4人中必须既有男生又有女生,有多少种选法?【反思】1. 正确区分排列组合问题2. 对综合问题,要“先分类,后分步”,对特别元素,应优先考虑.1111。