高等数学-习题答案-方明亮-第十一章

高等数学方明亮版第十一章答案

习 题 11-1

1．判断下列方程是几阶微分方程？

（1）2

3

d tan 3sin 1d ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭

y y t t t t ； （2）(76)d ()d 0-++=x y x x y y ；

（3）2()20''''-+=x y yy x ； （4）422()0'''''++=xy y x y ．

解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，

（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；

（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；

（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．

解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x ，而右边＝22(5)x 210=x =左边，所以25=y x 是2'=xy y 的解．

（2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，所以3sin 4cos =-y x x 是所给微分方程0''+=y y 的解．

（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入所给微分方程的左边，得

左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边），

所以2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解． （4）对ln()=y xy 的两边关于x 求导，得

1''=

+y y x y

， 即 ''=+xyy y xy ． 再对x 求导，得

2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ，

即 2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，

所以ln()=y xy 是所给微分方程2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y 的解．

3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ； （2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，01='=x y ． 解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得

220525=-=-C

所以，所求函数为2225-=y x ．

（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将0

0==x y ，0

1='

=x y 分别

代入

212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，

得

10=C ，21=C ，

所以，所求函数为2e =x y x ．

4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．

解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足

2e 9e 0λλλ-=x x ，

即 2(9)e 0λλ-=x ．

而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．

5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2y Cx C =+； （2）()tan y x x C =+； （3）12e e x x xy C C -=+； （4）212()y C C x -=．

解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程． （1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得

'=y C ，

代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为

2()''+=y xy y ．

（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得

2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，

即

2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ． 而tan()=+y

x C x

，故所求的微分方程为

2

⎛⎫

'=++ ⎪⎝⎭

y y y x x x x ，

化简得

22'=++xy y x y ．

（3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得

12e e -'+=-x x y xy C C ，

两边再对x 求导，得

12e e -''''++=+x x y y xy C C ，

这样便可得所求的微分方程为

2'''+=xy y xy ．

（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得

122()'-⋅=y C y C ，

将2

12()-=y C C x

代入上式，并化简得

12'=-xy y C ，

对上式两边再对x 求导，得

22''''+=y xy y ，

故所求的微分方程为

20'''+=xy y ．

习 题 11-2

1．求下列微分方程的通解或特解：

（1）ln 0xy y y '-=； （2）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=； （3）22()y xy y y '''-=+； （4）(1)d ()d 0x y x y xy y ++-=； （5）23yy xy x '=-，0

1x y

==； （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，1

6

x y

=π=

． 解 （1）分离变量，得

11

d d ln =y x y y x

， 两端积分，得

ln(ln )ln ln =+y x C ，

即

ln =y Cx ，

所以原方程的通解为

e =Cx y ．

注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；

但这些±号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处