空间向量数量积运算

范围:0≤〈a，b〉≤π在这个规定下， 两个向量的夹角就被唯一确定了，并且 〈 a， b〉 = 〈 b， a〉 . 如果〈a，b〉= π/2，则称a与b互 相垂直，并记作a⊥b .
题型一
【 例 1】
利用数量积求夹角
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，
AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°， ∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦
②|a|-|b|<|a-b|
③(b· c)a-(c· a)b不与c垂直 ④(3a+2b)· (3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中，真命题是（ D ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
知识要点
1.两个向量的夹角的定义
如图，已知两个非零向量a，b.在空 间任取一点O，可以作OA=a，OB=b， 则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作: 〈 a， b〉
a b a
A B
b
O
3.1.3空间向量的数量积运算
1） 空间两个向量的夹角的定义
思考：1、〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？
2、〈a，b〉与〈a，－b〉相等吗？ 注意：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈a，－b〉＝π－〈a，b〉
[解析]
＝6 3； a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝3×4×cos30°
(a＋2b)· (a－b)＝a ＋a· b－2b ＝9＋6 3－32
＝6 3－23.
a ＝|a|2＝9
2
2
2
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
l
n
g

m
高考链接
1.（2006年四川卷）如图，已知正六边 形P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数量积中最 大的是______. A A. B. C. D.
P1 P2 · P1 P3
P1 P2 · P1 P4
P1 P2 · P1 P5 P1 P2 · P1 P6
解析：如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6， 设边长 | P1 P2 |= a 则 ∠P2P1P3=π/6,
a b = a b cosθ
向量的夹角： 0 θ π
b a b
B
B
b
O
a
A
复习：
4．平面向量的夹角：
b a O
B
A
2.平面向量的数量积的主要性质
设a，b是两个非零向量 （ 1 ） a⊥ b a×b=0数量积为零是判 定两非零向量垂直的充要条件; （2）当a与b同向时, a· b=|a|· |b|;当a与b 2 a a = a 或 a = a a 反向时, a· b=-|a|· |b|;特别地， 用于计算向量的模; （3）cosθ =
即
a· b = a b cos a,b（ 0 a,b π）
（1）两个向量的数量积是数量，而不 是向量.
（2）规定:零向量与任意向量的数量积 等于零. （ 3） a 、 b 仍是 a 、 b 的模.
4.线面垂直的判定定理（必修2）：
若m、n是平面α内的两条相交直线， 且l⊥m， l⊥n. 则l ⊥α.
∴ 数量积中最大的是 P1 P2 , P1 P3
课堂练习
1.填空
（1）已知向量a，b满足| a |=1，| b |=2， |a - b|=3，则|a + b|=_________. 1 方法一:发现|a + b|2+|a –b |2=2(| a |2+| b |2) 带入求得. 有其他方法 吗？
方法二:由|a –b|2=| a |2 - 2a· b + | b |2 带入求得a· b=-2. ∴|a + b|2=| a |2+2a· b+| b |2 得 |a+b|=1 方法三:数形结合法，发现形的特殊性.
3 3a 2 | P1 P3 |= 3a，P1 P2 , P1 P3 = a· 3a· = 2 2
π | P P |= 2a P2 P1 P4 = ， 1 4 2 1 P1 P2 , P1 P4 = a· 2a· = a 2， 2
P1 P2 ,P1 P5 = 0， P1 P2 ,P1 P6 < 0
值．
[思路探索] 可先求向量OA与BC 的夹角，再根据异面直线的 夹角与向量的夹角之间的关系得出最后结果．
→
→
2. 空间向量数量积的定义
设OA=a，则有向线段OA的长度叫做 向量a的长度或模，记作: | a | 已知空间两个非零向量 a,b ， 则
a b cos a ,b 叫做 a,b的数量积，记作 a · b,
导入新课
复习
如果一个物体在力 F 的作用下产生 位移s,那么力F所作的功W = F S =| F || S | cosθ , 为了在数学中体现“功”的这样一个标 量,我们引入了“数量积”的概念.
F
θ
S
1.平面向量数量积的定义
已知两个非零向量 a,b , 则 a b cosθ
叫做 a,b的数量积，记作 a · b, 即
思考:下列命题成立吗?
①若a b a c ,则b c
②若 a b k ,则 a b ③ (a b) c a (b c)
k

1.向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3， | b |＝4，则a·b ＝__________， a2＝ __________， (a＋2b)· (a－b)＝__________.
3)空间向量的数量积性质: 对于非零向量 a , b，有：
(1) cos a, b ab a b
（求角的依据）
(2) a b a b 0 （证明垂直的依据） (3) a a a
2
（求向量的长度的依据)
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) ( a) b (a b)(结合律) 2) a b b a (交换律） 3） a (b c) a b a c (分配律）
2）两个向量的数量积
已知空间两个向量a, b，则 a b cos a, b叫做向量a, b 记作： a b,即 a b a b cos a, b
的数量积，
注：
①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
③数量积的几何意义：
a的模| a |与 b在a上投影 | b | cos a, b 的乘积
a b a b
用于计算ห้องสมุดไป่ตู้量的夹角.
3.平面向量数量积满足的运算律
（1）交换律: a· b = b· a
（2）对数乘的结合律: (λa)· b = λ( a· b ) = a· (λb )
（3）分配律: ( a + b )· c = a· c + b· c
数量积不满足结合律,即: ( a· b )· c a· ( b· c)
（2）已知 a 2 2 , b
则a，b所成的夹角为_______. 135
2 ,ab 2 2
分析:根据两向量夹角公式
0 a,b π） a· b = a b cos a,b （
可得到所求结果.
2.选择
设a，b，c是任意的非零空间向量，且 相互不共线，则：
①(a· b)c-(c· a)b=0