中职数学立体几何教案
立体几何职业高中数学教案
立体几何职业高中数学教案
主题：体积和表面积的计算
教学目标：
1. 了解立体几何中体积和表面积的概念；
2. 能够计算常见几何体的体积和表面积；
3. 能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：
1. 熟练掌握计算几何体体积和表面积的方法；
2. 能够准确应用所学知识解决实际问题。
教学内容：
1. 体积的计算公式及常见几何体的体积计算；
2. 表面积的计算公式及常见几何体的表面积计算；
3. 实际问题的解决方法。
教学过程：
1. 引入：通过展示一些常见的几何体，引导学生认识体积和表面积的概念；
2. 讲解体积的计算方法，例如长方体、正方体、圆柱体等几何体的体积计算公式；
3. 讲解表面积的计算方法，例如长方体、正方体、圆柱体等几何体的表面积计算公式；
4. 练习：让学生进行一些练习，巩固所学知识；
5. 应用：设计一些实际问题，让学生应用所学知识解决问题；
6. 总结：对本节课的重点内容进行总结。
教学资源：
1. PowerPoint课件；
2. 教科书《高中数学立体几何》；
3. 尺规、圆规、铅笔等绘图工具。
评估方法：
1. 课堂练习的成绩；
2. 实际问题的解决情况；
3. 课后作业的完成情况。
立体几何最全教案
立体几何最全教案doc一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和判定，提高空间想象能力。
2. 过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对立体几何的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作精神。
二、教学内容1. 第一课时：立体几何的基本概念（1）空间点、线、面的位置关系（2）平面、直线、圆锥面、球面的方程2. 第二课时：平面与直线的位置关系（1）平面与直线的交点（2）平面与直线的平行与垂直3. 第三课时：直线与直线的位置关系（1）直线与直线的交点（2）直线与直线的平行与垂直4. 第四课时：空间几何图形的性质与判定（1）空间四边形的性质与判定（2）空间三角形的性质与判定5. 第五课时：立体图形的面积与体积（1）立体图形的面积计算（2）立体图形的体积计算三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究立体几何的基本概念和性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示立体几何图形，提高学生的空间想象力。
3. 创设实践操作环节，让学生动手制作立体模型，加深对立体几何的理解。
4. 组织分组讨论，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
2. 作业完成情况：检查学生作业的准确性、规范性，评估学生的学习效果。
3. 考试成绩：定期进行立体几何的知识测试，检验学生的掌握程度。
4. 学生反馈：收集学生对立体几何教学的意见和建议，不断优化教学方法。
五、教学资源1. 教材：《立体几何》2. 多媒体课件：立体几何图形展示、动画演示3. 教具：立体模型、几何画板4. 网络资源：相关立体几何的论文、教案、教学视频六、教学策略1. 案例分析：通过分析典型立体几何案例，让学生理解和掌握基本概念和性质。
2. 启发式教学：提问引导学生思考，激发学生探究立体几何问题的兴趣。
人教版中职数学教案第九章立体几何[18份教案]
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9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．新课轴，使它们相交于点A'，且∠x'A'y'＝45°；(2)过点D作AB的垂线，设垂足为E；(3)在x'轴上截取A'E'=AE，E'B'=EB，然后作E'D'平行于y'轴，而且使E'D'＝12ED；(4)过点D'作x'轴的平行线D'C'，且D'C' =DC；(5)连接A'D'，B'C'，则四边形A'B'C'D'就是梯形ABCD的直观图．画直观图的基本步骤：(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们的夹角为45°；(2) 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半；(4)连接有关线段．练习一1．作边长为3 cm的正方形的直观图．2．作边长为3 cm的等边三角形的直观图．例2 画长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图．画法：(1)用例1的方法画一个长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD；(2)过A作z'轴，使之垂直于x'轴，在z'轴上截取AA' =2；(3)过点B，C，D分别作z'轴的平行线BB'，CC'，DD'，并使BB' =CC' =DD'=2 cm，连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'；(4)擦去x'轴、y'轴、z'轴．并把看不到的线段引导学生根据例题总结出画直观图的基本步骤．教师强调重点，学生识记．指导学生在原图中如何建立坐标系画直观图更容易．学生根据例1的方法作出长方体底面的直观图，教师重点讲解步骤(2) (3) (4)．学生完成练习，进一步体会直观图的画法．学生在作图的过程中体会斜二测画法的作图规则．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】9.2.1空间中的平行直线【教学目标】1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．【教学重点】平行线的基本性质．【教学难点】空间中图形平移的性质．【教学方法】这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】9.2.2 异面直线【教学目标】1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】异面直线的判定．【教学难点】异面直线的夹角．【教学方法】这节课主要采用实物演示法和类比教学法．先通过大量实例给学生以直观感知，再由平面几何两直线的位置关系引出异面直线的概念，由平面内两直线的夹角引出异面直线的夹角，并通过题目加深对各概念的理解．9.2.3 直线与平面平行【教学目标】1. 掌握空间直线和平面的位置关系．2. 掌握直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明．3. 通过动手，培养学生勇于实践、合理推理的能力，并使学生树立将空间问题向平面问题转化的思想，体会数学来源于生活，并服务于生活．【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理．【教学难点】直线与平面平行的判定定理，性质定理的理解和应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系，判断定理和性质定理．利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.2.4 平面与平面的平行关系【教学目标】1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．【教学重点】平面与平面平行的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．A9.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】9.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．【教学过程】9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】(1) (2)9.4.1棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．环节教学内容师生互动设计意图导入什么样的几何体叫做多面体？学生结合图片以及实际生活经验讨论问题．演示实物与图片，提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．新课1．多面体由若干个多边形围成的封闭的空间图形，叫做多面体；围成多面体的各个多边形叫多面体的面，两个相邻面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．练习一请你判断下面的多面体分别是几面体？2. 棱柱和它的性质（1）棱柱的定义问题：什么样的多面体叫做棱柱？它们有什么共同特征？学生小组合作，对照模型说一说多面体的面、棱、顶点、对角线各是什么．教师引导，学生口答．完成练习一．学生根据呈现的图片以及实物，总结出棱巩固多面体的相关概念．新课一个多面体，如果有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行，这样的多面体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)；其余各面叫做棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段或它的长度，叫做棱柱的高．（2）棱柱的表示用棱柱两底面的字母表示，如棱柱ABC-A'B'C'．（3）棱柱的分类侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的性质观察下列几何体，回答下列问题：（1）两个底面多边形间的关系是什么？（2）上下底面对应边间的关系是什么？（3）侧面是什么平面图形？（4）侧棱之间的关系是什么？棱柱的性质：（1）棱柱的每一侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．（2）两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．3.平行六面体和长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．柱的特点，得出棱柱的定义．学生对照课件，指出棱柱各部分的名称．教师呈现各种实物，结合直观图，体会各种棱柱之间的区别．按照不同的标准，对多面体进行分类．教师呈现多个棱柱，提出四个问题，学生进行讨论回答，逐步总结出一般棱柱的性质．对于直棱柱和正棱柱的性质，采用教师提问，学生回答的形式，总结出来．通过课件演示，让学生总结出性质（2）（3）．教师采用呈现直观图，让学生对四种棱柱进行类比，观察各个棱柱的特点．找出相同点学生自己总结棱柱的共性，由具体到抽象，加深对定义的理解．从棱柱到长方体，正方体，让学生体会由一般到特殊的9.4.2棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．【教学过程】9.4.3直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题：某工厂有一个排风管，管身为中空的正五棱柱，尺寸如图所示．计算出制作管身所需的平板下料面积．（不考虑排风管的壁厚）解所求排风管一个侧面的面积为10×30＝300（cm2）．那么制作管身所需的平板下料面积为5×300＝1 500（cm2）．教师设置实际场景，学生运用初中知识解决问题．教师给出侧面展开图，引出课题．根据实际生活的问题，设置情境，引发学生积极思考．提出新的解决方案，引发新的思考．新1．直棱柱的侧面积把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长C，宽等于直棱柱的高h，因此直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝Ch．练习一师：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？学生用课前准备的纸制棱柱模型沿侧棱展开．学生自己推导直棱柱侧面积公式．通过动手操作，提高学生学习的兴趣，更容易理解记忆侧面积公式．ch9.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入呈现实物，设置问题情境：怎样作出圆柱、圆锥的直观图？教师呈现图片．学生对比图片与实物，体会立体形与直观图的关系．新课例1 画水平放置的圆的直观图．画法：(1)在圆上取一对相互垂直的直径AB，CD，分别以它们所在的直线为x轴，y轴．画对应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'＝120°．(2)将圆O的直径AB分为n等份，过分点画平行于y轴的弦CD，EF，…．在x'轴上以O'为中点画线段A'B'，使A'B'= AB，将A'B'也分为n等份，以各分点为中点画y'轴的平行线段C'D'，E'F'，…，使C'D'= CD，E'F' = EF，…．(3)用平滑的曲线顺次连接A'，D'，F'，B'，E'，C'…，A'就得到圆的直观图，它是一个椭圆．总结一般步骤：(1)在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，把它们画成对应的O'x'轴和O'y'轴，∠x'O'y'＝120°（或60°），它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于xˊ轴或yˊ轴的线段；教师边演示，边讲解．学生和教师同步完成直观图．教师引导学生总结出正等测画法的步骤．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．让学生体会“化曲为直”的解决问题的方法．让学生总结画法的步骤，加深对正等测画法的理解．新课(3) 平行于x轴或y轴的线段长度不变．练习一画一个水平放置的半径等于4 cm圆的直观图．例2 画底面圆半径为0.8 cm，高为2.5 cm的圆锥的直观图．画法：(1)画轴：取x 轴、y 轴、z 轴，使它们两两相交成120°；(2)画底面：以O为中心，按x轴、y轴画半径等于0.8 cm的圆的直观图，然后在z轴上，取线段OS=2.5 cm．(3)成图：画圆锥的两条母线SA，SB与底面椭圆相切．再加以整理就得到所画的圆锥直观图．练习二已知一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为6 cm，画出它的的直观图．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．类比棱柱，棱锥直观图的画法，学生完成例2．教师强调应注意的问题．师生总结作旋转体直观图的一般步骤．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．小结1. 正等测画法的一般步骤．2. 旋转体直观图的画法．师生共同总结．作业1. 画一个水平放置的半径等于2 cm圆的直观图．2. 已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，高为4 cm，画出它的直观图．9.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．9.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题下面的物体呈什么形状？教师呈现有关球的图片．学生结合图片以及实际生活经验，举出更多关于球的例子．由丰富的图片和实物出发，激发学生兴趣．新课1．球的概念与性质半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．球的各个元素（如图所示）：（1）球心；（2）球的半径；（3）球的直径；球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．球面可以看作空间中与定点（球心）距离等于定长（半径）的点的全体构成的集合（轨迹），同样，球体也可以看作空间中与定点距离等于或小于定长师：球是由什么图形旋转而来的？生：圆，半圆．教师结合直观图讲解球的各个元素．师：仿照初中圆的定义，你能给出球面的另一种定义吗？理解定义，体会旋转体动态形成的过程．由具体的实物到抽象的直观图，培养学生的空间想象能力．O直径半径球心新课的点的全体构成的集合．用一个平面去截一个球，截面是圆面：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径r，有下面的关系：d＝R2－r2．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．知识拓展：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．例1 我国首都北京靠近北纬40︒纬线上，求北纬40︒纬线的长度．（地球半径约为6 370 km）解：如图，设A是北纬40︒圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK⊥AK．设 c 是北纬40︒的纬线长，因为∠AOB=∠OAK=40︒，强调注意球体与球面的联系与区别．结合图形，引导学生作出辅助线，利用勾股定理得到结论．教师可借助地球仪，帮助学生理解概念．师：假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机，设想一下，它应该沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?(1)济南和广州间的距离是一条线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢?(3)这无数条弧中，长度最短的是哪条?教师分析，从立体图形中抽象到平面图形，引导学生用初中所学知识解决问题．学生在教师的引导下，逐步完成证明过程．看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教师可以利用模型帮助学生理解．借助这个例题，教师再次强调将立体几何问题转化为平面几何问题的思路．OAKB40 °αOO'dRrP。
中职数学拓展模块上册第四章立体几何教学设计课件
性质3:不在同一条直线上的三个点,可以确定一个平面. 【说明】 这里“确定一个平面”指的是“有且只有一个平 面”. 根据上述性质,可以得出下面的三个结论: (1)直线与这条直线外的一点可以确定一个平面. (2)两条相交直线可以确定一个平面. (3)两条平行直线可以确定一个平面.
(1)在下列条件中,可以确定一个平面的是 ( B )
【说明】 与线面垂直几个有关的结论: ①如果一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内 任意一条直线. ②过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直. ③如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也 垂直于这个平面. ④两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行.
3.平面与平面垂直的判定与性质 (1)两个平面相交,如果所成的二面角是直二面角,那么称这两 个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β. 表示两个互相垂直平面的图形时,一般将两个平行四边形的 一组对边画成垂直的位置,可以把直立的平面画成矩形(图(1)),也 可以把直立的平面画成平行四边形(图(2)).
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面
(2)下列命题正确的是
( B)
A.若直线a在平面α外,则a∥α.
B.直线a在平面α外,直线b在平面α内,若a∥b,则a∥α.
C.直线b在平面α内,若直线a∥平面α,则a∥b.
D.若直线a∥平面α,直线b∥平面α,则a∥b.
3.平面与平面 (1)平面与平面的位置关系: 如果两个平面没有公共点,那么称这两个平面互相平行.平面α 与平面β平行,记作α∥β. 空间两个平面的位置关系有两种:平行与相交. (2)平面与平面平行的判定方法: 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,那么 这两个平面平行. (3)平面与平面平行的性质: 如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行.
中职数学基础模块(高教版)下册教案：简单几何体的三视图
中等专业学校2022-2023-2教案
教学内容一、情景引入
在日常生活中，我们见到的建筑物、机械构件、生活用具等物体大都是由柱、锥、球等基本几何体组合而成的，如图所示，这样的几何体称为简单组合体．而在工程领域，通常用三视图完整地表达几何体的结构形状．大家想一想，如何画出图的几何体的三视图？
教学内容二、探索新知
大家回忆以下，在义务教育阶段我们学习了直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等基本几何体的三视图，那么，我们就知道简单几何体的三视图可由平行投影得到．
观察图中所示的投影，从前向后、从左向右、从上向下三个方向对长方体平行投影，分别得到A、B、C三个投影．投影A、B、C的形状分别对应长方体的前、后面，左、右面和上、下面的形状．
图形A是从物体的正面向后投影所得的视图，称为主视图，又称为正视图，它反映物体的正面、背面形状以及物体的长度与高度，选择哪个方向画主视图，由观察者确定．图形C是从物体的上面向下投影所得的视图，称为俯视图，它反映物体的顶面、底面形状以及物体的长度与宽度．侧视图可以是左侧视图，即从物体的左侧面向右投影所得到的视图，也可以是右侧视图．通常选择左侧视图，简称左视图，如图所示图形B，它反映物体的左、右侧面形状以及物体的高度与宽度．主视图、俯视图、左视图统称为三视图．。
中职数学立体几何教案
x x 职业技术教育中心教案教师姓名x x 授课班级12 会计、通信授课形式新授授课日期2013 年 5 月13 日第13 周授课时数 2授课章节§9.1 平面的基本性质名称教学目的了解平面的表示方法和基本性质教学重点平面的基本性质用集合符号表示空间点、直线和平面的关系教学难点更新、补充、删节内容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：1．平面及其表示常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边 C 形来C表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表 D 示竖DD 直的平面．请注意它们画法之间的区别．AB 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28 所示的步图5-27(1)骤进行．BA图5-27(2)图5-28一个平面通常用小写希腊字母、、、, 表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面”、“平面”,, ，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC”或“平面BD”，当然也可记作平面ABCD ( 如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示：①点A 在直线l 上，记作 A l，点A 不在直线l 上，记作 A l；②点A 在平面内，记作 A ，点A 不在平面内，记作 A ；③直线l 在平面内，记作l ；④直线l 与直线m 交于点N，记作l m={ N} ，直线l 与直线m 没有交点，记作l m= ；⑤直线l 与平面交于点N，记作l ={ N} ，直线l 与平面没有交点，记作l = ；⑥平面与平面交于直线l，记作=l，平面与平面不相交，记作= ．在以后的学习中，我们将经常用到这些记号．课内练习 11. 能不能说一个平面长 2 米，宽 1 米，为什么？2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．4. 用符号表示下列点、线、面间的关系：D 1C 1(1)点A 在平面内，但在平面外；(2)直线l 经过平面外的一点N；(3)直线l 与直线m 相交于平面内的一点N；A1 BD1CA B (4)直线l 经过平面内的两点M 和N．(第3 题图) 5. 下面的写法对不对，为什么？(1)点A 在平面内，记作 A ; (2)直线l 在平面内，记作l ；(3)平面与平面相交，记作；(4)直线l 与平面相交，记作l ．2. 平面的基本性质基本性质：(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．如图5-29，直线l 上两点A,B 在平面内，那么l 上所有的 A 点B都在平面内，这时我们可以说，直线l 在平面内或平面经过直l线l．图5-29 这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内．因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性l质：C(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．如图5-30，平面与平面相交， C 是公共点，那么它们相图5-30 交于过C 的直线l．如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面．这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平AB面．如图5-31，A、B、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可C 以画一个平面．现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条图5-31腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：①一条直线和直线外一点可以确定一个平面；②两条相交直线可以确定一个平面；③两条平行直线可以确定一个平面．课内练习 26.判断题(1)如图，我们能说平面与平面只有一个交点 A 吗？(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB 吗?(3)如图,我们能说线段AB 在平面内,但直线AB 不全在平面内吗?7.三角形一定是平面图形吗？为什么？8.一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？A B9.怎样检查一张桌子的BA四条腿的下端是否在同一A平面内？(第1(1) 题图)(第1(2) 题图) (第1(3) 题图)小结作业x x 职业技术教育中心教案教师姓名x x 授课班级12 会计、通信授课形式新授授课日期2013 年 5 月14 日第13 周授课时数 4授课章节§9.2 空间两条直线的位置关系名称了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性教学目的会求异面直线所成的角异面直线的概念及其判定教学重点异面直线所成的角异面直线的判定教学难点异面直线所成的角更新、补充、删节内容使用教具课外作业课后体会复习引入：新授：1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．D C把教室看成一个长方体ABCD -A B C D （如图9-32），可以发现直线对BC 与AA 、AD 与D C 以及对角线 B D 与AC 等等，它们不同A BD C A B在一个平面内．图9-32 我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：(1) 没有公共点——平行(2) 只有一个公共点——相交(必定同在一个平面上)；(3) 既不相交也不平行——异面(不可能同在一个平面上)．l 1在画异面直线时，要像图9-33 那样，把两条直线明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出“异面”的特点．l课内练习 13.找出日常生活中异面直线的几个例子．4.图9-335.画出图5-32 中各面上的对角线，找出不少于 5 对异面直线来．6.两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？7.能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？2. 空间的平行直线平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34 中，因为ABB A 、BCC B 都是矩形，AA ∥BB , CC ∥BB ，所以CC ∥AA ．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，D C那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34 中的ACB和 A C B 。
立体几何最全教案
立体几何最全教案doc一、教案概述1. 教学目标：了解立体几何的基本概念和性质；掌握立体图形的绘制和识别方法；培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 教学内容：立体几何的基本概念和性质；立体图形的绘制和识别方法；常见立体图形的性质和特征。
二、第一章：立体几何的基本概念1. 教学目标：了解立体几何的基本概念，如点、线、面、体等；掌握立体图形的性质和特征。
2. 教学内容：点、线、面、体等基本概念的定义和性质；立体图形的分类和特征；立体图形的坐标表示方法。
三、第二章：立体图形的绘制和识别1. 教学目标：学会绘制和识别常见立体图形；掌握立体图形的对称性和旋转方法。
2. 教学内容：常见立体图形的绘制方法和解题技巧；立体图形的对称性和旋转方法；立体图形之间的相互转换和组合。
四、第三章：柱体和锥体1. 教学目标：了解柱体和锥体的定义和性质；掌握柱体和锥体的计算方法。
2. 教学内容：柱体和锥体的定义和性质；柱体和锥体的计算方法和解题技巧；柱体和锥体在实际应用中的例子。
五、第四章：球体和环面1. 教学目标：了解球体和环面的定义和性质；掌握球体和环面的计算方法。
2. 教学内容：球体和环体的定义和性质；球体和环体的计算方法和解题技巧；球体和环体在实际应用中的例子。
六、第五章：立体几何中的面积和体积1. 教学目标：学会计算立体几何图形的面积和体积；理解面积和体积在实际问题中的应用。
2. 教学内容：立体图形面积和体积的计算公式；面积和体积的单位及换算；实际问题中面积和体积的计算应用。
七、第六章：立体几何中的角度和距离1. 教学目标：学会计算立体几何图形中的角度和距离；掌握空间直角坐标系中角度和距离的计算方法。
2. 教学内容：立体图形中角度和距离的定义及计算方法；空间直角坐标系中角度和距离的计算；角度和距离在实际问题中的应用。
八、第七章：立体几何中的对称与轴对称1. 教学目标：了解立体几何中的对称性和轴对称性；学会运用对称性和轴对称性解决实际问题。
国赛中职数学简单几何体教案
国赛中职数学简单几何体教案教案标题：国赛中职数学简单几何体教案教案目标：1. 通过本课的学习，学生将能够理解简单几何体的概念和特征。
2. 学生将能够运用所学知识解决与简单几何体相关的问题。
3. 学生将能够在国赛中应用所学知识，提高解题能力和竞赛成绩。
教学重点：1. 理解简单几何体的定义和特征。
2. 运用所学知识解决简单几何体相关的问题。
教学难点：1. 运用所学知识解决与简单几何体相关的复杂问题。
2. 在国赛中应用所学知识，提高解题能力和竞赛成绩。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、国赛相关试题。
2. 学生准备：教材、练习册、计算器、尺子、铅笔等。
教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师通过展示一些简单几何体的图片，引发学生对几何体的兴趣，并与学生讨论几何体的特点和应用。
Step 2：概念讲解（10分钟）教师通过教学课件或黑板，向学生介绍简单几何体的定义和特征，如球体、立方体、圆柱体等，并给出相关的示例。
Step 3：知识巩固（15分钟）教师组织学生进行小组讨论，让学生运用所学知识解决一些简单几何体相关的问题，并在讨论中指导学生思考和解决问题的方法。
Step 4：拓展应用（15分钟）教师提供一些国赛相关的试题，让学生运用所学知识解决问题，并进行个人或小组竞赛，以提高学生的解题能力和竞赛成绩。
Step 5：总结归纳（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调学生在国赛中应用所学知识的重要性和技巧。
Step 6：作业布置（5分钟）教师布置相关的练习题，要求学生独立完成，并鼓励学生参加国赛前的模拟考试，以检验学习效果。
教学延伸：1. 鼓励学生参加数学竞赛，提高解题能力和竞赛成绩。
2. 提供更多的国赛相关试题，让学生进行针对性的练习和讨论。
教学评估：1. 教师通过课堂讨论和练习题的批改，评估学生对简单几何体的理解和应用能力。
2. 参加国赛前的模拟考试，评估学生在竞赛中的解题能力和竞赛成绩。
教学反思：1. 针对学生在解题过程中的困难和错误，及时给予指导和纠正。
最新中职数学授课教案：9.1.1立体图形及其表示方法(公共基础类)数学
中职数学（人教版）授课教案9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．新课画法(1)在梯形ABCD上，以AB为x轴，A为原点，建立平面直角坐标系．画对应的x'轴和y'轴，使它们相交于点A'，且∠x'A'y'＝45°；(2)过点D作AB的垂线，设垂足为E；(3)在x'轴上截取A'E'=AE，E'B'=EB，然后作E'D'平行于y'轴，而且使E'D'＝12ED；(4)过点D'作x'轴的平行线D'C'，且D'C' =DC；(5)连接A'D'，B'C'，则四边形A'B'C'D'就是梯形ABCD的直观图．画直观图的基本步骤：(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们的夹角为45°；(2) 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半；(4)连接有关线段．练习一1．作边长为3 cm的正方形的直观图．2．作边长为3 cm的等边三角形的直观图．例2 画长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图．画法：(1)用例1的方法画一个长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD；(2)过A作z'轴，使之垂直于x'轴，在z'轴上截取AA' =2；(3)过点B，C，D分别作z'轴的平行线BB'，引导学生根据例题总结出画直观图的基本步骤．教师强调重点，学生识记．指导学生在原图中如何建立坐标系画直观图更容易．学生根据例1的方法作出长方体底面的直观图，教师重点讲解步骤(2) (3) (4)．些量没有变化，便于下面总结画直观图的步骤．学生完成练习，进一步体会直观图的画法．学生在作图的过程中体会斜二测画法的作图规则．。
人教版中职数学教案第九章立体几何
[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何[18份教案]9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】9.2.1空间中的平行直线【教学目标】1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．【教学重点】平行线的基本性质．【教学难点】空间中图形平移的性质．【教学方法】这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】9.2.2 异面直线【教学目标】1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】异面直线的判定．【教学难点】异面直线的夹角．【教学方法】这节课主要采用实物演示法和类比教学法．先通过大量实例给学生以直观感知，再由平面几何两直线的位置关系引出异面直线的概念，由平面内两直线的夹角引出异面直线的夹角，并通过题目加深对各概念的理解．9.2.3 直线与平面平行【教学目标】1. 掌握空间直线和平面的位置关系．2. 掌握直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明．3. 通过动手，培养学生勇于实践、合理推理的能力，并使学生树立将空间问题向平面问题转化的思想，体会数学来源于生活，并服务于生活．【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理．【教学难点】直线与平面平行的判定定理，性质定理的理解和应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系，判断定理和性质定理．利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.2.4 平面与平面的平行关系【教学目标】1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．【教学重点】平面与平面平行的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．A9.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】9.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．【教学过程】9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】(2) (1)9.4.1 棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．9.4.2 棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．【教学过程】9.4.3 直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】9.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】9.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．9.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】9.4.6多面体与旋转体的体积(二)【教学目标】1．理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．2．会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】掌握锥体的体积公式．【教学难点】运用锥体和球体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用讲练结合法．教师引导学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，得到椎体体积公式，教材直接给出球体的体积公式，讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．【教学过程】9.4.6 多面体与旋转体的体积(一)【教学目标】1．理解祖暅原理，掌握柱体的体积公式．2．会用柱体的体积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】柱体的体积公式．【教学难点】用柱体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物操作，让学生理解祖暅原理，在此基础上由长方体的体积公式推导一般棱柱、圆柱的体积公式，然后讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．。
中职数学立体几何单元教学设计
中职数学立体几何单元教学设计清新县职业技术学校袁金业随着我国职业教育课程改革浪潮，中职数学教学改革也随之展开。
让人人学有用的数学，人人掌握必需的数学，不同的人学习不同的数学，不同的人在数学上得到不同的发展,这是中职数学课程改革的基本理念。
传统的数学观以数学高度的抽象性和严密的逻辑性而自豪,在数学教学中往往采用超现实的严密模式:定义、定理、公式变形,从抽象到抽象,使学生觉得学无用处,枯燥无味。
职业教育是就业教育,中职学生除了少部分继续上高校深造外,大部分人毕业后将到社会上就业，因此,中职教育不能普教化,中职数学应是“应用数学”,应该少考虑“抽象性”和“严谨性”,而要与社会生活紧密联系,多与专业知识、技能紧密联系,使学生学有兴趣,学以致用。
一个知识点要讲到什么程度，对于传统数学，很容易把握；对于职教数学，要从专业教学的要求出发，够用即可。
语文出版社张景斌主编《数学》基础模块下第九单元立体几何分四节：§9.1平面的基本性质；1.平面及其表示；2.平面的基本性质；公理1：公理2：公理3：。
§9.2直线、平面平行的判定与性质；1.直线与直线；公理4：定理：；2.直线与直线所成的角；3.直线与平面；直线与平面平行的判定与性质定理；4.平面与平面；两个平面平行的判定与性质定理；§9.3直线、平面垂直的判定与性质；1.直线与平面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角；3.平面与平面所成的角；4.平面与平面垂直的判定与性质。
§9.4空间几何体的结构特征。
1.多面体的结构特征；棱柱、棱锥的结构特征；2.旋转体的结构特征；圆柱、圆锥、球的结构特征；3.简单组合体的结构特征；4.多面体的表面积；5.旋转体的表面积；6.多面体的体积；7.旋转体的体积。
从选择内容到编排与普中教材相比更贴近现实生活，如公理1后的生活小贴示，§9.2节3.中的例3，归纳与总结中例4等等。
但仍有些内容例题选择不能摆脱怕失去数学的严谨性，系统性提心吊胆的痕迹。
中职数学教学：第9章立体几何备课讲稿2022年学习资料_
运用知识强化练习-1.结合教室及室内的物品，举出空间两条直线平行的例子-2.把一张矩形的纸对折两次，然后打开（如图），说明为什么-这些折痕是互相乎 的？
创设情境兴趣导入-将铅笔放在桌面上，此时铅笔与桌面有无数多个公共点，-抬起铅笔的一端，此时铅笔与桌面只有1个公共点；把铅笔放到-文具盒（文具盒在桌 上）上面，铅笔与桌面就没有公共点了.
创设情境兴趣导入-观察右图所示的正方体，可以发-现：棱AB与AD所在的直线，既不相-C-交又不平行，它们不同在任何一个平-面内.
动脑思考探索新和-在同一个平面内的直线，叫做共面直线，平行或相交的两条直线都是-共面直线.不同在任何一个乎面内的两条直线叫做异面直线.如图所示的方体中，直线AB与直线AD就是两条异面直线，-这样，空间两条直线就有三种位置关系：-平行、相交、异面，
第九章立体几何-本章主要学习空间直线、平面及简单几何体的概念、位置关系-及相关的计算，-2
9.1平面的基本性质-◎教学目标-1借助生活中的实物，-学生对平面产生感性的认识；-2-掌握平面的表示法，认识水平放置的直观图；-3-掌握平面的基 性质及作用；-4培养学生的空间想象能力.
问题一：你能过任意一点引三条互相垂直的直线吗？-墙角
四.平面的性质-性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有-其他公共点，并且所有公共点的集合是-过这个点的一条直线。-平面，与平面邴相交，交线 记做x⌒B=1-变前平面
见察下刊向題，你能得到什么猪纶？-A
四.平面的性质-性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面。-A-B-/a-“确定一个平面”指-的是“存在着一个平面，-并且只存在着一个平 ”
动脑思考探索新知-直线1与平面有无穷多个公共点时，直线1在平面内，其图形如1.-如果一条直线与一个平面只有一个公共点，那么就称这条直线与这个平面相 ，-画直线与乎面相交的图形，要把直线延伸到乎行四边形外（如图2）·-如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行.直线-1与平 平行，记作11“·画直线与平面平行的图形，要把直线画在平行四边形-外，并与乎行四边形的一边平行（如图9-193），
职高数学立体几何教案
职高数学立体几何教案【篇一：职高立体几何测试题1】【篇二：职高数学教材分析】中等职业学校数学教材分析一、课程性质与任务数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。
数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。
本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。
二、课程教学目标1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。
2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。
3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。
三、教学内容结构本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。
1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
基础模块上册包括集合、不等式、函数、指数函数与对数函数、三角函数。
基础模块下册包括数列、平面向量、直线和圆的方程、立体几何、概率与统计初步。
2. 职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容，各学校根据实际情况进行选择和安排教学。
3. 拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容，教学时数不做统一规定。
包括：三角公式及其应用、椭圆、双曲线、抛物线，概率与统计。
四、教学内容与要求（一）本大纲教学要求用语的表述1. 认知要求（分为三个层次）了解：初步知道知识的含义及其简单应用。
理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。
掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。
2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力）计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。
计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。
职高数学第一轮复习教案-7立体几何
平面的基本性质一、高考要求：理解平面的基本性质.二、知识要点：1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名.2.平面的基本性质:(1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.这时我们说,直线在平面内或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a⊂α.(2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论:推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β= ,且A∈ .3.有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集.三、典型例题：例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上.证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A∴E、F∈平面ABD∴EF⊂平面ABD同理GH⊂平面CBD∵EF与GH相交于点P∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上.例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B,求证:a、b、m三条直线在同一平面内.证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α.∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m∴m⊂α.∴a、b、m三条直线在同一平面内.四、归纳小结：1.证明点共线问题常用方法有二:(1)证明这些点都是某两个平面的公共点;(2)由其中两点确定一条直线再证明其它点在这条直线上.2.共面问题证明常用“纳入平面法”一般分为两点:(1)确定平面;(2)证明其余点、线在确定的平面内,解题中应注意确定平面的条件.五、基础知识训练：（一）选择题：1.下列说法正确的是( )A.平面和平面只有一个公共点B.两两相交的三条直线共面C.不共面的四点中,任何三点不共线D.有三个公共点的两平面必重合2.在空间,下列命题中正确的是( )A.对边相等的四边形一定是平面图形B.四边相等的四边形一定是平面图形C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( )A.1个B.2个C.3个D.1个或3个4.空间四点,其中三点共线是这四点共面的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（二）填空题：5.空间三条直线互相平行,但不共面,它们能确定 个平面,三条直线相交于一点,它们最多可确定 个平面.6.检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个平面内的方法是 .（三）解答题：7.已知A 、B 、C 是平面α外三点,且AB 、BC 、CA 分别与α交于点E 、F 、G ,求证:E 、F 、G 三点共线.8.已知1 ∥2 ∥3 ,且m∩1 =A 1,m∩2 = A 2,m∩3 =A 3,求证: 1 、2 、3 、m 四线共面.直线与直线的位置关系一、高考要求：1.掌握两直线的位置关系.掌握空间两条直线的平行关系、平行直线的传递性；2.了解异面直线概念.了解异面直线的夹角、垂直和距离的概念.二、知识要点：1.两条直线的位置关系有三种:(1)平行:没有公共点,在同一平面内;(2)相交:有且仅有一个公共点,在同一平面内;(3)异面:没有公共点,不同在任何一个平面内.2.平行直线的传递性:空间三条直线,如果其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也互相平行.3.异面直线的夹角、垂直和距离的概念:经过空间任意一点,分别作与两条异面直线平行的直线,这两条直线的夹角叫做两条异面直线所成的角.成90º角的两条异面直线叫做相互垂直的异面直线,异面直线a与b垂直,记作a⊥b.和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,对任意两条异面直线有且只有一条公垂线，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分叫做这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离.三、典型例题：例1:已知空间四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:EFGH是平行四边形.思考:如果AC=BD,四边形EFGH的形状是;如果AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是;如果AC=BD且AC⊥BD, 四边形EFGH的形状是.例2:如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=1cm,AB=AD=2cm,E是AA1的中点.(1)求证:AC1、BD1、CA1、DB1共点于O,且互相平分;(2)求证:EO⊥BD1,EO⊥AA1;(3)求异面直线AA1和BD1所成角的余弦值;(4)求异面直线AA1和BD1间的距离.四、归纳小结：1.平行线的传递性是论证平行问题的主要依据;等角定理表明角在空间平行移动,它的大小不变.2.两条异面直线所成的角θ满足0º＜θ≤90º,且常用平移的方法化为相交直线所成的角,在三角形中求解.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在立体几何中,以下命题中真命题的个数为( )(1)垂直于同一直线的两直线平行; (2)到定点距离等于定长的点的轨迹是圆; (3)有三个角是直角的四边形是矩形; (4)自一点向一已知直线引垂线有且只有一条.A.0个B.1个C.2个D.3个2.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等;(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;(4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( )(1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线;(2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线;(3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线;(4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线.A.0个B.1个C.2个D.3个4.下列命题中,结论正确的个数是( )(1)若a∥b, a∥c,则b∥c; (2)若a⊥b, a⊥c,则b∥c;(3)若a∥b, a⊥c,则b⊥c; (4)若a⊥b, a⊥c,则b⊥c;A.1个B.2个C.3个D.4个5.教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,它与直尺所在直线( )A.垂直B.平行C.相交D.异面6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( )A.异面B.相交C.不相交D.相交或异面7.设a、b、c为空间三条直线, 且c与a、b异面,若a与c所成的角等于b与c所成的角,则a与b的位置关系是( )A.平行B.平行或相交C.平行或异面D.平行或相交或异面8.(2002高职-4)已知m,n是异面直线,直线 平行于直线m,则 和n( )A.不可能是平行直线B.一定是异面直线C.不可能是相交直线D.一定是相交直线（二）填空题：9.平行于同一直线的两直线的位置关系是;垂直于同一直线的两直线的位置关系是.10.若a∥b,c⊥a,d⊥b,则c与d的关系为.11.空间两个角α和β,若α和β两边对应平行,当α=50º时,则角β=. （三）解答题：12..已知A、B和C、D分别是异面直线a、b上的两点,求证:AC和BD是异面直线(要求画出图形,写出已知,求证和证明过程)13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.(1)求直线DA1与AC的夹角;(2)求直线DA1与AC的距离.14.已知空间四边形OABC的边长和对角线长都为1,D、E分别为OA、BC的中点,连结DE.(1)求证:DE是异面直线OA和BC的公垂线;(2)求异面直线OA和BC的距离;(3)求点O到平面ABC的距离.直线与平面的位置关系一、高考要求：1.掌握直线与平面的位置关系.2.了解直线与平面平行的判定和性质,理解平行投影概念.掌握空间图形在平面上的表示方法.3.掌握直线与平面垂直的判定和性质.理解正射影和三垂线定理及其逆定理.掌握直线与平面所成的角及点到平面距离的概念.二、知识要点：1.直线与平面的位置关系有以下三种:(1)直线在平面内:有无数个公共点;(2)直线与平面相交:有且只有一个公共点;(3)直线与平面平行:没有公共点.2.直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行.用符号语言表述为:如果a∥b,b⊂α,a α,那么a∥α.直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个已知平面,且过这条直线的平面和已知平面相交,那么这条直线就和交线平行.用符号语言表述为:如果a∥α,a⊂β,α∩β=b,那么a∥b.3.当直线或线段不平行于投射线时,平行射影具有下述性质:(1)直线或线段的平行射影仍是按或线段;(2)平行线的平行射影仍是平行线;(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.4.表示空间图形的平面图形,叫做空间图形的直观图.画直观图通常用斜二测画法.5.直线与平面垂直的判定:如果一条直线垂直于平面内两条相交直线,那么这条直线就垂直于这个平面.用符号语言表述为:如果 ⊥a, ⊥b, a⊂α,b⊂α,a∩b=P,那么 ⊥α.直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线互相平行.用符号语言表述为:如果a⊥α, b⊥α,那么a∥b.6.斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.从平面外一点向平面引垂线和斜线,从这点到斜足间的线段长,称为从这点到平面间的斜线的长,斜足和垂足之间的线段称为斜线在平面内的射影.这点到垂足的距离称为这个点到平面的距离.斜线和它在平面内的射影所成的角称为这条斜线与平面所成的角.定理:从平面外一点向平面引垂线和斜线.(1)如果两斜线的射影的长相等,那么两斜线的长相等,射影较长的斜线也较长.(2)如果两斜线长相等,那么射影的长也相等,斜线较长的射影也较长.7.三垂线定理及其逆定理:三垂线定理:平面内的一条直线,如果和一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线也和这条斜线垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥AO,那么a⊥PA.三垂线逆定理:平面内的一条直线,如果和在这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线也和这条斜线在平面内的射影垂直.用符号语言叙述为:如果PO和PA分别是平面α的垂线和斜线,AO是斜线PA 在平面α上的射影,而直线a⊂α,且a⊥PA,那么a⊥AO.三、典型例题：例1:已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证:MN∥平面PAD;(2)求证:MN⊥CD;(3)若∠PDA=45º,求证:MN⊥平面PCD.例2: AD、BC分别为两条异面直线上的两条线段,已知这两条异面直线所成的角为30º, AD =8cm,AB⊥BC,DC⊥BC,求线段BC的长.例3:(99高职-22)(本题满分10分)已知平面α,A∈α、B∈α、P α、 ⊂α,在以下三个关系中:AB⊥ ,PA⊥α,PB⊥ ,以其中的两个作为条件,余下的一个作为结论,构造一个真命题(用文字语言表述,不得出现字母及符号,否则不得分),并予以证明.四、归纳小结：1.在直线与平面的位置关系中,注意掌握通过“线线平行”去判定“线面平行”，反过来由“线面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.平行射影的性质是假定已知线段或直线不平行于投射线得出的.如果平行于投射线,则线段或直线的像是一个点.3.由直线和平面垂直的判定定理可推出许多关于“垂直”的重要性质,其中最重要的有两个:一个是,到两点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分面;另一个是,三垂线定理及其逆定理.这个定理是判定空间线线垂直的一个重要方法,是计算空间中两条直线的夹角和线段长度等有关问题的重要基础.它的证明的思想方法十分重要.4.在直线和平面所成的角中要重点掌握公式:cosθ=cosθ1cosθ2.在公式的基础上得到了“斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角”的结论.直线与平面所成的角θ满足0º≤θ≤90º.五、基础知识训练：（一）选择题：1.如图,PO⊥平面ABC,O为垂足,OD⊥AB,则下列关系式不成立的是( )A. AB ⊥PDB. AB ⊥PCC. OD ⊥PCD. AB ⊥PO2.直线 与平面α成3π的角,直线a 在平面α内,且与直线 异面,则 与a 所成角的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,0π B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,3ππ C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ 3.由距离平面α为4cm 的一定点P 向平面α引斜线PA 与平面α成30º的角,则斜足A 在平面α内的轨迹图形是( )A.半径为34cm 的圆B.半径为24cm 的圆C.半径为334cm 的圆 D.半径为22cm 的圆 4.设a 、b 是两条异面直线,在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a 、b 垂直B.有一个平面与a 、b 都垂直C.过直线a 有且仅有一个平面与b 平行D.过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交5.下列命题中正确的是( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,则这条直线必定垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 6.两条直线a 、b 与平面α成的角相等，则a 、b 的关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上三种情况都有可能7.PA,PB,PC 是从P 引出的三条射线,每两条的夹角都是60º,则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为( )A.21B.36C.33D.238.直线a 是平面α的斜线,b ⊂α,当a 与b 成60º的角,且b 与a 在α内的射影成45º角时,a与α所成的角是( ) A.60º B.45º C.90º D.135º9.矩形ABCD,AB=3,BC=4,PA ⊥ABCD 且PA=1, P 到对角线BD 的距离为( )A.513 B.517C.921D.12951 10.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,则P 到BC 的距离为( ) A.5 B.52 C.53 D.5411.在直角三角形ABC 中, ∠B=90º,∠C=30º,D 是BC 边的中点,AC=2,DE ⊥平面ABC,且DE=1,则E 到斜边AC 的距离是( ) A.25 B.27 C.211 D.41912.已知SO ⊥平面α,垂足O, △ABC ⊂α,点O 是△ABC 的外心,则( ) A. SA=SB=SC B. SA ⊥SB,且SB ⊥SCC.∠ASB=∠BSC=∠CSAD. SA ⊥BC（二）填空题：13.如图,C 为平面PAB 外一点,∠APB=90º,∠CPA=∠CPB=60º,且PA=PB=PC=1,则C 到平面PAB 的距离为 . 14.在空间四边形ABCD 中,如果AB ⊥CD,BC ⊥AD,那么对角线AC 与BD 的位置关系是 .15.两条直线a 、b 在同一个平面上的射影可能是 . （三）解答题：16.证明直线与平面平行的判定定理.17.从平面外一点P 向平面引垂线PO 和斜线PA,PB.(1)如果PA=8cm,PB=5cm,它们在平面内的射影长OA:OB=4:3,求点P 到平面的距离;(2)如果PO=k,PA 、PB 与平面都成30º角,且∠A PB=90º,求AB 的长; (3)如果PO=k,∠OPA=∠OPB=∠A PB=60º,求AB 的长.18.一个正三角形的边长为a,三角形所在平面外有一点P. (1)P 到三角形三顶点的距离都是332a,求这点到三角形各顶点连线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离; (2)P 到三角形三条边的距离都是66a,求这点到三角形各边所作垂线与三角形所在平面成的角的大小以及这点到三角形所在平面的距离.19.已知直角△ABC在平面α上, D是斜边AB的中点, DE⊥α,且DE=12cm,AC=8cm,BC=6cm,求EA,EB,EC的长.20.如图,平面α∩β=CD,EA⊥α,EB⊥β,且A∈α,B∈β.求证:(1)CD⊥平面EAB;(2)CD⊥直线AB.21.已知PO⊥平面ABO,PB⊥AB,又知∠PAB=α,∠PAO=β,∠OAB=γ.求证:cosα=cosβcosγ.22. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求直线DA1与AC1的夹角;(2)求证:AC1⊥平面A1BD.平面和平面的位置关系一、高考要求：1.掌握平面和平面的位置关系.2.了解平面与平面的判定与性质,理解二面角概念,掌握平面与平面垂直的判定与性质.二、知识要点：1.平面和平面有以下两种位置关系:(1)平行:没有公共点;(2)相交:有一条公共直线.2.平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.用符号语言表述为:如果a∩b≠Φ, a⊂α,b⊂α,且a∥β,b∥β,那么α∥β.平面与平面平行的性质:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行.用符号语言表述为:如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,那么a∥b.3.二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.平面与平面垂直的判定:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.用符号语言表述为:如果直线AB⊂平面α,AB⊥β,垂足为B,那么α⊥β.平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.用符号语言表述为:如果α⊥β, α∩β=CD,AB⊂α, AB⊥CD,B为垂足,那么AB⊥β.三、典型例题：例1:试证明:如果两个平面垂直,那么在一个平面内,垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.例2:已知二面角α- -β的平面角是锐角θ,若点C∈α,C到β的距离为3,C到棱AB的距离为4,试求sin2θ的值.例3:已知平面β⊥平面α,平面γ⊥平面α,且平面β∩平面γ=a,求证:a⊥α.四、归纳小结：1.在平面与平面的位置关系中,注意掌握通过“线面(或线线)平行”去判定“面面平行”，反过来由“面面平行”去判定“线线平行”;通过“线线垂直”去判定“线面垂直”，反过来由“线面垂直”去判定“线线垂直”.2.二面角θ满足0º≤θ≤180º.求二面角的大小分两步:(1)找出二面角的平面角;(2)在三角形中求解平面角.五、基础知识训练：（一）选择题：1.设a、b、c表示直线,α、β、γ表示平面,下面四个命题中,;①若a⊥c, b⊥c,则a∥b ②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β③若a⊥c, b⊥α,则a∥α ④若a⊥α, a⊥β,则α∥βA.①和②B.③和④C.②D.④2.如图,木工师傅在检查工件相邻的两个面是否垂直时,常用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动一下,观察尺边是否和这个面密合就可以了.这种检查方法的依据是( )A.平面的基本性质B.三垂线定理C.平面和平面垂直的判定定理D.直线和平面垂直的判定定理3.已知直线 ⊥平面α,直线m⊂平面β，有下面四个命题:①α∥β⇒ ⊥m;② ∥m ⇒α⊥β;③α∥β⇒ ∥m;④ ⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题是( )A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③4. 如果直线 ,m 与平面α、β、γ满足: =β∩γ, ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且 ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC. m ∥β且 ⊥mD.α∥β且α⊥γ5. 对于平面α、β和直线 、m,则α⊥β的一个充分条件是( )A. ⊥m, ∥α,m ∥βB. ⊥m,α∩β= ,m ⊂αC. ∥m, m ⊥β, ⊂αD. ∥m, ⊥α,m ⊥β6. 若异面直线a 、b, a ⊂α, b ⊂β,则平面α、β的位置关系一定是( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或相交或重合7. 下列命题中,正确的是( )(1)平行于同一直线的两平面平行 (2)平行于同一平面的两平面平行 (3)垂直于同一直线的两平面平行 (4)垂直于同一平面的两平面平行A.(1)(2)B.(2) (3)C.(3)(4)D.(2)(3)(4)8. 过平面外一点P,(1)存在无数个平面与平面α平行 (2)存在无数个平面与平面α垂直 (3)存在无数条直线与平面α垂直 (4)只存在一条直线与平面α平行 其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9. 设正方形ABCD 的边长为64,PA ⊥平面AC,若PA=12,则二面角P-BD-C 的大小为( )A.3πB.4πC.2πD.32π（二）填空题：10. 已知二面角是60º,在它的内部有一点到这个二面角的两个半平面的垂线段长都是a,则两个垂足间的距离是 .11. 在二面角的一个面内有一个已知点A,它到棱的距离是它到另一个面的距离的2倍,则这个二面角的度数是 .12. 有如下几个命题:①平面α与平面β垂直的充分必要条件是α内有一条直线与β垂直;②平面α与平面β平行的一个必要而不充分的条件是α内有无数条直线与β平行; ③直线a 与平面β平行的一个充分而不必要的条件是β内有一条直线与直线a 平行. 其中正确命题的序号是 .13. 设m 、 为直线,α、β为平面,给出下列命题: ① 垂直于α内的两条相交直线,则⊥α;②若m ∥α,则m 平行于α内的所有直线;③若 ⊥α,α∥β，则 ⊥β;④若m ⊂α, ⊂β,且 ⊥m ，则α⊥β;⑤若m ⊂α, ⊂β，且α∥β，则m ∥ .其中正确的命题是(只写序号) .14. 已知直线 和平面α、β,给出三个论断:① ⊥α,② ∥β,③α⊥β,以其中的二个论断作为条件,余下的一个作为结论,写出你认为正确的一个命题 .15. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: .16. 设X,Y ,Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y”为真命题的是 .①X,Y ,Z 是直线; ②X,Y 是直线,Z 是平面; ③X,Y 是平面,Z 是直线; ④X,Y ,Z 是平面.设两个平面α、β相交于m,且直线a ∥α,a ∥β则直线a 与m 的关系是 .17. 如图,直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截,AC=15cm,DE=5cm,AB:BC=1:3,则AB 的长是 ,EF 的长是 .18. 二面角α- -β的度数为θ(0≤θ≤2),在α面内有△ABC, △ABC 在β内的正射影为△A´B´C´, △ABC 的面积为S,则△A´B´C´的面积S´= . （三）解答题：19. 已知一个二面角是60º,在它的内部一点到这个二面角的两个半平面的距离都是3,求两个垂足间的距离.20. 已知:在60º二面角的棱上,有两个点A 、B ，AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内,且垂直于线段AB,且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,求CD 的长.翻折问题一、高考要求：掌握立体几何中图形翻折问题的解法.二、知识要点：解决翻折问题要求:①根据题意作出折叠前、后的图形; ②分析折叠前、后边、角及其之间的关系哪些发生变化,哪些未发生变化;③寻找解决问题的方法并正确解答问题.三、典型例题：例1:已知△ABC中,AB=AC=2,且∠A=90º(如图(1)所示),以BC边上的高AD为折痕使∠BDC=90º.(如图(2)所示)①求∠BAC;②求点C到平面ABD的距离;③求平面ABD与平面ABC所成的二面角的正切值.例2:已知等腰梯形ABCD,AB∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC折成60º的二面角,求B、D两点之间的距离.四、归纳小结：1.折叠前一般是平面图形,用平面几何知识解答即可,折叠后是立体图形,要用立体几何知识解答;2.未发生变化的量可在折叠前的图形中解答,发生变化的量在折叠后的图形中解答.五、基础知识训练：（一）选择题：1.以等腰直角△ABC斜边BC上的高AD为折痕,折叠时使二面角B-AD-C为90º,此时∠BAC 为( ) A.30º B.45º C.60º D.90º2. 把边长为a 的正△ABC 沿高AD 折成60º的二面角,则点A 到BC 的距离是( )A.aB.a 26 C.a 33 D.a 4153. 已知边长为a 的菱形ABCD,∠A=60º,将菱形沿对角线BD 折成120º的二面角,则AC的长为( )A.a 22 B.a 23 C.a 23 D.a 2（二）填空题：4. E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点,EF 交BD 于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD= .5. 如图,ABCD 是正方形,E 是AB 的中点,如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起,使AE 与BE 重合,记A 与B 重合后的点为P,则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度. （三）解答题：6. 一个直角三角形的两条直角边各长a 与b,沿其斜边上的高h 折成直二面角,试求此时a 与b 两边夹角α的余弦.7. 把长宽各为4与3的长方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,试求顶点B 与D 的距离.8. 已知等腰梯形ABCD,AB ∥CD,上底=4,下底=6,高=3,沿它的对角线AC 折成90º的二面角,求B 、D 两点之间的距离.空间图形性质的应用一、高考要求：掌握空间图形的性质在测量和实际问题中的应用.二、知识要点：1.空间图形的性质在测量中的应用;2.空间图形的性质在实际问题中的应用.三、典型例题：例1:如图,道路 旁有一条河,对岸有一铁塔CD高a米,如果你手中只有测角器和皮尺(刻度米尺),不渡河能否测量出塔顶C与道路的距离.请说出你的测量方法,并求出该距离.例2:斜坡平面α与水平平面β相交于坡脚 ,且成30º的二面角,在平面α内沿一条与 垂直的小路上坡,每前进100米升高多少米?如果沿一条与坡脚 成45º角的小路上坡,仍升高这么高,前进了多少米?四、归纳小结：空间图形的性质在测量和实际问题中的应用,重点在于理解题意,画好能正确表示题意的图形,并运用空间图形的性质解题.五、基础知识训练：（一）填空题：1.正方体的棱长为a,有一小虫,在正方体的表面上从顶点A爬到顶点C´,则小虫爬行的最短距离是.2.在一长方体形的木块的面A1C1上,有一点P,过点P在平面A1C1内画一条直线和CP垂直.（二）解答题：。
(完整版)中职数学立体几何教案
x X职业技术教育中心教案复习引入:新授:1.平面及其表示常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边 表示平面.图5-27(1)表示平放的平面， 图5-27(2)表 直的平面.请注意它们画法之间的区别.如果要画相交的两个平面，可以按图 5-28所示骤进行.一个平面通常用小写希腊字母 、、、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面”、“平面”，…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作 平面AC ”或 平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27).应该注意，正像平面几何中 直线是可以无限延伸一样， 平面也是可以无限延展的，也就是说，它是 没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分.空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ① 点A 在直线I 上，记作A l ，点A 不在直线I 上，记作A I ; ② 点A 在平面内，记作A ，点A 不在平面 内，记作A ; ③ 直线I 在平面内，记作I ;④ 直线I 与直线m 交于点N ，记作I m={ N}，直线I 与直线m 没有交点，记作I m= ⑤ 直线I 与平面 交于点N ，记作I ={ N}，直线I 与平面 没有交点，记作I =; ⑥ 平面 与平面交于直线I ，记作 =I ，平面 与平面不相交，记作 =.在以后的学习中，我们将经常用到这些记号. 课内练习11. 能不能说一个平面长 2米，宽1米，为什么?2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面.3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面.4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1) 点A 在平面 内，但在平面 夕卜； (2) 直线I 经过平面外的一点N ; (3) 直线I 与直线m 相交于平面 内的一点N ;(4) 直线I 经过平面 内的两点M 和N .5. 下面的写法对不对，为什么？2. 平面的基本性质图 5-27(2)(1) 点A 在平面内，记作A (3)平面 与平面 相交，记作⑵直线I 在平面内，记作I ；(4)直线I 与平面 相交，记作IAB图 5-27(1)C(第3题图)基本性质：(1) 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内如图5-29，直线I 上两点A,B 在平面 内，那么I 上所有的 都在平面 内，这时我们可以说，直线I 在平面 内或平面 经过 线I .这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内. 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，么延展的结果，它们必定相交于一条直线.由此得平面的第二个 本性质：(2) 如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点 一条直线.如图5-30,平面 与平面 相交，C 是公共点，那么它们相 于过C 的直线I .如果我们把一张纸摊平折起来， 折痕一定是一条 线，就是这个道理.(3) 经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面.这个性质也可以简单地说成： 不在一直线上的三点确定一个平 面.如图5-31 , A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且 以画一个平面 .现在你可以明白前面提出的问题了•凳子三条腿、照相机支架 腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的. 从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个 推论：① 一条直线和直线外一点可以确定一个平面 ② 两条相交直线可以确定一个平面 ； ③ 两条平行直线可以确定一个平面 .课内练习21. 判断题(1) 如图，我们能说平面与平面 只有一个交点 A 吗？(2) 如图,我们能说平面 与平面 相交于线段AB 吗？(3) 如图,我们能说线段 AB 在平面 内,但直线AB 不全在平面 内吗? 2.三角形- 平面图形吗？为什么？3. 一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定 了，如何解释？4. 怎样检查一张桌子 的四条腿的下端是否在 同一平面内？(第1(3)题图)小结 作业占 八那 基的图 5-30直只可三条 (第1(1)题图)x X职业技术教育中心教案复习引入:新授:1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行•在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、 地面以及墙面之间的交线， 能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交.把教室看成一个长方体 ABCD-ABCD （如图9-32），可以发现 直线对BC 与AA 、AD 与D C 以及对角线B D 与AC 等等，它们不同 在一个平面内.我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直 线，也可以 说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线 •因此，空间中两条直线位置关系（除了重 合）有三种:（1） 没有公共点一一平行 （2） 只有一个公共点一一相交｝（必定同在一个平面上）;（3）既不相交也不平行——异面（不可能同在一个平面上）.在画异面直线时，要像图 9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面内，这样就容易体现出 异面”的特点.课内练习11. 找出日常生活中异面直线的几个例子.2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来.3. 两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线?2.空间的平行直线平面几何中的平行传递性法则一一平行于同一条直线的两条直线互相平行 是正确的.例如图9-34中，因为ABB A 、BCC B 都是矩形，AA // BB , CC // 后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法.在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 对立体几何中空间的角， 这条道理仍然成立.如 图9-34中的ACB 和 AC B 。
立体几何 教案
立体几何教案教案标题：立体几何教案教案目标：1. 了解立体几何的基本概念和术语；2. 掌握立体几何的基本性质和计算方法；3. 能够应用立体几何知识解决实际问题；4. 培养学生的观察力、空间想象力和逻辑思维能力。
教学重点：1. 立体几何的基本概念和术语；2. 立体几何的基本性质；3. 立体几何的计算方法。
教学难点：1. 立体几何的计算方法；2. 应用立体几何知识解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件或投影仪；2. 立体几何的教具或模型；3. 学生练习册或作业本。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用教学课件或投影仪展示一些立体几何的图片，引起学生的兴趣，并询问学生对这些图形的认识和了解程度。
二、知识讲解（15分钟）1. 介绍立体几何的基本概念和术语，如点、线、面、体等，并给出相应的示例和解释。
2. 讲解立体几何的基本性质，如平行线与平面的关系、垂直线与平面的关系等，并通过实例进行说明。
三、示范与练习（20分钟）1. 利用教具或模型，展示不同的立体图形，如立方体、圆柱体、球体等，并解释它们的性质和特点。
2. 引导学生观察和分析立体图形的特征，并让学生根据给定的条件计算立体图形的面积、体积等。
四、拓展与应用（15分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们运用所学的立体几何知识解决问题，如计算房间的体积、设计一个包装盒的尺寸等。
2. 鼓励学生在解决问题的过程中进行思考和讨论，培养他们的逻辑思维和创新能力。
五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调立体几何的重要性和应用价值。
2. 鼓励学生提出问题和疑惑，并进行解答和讨论。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的练习题，要求学生巩固所学的知识和技能。
2. 鼓励学生自主拓展学习，提供一些参考资料或网站链接。
教学反思：在本节课中，通过引导学生观察和分析立体图形的特征，让他们掌握了立体几何的基本概念和性质。
通过实际问题的应用，培养了学生的解决问题的能力和创新思维。
中职数学(基础模块上册 语文版)教学分析：第九单元 立体几何
第九单元立体几何一教学要求1. 了解平面的概念, 理解平面的基本性质.2. 了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.3. 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质.4. 了解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的概念.5. 理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质.6. 理解柱、锥、球及简单组合体的结构特征及其面积、体积的计算.7．培养和发展学生的空间想象能力, 提高运用图形语言进行交流的能力．二教材分析和教学建议（一）编写思路立体几何是在学习平面几何知识的基础上, 进一步研究空间点、线、面间的关系、性质以及空间几何体的结构特征和面积、体积的计算.本单元教材的主要内容包括: 平面的基本性质、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及他们之间平行与垂直的判定与性质定理, 柱、锥、球及简单的组合体的结构特征与表面积和体积的计算.本教材通过实物和模型, 在观察、实验与思辨的基础上为学生提供了一个逐步培养空间想象能力和数学思维能力的平台, 并通过对常见几何体结构特征的认识, 培养学生进行几何体面积、体积的计算能力, 并进一步体会本单元知识有效地为生产实践服务的必要性．本单元共分四节:空间的直线和平面是立体几何理论基础知识的主要内容, 是学好立体几何的基础, 第一节给出平面基本性质的三个公理, 奠定了立体几何的基础, 是本节知识的重点.第二节介绍了直线、平面之间的相互位置关系, 把直线、平面的相互平行的判定与性质作为重点内容加以研究. 其中直线与直线平行的性质, 是平面几何中关于平行直线知识的拓展, 是学生克服平面几何学习中的思维定势并转向空间想象思维的关键. 异面直线介绍的是空间两条直线一种全新的位置关系, 对异面直线位置的刻画——两条异面直线所成的角, 则是通过平移知识转化为平面几何中角的概念来认识, 初步渗透了“转化”教学思想在学习立体几何知识中的作用, 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理通过日常生活实践知识观察而得到的.第三节主要研究直线、平面相互垂直的判定与性质, 这是直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特殊位置关系, 在介绍了直线与平面所成的角和二面角的概念之后, 为我们研究直线、平面的垂直知识提供了方便．第四节介绍了柱、锥、球及其简单的几何体的结构特征及其面积、体积的计算.教材通过对空间几何体的整体观察, 帮助学生认识结构特征, 运用这些特征去描述现实生活中的一些简单物体的结构.柱、锥、球及其简单的几何体的面积计算是在给出侧面展开图的基础上让学生领会思路、掌握公式运用. 对于体积计算则是给出公式, 要求学生会用即可.常见几何体的面积与体积计算应引导学生理解它们的统一性, 加强联系与对比, 掌握常用简单几何体的面积与体积的计算方法.本单元教材的重点内容是平面的基本性质, 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定和性质, 柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积计算. 在教学中要渗透“转化”的思维方法, 逐步培养学生会用“类比”的学习方法, 会较熟练地运用面积、体积公式进行相关计算. 本单元教材的难点是使学生建立空间的概念, 教学中要注意从学生熟悉的事例引出, 要多运用教具、模型进行演示分析, 指导学生画出图形, 培养学生认识空间图形的能力, 逐步提高学生的空间想象能力, 教材中异面直线的概念和异面直线所成的角、二面角的平面角是学生难以接受的概念, 第三节中平面与平面平行与垂直的判定和性质是本章的难点．（二）课时分配本单元教学约需14课时, 分配如下（仅供参考）:9. 1平面的基本性质约1课时9. 2直线、平面平行的判定性质约3课时9. 3直线、平面垂直的判定性质约4课时9. 4空间几何体的结构特征约4课时归纳与总结约2课时（三）内容分析与教学建议9. 1平面的基本性质本节教材首先通过对生活中的一些常见物体的认识, 抽象出几何中“平面”的概念. 在此基础上, 介绍了平面的画法以及表示方法. 最后, 教材详细介绍了平面的基本性质（三个公理）以及如何用集合语言来描述点、直线、平面之间的关系.通过本节的学习, 要使学生了解平面的概念, 理解平面的画法和表示方法, 掌握平面的基本性质以及集合语言的运用．本节的重点是平面的基本性质. 教学的难点是自然语言与数学图形语言和符号语言之间的相互转化与应用.1. 本节内容既是立体几何的“入门”教学, 又是立体几何重要的理论基础部分. 通过对“平面”的概念的引进, 要让学生意识到学习观念上的变化, 即今后不再只局限在平面内, 而是进入了空间研究几何体. 所以建立空间观念、培养空间想象能力和进一步发展逻辑思维能力, 是这一节的教学目标之一.2. 平面是立体几何的基本元素, 是不加定义的最原始的概念. 要使学生“冲破”日常接触的很多有限平面实例的局限, 抽象、概括出数学中的“平面”, 指出“平面是无限延展而没有边界的”, 可以理解成它把整个空间分成了两个部分.（1）要使学生真正理解和掌握平面的“无限延展性”决非易事, 所以在教学中不要满足于通过实例让学生承认并记住这一性质, 而应当使学生养成习惯: 只要一见到平面的有关词语、符号、图形, 就能想到它是可以延展的.（2）平面可以看成是直线运动的轨迹, 所以平面也是空间点的轨迹或点的集合.3．在讲授平面的画法时, 要引导学生注意:（1）用平行四边形表示整个平面.（2）有时根据需要, 可以用其他平面图形来表示平面, 如三角形、矩形等.（3）为增强立体感, 当一个平面或直线的一部分被另一个平面遮住时, 应把被遮住部分的线段画成虚线或不画.（4）教学中要特别强调: 在以前的平面几何中, 凡是后引的辅助线我们都画成虚线, 而在立体几何中, 凡是被平面遮住的线, 都画成虚线, 凡是不被平面遮住的线都画成实线（无论是题中原有的, 还是后引的辅助线）.（5）我们所画的平面的图形, 只是平面的一部分, 它可以根据需要画的大些或小些, 就像画直线, 可以画的长些、短些一样. 总之, 需要用有限的图形来表示无限的平面. 由于学生刚接受平面的无限延展性, 马上又强调用有限图形来表示, 这可能会冲淡学生刚刚形成的概念, 教师在教学中应正视这个问题.4. 平面的基本性质, 是通过引入公理的方法来确定的. 其性质的内容是点、直线和平面之间的从属关系, 而不是平面自身的性质. 对于平面的基本性质, 教学时注意以下几点: （1）作为平面的基本性质的三个公理, 是建立在大量的实践的基础上, 其事理极为明显, 不需要任何论证就能被人们承认的真理, 因而被用来作为一切推理论证的基础. 这三个公理是整个立体几何学的理论基础, 没有它们, 便没有一整套的立体几何的理论和思想, 所以是这一节的重点内容. 教学中, 除了要大量引进实例外, 还要充分重视直观模型的作用, 要启发引导学生把直观模型抽象到数学上的点、线、面组成的图形, 从而逐步培养空间观念.（2）公理1告诉我们: 只要直线上有两个点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点就都在这个平面内, 从而这条直线就在这个平面内.以公理1为依据, 还可以知道, 如果一个多边形的所有顶点都在同一个平面内, 那么这个多边形的各边也都在这个平面内, 此多边形称之为平面多边形. 反之, 如果一个多边形的所有顶点不都在同一个平面内, 那么这个多边形的各边也不都在这个平面内, 这样的多边形称之为空间多边形.（3）公理1告诉我们: 如果能够找到两个平面的一个公共点, 根据平面的无限延展性, 那么这两个平面就有一条并且只有一条经过该点的公共直线, 即两个平面相交与通过该点的一条直线.在公理2中, 学生首次遇到“有且只有一条”一词, 它和“确定一条”是同义词. “有”说明图形是存在的, “只有一条”说明图形是惟一的. 所以“有且只有一条”说明图形是存在的并且是惟一的, 这一点必须向学生交代清楚. 对“有且只有一个”, “确定一个”, “可以做并且只能做一个”这样的数学语言, 要说明其等效性. 它们都同样包含两层意思, 即存在性与惟一性.（4）公理3给出了确定一个平面的条件. 可以帮助学生做如下分析, 过空间一个点、两个点或在同一条直线上的三个点都可以做无数个平面, 只有过不在同一条直线上的三个点才能确定一个平面, 可以确定一个平面的条件是“不在同一条直线上”和“三个点”, 二者缺一不可.5．立体几何中借用集合的符号来表示点、线、面之间的位置关系, 简单、明了．以点为元素, 直线、平面都是由点构成的集合．但在读法上仍然使用几何语言, 而一般不使用集合的语言, 如“A∈l”读成“点A在直线l上”, “α∩β＝l”读成“平面α与平面β相交于直线l”．9. 2直线、平面平行的判定与性质本节内容的处理遵循“直观感知—操作确认—度量计算”的认识过程展开. 教材首先通过对正方体模型的观察, 得到了空间两条直线的三种位置关系, 并介绍了平行线公理、异面直线及其所成的角；其次, 根据直线与平面的公共点的个数, 给出了直线与平面的位置关系, 并详细介绍了直线与平面平行的判定与性质；最后, 教材介绍了两个平面的位置关系以及两个平面平行的判定与性质.通过本节的学习, 要使学生了解空间的两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系, 理解平行线公理以及异面直线及其所成的角, 掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质．本节的重点是异面直线、直线与平面平行以及平面与平面平行的判定与性质. 教学的难点是异面直线及其所成的角以及平面与平面平行的判定.1. 教材以正方体为载体, 介绍空间两条直线的位置关系, 从而引出异面直线的定义, 教学中, 教师可列举生活中的实例, 加深学生的理解. 异面直线的理解是本节的难点, 教学中注意结合正反两方面例子, 深刻理解定义中“任何”的含义. 可以利用反证法的思想, 向学生指出, 两条直线是异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交.在画异面直线时, 一般要以平面为衬托, 可以显得更加直观和清楚, 否则, 就容易画成两条直线相交的情况（如图9－1）．图9－12. 公理4是初中平面几何中的平行公理在空间的推广, 它表示平行性在空间具有传递性. 要注意的是由于空间图形和平面图形有所区别, 所以平面图形的性质不一定能适合空间图形, 只有经过检验后确认是正确的, 才能在空间图形中使用. 初中平面几何中的平行公理是公理4的特殊情况, 三条直线平行, 它们即可以在一个平面内, 也可以两两共面.教学公理4时, 应启发学生通过观察（如三棱镜的三条棱、教室里的墙缝）, 经过类比, 使学生认识到对于空间的三条直线, 也存在着平行线的传递性, 并归纳出公理4: “平行于同一条直线的两条直线互相平行”.3. 空间四边形本节所给例题第一次涉及到空间四边形, 这是一个非常重要的空间图形, 应在教学中给以足够重视.首先, 要教给学生画空间四边形的方法, 一般可先画一个, 再在所在平面外取一点, 然后连结, 即得空间四边形. 当然, 也可以把空间四边形看做是由不在同一平面的有一条公共边的两个三角形拼成的. 其中是空间四边形的一条对角线, 另一条对角线一般都不画出来, 为了增强立体感, 有时也画出所在平面.其次, 应逐步启发学生认识空间四边形的有关性质：（1）四条线段首尾相接所得的封闭图形一定是平面图形吗？为什么？（得出空间四边形概念）（2）空间四边形的四边中点是否在同一个平面内？为什么？（例题所要证明的结论）（3）空间四边形的四边中点是一个平行四边形的顶点．（由学生自己证明）在给出异面直线所成的角后, 根据学生具体情况, 可以继续研究下述问题:（4）空间四边形的两条对角线是异面直线.（5）空间四边形的对边是异面直线.（6）如果空间四边形对角线互相垂直, 则四边中点是一个矩形的顶点.4. 由公理4可以推出等角定理, 为研究异面直线所成的角打下基础. 等角定理不仅是建立两条异面直线所成的角的依据, 而且还为研究二面角做了必要的准备.在等角定理中, 如果把角的两边反向延长, 则可以得到下述结论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 这个结论揭示了两条相交直线所成的锐角（或直角）在空间进行任意的平移变换, 角的大小保持不变.5. 异面直线所成的角, 是教学上的一个难点, 学生不易接受. 应从实际例子引入, 通过实例表明客观存在, 而且有研究的必要.（1）在平面几何中, 对于两条相交直线, 可以用它们夹角的大小来确定其相互位置关系. 同样, 在立体几何中, 也需要确定两条异面直线之间的相互位置关系.（2）从异面直线所成角的定义知, 它是用作图的方法构造出两条相交直线, 把两条直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角. 这种方式的定义就是构造性定义. 在立体几何中定量地描述两个元素之间位置关系的概念经常是构造性定义. 这种定义方式并不直接指出概念的本质属性, 而是指出所要定义的对象的构造方法. 因此应在教学中充分揭示构造的过程：①给出异面直线a, b；②在空间任取一点O, 过O做直线a′∥a, b′∥b, 把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角；③规定直线a′和b′相交构成的一对邻补角中的锐角（或直角）是异面直线a, b所成的角；④异面直线a, b所成的角的大小, 只与a, b的相对位置有关, 而与所取点O的位置无关；⑤有时为了方便, 常把点O取在异面直线中的一条上．（3）应从平行线公理及等角定理说明异面直线所成角的定义的合理性与唯一性.（4）两条异面直线所成的角是专指用来刻画异面直线相互关系的角, 但不能叫做“交角”, 以防止和相交直线的交角混淆.（5）如果两条异面直线所成的角是直角, 则说明两条异面直线相互垂直. 由此可知在立体几何中, 两条直线相互垂直, 但它们不一定是相交的, 也可能是异面直线.（6）异面直线所成的角的变化范围是（0, ].6. 异面直线所成的角只作为了解知识向学生讲解, 不要求对异面直线所成的角为一般角时的求解.7. 空间中直线与平面的位置关系根据公共点的情况进行分类, 有三种情况: 直线在平面内, 直线与平面相交, 直线与平面平行. 这三种情形的实例处处都可以找到, 要充分发挥实例的作用, 并在引用实例后, 向学生指出实例只给我们以某种形象, 要善于把它们抽象成数学中所说的直线与平面.另外, 还可分为以下二种情况: 直线在平面内, 直线在平面外. 直线在平面外, 用符号表示为a⊄α, 包含a∥α, a∩α＝A, 两种情况.8. 直线与平面平行的判定定理和性质定理, 不要求学生会证明, 只要求学生“直观感知, 加以确认”, 并能简单应用. 教学时, 注意使学生掌握符号语言, 并会熟练使用.判定定理是判定直线与平面平行的依据, 它把判定直线与平面平行的问题转化成判定直线与直线平行的问题. 可以简单写成：线、线平行⇒线、面平行.在理解和应用判定定理时, 一定要注意两点：（1）平面外的一条直线一定要平行于平面内的一条直线；（2）平面内的直线可以是任意的一条, 只要能在平面内找一条与平面外一条直线平行, 就可以证明平面外一条直线与平面平行, 这是最基本的方法.判定直线与平面平行主要有以下几种方法:①利用定义；②利用直线与平面平行的判定定理, 从直线与直线平行得到直线与平面平行；③在学习了平面与平面平行的性质后, 通过证明平面与平面平行也可以得到直线与平面平行.9. 对直线与平面平行性质的研究, 就是研究在直线与平面平行的条件下, 能够推出什么结论. 注意防止学生错误地认为“一条直线平行于一个平面, 就平行于这个平面内的一切直线”.在理解性质定理时, 应明确下述几点:（1）当a∥α时, 过直线a可以做无数多个平面和平面α相交, 则交线就有无数多条, 且它们和直线a相互平行.（2）若a∥α, a⊂β, α∩β＝b, 则a∥b , 而且在平面α内, 除了与直线b平行的那些直线外, 其他直线都和直线a是异面直线．（3）与平面α平行的任意两条直线可能相交、平行或是异面直线.性质定理是证明直线和直线平行的依据, 它由线、面平行⇒线、线平行. 所以也提供了证明两条直线平行的又一种方法.10. 结合教材中的“试一试”、“议一议”, 给学生充分的时间动眼、动脑, 进行观察和探索, 在学生“直观感知, 加以确认”的基础上, 归纳出直线与平面平行的判定和性质定理.11. 两个平面是指不重合的两个平面. 两个平面的位置关系应从实际引入, 除教材上的方法, 还可以让学生观察生活里的其他实例, 从中抽象出有且仅有平行与相交两种, 这两个概念也以有无公共点来划分. 同时, 引出定义后, 可与直线和直线平行、相交, 直线和平面平行、相交进行类比.12. 平面与平面平行的判定定理和性质定理是本节的重点内容之一. 平面与平面平行的判定定理和性质定理, 不要求学生会证明, 只要求学生“直观感知, 加以确认”, 并能简单应用. 教学时, 注意使学生掌握符号语言, 并会熟练使用.13. 对于平面与平面平行的判定, 如果按定义去证明很麻烦, 可以通过回顾直线与平面平行的判定定理, 引发学生思考: 空间的两个平面, 如果其中一个平面内有一条直线与另一个平面平行, 是否可以判定这两个平面平行（不一定）；如果其中一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行, 是否可以判定这两个平面平行（不一定）, 据此启发学生提出严格的判定条件: “一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面”才可以推出两个平面平行. 对于这个定理的证明不作要求.讲解平面与平面平行的判定定理时, 引导学生注意“两条相交直线”这个条件. 教师可以通过列举反、正例子加以强调. 在分析判定定理的条件和结论时, 重点突出“相交”和“都”这两个条件, 如果两个条件不同时具备, 两个平面就一定不平行.14．讲完两个平面平行的性质定理后, 应该向学生指出: 两个平行平面中的一个平面内的任何直线都平行于另一个平面, 但是不一定平行于另一个平面内的所有直线, 他们可能是平行线, 也可能是异面直线, 但一定不会是相交直线．9. 3直线、平面垂直的判定与性质本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—度量计算”的认识过程展开. 教材首先给出了直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理；然后研究了直线与平面不垂直的情况——直线与平面所成的角的问题. 其次, 为了描述两个相交平面所构成的角的大小, 教材引入二面角的概念, 并研究了二面角的平面角的定义及其应用. 最后, 针对两个相交平面所构成的角为直角这一特殊情况, 教材给出了平面与平面垂直的定义、平面与平面垂直的判定定理与性质定理.通过本节的学习, 要使学生了解直线与平面所成的角、二面角的平面角的概念, 理解直线与平面垂直以及平面与平面垂直的定义、判定与性质．本节的重点是直线与平面垂直以及平面与平面垂直的定义、判定与性质. 教学的难点是二面角的平面角的定义及其应用.1. 直线与平面垂直, 是直线与平面相交的一种特殊情况. 教材通过旗杆与地面的位置关系, 打开的书直立在桌面上的位置关系等实例, 让学生感知直线与平面垂直这种位置关系, 从而引出相关概念.2. 由定义可以判定一条直线与一个平面是否垂直, 但要证明一条直线和平面内的任何一条直线垂直并非易事, 由此需要寻找一种简单的判定方法. 结合教材中的“折纸实验”, 给学生充分的时间动手、动脑, 进行探索, 在学生“直观感知, 加以确认”的基础上, 归纳出直线与平面垂直的判定定理.3．要使学生明确“两条相交直线”的“相交”是判定定理不可忽略的条件．因为如果一条直线和一个平面内的两条、即使是一组平行直线都垂直, 也不能断定这条直线和这个平面垂直（如图9－2）；而如果一条直线只和一个平面内的一条直线垂直, 也同样不能断定这条直线和这个平面垂直．这可以通过用直角三角板演示的方法, 加以说明（如图9－3）．图9－2图9－34. 直线与平面垂直的性质定理体现了平行关系与垂直关系之间的联系, 不要求对此定理进行证明. 可以提出下面两个类似命题, 让学生进行对比思考:（1）如果两条直线都平行于同一个平面, 那么这两条直线是否平行？（2）如果两条直线都垂直于同一条直线, 那么这两条直线是否平行？显然, 两个问题的答案都是否定的, 应让学生各举出一个反例加以说明. 反例可在正方体模型中寻找.5. 直线与平面所成的角是直线和平面位置关系中的一个重要内容, 它可以精确地刻画直线和平面的位置关系. 教材通过足球门的实例引出了相关概念, 直线与平面所成的角的概念是学生接触到的第二个空间角的概念, 与后面的二面角一起, 构成了比较完整的空间角的概念, 这些概念对于提高学生的空间位置关系的认识, 发展学生的空间想象能力, 起着重要的作用.6. 直线与平面所成角变化范围是[0, ], 但斜线与平面所成角变化范围是（0, ）.7. 应使学生掌握确定直线与平面所成角的一般步骤, 详见教材. 在计算直线与平面所。
职高立体几何课程设计
职高立体几何课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解立体几何的基本概念，掌握立体图形的特征及分类。
2. 学生能运用立体几何的基本公式计算体积和表面积，解决实际问题。
3. 学生能通过观察和分析，识别和绘制常见的立体图形。
技能目标：1. 学生能够运用空间想象力，进行立体图形的构建和分解。
2. 学生能够运用几何画板等工具，准确绘制立体图形，并进行相关计算。
3. 学生能够运用立体几何知识，解决生活中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 学生通过学习立体几何，培养对几何美的感受，激发对数学学科的兴趣。
2. 学生在学习过程中，学会合作与交流，培养团队精神和解决问题的能力。
3. 学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，增强学习的实用性和主动性。
课程性质：本课程为职业高中立体几何课程，注重理论与实践相结合，提高学生的空间想象力和实际应用能力。
学生特点：职业高中学生具有较强的动手能力和实际操作能力，但空间想象力有待提高。
教学要求：结合学生特点，注重启发式教学，运用直观教具和现代教育技术，提高学生的学习兴趣和参与度。
将课程目标分解为具体的学习成果，使学生在实践中掌握立体几何知识，提高解决问题的能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 立体几何基本概念：介绍立体图形的定义、分类及性质，如点、线、面的关系，平面与立体的相交等。
2. 立体图形的识别与绘制：学习正方体、长方体、圆柱、圆锥等常见立体图形的识别和绘制方法。
3. 立体几何的计算：掌握立体图形的体积、表面积计算公式，如长方体、正方体、圆柱、圆锥等。
4. 空间想象力训练：通过实际操作、观察和思考，培养学生的空间想象力，提高对立体图形的理解。
5. 实际应用问题解决：运用立体几何知识，解决生活中的实际问题，如房屋装修、建筑工程等。
教材章节及内容安排：第一章：立体几何基本概念（第1-2节）第二章：立体图形的识别与绘制（第3-4节）第三章：立体几何的计算（第5-6节）第四章：空间想象力训练（第7-8节）第五章：实际应用问题解决（第9-10节）进度安排：本课程共计10课时，每课时45分钟。
[精品]人教版中职数学教案-第九章--立体几何[18份教案]解析
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9.1.1立体图形及其表示方法【教学目标】1．初步感知身边的立体图形，会用斜二测画法画出平面图形以及简单几何体的直观图．2．掌握斜二测画法的画图规则，体会由具体到抽象的认知过程．3．培养学生作图、识图、运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】斜二测画法画直观图．【教学难点】斜二测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系，从画平面图形的直观图入手，引导学生总结出斜二测画法的具体步骤．通过针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握用斜二测画法画出立体图形的直观图．新课轴，使它们相交于点A'，且∠x'A'y'＝45°；(2)过点D作AB的垂线，设垂足为E；(3)在x'轴上截取A'E'=AE，E'B'=EB，然后作E'D'平行于y'轴，而且使E'D'＝12ED；(4)过点D'作x'轴的平行线D'C'，且D'C' =DC；(5)连接A'D'，B'C'，则四边形A'B'C'D'就是梯形ABCD的直观图．画直观图的基本步骤：(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x'轴和y'轴，使得它们的夹角为45°；(2) 图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段；(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半；(4)连接有关线段．练习一1．作边长为3 cm的正方形的直观图．2．作边长为3 cm的等边三角形的直观图．例2 画长为4，宽为3，高为2的长方体的直观图．画法：(1)用例1的方法画一个长为4，宽为3的长方形的直观图ABCD；(2)过A作z'轴，使之垂直于x'轴，在z'轴上截取AA' =2；(3)过点B，C，D分别作z'轴的平行线BB'，CC'，DD'，并使BB' =CC' =DD'=2 cm，连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'；(4)擦去x'轴、y'轴、z'轴．并把看不到的线段引导学生根据例题总结出画直观图的基本步骤．教师强调重点，学生识记．指导学生在原图中如何建立坐标系画直观图更容易．学生根据例1的方法作出长方体底面的直观图，教师重点讲解步骤(2) (3) (4)．学生完成练习，进一步体会直观图的画法．学生在作图的过程中体会斜二测画法的作图规则．9.1.2 平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】9.2.1空间中的平行直线【教学目标】1. 掌握平行线的基本性质，了解空间四边形的定义．2. 了解空间中图形平移的定义，理解空间中图形平移的性质．3. 渗透数形结合思想，渗透由平面到空间的转换思想，培养学生观察分析、空间想象的能力．【教学重点】平行线的基本性质．【教学难点】空间中图形平移的性质．【教学方法】这节课主要采用实物演示法．教师通过实物或模型演示，帮助学生理解平行线的性质，以及空间四边形的概念，培养学生的空间想象能力．通过证明题，向学生渗透将立体问题转化为平面问题来解决的思想．【教学过程】9.2.2 异面直线【教学目标】1. 理解异面直线的定义，会判定两条直线是否为异面直线，会求异面直线的夹角．2. 培养学生用数形结合的方法解决问题．注重培养学生的作图、读图的能力．3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养合作交流等良好品质．【教学重点】异面直线的判定．【教学难点】异面直线的夹角．【教学方法】这节课主要采用实物演示法和类比教学法．先通过大量实例给学生以直观感知，再由平面几何两直线的位置关系引出异面直线的概念，由平面内两直线的夹角引出异面直线的夹角，并通过题目加深对各概念的理解．9.2.3 直线与平面平行【教学目标】1. 掌握空间直线和平面的位置关系．2. 掌握直线和平面平行的判定定理，性质定理；并能利用定理进行简单的证明．3. 通过动手，培养学生勇于实践、合理推理的能力，并使学生树立将空间问题向平面问题转化的思想，体会数学来源于生活，并服务于生活．【教学重点】直线与平面平行的判定定理，性质定理．【教学难点】直线与平面平行的判定定理，性质定理的理解和应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出直线与平面的位置关系，判断定理和性质定理．利用文字语言，符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.2.4 平面与平面的平行关系【教学目标】1．掌握平面与平面的位置关系的分类．掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．通过直观演示，提高学生的空间想象能力．3．通过动手探究，体验数学学习的快乐，激发学习热情，初步培养创新意识．【教学重点】平面与平面平行的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】主要采用讲练结合法．通过动手实践，引导学生“实践—观察—猜想—归纳”，得出平面与平面的位置关系的判定定理和性质定理．利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，深化对定理的理解，通过例题，使学生明确定理应用的关键，培养学生将立体问题转化为平面问题的解题思想．9.3.1 直线与平面垂直【教学目标】1. 了解空间直线与平面垂直的定义，掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2. 渗透由平面到空间的转换思想，培养学生学习的空间想象能力．【教学重点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．通过学生动手操作，由线段的一条垂直平分线在空间旋转成垂直平分面，在此基础上，定义直线与平面垂直．通过猜测，说理得出线面垂直的判定定理与性质定理，然后在例题中体验定理在实际生活中的应用．9.3.2 直线与平面所成的角【教学目标】1. 了解平面的斜线的定义，理解直线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2. 注重培养学生的读图、作图的能力，培养学生的空间想象力．【教学重点】直线与平面所成的角．【教学难点】斜线与平面所成的角．【教学方法】本节主要采用讲练结合法．在学生熟悉线面垂直的基础上，讲解平面的斜线及其射影，通过推导三垂线定理进一步熟悉线面垂直的知识．【教学过程】9.3.3 平面与平面所成的角【教学目标】1. 了解二面角、二面角的平面角的定义，会求二面角的大小．2．从学生身边的事例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．培养学生把空间问题转化为平面问题进行解决的思想．【教学重点】二面角的定义．【教学难点】找出二面角的平面角．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由直观的生活实例抽象出二面角及其平面角的定义，通过题目练习其应用．【教学过程】9.3.4 平面与平面垂直【教学目标】1．理解两个相交平面互相垂直的定义，掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并会简单应用．2．从学生身边的实例出发，体会由实际问题上升为数学概念和数学知识的过程．3．渗透把空间问题转换为平面问题进行解决的思想．【教学重点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理．【教学难点】平面与平面垂直的判定定理和性质定理的应用．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．由生活中常见实例，得出平面与平面垂直的判定定理、性质定理，利用文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，帮助学生理解定理．通过例题，明确应用定理时线线垂直到线面垂直再到面面垂直的证明思路．【教学过程】(2)9.4.1棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．环节教学内容师生互动设计意图导入什么样的几何体叫做多面体？学生结合图片以及实际生活经验讨论问题．演示实物与图片，提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．新课1．多面体由若干个多边形围成的封闭的空间图形，叫做多面体；围成多面体的各个多边形叫多面体的面，两个相邻面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．练习一请你判断下面的多面体分别是几面体？2. 棱柱和它的性质（1）棱柱的定义问题：什么样的多面体叫做棱柱？它们有什么共同特征？学生小组合作，对照模型说一说多面体的面、棱、顶点、对角线各是什么．教师引导，学生口答．完成练习一．学生根据呈现的图片以及实物，总结出棱巩固多面体的相关概念．新课一个多面体，如果有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行，这样的多面体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)；其余各面叫做棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段或它的长度，叫做棱柱的高．（2）棱柱的表示用棱柱两底面的字母表示，如棱柱ABC-A'B'C'．（3）棱柱的分类侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的性质观察下列几何体，回答下列问题：（1）两个底面多边形间的关系是什么？（2）上下底面对应边间的关系是什么？（3）侧面是什么平面图形？（4）侧棱之间的关系是什么？棱柱的性质：（1）棱柱的每一侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．（2）两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．3.平行六面体和长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．柱的特点，得出棱柱的定义．学生对照课件，指出棱柱各部分的名称．教师呈现各种实物，结合直观图，体会各种棱柱之间的区别．按照不同的标准，对多面体进行分类．教师呈现多个棱柱，提出四个问题，学生进行讨论回答，逐步总结出一般棱柱的性质．对于直棱柱和正棱柱的性质，采用教师提问，学生回答的形式，总结出来．通过课件演示，让学生总结出性质（2）（3）．教师采用呈现直观图，让学生对四种棱柱进行类比，观察各个棱柱的特点．找出相同点学生自己总结棱柱的共性，由具体到抽象，加深对定义的理解．从棱柱到长方体，正方体，让学生体会由一般到特殊的9.4.2棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．【教学过程】9.4.3直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题：某工厂有一个排风管，管身为中空的正五棱柱，尺寸如图所示．计算出制作管身所需的平板下料面积．（不考虑排风管的壁厚）解所求排风管一个侧面的面积为10×30＝300（cm2）．那么制作管身所需的平板下料面积为5×300＝1 500（cm2）．教师设置实际场景，学生运用初中知识解决问题．教师给出侧面展开图，引出课题．根据实际生活的问题，设置情境，引发学生积极思考．提出新的解决方案，引发新的思考．新1．直棱柱的侧面积把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长C，宽等于直棱柱的高h，因此直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝Ch．练习一师：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？学生用课前准备的纸制棱柱模型沿侧棱展开．学生自己推导直棱柱侧面积公式．通过动手操作，提高学生学习的兴趣，更容易理解记忆侧面积公式．ch9.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入呈现实物，设置问题情境：怎样作出圆柱、圆锥的直观图？教师呈现图片．学生对比图片与实物，体会立体形与直观图的关系．新课例1 画水平放置的圆的直观图．画法：(1)在圆上取一对相互垂直的直径AB，CD，分别以它们所在的直线为x轴，y轴．画对应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'＝120°．(2)将圆O的直径AB分为n等份，过分点画平行于y轴的弦CD，EF，…．在x'轴上以O'为中点画线段A'B'，使A'B'= AB，将A'B'也分为n等份，以各分点为中点画y'轴的平行线段C'D'，E'F'，…，使C'D'= CD，E'F' = EF，…．(3)用平滑的曲线顺次连接A'，D'，F'，B'，E'，C'…，A'就得到圆的直观图，它是一个椭圆．总结一般步骤：(1)在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，把它们画成对应的O'x'轴和O'y'轴，∠x'O'y'＝120°（或60°），它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于xˊ轴或yˊ轴的线段；教师边演示，边讲解．学生和教师同步完成直观图．教师引导学生总结出正等测画法的步骤．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．让学生体会“化曲为直”的解决问题的方法．让学生总结画法的步骤，加深对正等测画法的理解．新课(3) 平行于x轴或y轴的线段长度不变．练习一画一个水平放置的半径等于4 cm圆的直观图．例2 画底面圆半径为0.8 cm，高为2.5 cm的圆锥的直观图．画法：(1)画轴：取x 轴、y 轴、z 轴，使它们两两相交成120°；(2)画底面：以O为中心，按x轴、y轴画半径等于0.8 cm的圆的直观图，然后在z轴上，取线段OS=2.5 cm．(3)成图：画圆锥的两条母线SA，SB与底面椭圆相切．再加以整理就得到所画的圆锥直观图．练习二已知一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为6 cm，画出它的的直观图．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．类比棱柱，棱锥直观图的画法，学生完成例2．教师强调应注意的问题．师生总结作旋转体直观图的一般步骤．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．小结1. 正等测画法的一般步骤．2. 旋转体直观图的画法．师生共同总结．作业1. 画一个水平放置的半径等于2 cm圆的直观图．2. 已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，高为4 cm，画出它的直观图．9.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．9.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题下面的物体呈什么形状？教师呈现有关球的图片．学生结合图片以及实际生活经验，举出更多关于球的例子．由丰富的图片和实物出发，激发学生兴趣．新课1．球的概念与性质半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．球的各个元素（如图所示）：（1）球心；（2）球的半径；（3）球的直径；球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．球面可以看作空间中与定点（球心）距离等于定长（半径）的点的全体构成的集合（轨迹），同样，球体也可以看作空间中与定点距离等于或小于定长师：球是由什么图形旋转而来的？生：圆，半圆．教师结合直观图讲解球的各个元素．师：仿照初中圆的定义，你能给出球面的另一种定义吗？理解定义，体会旋转体动态形成的过程．由具体的实物到抽象的直观图，培养学生的空间想象能力．O直径半径球心新课的点的全体构成的集合．用一个平面去截一个球，截面是圆面：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径r，有下面的关系：d＝R2－r2．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．知识拓展：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．例1 我国首都北京靠近北纬40︒纬线上，求北纬40︒纬线的长度．（地球半径约为6 370 km）解：如图，设A是北纬40︒圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK⊥AK．设 c 是北纬40︒的纬线长，因为∠AOB=∠OAK=40︒，所以强调注意球体与球面的联系与区别．结合图形，引导学生作出辅助线，利用勾股定理得到结论．教师可借助地球仪，帮助学生理解概念．师：假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机，设想一下，它应该沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?(1)济南和广州间的距离是一条线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢?(3)这无数条弧中，长度最短的是哪条?教师分析，从立体图形中抽象到平面图形，引导学生用初中所学知识解决问题．学生在教师的引导下，逐步完成证明过程．看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教师可以利用模型帮助学生理解．借助这个例题，教师再次强调将立体几何问题转化为平面几何问题的思路．OAKB40 °αOO'dRrP。
高中数学立体几何全章教学设计［高教版中职数学第六章］
6.1 空间图形的直观图一、教学目标：1.知识目标：知道斜二侧画法的画法规则，会用斜二测画法画水平放置的平面图形和正方体、长方体的直观图．2.能力目标：培养学生的识图能力及基本几何体、简单空间图形的绘图能力. 3.思想品质目标：对学生进行爱国主义教育和为社会主义建设学习的思想品质.二、教学重点：会用斜二测的画法画水平放置的平面图形和正方体、长方体的直观图．三、教学难点：教学难点是水平放置的平面图形的直观图的画法. 突破难点的关键是采用实物模型和计算机课件进行辅助教学,建议教师准备充足的实物模型，同时使用教学课件辅助教学.四、教学方法：图示法、演示法与讲授法相结合.五、教学过程：6．1 空间图形的直观图在立体几何中,按照一定的规则,可以用一个平面图形来表示一个空间图形.表示一个空间图形的平面图形叫做这个空间图形的直观图.例如图6—2（1）、（2）就是正方体和桌子的直观图，它不同于前面视图的画法，具有很强的立体感.画立体图形的直观图，实际上是把不全在同一个平面内的点的集合，用一个平面内的点的集合来表示.要画立体图形的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图的画法.下面举例说明.例1 画水平放置的三角形（如图6—3（1）所示）的直观图.解 （1）画轴 在△ABC 中，取BC 边所在直线为x 轴，取过点A 且垂直于BC 的直线OA 为y 轴，O 是垂足，如图6—3（2）.任取点O '，画对应的x '轴和y '轴，使︒='''∠45y O x ，如图6—3（3）.（2）定顶点 在x '轴上，取OB B O 1='，OC C O 1='.在y '轴上，取OA 21A O 1='，如图6—3（4）.（3）联结成图 联结11B A 、11C A ，得△111C B A ，如图6—3（5）.擦去辅助线，则△C B A '''就是水平放置的△ABC 得直观图，如图6—3（6）所示.图6—2图6-3例2 画水平放置的正六边形（如图6—4（1）所示）的直观图.画法 （1）画轴 在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，两轴交于点O ,如图6—4（2）所示.任取点O '，画对应的x '轴和y '轴，使︒='''∠45y O x .（2）定顶点 以点O '为中点，在x '轴上取AD D A =''，在y '轴上取GH H G 21=''，以点H '为中点画E F ''平行于x 轴，并等于FE ；再以G '为中点画C B ''平行于x '轴，并等于BC ，如图6—4（3）所示.（3）联结成图 连结B A ''、D C ''、E D ''、A F ''（图6—4（3）），擦去辅助线，则六边形F E D C B A ''''''就是水平放置的正六边形ABCDEF 的直观图，如图6—4（4）所示.例5 画棱长为1.6cm 的正方体1111D C B A ABCD -的直观图.解 （1）画轴 在正方体的下底面中取x 轴和y 轴，设它们的交点为O （图6—5（1））.过O 作z 轴，使︒=∠90xOz ，︒=∠90yOz .图6-4图6-5任取点O '，过点O '画x '轴、y '轴和z '轴，使︒='''∠45y O x ，︒='''∠90z O x ，︒='''∠90z O y ,如图6—5（2）所示.（2）画底面 画正方体下底面的水平放置的直观图ABCD （让点A 与点O '重合），即在x '轴上，取6.1='B O cm ，在y '轴上，取8.0='D O cm ，分别过B 、D 作y '轴和x '轴的平行线，这两条线交于点C ，得下底面的直观图BCD O '（即ABCD ），如图6—5（3）所示.（3）定上底面顶点 在z '轴上，取5.11=AAcm ，过B 、C 、D 分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取1BB 、1CC 、1DD ，使它们都等于1.5cm ，如图6—5（4）所示.（4）连结成图 顺次连结11B A 、11C B 、11D C 、11A D ，如图6—5（5），然后加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图，如图6—5（6）所示.上面画直观图的方法叫做斜二侧画法.这种画法的规则如下：1．在已知图形中取水平平面，作互相垂直的x 轴和y 轴，设它们的交点为O ，过O 作z 轴，使︒=∠90xOz ，︒=∠90yOz .2．画直观图时， 把它们画成对应的 x '轴、y '轴和z '轴，它们的交点为O '，使︒='''∠45y O x （或︒135），︒='''∠90z O x ，︒='''∠90z O y ，y O x '''确定的平面表示水平平面.3．已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴、y '轴或z '轴的线段.4．已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.练习题6. 1. 21．用斜二侧画法画出下列水平放置的正方形和正三角形的直观图. 2．用斜二侧画法画长为3cm ，宽为4cm ，高为2cm 的长方体的.画法：略六、小结：1．本节课知识内容第1题图x(1)(2)2．需要注意的问题（1）各轴之间的位置关系；（2）空间图形中线段的平行关系在直观图中仍然具备平行关系；（3）空间图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.七. 练习与作业：练习：练习 6.1 第1、2题.作业：习题 6.1第2、3题，达标训练6.1 第1、2题.6.2 平面及其性质一、教学目标： 1.知识目标：（1）理解对平面的描述，会画图表示一个平面和两个相交平面的常见形式； （2）理解平面的基本性质，会用这些性质对一些问题做出合理的解释和判断。
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x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1． 平面及其表示常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别．如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行．一个平面通常用小写希腊字母α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角部，记作“平面α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； ②点A 在平面α，记作A ∈α，点A 不在平面α，记作A ∉α； ③直线l 在平面α，记作l ⊂α；④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ⋂m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ⋂m =∅； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ⋂α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ⋂α=∅； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α⋂β=l ，平面α与平面β不相交，记作α⋂β=∅．在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课练习11. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；(3)直线l 与直线m 相交于平面α的一点N ； (4)直线l 经过平面α的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？(1)点A 在平面α，记作A ⊂α; (2)直线l 在平面α，记作l ∈α；(3)平面α与平面β相交，记作α⋂β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ⋂α≠∅．2. 平面的基本性质 基本性质：图5-28ABCD A 1B 1C 1D 1 (第3题图)图5-27(2)βD ABCD图5-27(1)A DCα(1)如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 如图5-29，直线l 上两点A ,B 在平面α ，那么l 上所有的点都在平面α ，这时我们可以说，直线l 在平面α 或平面α经过直线l ．这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面． 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质：(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．如图5-30，平面β 与平面γ 相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．如果我们把一纸摊平折起来，折痕一定是一条直线，就是这个道理．(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面． 这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平面．如图5-31，A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且只可以画一个平面α．现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面；③两条平行直线可以确定一个平面． 课练习2 1. 判断题(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?(3)如图,我们能说线段AB 在平面α,但直线AB 不全在平面α吗? 2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？ 3. 一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？ 4. 怎样检查一桌子的四条腿的下端是否在同一平面？小结 作业图5-29图5-30 l βγ •C 图5-31α • • • C B A (第1(1)题图) (第1(2)题图) βA • α •B (第1(3)题图)A •α• Bx x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 两条空间直线的位置关系平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．把教室看成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '（如图9-32），可以发现直线对BC 与AA '、AD 与D 'C 以及对角线B 'D '与AC 等等，它们不同在一个平面．我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：(1) 没有公共点——平行(2) 只有一个公共点——相交(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面，这样就容易体现出 “异面”的特点．课练习11. 找出日常生活中异面直线的几个例子．2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．3. 两条直线分别在两个平面，它们是否一定异面直线？4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？2. 空间的平行直线平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB 'A '、BCC 'B '都是矩形，AA '∥BB ', CC '∥BB '，所以CC '∥AA '．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的ACB ∠和B C A '''∠。
例1 如图9-35，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形．证明 由此即得EH =FG 且EH//FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．课练习21. 把一长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什么？2. 画两个相交平面，在这两个平面各画一条直线，使它们成为平行直线．3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证：EF =E 1F 1且 EF//E 1F 1．4. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，E ,E '分别l 1 图9-33 lα AB CD图9-32 A ' B ' C ' D '(必定同在一个平面上)；图9-35 AB CD A 'B 'C 'D 'E F 1 A 1 E 1 C D A ' B 'C 'D 'EE '是棱AD ,A 'D '的中点，求证：∠CEB =∠C 'E 'B '．3. 异面直线所成的角平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义： 如图5-36(1)，设l 、m 是两条异面直线，在空间任取一点P ，过P 作l '∥l 、m '∥m ，把l '、m '所成的(不大于90︒)角，叫做异面直线l 、m 所成的角(或l 、m 的夹角)，采用平面情况的记法，记作l ^m ．为了简便起见，点P 常取在两异面直线中的一条上．例如在直线m 上，过点P 作直线l '∥l （如图9-36(2)），那么l '、m 所成的角就是异面直线l 、m 所成的角．如果两条异面直线l 、m 所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作l ⊥m ．如果两条直线所成的角为0︒角，那么我们就说这两条直线平行．例2 图9-37表示一个正方体．(1)哪些棱与AB '是异面直线？ (2)求AB '与CC '的夹角的度数；(3)哪些棱与AA '垂直？解 课练习3 1. 在下列各图中，分别以O 为顶点，画出异面直线l 、m 所成的角．2. 设l 、m 、n 为三条空间直线，其中l ∥m , l ⊥n ，则m 、n 的关系如何？3. 设l 、m 、n 为三条空间直线，且l ^ m = n ^m =45︒，能否得出l ∥n 的结论？ 你能举出反例吗？小结： 作业：图9-37 A BC D A ' B 'C 'D '第1题图图• m ' l ' P图x x 职业技术教育中心教案复习引入：新授：1. 直线和平面的位置关系我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考察AB 所在的直线，它在面ABCD 上；与面BCC 1B 1有一个公共点B ；与面DCC 1D 1没有公共点．这个实例告诉我们：空间直线l 与平面α的位置关系只有三种：(1) l 与α有无数个公共点——直线l 在平面α；(2) l 与α没有公共点——直线l 平行于平面；(3) l 与α只有一个公共点——直线l 与平面α相交．图5-39表示了这三种位置关系．课练习11. 举出直线和平面的三种位置关系的实例．2. 回答下列问题：(1)能否说直线l 与平面α有两个交点A 、B ?(2)如果直线l 在平面α外，l 是否一定与α平行？ (3)如图，因为l 与α没有交点，是否能说l ∥α?(4)如果直线l 不平行于平面α，l 必与α相交吗？2. 直线和平面平行(1)直线和平面平行的判定要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a 、b ．把墙面视为一个平面α，当门关着时，直线a 、b 同在平面α上，且a ∥b ．开门时，a 离开了平面α，但仍保持与b 平行，而且a 与平面α也是平行的(如图5-40(2))． 这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．如图5-41中所示，如果a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α。