收敛数列的性质-课件(ppt·精选)
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收敛数列的性质
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性
《高数》数列极限》课件
详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。
§2 收敛数列的性质
定理 4： 1o 设 lim a n = a , α , β 满足 α < a < β , 那么当
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1
高等数学0102省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
例如：
1，2，3，， n , ; 2 3 4 n1
2, 4, 8, , 2n , ;
1, 1, 1, , (1)n1, ;
2 , 1 , 4 ,, n (1)n1 ,
23
n
均为数列.它们旳一般项依次为：
n
n
,2 1
n
,
1 2n
,
(1)
n1,
n
(1)n1 n
.
数列极限旳定义:
设 {为xn一} 数列，假如存在常数a，对于任意给定旳正 数 (不论 它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，
lim
n
xn
a，那么a
0(或a
0).
证：设数列{xn}从第N1项起，即当n N1时有xn 0.
若 lim
n
xn
a
0，则由定理3知，
正整数N2 0,当n N2时，有xn 0. 取N max{N1, N2},
当n N时，按假定有xn 0，按定理3有xn 0. 这引起矛盾，所以必有a 0.
证：如果这数列收敛，由定理 1 知
它有唯一的极限，设极限为 lim
n
xn
a.
但是，当n 时，xn无休止地重复1和 1这
两个数；
因xn不可能趋向同一数，因此数列xn 是发散的.
定理2(收敛数列旳有界性):
假如数列{xn收} 敛，那么数列 {一xn}定有界.
证明：
因为数列{xn
}收敛，设
lim
n
xn
第二节 数列旳极限
一、数列极限旳定义 二、收敛数列旳性质
一、数列极限旳定义
极限概念是因为求某些实际问题旳精确解答而产 生旳.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆 内接正多边形来推算圆旳面积旳措施——割圆术，就 是极限思想在几何学上旳应用.
收敛数列的性质
b,
0,
存在
N
,
当 n N 时, 有 | an a | , | bn b | , 所以
| an bn a b | | an a | | bn b | 2 ,
由 旳任意性, 得到
nliman
bn
a
b
lim
n
an
lim
n
bn .
证明 (2) 因 { bn } 收敛, 故 {bn } 有界, 设 | bn | M .
例7 设 a1, a2 , , am 为 m 个正数, 证明
n
lim
n
a1n
a2n
amn max { a1, a2 ,
证 设 a max { a1, a2, , am } . 由
, am } .
n
a
a1n a2n
amn n m a,
lim n m a lim a a ,
n
n
n
a1 b1
1
nm1 1
nm1
a0 b0
1
nm 1
nm
am . bm
(2) 当 m < k 时, 有
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lim
n
amnm bk nk
am1nm1 bk1nk1
a1n a0 b1n b0
lim
n
1 nkm
lim n
am am1 bk bk1
1
n 1
n
0 am 0.
lim
n
1
a
n
a
n
lim an
n
1 lim an
0.
n
(2) a 1,
an
§2.2收敛数列的性质
n n 1. 由两边夹定理， lim n
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
n hn 1
证毕
an 例5. 证明: lim 0 ，其中 a 0 . n n ! 证明：当 n [ a ] 1 时，有
k a a a a a a a a a a 0 n! 1 2 [a] ([a] 1) ([a] 2) (n 1) n [a]! n
当 n N1 时，有：
an a
(1) (2)
当 n N 2 时，有： bn b
取 N max N1 , N 2 0, 则当 n N 时, 有
(1)(2)式同时成立. 进而
an a bb 2 ① an bn a b b nbn
M max x1 , x2 , , x N , a 1 , a 1
xn M ( n 1 , 2 , ) .
由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
此定理的 逆否命题？
3. 收敛数列的保号性. 定理3 若 且 时, 有 直观:
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
定理特殊情况
直观:
yn a 或 zn a
a
(1) yn xn zn ( n N 0 )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
想 证
寻找N 是关键
0 , N , 当 n N 时, 有 xn a ,
证明直观:
收敛数列的性质
§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
高数数列的极限ppt
1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N = [ ], 则当n N时,
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim = 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn = C .
五、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 = 1 , xn1 = 1 2 xn (n = 1, 2 ,), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
注意： 在子数列xn 中，一般项 xn 是第 k 项， k k
定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
n ( 1) n1 就有 1 n
n ( 1) n 1 即 lim = 1. n n
例2 设xn C (C为常数), 证明 lim xn = C .
五、小结
数列:研究其变化规律;
数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.
思考与练习
1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 x1 = 1 , xn1 = 1 2 xn (n = 1, 2 ,), 求 lim xn 时, 下述作法是否正确? 说明理由.
的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为{ x n }.
(1)
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
例如
2 , 4 , 8 , , 2 n , ;
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
{2 } 1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
注意： 在子数列xn 中，一般项 xn 是第 k 项， k k
定理4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .
证: 设数列 若 是数列
的任一子数列 .
时, 有
则 0 , N , 当
现取正整数 K , 使
于是当 k K 时, 有
nk
N
xN
*********************
{(1)
n 1
}
1 4 n ( 1) n1 2, , ,, ,; 2 3 n
收敛数列性质
收敛数列性质
1、唯一性：如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。
推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。
收敛数列
收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。
收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。
第二节 收敛数列的性质
n n2 1 n2 2
n2 n
6、极限运算法则
设
lim
n
an
A,
lim
n
bn
B,则
(1) lnim(an bn ) A B;
(2)
lim
n
an
bn
A B;
(3) lim an A , 其中B 0.
b n n
B
例4
求
lim
n
a0nm b0nn
a1nm1 b1nn1
am bn
例3 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解 n 1 1 n ,
n2 n n2 1
n2 n n2 1
又 lim n lim 1 n n2 n n 1 1
1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1
1 n2
1,
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
lim n
xn
a.
注意:
利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn , 并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例2 求数列 {n n} 的极限。
解： 记 an n n 1 hn ， 这里 hn 0(n 1) ，则有：
1 an 1 hn 1
2 n1
左右两边的极限均为1， 故由夹逼准则本例得证。
, a0 b0
0
小结:当a0 0,b0 0, m和n为非负整数时有
lim
n
a0nm b0nn
a1 n m 1 b1nn1
am bn
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
•
收敛数列的性质
性质4: “两边夹”定理 设an , bn 为收敛数列,且 lim an lim bn a
n n
若 自然数 N 0 ,使当 n N 0时,有 an cn bn 则 lim cn a （迫敛性）
n
性质5: 极限的四则运算法则
若 lim an a, lim bn b ,则
n n
（1） lim (an bn ) lim an lim bn a b
n n n
(an bn ) lim an lim bn （3） lim ( ) (b 0) n b lim bn b n
性质1:收敛的数列必定有界（有界性）
注意：逆命题不成立.有界未必收敛.
例如： xn (1)n
推论：无界数列必定发散.
n
保号性
性质2:若 lim xn a p( p) ,则 正整数
N,使当 n N 时,有: xn p( p) 推论1:若 lim xn a 0( 0) ,则 正整数 N,使当 n N 时,有: xn 0( 0)
n
lim an
n
推论2:如果数列 xn 从某项起有 xn 0( 0),且
lim xn a,那么 a 0( 0)
n
注意:如果数列 xn 0( 0) , lim xn a不能推 出
a 0( 0)
n
1 例如：lim n n
性质3:收敛数列的极限是唯一的（唯一性）
第2节收敛数列的性质64585
n
n
令 n an a, 则所证结论转化为
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
证明：令 n an a, 则待证结果转化为:
若
lim
n
n
0,
则 lim 1 2 n 0.
n
n
由
lim
n
n
0,
记为 { xnk }
nk k (教材P12)
定理2.6 如果数列 {an } 收敛于 a ，那么它的任 一子数列也收敛于 a .
证 设 { xnk } 是数列 { xn } 的任一子列，由
lim
n
xn
a,
故对于任意给定的正数
存在着正整数 N , 当 n N 时，
| xn a | 成立。
N2 ,n
N 2 ,|
bn
b
|
2(a
, 1)
取N max{N1, N2 },当n N ,得 | anbn ab | .
(3) 先证 lim 1 1 n bn b
对于
|b| 2
0,
N 1 ,
s.t
当n
N1时,
|
bn
b
|
|
b 2
|
,
| bn || b | | bn b |
5o
lim
n
an
a的充要条件是{an
a}为无穷小.
例6
例4 :
已知
lim
2.2收敛数列的性质华师大版数学分析第二章数列的极限ppt
二、数列的极限
2.收敛数列的性质
2.2(唯一性)：收敛数列{ an } 只有一个极限.
证：设a=
，对任何b≠a，取ε0=
>0，
则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，
从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，
即b不是{ an }的极限，∴收敛数列只有一个极限.
2.3(有界性)：收敛数列{an}有界，即
=a.
ห้องสมุดไป่ตู้原命题得证.
2、求数列{ }的极限.
解：记an= =1+hn，hn>0(n>1)，则有
n=(1+hn)n>
hn2，
∴0<hn<
，从而有1<an<1+
；
∵
=1；∴
=1.
2、设a1,a2,…,am为m个正数，证明： =max{a1,a2,…,am}.
证：记max{a1,a2,…,am}=aj, 1≤j≤m. 则
2.4(保号性)：若
=a>0(或<0)，则
对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得
当n>N时，有an>a’(或an<a’).
证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，
使得当n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，
使得n>N时，有an<ε+a=a’.
{anbn}和 不一定发散. 若取{an}= ，{bn}={n}，
则{an}收敛，{bn}发散，但{anbn}和 都收敛.
8、证明下列数列发散：
证：(1)令an= 则
2.收敛数列的性质
2.2(唯一性)：收敛数列{ an } 只有一个极限.
证：设a=
，对任何b≠a，取ε0=
>0，
则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，
从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，
即b不是{ an }的极限，∴收敛数列只有一个极限.
2.3(有界性)：收敛数列{an}有界，即
=a.
ห้องสมุดไป่ตู้原命题得证.
2、求数列{ }的极限.
解：记an= =1+hn，hn>0(n>1)，则有
n=(1+hn)n>
hn2，
∴0<hn<
，从而有1<an<1+
；
∵
=1；∴
=1.
2、设a1,a2,…,am为m个正数，证明： =max{a1,a2,…,am}.
证：记max{a1,a2,…,am}=aj, 1≤j≤m. 则
2.4(保号性)：若
=a>0(或<0)，则
对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得
当n>N时，有an>a’(或an<a’).
证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，
使得当n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，
使得n>N时，有an<ε+a=a’.
{anbn}和 不一定发散. 若取{an}= ，{bn}={n}，
则{an}收敛，{bn}发散，但{anbn}和 都收敛.
8、证明下列数列发散：
证：(1)令an= 则