第二章《二次函数回顾与思考》(2)
北师大版九年级数学《二次函数》回顾与思考教案
【教学目标】1.复习和巩固二次函数的基本概念和性质；2.通过回顾，检查学生对二次函数的理解程度，并帮助学生弄清关键概念和解题思路；3.培养学生的分析、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
【教学重点】1.梳理二次函数的基本概念和性质；2.提供典型例题，帮助学生掌握解题思路；3.引导学生探究二次函数的应用领域。
【教学难点】1.通过合理的引导和问题导向，帮助学生运用所学知识解决实际问题；2.让学生了解二次函数在自然界和社会生活中的应用。
【教学过程】【导入】引入二次函数的概念：放映一段优秀的科普视频，引起学生对二次函数的兴趣，并回顾二次函数的定义和性质。
【讲授】1.复习与总结回顾并总结二次函数的定义、一般式、顶点式、轴对称式等表示方法，并归纳总结二次函数的性质。
2.典型例题讲解提供一些典型的二次函数问题，帮助学生巩固概念，并引导学生掌握解题思路和方法，例如：例题1：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点是(1, -2)，且经过点(-1, 4)，求a、b、c的值。
例题2：若抛物线y = ax^2 + 2ax - 3与x轴交于点A、B，交点A在点(-1, 0)的左边，且AO是x轴的中线，求a的取值范围。
3.实际应用通过介绍二次函数在自然界和社会生活中的应用，引导学生了解二次函数在实际问题中的作用。
例如：抛物线的运动轨迹、桥梁的设计、物体自由落体的运动等。
【练习】对所学知识进行巩固与运用，提供一些练习题，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
【拓展】引导学生进一步探索，拓宽知识面，例如引导学生理解二次函数图象的平移、伸缩等变化。
【归纳总结】通过本节课的学习，学生总结本节课的重点内容和解题方法，归纳反思学习中出现的问题和不足之处。
【课堂小结】对本节课的学习内容进行总结，引导学生思考并提问，对学生的学习情况进行梳理和分析。
【作业布置】布置一些练习题作为课后作业，巩固所学知识，并提醒学生及时复习课堂内容。
新建文件夹 回顾与思考2
教 学 过 程一.创设问题情景，引入新课上节课我们回顾了二次函数的定义，二次函数的三种表示方式，重点研究了不同形式的二次函数的图象与性质.本节课我们继续来回顾利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根和利用二次函数知识解决实际问题.二、讲解新课：1. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系．在二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，当y=0时，就转化成了一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，因此可以说一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 是函数)0(2≠++=a c bx ax y 的一种特殊情况，即函数值为0的情况，这时函数中自变量x 的值就是方程的解.所以,当二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与 x 轴有交点时，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与 x 轴的交点的横坐标就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根.在不画图象的情况下，能否判断二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与 x 轴是否有交点呢？当042>-ac b 时，抛物线与x 轴有两个交点；当042=-ac b 时，抛物线与x 轴只有一个交点；当042<-ac b 时，抛物线与x 轴没有交点.在不画图象的情况下，判断下列二次函数的图象与 x 轴的交点情况.（1）322--=x x y ， （2）322+-=x x y ， （3）442++=x x y 能否判断方程0322=--x x ，0322=+-x x ，0442=++x x 的解的情况呢？例1 利用二次函数的图象求一元二次方程01522=-+x x 的近似根. （答案：-3，2.5）2. 利用二次函数知识解决实际问题例2 课本复习题A 组第7题例3 某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y （台）之间的关系是y =-x+200,为获得最大销售利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？3. 总结本章内容y=x 2,y=-x 2y=ax 2,y=ax 2+c y=a(x-h)2+k,y=ax 2+bx+c 一元二次方程与二次函数的关系利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数的对称轴和顶点坐标公式用多种方式表示二次函数的定义实际问题情境一元二次方程与二次函数用二次函数解决实际问题二次函数的图象二次函数所描述的关系二次函数三、课堂练习某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？四、课时小结这节课我们巩固了三大内容：利用二次函数知识解决实际问题；利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；本章的知识结构图.四、课后作业复习题B 组题。
二次函数回顾与思考课件北师大版九年级下
顾与思考1. 你在哪些情况下见到过抛物线的“身0 ?用语皆或J开进行描述.2. 你能用二次函数的知识解决哪些实际问题？与同伴交流.3.｛象的方法.4.1象有哪些性质？如何确定它的开口方向，对称轴和顶点坐标？讲用具体例子进行说明.九年级數学（下）第二章《二次因數》第二章《回顾与思考》二次函数小结想一叫Ta顾与思考5.用具体例子说明如何莫?恰当或更有效地利用二次函数的表达式，表格和图象刻画变量之间的关系. 6•用自己的语皆描述二次函数y=ax2+bx+c的图象与方程ax2+bx+c=0的根之间的关系.2bd X ---------(2a函数y=ax2+bx+t 的顶点式2 4ac-b 2cH ----------------- t4a • ■一般地，对于二次函数y=ax 2+bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和码点坐标.y 二 ax 2+ bx+c ( 1 \2—U X H ------ X + C )、2ct 丿 4«2 4ac-b 例.求次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴和顶点坐标・ 1・配方:这个结果通 常称为求顶 V a (2 b H ——x+aX H --- I la(b} =a x-\ ----- I la) /2 + 4a提取二次项系数配方:加上再 减去一次项系 + C 数绝对值一半 的平方整理:前三项化为平方形 式，后两项合并同类项 化简:去掉中括号Q越一赳P49［卜函数丫=3x Ubx+c的图象？我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y二3x2可以得到二次函数y二3x2 - 6x+5的图象.怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?!.配方尸3（宀2也）+5勰器；需=3［（兀_1）2_"+5 =3（x — 1）2 +2.整理:前三项化为平方形式，化简:去掉中括号Q赳一赳出真r知直接画函数丫=ax2+bxM的图象？2. 根据配方式（顶点式）确定开口方向,对称轴,顶点坐标.Va=3>0, 开口向上;对称轴:直线x=l;顶点坐标：（1, 2）. 3. 列表:根据对称性，选取适当值列表计算.4.画对称轴，描点，连线:作出二次函数ys3（x-ip+2 的图象.做一做P50Q( b \ y = a 兀 ---------I 2d 丿此，二次函^cy=ax 2+bx+c 的 图象是一条抛物线 它的对称轴是直线X = ---------------- ・2a务顶点坐标公式24ac — b 2H ----------------------4a(b 4ac - b?、9 2/ 4a 丿9w 它的顶点是-做一做p二誓小试牛刀确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:二次函«fcy=ax 2+bxtc (a^O)的图象和性质1 •顶点坐标与对称轴2 .位置与开口方向3 .增减性与最值 根据图形填表：抛物线 Iy=ax 2+bx+c(a>0)y=ax 2+bx+c(a<0)顶点坐标b 4ac — b~ ]b 4ac — b~ 2〃，4〃 )2a 4/7对称轴 位置 由a ，b 和c 的符号确定由a ，b 和c 的符号确定开口方向 向上向下增减性 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而减小. 在对称轴的右侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而增大. 在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.最值当2—2时,最小值为兰—______ 2" 4c当一汕，最大值为4宀7,1 2 37627二次函4fcy=ax2+bx+c (a=#0)与丫二宓?的关系仁相同点：⑴形状相同(图像都是抛物线，开口方向相同).(2) 都是轴对称图形.(3) 都有最(大或小)值.⑷a>0时，开口向上，在对称轴左侧,y都随x的增大而减小，在对称轴右侧,y都随x的增大而增大. a<0时，开口向下，在对称轴左侧,y都随x的增大而增大，在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.二次函数y 二ax2+bx+c （a#=0）与y 二ax?的关系2 •不同点:（1）位置不同. ..（b 4ac-b2}⑵顶点不同：分别是和（ao）.⑶对称轴不同:分别是兀=-2和y轴（xR）・2a（4）最值不同：分别是4。
北师大版九年级下册数学：第二章二次函数回顾与思考课件(共15张PPT)
二次函数y=ax²与y=a(x-h)²和y=a(xh)²+k与的关系
平移关系
当h>0时,向右平移
y=ax2
y=a(x－h)2
当k>0时,向上平移
y=a(x－h)2+k
当h<0时,向左平移
当k<0时,向下平移
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a__x_2+__b_x_+_c____ (a≠0)
a-b+c > 0, a+b+c = 0
点击中考：逆推思想
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是（ C ）
.
知识点4：选择恰当的方法求函数解析式
二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶 点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）， 求a、b、c。
a-b+c 0, a+b+c 0 知识点3：图象与系数的关系
对称轴 当 时 y=a(x－h)2+k
x
x
b
b 2a
2 a 知识点3：图象与系数的关系
思考：二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)的图象与系数a,b,c的关系
增减性 抛物线y=2(x-3)2-2的顶点坐标是？
y随x的增大而增大 y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
当
时
2、能利用数形结合，逆推等思想解决二次函数图象与性质问题.
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
以及图象与系数a,b,C的关系
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节主要是让学生回顾已学的二次函数知识，通过对已学知识的梳理，加深对二次函数的理解，并为后续的学习打下基础。
教材中包含了二次函数的图像、性质、以及解决实际问题等方面的内容。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的数学知识，对二次函数有一定的了解。
但是，部分学生可能对二次函数的图像和性质理解不深，解决实际问题的能力较弱。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过合理的教学设计，帮助他们巩固已学的知识，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，理解二次函数的图像和性质。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图像和性质，解决实际问题。
2.难点：对二次函数图像和性质的理解，以及运用二次函数解决实际问题的方法。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备与本节课内容相关的课件，以便引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.实际问题：教师准备一些与生活实际相关的数学问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾已学的二次函数知识，如二次函数的定义、图像、性质等。
同时，教师也可以让学生举例说明二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次函数的图像和性质，让学生直观地感受二次函数的特点。
二次函数的回顾与思考
当a ＜ 0时：抛物线开口向下。
2 4ac-b b b 对称轴是x=,顶点坐标是(- 2a ， ) 2a 4a b 在对称轴的左侧，即当x ＜时，y随x的增 2a 大而增大； b 在对称轴的右侧，即当x ﹥ - 2a 时， y随x的 增大而减小。简记左增右减。抛物线有最高 2 b 4ac-b 点， 当x=时， y最大值= 2a 4a y
二次函数y=a(x-h) 2+k的图象可由抛物线
y=ax2向左(或向右)平移h的绝对值个单位,在 向上(或向下)平移k的绝对值个单位而得到.
二次函数y=ax2+bx+c的图象的画法
1. 2.
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特 征是：（1）有开口方向；（2）有对称轴；（3） 有顶点。所以，画二次函数的图象通常采用简化 了的描点法——五点法，其步骤是： 先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在 直角坐标系中描出顶点m并用虚线画出对称轴； 求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点；当抛物线 与x轴有两个交点时，描出着两个交点A、B及抛 物线与 y轴的交点 C,再找到点C的对称点D。将这 五个点按从左到右的顺序连结起来，并向上或向 下延伸，就得到二次函数的图象。
位置是由常数项c决定的。
抛物线与y轴
上正下负
相交于原点； 3、 C＜0 抛物线与y轴 相交于负半轴；
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴的位置是 由a和b联合决定的
a与 b同号 对称轴在y轴的左侧； a与 b异号 对称轴在y轴的右侧； 左同右异
b=0
对称轴就是y轴。
抛物线与x轴交点的个数由b2-4+c与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系
2019年第二章 回顾与思考语文
知识点 5：用待定系数法求二次函数的表达式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a、b、c 为常数，a≠0)已知抛物线上三
个点的坐标时； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a、h、k 为常数，a≠0)已知条件与抛物
线顶点坐标有关时． 9．已知抛物线过三点：(－2，0)，(6，0)，(2，3)．求出对应的二
说明：①平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先 左右后上下，也可先上下后左右；
②抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶 点的位置变化；
③抛物线 y＝a(x－h)2＋k 经过反向平移也可得到抛物线 y＝ ax2 的图象．
5．已知 y＝a(x－h)2＋k 是由抛物线 y＝－12x2 向上平移 2 个单位， 再向右平移 1 个单位得到的抛物线，求出 a，h，k 的值．
7．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的
是( D )
A．a<0，b<0，c>0，b2－4ac>0 B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
8．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一次函数 y＝ax＋c 在同一坐标系中
解：如图，AF＝40 cm，AE＝30 cm，AB＝xcm，则 CD ＝xcm， ∵CD∥AF， ∴△EDC∽△EAF， ∴CADF＝EADE，∴4x0＝D30E，
则 DE＝34x，∴AD＝30－34x， 则矩形铁皮的面积： S＝AD×AB＝x×(30－34x)＝－34x2＋30x ＝－34(x－20)2＋300(0＜x＜40)， 则 x＝20 时，最大面积为 300 cm2.
二次函数回顾与思考
4.函数 y x px q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物 线,则这个函数的关系式是( Ｃ ）
2
A. y x 6 x 11 C. y x 2 6 x 11
2
B. y x 2 6 x 11 2 D. y x 6 x 7
2
进行配方，正确的结果应（ Ｃ ）
A. y ( x 3) 2
2
B. y ( x 3) 2
2
C. y ( x 3) 2
2
D. y ( x 3) 2 2
A ) D.直线x=-4
3.抛物线y
x 4x 的对称轴是(
2
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线x=4
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选一选：
1、在同一坐标系中，抛物线y=4x2 , D ） , y=-x2/4 的共同特点是（ A.关于y轴对称，开口都向上 B.关于y轴对称，y随x增大而增大 C.关于y轴对称，y随x增大而减小 D.关于y轴对称，顶点都在原点
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数,a≠0)的函数叫做x的二次函数。 图象：是一条抛物线。 图象的特点：（1）有开口方向，开口大小。 （2）有对称轴。（3）有顶点（最低点或最 高点）。 y y
o
x
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o
x
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=ax2+k的图象的关系
4a
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y
o
x
当a ＜ 0时：抛物线开口向下。 b 4ac-b2 b 对称轴是x=- 2a ,顶点坐标是(， ) 2a 4a 在对称轴的左侧，即当x ＜- b 时，y随x的 2a
第2讲 二次函数的认识 知识回顾+专题讲解+巩固练习-2021年中考数学二轮复习讲义
第二讲二次函数㈠承上启下 知识回顾问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”㈡紧扣考点 专题讲解请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1） 面积y (cm 2)与圆的半径 x ( cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;（1）y =πx 2（2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y=ax ²+bx+c (a,b,c 是常数, a ≠0)的形式.我们把形如y=ax ²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项，1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4） )1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y答：1.3.4.2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -= 二次函数1 二次函数3 二次函数 -2 一次项系数0 一次项系数7 一次项系数 2 常数项1 常数项 -12 常数项03、若函数mm x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 2 。
例1、已知二次函数 q px x y ++=2当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5。
第二章 回顾与思考
说明：①平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先 左右后上下，也可先上下后左右；
②抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶 点的位置变化；
③抛物线 y＝a(x－h)2＋k 经过反向平移也可得到抛物线 y＝ ax2 的图象．
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5．已知 y＝a(x－h)2＋k 是由抛物线 y＝－12x2 向上平移 2 个单位， 再向右平移 1 个单位得到的抛物线，求出 a，h，k 的值．
增 a>0 在对称轴的右侧，
y 随着 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的增大而 增大 .
减
在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大 ；
性 a<0 在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小 ．
7
a> 当 x＝－2ba时，y 有最小值 当 x＝ h 时，y 有最小
最 0 为4ac4－a b2
值为 k .
值 a< 当 x＝－2ba时，y 有最大值 当 x＝ h 时，y 有最大
次函数的表达式．
19
解：设二次函数的关系式为 y＝ax2＋bx＋c， 把(－2，0)，(6，0)，(2，3)分别代入上式得：
003＝＝ ＝434a6a－a＋＋22b6b＋＋b＋ccc，解得：abc＝＝ ＝9434－136， 则二次函数关系式是：y＝－136x2＋34x＋94.
20
10．已知二次函数的图象与 x 轴交于 A(2，0)、B(6，0)两点，与 y 轴交于点 D(0，4)．求该二次函数的表达式．
第二章 二次函数
回顾与思考
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知识点与典型题型
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知识点 1：二次函数的定义 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，
北师大版八年级下册数学第二章《回顾与思考》教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与实数、向量、函数或图形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如绘制一次函数和二次函数的图像，观察向量的合成等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了实数、向量、函数及图形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例：通过图形展示向量加法的平行四边形法则和数乘的几何意义。
（3）一次函数、二次函数的性质及图像：重点讲解一次函数、二次函数的图像特点、性质及其应用。
举例：以y = x^2为例，分析其图像的开口方向、顶点坐标等性质。
（4）三角形、四边形的性质及判定：强调三角形的稳定性、四边形的特殊性质，以及各类特殊图形的判定方法。
此外，小组讨论环节让我看到了学生们的思维火花。他们在探讨数学知识在实际生活中的应用时，提出了许多有趣的观点。这表明学生们具有很好的创新意识和解决问题的能力。但同时，我也注意到部分学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对相关知识点的掌握不够自信。为此，我将在以后的课堂中，更加关注这些学生，鼓励他们积极参与讨论，提高自信心。
难点解析：结合实际案例，让学生动手操作，学会数据的收集、整理、描述和分析，提高解决问题的能力。
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y x[800 10 ( x 30 )]
10 x 1100 x
2
10( x 55) 2 30250 当x＝55时，y 最大值＝30250 （元）
答：当旅行社的人数是55人时，旅行社可以获得 最大的营业额。
自我检测
1、某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元, 要求每箱售价在40元～70元之间.市场调查发现:若每箱 按50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均 每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱. (1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数 关系式; (2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大 利润是多少?
（1）当t＝1和t＝2时，足球的高度分别是多少？
30
25
（2）方程 4.9t
（3）方程 4.9t
2
19.6t 0
的根的实际意义是什么？
20
你能在图象上表示出来吗？
2
15
19.6t 14.7 的根的实际意义是什么？ 19.6 1 14.7
-20 -10
10
你能在图象上表示出来吗？ 解：（1）当t＝1时，h 4.9 12 当t＝2时，
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其 中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公 园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水 的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s). 方法1:(公式法)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15 .
y B C
A
3.5 O
3.05
2.5m 4m
此类问题需建立 坐标系
例6：一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m, 拱高是2m.当水面下降1m后,水面的宽度是多少?(结果精 确到0.1m).
解:建立如图所示的坐标系
则可设抛物线表达式为y ax2 则有A点坐标为（2,2）， B点坐标为（x，－3） 1 2 所以可得函数表达式为: y x 2 1 当y 3时，得 3 x 2 2 x 6 水面的宽 2 6 4.9(m)
v v0 由y 5t v0t 5 t 10 20
2
2
2
v0 得： 15 20 v 10 3 17.32(m / s)
2
最大面积问题 例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆 才能使其所围成矩形的面积最大?
方法1：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那么 另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则 A 2 S x(15 x) x 15
D
a 1 0 b 15 当x＝ 7.5(cm)时 2a 2 2 4ac b 225 2 y 最大值＝ 56 .25(cm ) 4a 4
B
C
例3：如图,假设篱笆(虚线部分)的长度是15m,如何围篱笆 才能使其所围成矩形的面积最大?
方法2：解:如图,设矩形的一边AB=x m,那 么另一边BC=(15-x) m,面积为S m2,则
S x(15 x) x 15
2
A
D
( x 7.5) 56 .25
2
B
C
a 1 0 当x 7.5(cm)时 y 最大值 56 .25(cm )
2
例4.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙， 为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃， 他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花 和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通 道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）。花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使5-4x
从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x ∵AB≤10 ∴6.25≤x
D A
H
G F
C B
S=-4x2+34x，对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x≥4.25时S随x的增大而减小 故当x=6.25时，S取最大值56.25
E
例5： 如图，一位运动员在距篮下4m处 起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球 运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高 度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能投中？
解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最 高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05). 设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c. 将点B和点C的坐标代入，得 3.5=c 3.05=1.52a+c a= -02 解得 c= 3.5 ∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5 球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5 代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高 度为2.25m时，才能投中。
二次函数的应用
一、最大值问题 1、最大利润问题； 2、最大高度问题； 3、最大面积问题。 二、需建立坐标系的问题 三、二次函数与一元二次方程
例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当 旅行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则
4ac b 2 由 15 4a 2 v0 得 15 . 4 5 v0 10 3 17 .32 (m / s )
答：喷水的速度应该达到17.32m/s.
例2：竖直向上发射物体的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t，其 中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.某公 园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m,那么喷水 的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s). 方法2:(用顶点式)根据题意,h=-5t2+v0t顶点的纵坐标为15.
●
A(2,-2) ●B(X,-3)
二次函数与一元二 次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交 点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
二次函数y=ax2+bx+c的图 象和x轴的交点 有两个交点 有一个交点 没有交点 一元二次方程ax2+bx+c=0 的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 一元二次方程ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
思考与复习
y ax bx c何 二次函数
2
时为一元二次方程?它们的关 系如何?
当y取定值时，二次函数即是 一元二次方程。
例7：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以 2 用公式 h 4.9t 19.6t 来表示。其中t（s）表示足球被 踢出后经过的时间，图象如图所示：
作业： 课本复习题 A组 第5，6，7题； B组
第5，6题.
-40 5
即当t＝1时，足球距离地面的高度是14.7m。
h 4.9 2 19.6 2 19.6
2
-30
10
即当t＝2时，足球距离地面的高度是19.6m。 （2）是足球离开地面及落地的时间。 （3）是足球高度是14.7m时的时间。
-5
-10
-15
-20
课堂小结：
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之 间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性,拓展等.