2013届中考数学考前热点冲刺《第16讲 二次函数的应用》课件 新人教版

第16讲┃ 回归教材
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如何定价利润最大
教材母题
人教版九下 P23 探究 1
某商品现在的售价为每件 60 元， 每星期可卖出 300 件． 市 场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知商品的进价为 每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
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[2012· 无锡] 如图16－3，在边长为24 cm的正方形 纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知 E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两 个端点，设AE＝BF＝x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积V；
图16－1
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[解析] (1)利用h＝2.6，将(0，2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当x＝9时，y＝－ (x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时， 60 1 － (x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图象还过 (0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)， y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可 得出答案．
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利用二次函数解决抛物线形问题， 一般是先根据实际 问题的特点建立直角坐标系， 设出合适的二次函数的解析 式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式 求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
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二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系 式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的 取值解决利润最大问题．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉 及最大面积，最小距离等； 2. 在写函数关系式时，要注意自变量的取值范围．
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解：(1)设每件涨价 x 元，每星期售出商品的利润 y 随 x 变化 的关系式为 y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)， 自变量 x 的取 值范围是 0≤x≤30. ∴y＝－10x2＋100x＋6000 ＝－10(x－5)2＋6250， 因此当 x＝5 时，y 取得最大值为 6250 元． (2)设每件降价 x 元， 每星期售出商品的利润 y 随 x 变化的关 系式为 y＝(60－x－40)(300＋20x)，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤20，∴y＝－20x2＋100x＋6000＝－20(x－2.5)2＋6125， 因此当 x＝2.5 时，y 取得最大值为 6125 元． (3)每件售价 60 元(即不涨不降)时，每星期可卖出 300 件， 其利润 y＝(60－40)×300＝6000(元)． 综上所述，当商品售价定为 65 元时，一周能获得最大利润 6250 元．
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解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ 2 x cm， EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm，V ＝a3＝(6 2 )3＝ 432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm，则y＝ 2x， 24－2x h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋384， ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2.
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二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思 想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题 进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、 全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求关系式是关 键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及 最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数 关系，运用函数的性质求解．
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相 转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆 等知识解决问题，求二次函数的关系式是解题关键．
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归类示例
► 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳 水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
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[解析] (1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和 是5元；按零售价买甲商品3件和乙商品2件，共付了19元． (2)利润＝(售价－进价)×件数．
解：(1)设甲商品的进货单价是x元，乙商品的进货单价 是y元．
x＋y＝5， 根据题意，得 3（x＋1）＋2（2y－1）＝19， x＝2， 解得 y＝3
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(2)某广告商要求包装盒的表面积(不含下底面)S最大，试 问x应取何值？
图16－3
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[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝ 2x cm，EF＝ 2 a＝2x(cm)，再利用AB＝24 cm，求出x进而 可得出这个包装盒的体积V； (2)利用已知表示出包装盒的表面面积，进而利用函数 最值求出即可．
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解：(1)(1400－50x) (2)y＝x(－50x＋1400)－4800＝－50x2＋1400x－4800 ＝－50(x－14)2＋5000. 当x＝14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000. ∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值 为5000元． (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y＝0. 即－50(x－14)2＋5000＝0，解得x1＝24，x2＝4. ∵x＝24不合题意，舍去． ∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.
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[点析] 本题是一道较复杂的市场营销问题，需要分情 况讨论，建立函数关系式，在每种不同情况下，必须注意 自变量的取值范围，以便在这个取值范围内，利用函数最 值解决问题．
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中考变式
[2012· 嘉兴] 某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计， 当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日 租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的 各项支出共4800元．设公司每日租出x辆时，日收益为y 元．(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆时，每辆车的日租金为________元 (用含x的代数式表示)； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大 是多少元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不 亏？
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[2012· 安徽] 如图16－1，排球运动员站在点O处练习发 球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高 度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球 网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的 水平距离为18 m. (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值 范围)； (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不归类示例
(3)当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h还过点(0，2)点， 1 2＝36a＋h， a＝－54， 代入解析式得： 解得： 0＝144a＋h， h＝8， 3 1 2 8 此时二次函数解析式为：y＝－ (x－6) ＋ ， 54 3 8 此时球若不出边界则h≥ . 3
[2011· 盐城] 利民商店经销甲、乙两种商品．现有 如下信息：
图16－2
第16讲┃ 归类示例
请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经 调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种 商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润， 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考 虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销 售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多 少？
第16讲┃ 归类示例
解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2 m的A处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)， 1 2 ∴2＝a(0－6) ＋2.6，解得：a＝－ ， 60 1 故y与x的关系式为：y＝－ (x－6)2＋2.6. 60 1 (2)当x＝9时，y＝－ (9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 60 所以球能过球网； 1 当y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0， 60 解得x1＝6＋2 39＞18，x2＝6－2 39(舍去)． 故球会出界．
第16讲┃二次函数的应用
第16讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这 就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题， 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方 案等问题．
第16讲┃ 考点聚焦
考点2
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.
第16讲┃ 归类示例
(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 m m s＝(1－m)500＋100× ＋(5－3－m)300＋100× 0.1 0.1 即 s＝－2000m2＋2200m＋1100 ＝－2000(m－0.55)2＋1705. ∴当m＝0.55时，s有最大值，最大值为1705. 答：当m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商 品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．