小学奥数之立体几何问题

立体图形

⑴ 立体图形的表面积和体积公式

长方体和正方体

如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．

c b a

H

G

F

E

D B

A

①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．

③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．

二、圆柱与圆锥

【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方

体，那么新的几何体的表面积是多少

改.又是多少

【例 2】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上

下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种

玩具．它的表面积是多少平方厘米（图中只画出了前面、右

面、上面挖去的正方体）

练习：在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖

去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多

少

【例 3】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长

为1

2

厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相

同为1

4

厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘

米

【例 4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面

积之和是多少

（锯一次增加两个面）

练习.一个表面积为2

56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和

是2

cm．

表面积最小：互相重合的面最多时表面积最小

【例 5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少

体积：

例1.如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米

例2.某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图11-9所示在三个方向上加固．所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米．若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米

⑵不规则立体图形的表面积整体观照法

例1.如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．

例2.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．

例3.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．

例4.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该

图形的表面积是多少平方厘米

例5.下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V升水=V物②测啤酒瓶容积：V=V空气+V水

例1.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米．如

果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米

例2.在一只底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米，高是15厘米的一块铁块。把铁块竖放在水中，水面上升几厘米

在一个圆柱形储水桶里，放进一段半径是5厘米的圆钢，如果把它全部放入水

里，桶里的水面就上升9厘米，如果把水中圆钢露出8厘米长，那么这时桶里

的水面就下降4厘米。问这段圆钢的体积是多少

⑷视图与展开图最短线路与展开图形状问题

例1在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。

例2在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图

例3右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些

点重合

例4.在下列各图中，哪些是正方体的展开图

例5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图

例6.一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)

8

(单位：厘米)

4

10

6

例7.

一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当

瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米合多少升

2

6

例8. 一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少(π取3)

25

30

15

⑸ 染色问题 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

例1.右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块