2019概率论与数理统计-知识点例题讲解2

I
(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型
F Z(z)P {g(X ,Y)z}P {X (,Y) } f(x,y)dx, dy
{x (,y):g(x,y)z}
4. 常见的重要分布
A . 二项分布, X服从b(n,p)
P { X k } C n k p k ( 1 p ) n k ( k 0 , 1 , , n ) 其 p P ( A 中 )
P { X x i, Y y j} P { X x i} P { Y y j} P i • P • j
X,Y连续型且相互独立, 则：f(x ,y )fX (x )fY (y )
3. 主要方法
A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.
B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y))落在某区间I(或某区
b1
b
2 3
1
2 3
2b1
错解： kn 1P2k1 kn 1PXkkn 1b3 2kb
2
2 n1
3
3
1
2 3
1
再对上式取极限得：
lim n
b
2 3
2 3
n1
b
2 3
132
132
2b1
b
1 2
P70T6(2)
(2)设随机变量的分布律为 P Xkk, k1,2,3,4,5
15
其分F 布 (x 求 函 )2 P 1 数 X 2 .为
(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率.
(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次,
解: (1)所问求此概人是率否为确:1有/ 品C 尝84=区1/分70的能力.
(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数
X~b(10,1/70) P {X 3 } C 1 3 0(7 1)3 0 (7 6)7 0 9 3 .1 6 1 4 0 显然{X=3}是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生
x
F(x)P{Xx} f(u)du
0,
x 0
y
0 x u d x 2 2 ,u 0 x 1
1
x
0udu 1(2u)du
1(2x)2/2, 1x2 0
12
x
1,
x 2
P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分
布, 其概率密度为
f(x) 1 5ex/5 0
原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.
P72,T16 设连续型r.vX的分布函数为
0
x0
F(x) A2x 0x1
1
x1
求 : (1)常数 A (2)概率密度函数 (3) P 0X 2
解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的
liF m (x ) liA m 2 A x , liF m (x ) 1
x y
C . 联合分布 边缘分布
离散型 : P {X x i} P ijP i• P {Yyj}P •j j 1
连 :f 续 X ( x ) f 型 ( x ,y ) df y Y ( y ) f ( x ,y ) dx
D. 边缘分布+独立性 联合分布 X,Y离散型且相互独立, 则：
第二章 随机变量习题课
内容小结 作业点评 典例分析 综合练习
一、内容小结
r.v及其概率分布
离散型r.v 的分布律
分布函数 的性质
连续型r.v的 概率密度
分布律 与分布函数
的关系
概率密度 与分布函数
的关系
二项分布 泊松分布
正态分布 指数分布 均匀分布
1. 重点概念: 随机变量, 分布函数,
分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。
2. 重点公式:
A. 分布律、概率密度函数的性质：
pk 1, f(x )d x 1,
f(x ,y )dx 1 dy
k 1
B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型)
x
F(x)f(t)d,tF'(x)f(x)
xy
2 F (x ,y )
F (x ,y ) f(u ,v )duf( d x ,y v )
域 G)的概率为
f(x)dx 或 ( f(x,y)dx)dy
I
G
C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.
X 连续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型．
F Y ( y ) P { g ( X ) y } P { X I } f ( x ) d ,I x { x : g ( x ) y }
x 1
x 1
x 1
A1
（2）
2x, 0x1 f(x)F'(X) 0, 其它
(3) P 0 X 2 P 0 X 2 F 2 F 0 1 0 1
2
1
2
或 P 0X2fxd x2xd x 0d x1
0
0
1
解法二：
2A,x0x1 f(x)F'(X) 0, 其 它
解：P 1 X 2 P X 2 P X 1
2 1 1 15 15 5
1 2 3 45
错解： P 1 X 2 F 2F 1
注：如果X是连续型随机变量，则
P 1 X 2 P 1X 2 F 2 F 1
P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能
将
甲 种酒全部挑出，算是试验成功.
由 1
1
f(x )d x2 Ax A dx
知道分布函0 数，求落在
某A区间1的概率，没有必 要对概率密度积分了，
以下因同为解这法一样麻烦，直接用
分布函数即可.
P72,T17 已知r.vX的概率密度为:
x , 0x1 f(x) 2x, 1x2 , 求其分布函数F(x)
0 , 其它
解:
2
X ~ N (, 2 ) Z X ~ N ( 0 ,1 )
F XxP XxP X x
x
F. 二维正态分布
Байду номын сангаас
二、作业点评
课本P70,T5 (2)
(2)设r.vX的分布律为
PXkb2k, k1,2, 试确定常数b；
3
解： k 1P k1 k 1PXkk 1b 3 2 k
B. Poisson分布, X服从()
ke
P{Xk}
,
k0,1,2,(0)
k!
n较
大 p较 ，小 Cn k： pk(1p)nk
ke(np )
k!
C. 均匀分布 f(x) b 1a,
0,
axb 其它
D.
指数分布
ex
f(x)
,
0 ,
x0 x0
E. 正态分布
f(x) 1 e(x2 2)2 , x