2017寒假复习：用空间向量方法求点到直线距离的解题思路_题型归纳
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算
知识讲解空间向量在立体几何中的应用三——距离的计算距离是立体几何中一个重要的概念，用来描述两个点、线或平面之间的远近关系。
在立体几何中，可以使用空间向量的知识来计算距离。
本篇文章将介绍三种常见的空间向量在立体几何中计算距离的方法。
第一种方法是点到点距离的计算。
设立体空间中有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，则点A到点B的距离可以通过空间向量表示为：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)例如，如果点A的坐标是(1,2,3)，点B的坐标是(4,5,6)，则点A到点B的距离为：AB=√((4-1)²+(5-2)²+(6-3)²)=√(3²+3²+3²)=√(27)≈5.196第二种方法是点到直线距离的计算。
设立体空间中有一条直线L和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到直线L的距离，可以通过先计算点P到直线上的一点Q的距离，再计算点Q到直线上的两个点A和B的距离，其计算公式为：d(P,L)=AB=，PP_A×PP_B，/，A-B其中，×表示两个向量的叉乘运算，，表示向量的模，P_A和P_B分别是点P到直线上的两个垂足点。
第三种方法是点到平面距离的计算。
设立体空间中有一个平面平面α和一个点P(x0,y0,z0)，要计算点P到平面α的距离，可以通过计算点P到平面上的一点Q的距离，其计算公式为：d(P,α)=PQ·n/，n其中，·表示两个向量的点乘运算，n表示平面的法向量。
需要注意的是，当计算点到直线或点到平面的距离时，我们需要先确定直线或平面上的一个点，然后再计算该点到目标点的距离。
综上所述，空间向量在立体几何中的应用可以帮助我们计算点到点、点到直线和点到平面的距离。
这些计算方法在实际问题中非常有用，例如计算物体的尺寸、相机的视距等等。
3.2空间向量解决距离问题
→
→ ＝CA ＋AB ＋ BD ＋ 2(CA·AB＋CA· BD＋BD·AB)
2
→2
→2
→
→
→
→
＝ 3× 62＋ 2× 62× cos 60°＝ 144，∴ CD＝ 12.
题型二：求点线距
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题： (1) 求C到直线AE的距离； z
y
x
课堂练习
1.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， （1）求点B到平面GEF的距离。 z G （2）求GF与BC的距离
x
F D C
A
E
B
y
课堂练习
2.在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角形， 平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ， M、N分别
→
→
1 1 2 2 0＋ ＋ ＝ ，即 MN＝ . 4 4 2 2
→
→
→
方法总结
规律方法 求两点间的距离的向量法主要是坐 标法(易建系的)和基向量法(各基向量的模和 夹角已知或可求)，利用向量模的定义求解．
ABβ 【变式1】 如图所示，在120°的二面角α 中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，
B
G
C
A
新课讲解 三、点面距
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个 垂线段的长度。
P
d
O
还可以用等积法求距离.
1.向量法求点到平面的距离
d d | AP | sin sin AP | AP n | sin AP n
高中数学_谈“点到直线距离公式”的向量推导方法
高中数学_谈“点到直线距离公式”的向量推导方法谈“点到直线距离公式”的向量推导方法（1200字以上）在高中数学中，我们经常会遇到计算点到直线的距离的问题。
为了方便计算，我们常常使用点到直线距离公式，其基本形式为：d=，Ax+By+C，/√(A²+B²)其中，A、B、C分别为直线的方程Ax+By+C=0中的系数，d为点到直线的距离。
然而，在推导这个公式时，我们可以利用向量的性质进行简化。
首先，我们假设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P(x1,y1)是直线L上的一点。
我们可以使用向量的方法来表示点P和直线L。
设向量AP为向量a，向量AB为向量b，向量n为垂直于直线L的向量，则有向量a=(x1,y1)，向量b=(x,y)-(x1,y1)=(x-x1,y-y1)。
由于向量a和向量n垂直，所以它们的点积为0，即a⋅n=0。
我们可以将向量n表示为向量A(向量A是直线的法向量)，即A⋅a=0。
通过代入向量的定义，我们可以得到Ax+By+C=0，即直线L的方程。
接下来，我们需要求点P到直线L的距离。
考虑任意一点Q(x,y)在直线L上，那么向量b即为从Q到P的向量。
由于直线L上的点满足直线的方程，所以将点Q的坐标代入Ax+By+C=0，我们可以得到Ax+By+C=0。
那么点Q和直线L的对应向量满足向量a⋅n=0，即(n1,n2)⋅(x-x1,y-y1)=0。
我们可以展开这个式子得到：n1(x-x1)+n2(y-y1)=0扩展开可以得到：nx - n1x1 - n2y1 - ny = 0回忆起Ax + By + C = 0，我们可以将其与上式进行比较，得到A = n1，B = n2，C = -ny1代入点到直线距离公式中，我们可以得到点P到直线L的距离公式：d=，Ax1+By1+C，/√(A²+B²)即：d = ，n1x1 + n2y1 - ny，/√(A² + B²)通过这种向量推导的方法，我们可以快速推导出点到直线距离公式。
十二种方法推导点到直线的距离公式
十二种方法推导点到直线的距离公式在解析几何中，点到直线的距离是一个重要的概念。
点到直线的距离公式可通过不同的方法进行推导，下面将介绍十二种常见的方法。
方法一：利用向量法设直线上一点为A，直线上一点到点的向量为向量a，直线上一点到点的向量的单位向量为向量u，则点到直线的距离d等于向量a与向量u的叉乘的模长除以向量u的模长。
方法二：利用几何推理法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点到直线的长度沿着法向量方向的投影长度。
方法三：利用几何推理法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，则点到直线的距离d等于点A到点的函数值与点的坐标之间的差的绝对值除以根号下1+k^2方法四：利用向量运算法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于向量PA与向量u的向量积PA*u的模长除以u的模长。
方法五：利用面积法一设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A、B、C构成的三角形的面积除以AB的长度。
方法六：利用面积法二设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线方程Ax+By+C=0的距离。
方法七：利用斜率法一设直线上已知点为A，直线的斜率为k，直线的截距为b，点的坐标为(x0, y0)，点到直线的距离d等于点到直线ax - y + b = 0的距离，其中a=-1/k。
方法八：利用斜率法二设直线上已知点为A，直线的斜率为k，斜率的倒数为k'，直线的截距为b，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点(x0,y0)到直线y-k'x-b=0的距离。
方法九：利用格拉姆公式法设直线上已知点为A，直线的方向向量为向量u，点的坐标为(x0,y0)，点到直线的距离d等于点A到(AP-PB)与u的向量积的模长除以u的模长，其中P为直线上任意一点。
高二数学复习考点题型讲解与提升练习3---空间向量在点线面距离、存在性问题的应用
高二数学复习考点题型讲解与提升练习空间向量在点线面距离、存在性问题的应用【考点梳理】1.点P 到直线 l 的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )22.点P 到平面α的距离设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |．【题型归纳】题型一：点到直线距离的向量求法1．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 关于y 轴的对称点为点B ，则点()3,0,1C 到直线AB 的距离为（ ） A ．3210C 265．62．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( ) A ．2B ．3C ．6D ．22题型二：异面直线的向量求法3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（ ） A ．55B ．77C ．66D ．674．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，13AA =，则异面直线AC 与1BC 之间的距离是（ ） A ．55B ．77C ．66D ．67题型三：点到平面距离的向量求法5．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，112AB BC AD ===，90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点.(1)求E 到平面PAB 的距离；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45，求二面角M AB D --的正弦值.6．如图，在四面体P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，22AB AC PA ===，点D 在线段AC 上．(1)当D 是线段AC 中点时，求A 到平面PBD 的距离； (2)若二面角A PD B --的余弦值为13，求ADAC的值．题型四：平行平面距离的向量求法7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，1BB 的中点．(1)求证：平面11//A DC 平面EFG ； (2)求平面11A DC 与平面EFG 间的距离．8．如图所示的多面体是底面为ABCD 的长方体被平面1AEC F 所截而得的，其中4AB =，2BC =，13CC =，1BE =.（1）求点C 到平面1AEC F 的距离；（2）设过点B 平行于平面1AEC F 的平面为α，求平面1AEC F 与平面α之间的距离.题型五：空间向量的存在性问题9．如图，四边形ABCD 是菱形，ADC 60∠=，平面EAD ⊥平面ABCD ，EA AD ⊥，//EA BF ，2AB AE ==，1BF =．(1)证明：平面EAC ⊥平面EFC ；(2)在棱EC 上是否存在点M 使得平面MBD 与平面ACF 所成的锐二面角的余弦值为339，若存在，求EM MC 的值，若不存在，说明理由．10．如图1，在△MBC 中，BM ⊥BC ，A ，D 分别为边MB ，MC 的中点，且BC ＝AM ＝2，将△MAD 沿AD 折起到△PAD 的位置，使PA ⊥AB ，如图2，连结PB ，PC ．(1)若E 为PC 的中点，求异面直线DE 与PB 所成的角大小； (2)线段PC 上一动点G 满足()01PGPCλλ=≤≤，判断是否存在λ，使得二面角G －AD －P 的310λ的值；若不存在，请说明理由．【专题突破】一、单选题11．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，14AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1BC 与1CA 所成角的正弦值为（ ） A 21B 32157 12．已知经过点(1,2,3)A 的平面α的法向量为(1,1,1)n =-，则点(2,3,1)-P 到平面α的距离为（ ） A 3．2C ．22．313．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．22C ．12-D ．22-14．若异面直线1l ，2l 的方向向量分别是()1,0,2a =-，()0,2,1b =，则异面直线1l 与2l 的夹角的余弦值等于（ ） A ．25-B ．25C ．255-D ．25515．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥平面ABCD ，线段,AB SC的中点分别为E ，F ，若异面直线EC 与BF 所成角的余弦值为55，则SD =（ ） A ．1B ．32C ．2D ．316．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A 411111121117．给出以下命题，其中正确的是（ ）A ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，直线m 的方向向量为()2,1,1b =-，则l 与m 平行B ．直线l 的方向向量为()1,1,1a =-，平面α的法向量为()2,2,2n =--，则//l αC ．平面α､β的法向量分别为()10,1,3=n ，()21,0,2=n ，则αβ⊥D ．已知直线l 过点()1,0,1A -，且方向向量为()1,2,2 ，则点()1,2,0P -到l 的距离为653 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为π4，底面ABCD 为直角梯形，,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====，点E 为棱PD 上一点，满足()01PE PD λλ=≤≤，下列结论错误的是（ ）A ．平面PAC ⊥平面PCD ；B ．点P 到直线CD 的距离3；C ．若二面角E ACD --的平面角的余弦值为33，则13λ=；D ．点A 到平面PCD 的距离为52．二、多选题19．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．顶点B 到平面APC 的最大距离为22B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +的最小值303D ．当P 为1BD 中点时，APC ∠为钝角20．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝1，AA 1＝2，D ，E 分别是1,BB AC 的中点，则（ ）A ．1CD AC ⊥B ．BE ∥平面1A CDC ．11A C 与CD 所成角的余弦值为24D ．1A D 与平面11BB C C 所成角的余弦值为10421．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则（ ） A ．2EF = B ．5cos 6EAF ∠=C ．点D 到平面AEF 的距离为1111D ．直线AF 与平面11BDD B 所成的角为60°22．如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，且24AB AF ==，G 为CD 的中点，则下列结论正确的有（ ）A ．AE BG ⊥B ．直线BE 与AG 所成角的余弦值是55C ．直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值是1510D ．点B 到平面AGE 的距离是323．如图，ABC 和DBC △所在平面垂直，且AB BC BD ==，120CBA DBC ∠=∠=，则（ ）A ．直线AD 与直线BC 所成角的大小为90B ．直线AC 与直线BD 所成角的余弦值为34C ．直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45 D ．直线CD 与平面ABC 所成角的大小为6024．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A ．当P 为1BD 中点时，APC ∠为锐角B ．存在点P ，使得1BD ⊥平面APC C ．AP PC +的最小值25D ．顶点B 到平面APC 的最大距离为22三、填空题25．在空间直角坐标系O -xyz 中，向量()()1,1,2,1,1,3a b =--=分别为异面直线12,l l 方向向量，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为___________.26．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别是上底棱的中点，则点A 到平面11B D EF 的距离为______．27．如图，四边形ABCD 是等腰梯形，228BC AD AB ===，E 是线段BC 的中点，沿着DE 将CDE △折起，使得点C 与点P 重合．若二面角A DE P --为120°，则点P 到直线BD 的距离是______．28．如图，多面体111ABC A B C -是由长方体一分为二得到的，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，点D 是1BB 中点，则异面直线1DA 与11B C 的距离是______．29．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点Р到直线1CC 的距离的最小值为_______.四、解答题(共0分)30．如图，三棱柱111ABC A B C -中，所有棱长都为2，且160A AC ∠=︒，平面11A ACC ⊥平面ABC ，点P ，Q 分别在11,AB A C 上，且1AP AQ =．(1)求证：//PQ 平面11B BCC ；(2)当点P 是边AB 的中点时，求点1B 到直线PQ 的距离．31．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，124AB BC AA ===，∠ABC =90°，D 是BC 的中点.(1)求点1A 到面1ADC 的距离；(2)试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 所成角的大小为10arccos5？若存在，求1B E 的值；若不存在，说明理由.32．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，其中∠BAD =90°，AB ∥DC ，PA ⊥底面ABCD ，AB =AD =PA =2，DC =1，点M 和点N 分别为PA 和PC 的中点．(1)证明：直线DM ∥平面PBC ；(2)求直线BM 和平面BDN 所成角的余弦值；(3)求二面角M -BD -N 的正弦值；(4)求点P 到平面DBN 的距离；(5)设点N 在平面BDM 内的射影为点H ，求线段HA 的长．33．如图，在四棱锥P ABCD-中，1,90,1,2AD BC ADC PAB BC CD AD E∠∠=====∥为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在直线PA上找一点M，使得直线//MC平面PBE，并求AMAP的值；(2)若直线CD到平面PBE的距离为255，求平面PBE与平面PBC夹角的正弦值.34．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，E､F分别是棱AB､PD的中点.(1)证明：//AF平面PEC；(2)若点P到平面AFC6PAB与平面AFC所成的锐角的余弦值. 35．在矩形ABCD中，222==AD AB点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE 位置（如图），点F是线段CP的中点．(1)求证：DF ∥平面PBE ：(2)若二面角P BE C --的大小为2π，求点A 到平面PCD 的距离．36．如图，已知三棱锥S ABC -，SA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=，2AB =，1BC =，3SA =.M 、N 分别为SB 、SC 的中点.(1)证明：//BC 平面AMN ；(2)求点M 到平面ABN 的距离.37．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．(1)求证：1AC ⊥平面1A BC ；(2)求1C 到平面1A AB 的距离；(3)求二面角1A A B C --余弦值的大小．38．如图：在直角三角形ABC 中，已知AB a ，30ACB ∠=，90B =∠，D 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，将ABD △沿BD 折起，二面角A BD C '--的大小记为θ．(1)求证：平面A EF '⊥平面BCD ；(2)当A B CD '⊥时，求点C 到平面A BD '的距离．39．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，M 为线段11A C 上一点.(1)求证：1BM AB ⊥；(2)若直线1AB 与平面BCM 所成角为4π，求点1A 到平面BCM 的距离.40．如图，四边形ABCD 是梯形，//AB CD ，AD AB ⊥，22AB BC CD ===，点P 是平面ABCD 外一点，PB PC =，直线PD 与平面ABCD 所成角的大小为45°，且平面PBC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC PA；(2)求点D到平面PBC的距离；(3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.参考答案：1．C【解析】【分析】按照空间中点到直线的距离公式()22d a a u =-⋅直接求解. 【详解】由题意，()1,2,3B --，()2,0,6AB =--，AB 的方向向量u ⎛== ⎝，(2,2,2)AC =--，则点C 到直线AB 的距离为()224d AC AC u =-⋅=. 故选：C.2．C【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∴()0,2,2AP =--又()1,0,1m =-，∴AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅===，∴P 到l 距离22||(2)826d AP =-=-=.故选：C.3．D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求解直线AC 与1BC 的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式，即得解【详解】如图所示，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴如图建立空间直角坐标系 则1(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,1,3)A C B C1(2,1,0),(2,0,3)CA BC ∴=-=-设直线AC 与1BC 的公垂线的方向向量为(,,)n x y z =则12002300x y n CA x z n BC ⎧-=⋅=⎧⎪∴⎨⎨-+=⋅=⎪⎩⎩不妨令23,6(3,6,2)z x y n =∴==∴=又(0,1,0)AB =则异面直线AC 与1BC 之间的距离26||7||3AB n d n ⋅=== 故选：D4．D【解析】以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出AC 和1BC 的公垂线的方向向量n ，求出AB ，再由AB nd n ⋅=可求出.【详解】如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,0,0,1,3A C B C ， 则()2,1,0AC =-，()12,0,3BC =-，设AC 和1BC 的公垂线的方向向量(),,n x y z =，则100n AC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20230x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令3x =，则()3,6,2n =， ()0,1,0AB =，67AB nd n ⋅∴==. 故选：D.【点睛】本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.5．315【解析】【分析】（1）取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，证明出OP ⊥平面ABCD ，OC AD ⊥，然后以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得E 到平面PAB 的距离；（2）设PM PC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤可求得λ的值，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.(1)解：取线段AD 的中点O ，连接OP 、OC ，因为PAD △为等边三角形，O 为AD 的中点，所以，OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，OP ⊂平面PAD ，OP ∴⊥平面ABCD ，在底面ABCD 中，因为90BAD ABC ∠=∠=，则//BC AD ，即//BC AO ，因为O 为AD 的中点，则12BC AD AO ==，所以，四边形ABCO 为平行四边形，AB AD ⊥，CO AD ∴⊥，以点O 为坐标原点，OC 、OD 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()1,1,0B -、(3P 、130,2E ⎛ ⎝⎭、()1,0,0C ，设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，()1,0,0AB =，(3AP =，则030m AB x m AP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取3y =()0,3,1m =-，330,2AE ⎛= ⎝⎭，所以，点E 到平面PAB 的距离为32AE m m ⋅=. (2)解：设(()1,0,3,0,3PM PC λλλλ===，其中01λ≤≤，(()()3,0,333BM BP PM λλλλ=+=-+-=-，平面ABCD 的一个法向量为()10,0,1n =，由题意可得(111cos ,BM n BM n BM n λ⋅<>===⋅， 整理可得22410λλ-+=，因为01λ≤≤，解得1λ=-所以，BM ⎛= ⎝⎭， 设平面ABM 的法向量为()2,,n a b c =，则22002n AB a n BM b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取b =(20,n =， 所以，121212cos ,n n n n n n ⋅<>==-=⋅，则2121215sin ,1cos ,5n n n n <>=-<>=， 因此二面角M AB D --6．(1)23 (2)12AD AC = 【解析】 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得A 到平面PBD 的距离；（2）设点()0,,0D t ，其中02t ≤≤，利用空间向量法可得出关于t 的方程，解出t 的值，即可得解. (1)解：因为PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为D 为AC 的中点，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,1,0D 、()0,0,1P ， 设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =，()2,0,1BP =-，()2,1,0BD =-， 则2020m BP x z m BD x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，可得()1,2,2m =，()2,0,0AB =，所以，点A 到平面PBD 的距离为23AB m m⋅=. (2)解：设点()0,,0D t ，其中02t ≤≤，()2,0,1BP =-，()2,,0BD t =-， 设平面PBD 的法向量为()1111,,x n y z =，则1111112020n BP x z n BD x ty ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x t =，可得()1,2,2n t t =，易知平面PAD 的一个法向量为()21,0,0n =，由已知可得12122121cos ,354n n n n n n t ⋅<>===⋅+，解得1t =， 此时点D 为AC 的中点，故12AD AC =. 7．(1)证明见详解； 3【解析】 【分析】(1)要证面面平行，转化为证明两组线面平行，连接AC ，证明EF ∥AC ∥11A C ，可证EF ∥平面11AC D ，同理可证EG ∥平面11AC D ；(2)由(1)知两平面平行，建立空间直角坐标系，求出平面11A DC 的一个法向量，两平面间的距离为1A E 在法向量上的投影﹒ (1)∵E 是AB 中点，F 是BC 中点， ∴连接AC 得，EF ∥AC ，∵1111AACC ACC A ∴，是平行四边形， ∴1111AC AC EF AC ∴，，又11A C ⊂平面11A C D EF ，平面11AC D ，EF ∴∥平面11AC D ，同理，连接1AB 可得11EG AB DC ，可得EG ∥平面11AC D ，EF EG E EF ⋂＝，与EG ⊂平面EFG ，∴平面11AC D ∥平面EFG ﹒ (2) 如图：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ﹒则()()()11202022210A C E ，，，，，，，，，∴()()()111202022012OA OC A E -＝，，，＝，，，＝，，， 设平面11A DC 的法向量为()n x y z ＝，，，则110000OA n x z y z OC n ⎧⋅⎧⎪⇒⎨⎨⋅⎩⎪⎩＝＋＝＋＝＝，取()111n -＝，，， 则平面11A DC 与平面EFG 间的距离为1333A E n n⋅＝＝ 8．（1433 （2433. 【解析】 【分析】（1）由题意，以D 为原点，以,,DA DC DF 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)F z ，根据1AEC F 为平行四边形，得到1AF EC =，求得2z =，得到(0,0,2)F ，求得平面1AEC F 的法向量为1(1,,1)4n =-，又由(2,4,0)AC，结合距离公式，即可求解；（2）由（1）知平面1AEC F 的一个法向量为1(1,,1)4n =-，又由(0,0,1)BE =，求得点B 到平面1AEC F 的距离，进而求得平面1AEC F 与平面α之间的距离. 【详解】（1）由题意，以D 为原点，以,,DA DC DF 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)D A B C E C ， 设(0,0,)F z ，因为1AEC F 为平行四边形，可得1AF EC =， 即(2,0,)(2,0,2)z -=-，所以2z =，即(0,0,2)F ， 则(0,4,1),(2,0,2)AE AF ==-，设平面1AEC F 的法向量为(,,)n x y z =，则40220n AF y z n AF x z ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩， 取1x =，可得1,14y z =-=，所以1(1,,1)4n =-， 又由(2,4,0)AC ，所以点C 到平面1AEC F的距离为21AC n d n⋅--===+.（2）由（1）知平面1AEC F 的一个法向量为1(1,,1)4n =-，又由(0,0,1)BE =，可得点B 到平面1AEC F 的距离为1BE n d n⋅===+ 因为过点B 平行于平面1AEC F 的平面为α，所以平面1AEC F 与平面α之间的距离等于但B 到平面1AEC F 的距离，即平面1AEC F 与平面α之间的距离43333.9．(1)证明见解析 (2)存在，且4EMMC= 【解析】 【分析】（1）取线段CE 的中点N ，连接FN 、ON ，设AC BD O =，证明出四边形OBFN 为平行四边形，可得出//FN OB ，再证明出BD ⊥平面EAC ，可得出FN ⊥平面EAC ，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）设AC BD O =，以点O 为坐标原点，OD 、OC 、AE 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设EM EC λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，结合01λ≤≤可求得λ的值，即可得解. (1)证明：连接BD ，因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，EA AD ⊥，EA ⊂平面EAD ，EA ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD EA ∴⊥，因为四边形ABCD 为菱形，则BD AC ⊥，EA AC A =，BD ∴⊥平面EAC ， 设AC BD O ⋂=，取线段CE 的中点N ，连接FN 、ON ， 因为四边形ABCD 为菱形，则O 为AC 的中点， 所以，//ON AE 且12ON AE =，由已知//BF AE 且12BF AE =，所以，//ON BF 且ON BF =，所以，四边形OBFN 为平行四边形，所以，//FN OB ，则FN ⊥平面EAC ，FN ⊂平面EFC ，故平面EAC ⊥平面EFC .(2)解：因为EA ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 、OC 、AE 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()3,0,0B -、()0,1,0C 、)3,0,0D 、()0,1,2E -、()3,0,1F ， 设平面ACF 的法向量为(),,m a b c =，()0,2,0AC =，()3,1,1AF =-，则2030m ac b m AF a b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取1a =，则(3m =，设()()0,2,20,2,2EM EC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()()()1,20,2,21,22DM DE EM λλλλ=+=--+-=--， ()23,0,0BD =，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z =，则()()230321220n BD n Dm y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+-=⎪⎩， 取22y λ=-，可得()0,22,21n λλ=--，由已知可得(cos ,22m n m n m n⋅<>===⋅， 整理可得251480λλ-+=，因为01λ≤≤，解得45λ=.因此，在棱EC 上存在点M 使得平面MBD 与平面ACF ，且4EMMC=. 10．(1)90︒； (2)存在，34λ=. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得,,AP AB AD 两两互相垂直，构建空间直角坐标系求直线DE 与PB 的方向向量并求其数量积，即可确定异面直线的夹角.（2）由（1）得()()2,2,201PG λλλλ=-≤≤，进而求得()2,2,22G λλλ-，再求面PAD 、面ADG 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知二面角正弦值列方程求参数λ，即可判断存在性.(1)因为A ，D 分别为M B ，MC 的中点，则//AD BC ， 因为BM BC ⊥，则BM AD ⊥，即PA AD ⊥． 又PA AB ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ，又DA AB ⊥， 综上，,,AP AB AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，向量{},,AB AD AP 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -如图所示，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()1,1,1E ， 则()2,2,2PC =-，()1,0,1DE =，()2,0,2BP =-． 所以()()1,0,12,0,20DE BP ⋅=⋅-=，故DE BP ⊥， 所以异面直线DE 与PB 所成的角大小为90︒. (2)假设存在λ使二面角G AD P --310G AD P --10 由()()2,2,201PG PC λλλλλ==-≤≤，()2,2,22OG OP PG λλλ=+=-．所以()2,2,22G λλλ-，()0,1,0AD =，()2,2,22AG λλλ=-． 易知：平面PAD 的一个法向量为()11,0,0n =设平面ADG 的法向量()2222,,n x y z =，则2222220222(1)0AD n y AG n x y z λλλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令2z λ=，则()21,0,n λλ=-，综上，有12121210cos ,10n nn n n n ⋅〈〉==⋅ 解得132λ=，234λ=．又01λ≤≤，故34λ=．故存在34λ=，使二面角G AD P -- 11．D 【解析】 【分析】先利用基底表示向量11,BC CA ，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：11111,BC AD AA CA AA AC AA AD AB =+=-=--， 则()()1111BC CA AD AA AA AD AB ⋅=+⋅--，2211116AD AA AD AD AB AA AD AA AB AA =⋅--⋅+-⋅-⋅=，()222111122BC AD AA AD AD AA AA =+=+⋅+=()2211CA AA AD AB=--，22211122223AA AD AB AA AD AB AA AD AB =++-⋅-⋅+⋅=1111113cos ,2BC CA BC CA BC CA ⋅==⋅， 所以11sin ,1BC CA == 故选：D 12．D 【解析】 【分析】求出AP 的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答. 【详解】依题意，(3,1,2)AP =--，所以点P 到平面α的距离为|||3||AP n d n ⋅-===. 故选：D 13．A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角. 【详解】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥， 又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ， 所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥. 设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -， 所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，11cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅-===-⨯. 所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12. 故选:A14．B 【解析】 【分析】异面直线的夹角在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中，结合cos a ba bθ⋅=⋅求解即可.【详解】由题，()22125a =+-22215b =+=则22cos 555a b a bθ⋅-===⋅⋅， 故选：B 15．C【分析】以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求解. 【详解】如图示，以D 为原点，,,DA DC DS 分别为x 、y 、z 轴正方向联立空间直角坐标系.不妨设(),0SD t t =>.则()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,S t ，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,,22t F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以11,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,22tBF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.因为异面直线EC 与BF 5211054cos ,1111444EC BF EC BF EC BFt -+==⨯+⨯++，解得：t =2. 即SD =2. 故选：C 16．A 【解析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，按照距离的向量求法求解即可. 【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，易知(0,0,0),(1,1,2),(1,2,1),(2,2,0)A E F C ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则2020n AE x y z n AF x y z ⎧⋅=++=⎨⋅=++=⎩，令1y =-，解得(3,1,1)n =--，故点C 到平面AEF 的距离为6411911n AC n⋅-==++. 故选：A. 17．D 【解析】 【分析】对于A ，利用两向量的共线定理即可判断；对于B ，判断方向向量与法向量是否垂直即可；对于C ，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D ，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可.对于A ，()1,1,2a =-，()2,1,1b =-112211-∴≠≠-l ∴与m 不平行. 对于B ，()1,1,1a =-，()2,2,2n =--()()()12121280n a ∴=⨯-+-⨯+⨯-=⋅-≠∴l 与α不平行；对于C ，()10,1,3n =，()21,0,2=n2101103260n n ∴=⨯+⨯+⨯≠⋅=α与β不垂直；对于D ，直线l 过点()1,0,1A -，且方向向量为()1,2,2∴直线的标准方程为11122x y z -+== 过点()1,2,0P -作与已知直线l 垂直相交的平面α，且设直线与平面α的交点为Q ，则P 到直线l 的距离可转化为P 到Q 的距离； 方向向量为()1,2,2∴平面α的方程为：()()()1122200x y z ⨯++-+-= 即：2230x y z ++-=设垂足()1,2,21Q t t t +-，点Q 在平面α上，则()12222130t t t ++⨯+--= 解得：49t =1381,,999Q ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭22101,,999PQ ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭22PQ ⎛∴==故选：D. 18．D 【解析】A 选项，作出辅助线，证明出AC ⊥BC ，结合PA ⊥平面ABCD 可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B 选项，求出点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度，利用勾股定理求出答案；C 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D 选项，过点A 作AH ⊥PC 于点H ，证明AH 的长即为点A 到平面PCD 的距离，求出AH 的长. 【详解】A 选项，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD ，故∠PBA 即为PB 与底面ABCD 所成的角，π4PBA ∠=， 因为π2∠=∠=ABC BAD ， 所以PA =AB =1， 因为2,1AD PA BC ===，取AD 中点F ，连接CF ，则AF =DF =AB =CF =BC ， 则四边形ABCF 为正方形，∠FCD =∠FCA =45°， 所以AC ⊥CD ， 又因为AP AC A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAC ， 因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PAC ⊥平面PCD ，A 正确；由A 选项的证明过程可知：CD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC 所以CD ⊥PC ，故点P 到直线CD 的距离即为PC 的长度， 其中1PA AB BC ===由勾股定理得：222,3AC PC AC PA +=B 正确；以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，()0,2,1E λλ-，其中平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =， 则()2100n AE y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，令1y =得：2,11z x λλ==--， 所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设二面角E AC D--的平面角为θ，显然cosθ=3其中()220,0,11,1,31 cos,2111m nλλλλ⎛⎫⋅- ⎪-⎝⎭==⎛⎫++ ⎪-⎝⎭解得：13λ=或1λ=-，因为01λ≤≤，所以13λ=，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，AH⊂平面APC，所以AH⊥CD，因为PC CD C=，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以263AP ACAHPC⋅==D选项错误故选：D 19．ABC 【解析】 【分析】对A ，以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断A ； 对B ，当1BD ⊥平面APC ，则11,BD AP BD CP ⊥⊥，则有110BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，求出λ，即可判断B ；对C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ； 对D ，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC⋅∠=⋅判断cos APC ∠得符号即可判断D. 【详解】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤， 则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ， 则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，()()0,1,0,1,1,0AB AC ==-， 设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则有()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ=-，则点B 到平面APC 的距离为221241AB n nλλλ⋅=-+当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0， 当01λ<≤时，222221112411132244λλλλλλ==≤-+⎛⎫-++- ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=时，取等号， 所以点B 到平面APCA 正确. 当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值， 由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 正确；对于D ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅， 所以APC ∠为锐角，故D 错误； 故选：ABC.20．BCD 【解析】 【分析】以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对选项ACD 一一判断；对选项B ，连接1A C 与1AC 交于点M ，连接MD ，易知MD EB ，则由线面平行的判定定理可知BE ∥平面1A CD ，即可判断B. 【详解】以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，()110,0,0,,0,0,,0,022E A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2B B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1111,0,2,,0,2,22A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 对于A，12CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,0,2AC =-，所以11202CD AC ⋅=-+≠，所以CD 与1AC 不垂直，所以A 错误；对于B ，连接1A C 与1AC 交于点M ，连接MD ，易知MD EB ，所以MD ⊂面1A CD ，BE ⊄面1A CD ，所以BE ∥平面1A CD ，所以B 正确；对于C，12CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()111,0,0A C =-，所以1112CD AC ⋅=-，12CD ⎛== 111A C =，所以1111112cos 42CD ACCD AC CD AC -⋅⋅====⋅，11A C 与CD C 正确；对于D ，1112A D ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,n x y z =⊥面11BB C C ，()113,,0,0,0,222CB CC ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，11302220n CB x y n CC z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅==⎩，令3x =，1y =-，所以()3,1,0n =-，1A D 与平面11BB C C 所成角为θ，11136sin cos ,422n A D n A D n A Dθ⋅-====⋅， 所以10cos 4θ=，1A D 与平面11BB C C 所成角的余弦值为104，故D 正确.故选：BCD. 21．BCD 【解析】 【分析】建立图所示的直角坐标系,利用向量法逐一求解. 【详解】解：建立图所示的直角坐标系，由题意得1111(0,0,0),(,,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)2222A E F D C ,所以111111(0,)(,,1),(,1,),(0,1,0),(1,1,0)222222EF AE AF AD AC =-====，，, 所以22112222EF ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错， 554cos 362AE AF EAF AE AF ⋅∠===⋅,故B 对，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1102211022x y z x y z ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,令3x =，得()3,1,1n =--，故点D 到平面AEF 的距离111cos ,1111AD n AD AD n n⋅===， 故C 对，根据正方体的可知，AC ⊥平面11BDD B ,故直线AF 与平面11BDD B 所成的角的正弦值为：332sin 2322AC AF AC AFθ⋅===⋅⨯,又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故θ=60°，故D 正确. 故选：BCD.22．BCD 【解析】 【分析】由条件建立空间直角坐标系，利用向量方法判断,AE BG 的位置关系，利用空间角的向量求法判断B ，C ，再结合点到平面的距离的向量求法判断D. 【详解】由已知AB AD ⊥，AB AF ⊥，又AF A AD =，,AF AD ⊂平面AFD ，所以AB ⊥平面AFD ，以A 为坐标原点，AD ，AB 为,x y 轴正方向建立空间直角坐标系， 又正方形ABCD 和矩形ABEF 所在平面所成的角为60°，所以60FAD ∠=，24AB AF ==， 所以(0,0,0)A ，(0,4,0)B，(1,E ，(4,2,0)G ，所以(1,AE =，(4,2,0)BG =-，所以48040AE BG ⋅=-+=-≠，所以,AE BG 不垂直，A 错，BE =，(4,2,0)AG =，所以cos 2BE AG BE AG BE AG⋅===⨯，， 所以直线BE 与AG ，B 对，设平面AGE 的法向量为n ，=(,,)n x y z ，由已知00n AG n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以42040x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =可得2y =-，z =即可取法向量为7=(1,-2,3n ， 直线BG 的方向向量(4,2,0)BG =-，所以cos ,25BG n BG n BGn⋅===所以线BG 与平面AGE C 对，因为=(0,-4,0)BA，平面AGE的法向量为73=(1,-2,)3n，设点B到平面AGE的距离为d，则8=3833BA ndn⋅==，D对，故选：BCD.23．ABC【解析】【分析】过点B在平面BCD内作BE BC⊥交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF BC⊥交AC于点F，证明出BF⊥平面BCD，BE⊥平面ABC，以点B为坐标原点，BE、BC、BF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误. 【详解】如下图所示，过点B在平面BCD内作BE BC⊥交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF BC⊥交AC于点F，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC平面BCD BC=，BF BC⊥，BF⊂平面ABC，BF ∴⊥平面BCD ，同理可得BE ⊥平面ABC ，以点B 为坐标原点，BE 、BC 、BF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设2AB BC BD ===，则()0,1,3A -、()0,0,0B 、()3,1,0D -、()0,2,0C .对于A 选项，(3,0,3AD =，()0,2,0BC =，则0AD BC ⋅=，AD BC ∴⊥， 故直线AD 与直线BC 所成角的大小为90，A 对； 对于B 选项，(0,3,3AC =，()3,1,0BD =-，3cos ,232AC BD AC BD AC BD⋅<>==-=⨯⋅， 所以，直线AC 与直线BD 3B 对； 对于C 选项，(3,0,3AD =，平面BCD 的一个法向量为()0,0,1m =，32cos ,6AD m AD m AD m⋅<>==-=⋅ 所以，直线AD 与平面BCD 所成角的大小为45，C 对；对于D 选项，()3,3,0CD =-，平面ABC 的一个法向量为()1,0,0n =，31cos ,223CD n CD n CD n⋅<>===⋅， 所以，直线直线CD 与平面ABC 所成角的大小为30，D 错. 故选：ABC. 24．ABD 【解析】 【分析】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC⋅∠=⋅判断cos APC ∠得符号即可判断A ；当1BD ⊥平面APC ，则11,BD AP BD CP ⊥⊥，则有1100BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，求出λ，即可判断B ；当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断D. 【详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系， 设()101BP BD λλ=≤≤，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ， 则()11,1,2BD =--，故()1,,2BP BD λλλλ==--， 则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅， 所以APC ∠为锐角，故A 正确； 当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥， 则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值， 由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以306AP CP ==即AP PC +C 错误；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =-， 设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则有()0120n AC x y n AP x z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩，可取()2,2,21n λλλ-，。
向量证明点到直线的距离公式
向量证明点到直线的距离公式你有没有试过站在街头，看到一条笔直的马路，心里突然就冒出一个问题：“哎，如果我站在这条马路旁边，离马路上的某个点有多远呢？”说实话，这个问题听起来可能有点奇怪，但它其实跟一个叫做“点到直线的距离”有关系。
没错，就是那个大家经常在数学题里遇到的“距离公式”，不过今天咱们不打算枯燥地列公式，而是用更轻松的方式来聊聊它。
首先呢，要明白一个基本概念——“点”和“直线”这俩家伙怎么才能一块儿玩出花样。
我们假设有个点A和一条直线L，点A可能不在直线上，它离直线有一定的距离。
而这个距离，正好是点A到直线上某个点的最短距离。
这就像是你站在路边，想尽量靠近那条马路的中心线，但你不能走斜着的路，必须走一条最直的线——这就是最短的距离啦。
到底怎么计算这个“最短距离”呢？这就有点像测量东西的游戏了。
我们可以通过一些简单的向量运算来搞定它。
首先呢，我们得找到点A到直线L上的某个点P，然后测量A和P之间的距离。
P就是从点A往直线L上的最近点的投影。
要说起来，投影就像是把一个影子投射到地面上，影子的长度就是你要找的那条“最短距离”啦。
不过，如何找到这个点P呢？听起来有点复杂，但其实很简单。
首先我们需要知道直线L的方向和方程，通常，直线L可以通过两个点来表示。
假设这两个点分别是B和C，那我们就可以用向量BC来表示这条直线的方向。
咱们还得知道点A的位置，点A的坐标记作A(x₁, y₁)。
咱们就可以通过向量运算，找到从点A到直线L的投影，进而算出最短的那段距离。
假如你觉得这些步骤听起来有点像玩拼图，别着急，咱们把复杂的东西化繁为简。
咱们要做的其实很简单，就像你拿起尺子测量两点之间的距离一样，区别就是咱们的“尺子”用的不是普通的尺子，而是数学公式。
好了，接下来就是最精彩的部分：计算这个距离到底是多少。
公式大概是这样的：。
d = frac{|Ax_1 + By_1 + C|{sqrt{A^2 + B^2。
听上去是不是有点复杂？别担心，咱们可以轻松看懂！这个公式是从直线的标准方程里来的。
空间向量点到直线的距离公式推导过程
空间向量点到直线的距离公式推导过程1.首先，我们需要知道点到直线的距离是如何定义的。
First, we need to understand how the distance from apoint to a line is defined.2.假设我们有一个点P和一条直线L，我们想要找到点P到直线L的距离。
Let's suppose we have a point P and a line L, and we want to find the distance from point P to line L.3.点P到直线L的距离可以通过点P到直线L的垂直距离来衡量。
The distance from point P to line L can be measured bythe perpendicular distance from point P to line L.4.首先，我们需要找到直线L上距离点P最近的一个点，我们称这个点为Q。
First, we need to find a point Q on line L that isclosest to point P.5.我们假设向量v为点P到点Q的位移向量。
Let's assume that vector v is the displacement vector from point P to point Q.6.同时，我们假设向量n为直线L的法向量。
Meanwhile, let's assume that vector n is the normal vector of line L.7.根据向量的点乘运算，点P到直线L的距离可以通过v和n的点乘来计算。
Based on the dot product of vectors, the distance from point P to line L can be calculated using the dot product of v and n.8.如果我们将直线L表示为一般式ax + by + c = 0，那么向量n 可以表示为(n1, n2)。
向量法求点到直线的距离例题
向量法求点到直线的距离例题向量法是求点到直线距离的常用方法之一。
在平面坐标系中，假设直线的一般方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0, y0)。
那么点到直线的距离可以通过以下步骤求解：1. 将直线的一般方程转化为向量形式。
令向量n=(A, B)表示直线的法向量，那么直线上任意一点的坐标为(x, y)。
根据向量的性质，直线上的点与法向量的内积为0，即n·(x, y) + C = 0。
2. 找到点(x0, y0)在直线上的投影点。
根据步骤1的向量形式方程，可以解得投影点的坐标(xp, yp)。
将x0, y0代入方程中，消去未知数x或y，解得xp和yp。
3. 计算两个点之间的距离。
点(x0, y0)与投影点(xp, yp)之间的距离就是点到直线的距离。
根据两点间的距离公式，可以得到距离d 的表达式：d = √((x0-xp) + (y0-yp))。
例如，考虑直线2x + 3y - 6 = 0和点(1, 2)。
按照上述步骤求解：1. 将直线的一般方程转化为向量形式，得到法向量n=(2, 3)。
2. 找到点(1, 2)在直线上的投影点。
代入向量形式方程，得到2·1 + 3·2 + C = 0，解得C = -8。
将C代入方程，得到2x + 3y - 6 = 0，解得y = (6-2x)/3。
将x0=1代入，得到y0 = 2。
3. 计算两个点之间的距离。
代入公式d = √((x0-xp) + (y0-yp))，得到d = √((1-xp) + (2-yp))。
通过解方程y = (6-2x)/3和n·(x, y) + C = 0，可以求得点(1, 2)在直线2x + 3y - 6 = 0上的投影点为(2, 2)。
将这些值代入距离公式，得到d = √((1-2) + (2-2)) = 1。
因此，点(1, 2)到直线2x + 3y - 6 = 0的距离为1。
这个例题展示了使用向量法求点到直线距离的具体步骤和计算过程。
立体几何中点到直线的距离公式向量
立体几何中点到直线的距离公式向量
在立体几何中，点到直线的距离公式向量可以通过以下步骤计算：
1. 确定直线的参数方程。
假设直线的参数方程为 P + td，其中 P 是直线上
的一个点，d 是直线的方向向量，t 是参数。
2. 计算点到直线的向量。
设点为 A，点到直线的向量为 V = A - P。
3. 计算距离。
点到直线的距离可以通过计算点到直线向量 V 在直线方向向
量 d 上的投影长度来获得。
具体地，距离公式为d = (V · d) / d，其中“·” 表示向量的点乘运算，d 表示向量 d 的模长。
以上是计算点到直线距离的方法，仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学
专业人士获取更多帮助。
空间向量法求点到直线的距离
空间向量法求点到直线的距离在数学中，空间向量法被广泛应用于计算点到直线的距离。
这种方法基于向量运算和空间几何原理，能够精确计算点与直线之间的距离，并且具有良好的几何直观性。
在本文中，我们将探讨空间向量法的基本原理和应用，以及它在几何分析和实际问题中的重要性。
1. 空间向量法的基本原理在空间中，点和直线都可以用向量来表示。
令P(x1, y1, z1)为空间中的一个点，L为由直线上一点A(x0, y0, z0)和方向向量V(a, b, c)确定的直线。
为了计算点P到直线L的距离，我们首先需要找到直线L上距离P最近的一点Q。
根据向量的性质，向量PQ与直线L的方向向量V垂直。
我们可以通过向量的内积来确定这个垂直关系。
具体而言，向量PQ与方向向量V的内积为零，即(PQ)·V = 0。
展开计算后，我们得到以下方程：(x1 - x0) * a + (y1 - y0) * b + (z1 - z0) * c = 0这代表了点P到直线L的距离，我们可以将其作为基本公式用来计算点到直线的距离。
2. 空间向量法的应用空间向量法在几何分析中有着广泛的应用。
通过使用向量和内积的概念，可以精确计算点到直线的距离，从而解决许多与几何相关的问题。
在三维空间中，我们经常需要计算一条直线上某个点到另一条直线的最短距离。
利用空间向量法，我们可以轻松地解决这类问题。
空间向量法还在实际问题中发挥着重要作用。
在机器学习中，我们常常需要评估数据点与回归直线之间的距离，以确定模型的准确性。
空间向量法为我们提供了一种有效的计算方法，使得我们能够快速而准确地进行数据分析和模型评估。
3. 个人观点和理解对于我个人而言，空间向量法是一种非常强大和实用的数学方法。
它不仅可以解决几何分析中的许多问题，还可以应用于实际情境中。
通过利用向量运算和内积的思想，我们能够精确计算点到直线的距离，从而更好地理解几何关系和模型性能。
在学习和研究空间向量法时，我发现了它的简洁性和灵活性。
空间向量点到直线的距离公式推导过程
空间向量点到直线的距离公式推导过程
空间中直线的一般方程可表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中直
线上任一点为(x0, y0, z0)。
假设空间中有一个点P(x1, y1, z1)和一条直线L：Ax + By + Cz + D = 0（A、B、C不全为0），我们希望求点P到直线L的距离。
设直线L上一点为Q(x0, y0, z0)。
直线L的方向向量可表示为(A, B, C)。
我们有向量PQ（表示P到Q的方向向量）为(x1 - x0, y1 - y0,
z1 - z0)。
点P到直线L的距离即为向量PQ在直线L的方向向量上的投影。
由投影的定义可得，点P到直线L的距离为
d = |PQ · n| / |n|，其中·表示点乘，|n|表示向量n的模长。
将PQ和直线L的方向向量n进行点乘得到PQ · n = (x1 - x0) * A + (y1 - y0) * B + (z1 - z0) * C。
将直线L的方向向量n的模长代入得到|n| = √(A^2 + B^2 +
C^2)。
所以，点P到直线L的距离为
d = |(x1 - x0) * A + (y1 - y0) * B + (z1 - z0) * C| /
√(A^2 + B^2 + C^2)。
这就是空间中点到直线的距离公式的推导过程。
在实际问题中，
可以根据这个公式来计算点到直线的距离，进而进行相关的问题求解。
空间向量里点到直线的距离公式
空间向量里点到直线的距离公式1. 引言嘿，大家好！今天我们聊聊一个看似很复杂，其实相当简单有趣的话题——空间向量里点到直线的距离。
别担心，这可不是一堂高深的数学课，而是一次轻松愉快的探险。
想象一下，你在一片宽阔的草地上，有一条笔直的河流流过。
你站在河岸边，想知道自己离河流有多远。
这个问题其实就和我们今天要讲的距离公式有点儿像。
2. 基础概念2.1 向量的世界首先，得让大家知道什么是向量。
简单来说，向量就像一把尺子，能帮你测量方向和大小。
比如，你从家里出发，直奔饭店，那你就用向量来表示你的路径。
没错，向量可以描述空间中每一个小细节，真是个小能手。
2.2 直线与点的关系接下来，想象一下，在这个向量的世界里，有条直线。
直线就像是公路，而点就是你的小车。
你的小车在公路旁边停着，可是你想知道，离公路到底有多远。
说到底，点和直线的关系其实很简单，就是看你停得远不远而已。
3. 距离公式的来历3.1 公式的推导那么，怎么才能算出这个距离呢？这就要用到一个神奇的公式啦！假设你有一个点( P(x_0, y_0, z_0) )，还有一条直线 ( L ) 的方程。
通过一些简单的计算，我们可以推导出点到直线的距离公式。
其实不需要太复杂的数学，重点是找准位置，然后用一些向量运算，最后就能得出距离。
公式的样子可能有点儿复杂，但不用怕，看到公式时只需把每个参数带入，然后你就能求出这个“点到直线”的距离了。
真是如虎添翼，让数学变得轻松许多！3.2 直观理解为了更好地理解这个公式，不妨想象一下你在河边丢个小石子，水面荡漾起涟漪。
你抬头看看，水面离你有多远，河流的流向又是怎样。
这种距离感其实就是在说点和直线的关系。
记住了，这个过程不仅仅是数学，更是一种直观的体验。
4. 实际应用4.1 生活中的距离说到实际应用，哎呀，这可多了！无论是在建筑设计、导航系统，还是在计算机图形学中，点到直线的距离都是个基本的计算。
想象一下，你在设计一栋大楼，想知道窗户到外墙的距离。
空间向量解决距离的计算问题
1 、在直线 l上任取一点 P, 计算向量PA,确定直线 l的方向向量 s
A
2、计算PA在向量s 上投影的绝对值| PA || PA s0 |
3、计算点 A到直线l的距离d
2 2 l PA - PA S0
P
A
s
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
n CB 0 则 n CP 0
x 0 ( x, y, z) ( 2,0,0) 0 ∴ y z ( x, y, z) (0, 1,1) 0 2 令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
z
y
x
例题讲解
例 1 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点 F，G 分别是 AB， CC1 的中点，求点 D1 到直线 GF 的距离．
点到平面的距离
B
n
A
O
1、剖析：如图， BO 平面，垂足为O, 则点B到平面的距离就是 线段BO的长度。
2、若AB是平面的任一条斜线段，则在 RtBOA中， BO BA cosABO BA BA BO BA BO BA BO BO , 如果令平面的法向量为n, 考虑到法向 AB n n
取 x 4 ,则 n (4, 3,6)
则 n AB ， n AC .∵ AB (3,4,0) , AC (3,0, 2)
3 y x 4 ∴ z 3 x 2
∴ n (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例题讲解
例 2、已知 ABCD－EFGH 是棱长为 1 的正方体，若 P 在正方体内部且满 → 3→ 1→ 2→ 足AP＝ AB＋ AD＋ AE，则 P 到 AB 的距离为( 4 2 3 A. 5 6 B． 181 12 10 30 C. 6 D． 5 6 )
空间点到直线距离公式
空间点到直线距离公式
空间中的点到直线距离公式是求解点到直线的垂直距离，如果把直线
看成向量，需要先求出向量的模长，然后再求出点到该向量的单位向量，将点到向量的投影长度除以向量的模长即可得到点到直线的距离。
具体的计算方法可以参考以下列表：
1. 计算直线向量的模长
- 首先需要知道直线上的两点坐标，假设这两点的坐标分别为
P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)
- 计算向量V(P1P2)的三个分量分别为(x2-x1，y2-y1，z2-z1）
- 计算向量V的模长|V|=根号（（x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2）
2. 计算点到直线的单位向量
- 假设空间中的点为Q(x,y,z)
- 计算直线上一点到Q点的向量PQ(x-x1,y-y1,z-z1)
- 计算直线向量的单位向量u=(V/|V|)
- 点到向量的投影向量R=PQ dot u（其中"."表示向量的点积）
3. 计算点到直线的距离
- 点到直线的距离等于投影向量的长度|R|，即|R|=|PQ|cosθ，其中θ为
PQ与直线向量V的夹角
- 由于R=PQ dot u，可以将PQ=|PQ|cosθ×u，所以|R|=|PQ|cosθ=（PQ dot
u）/|u|
通过上述计算步骤，可以得到空间点到直线的距离公式为：d=（PQ dot u）/|V|，其中PQ和V均为向量，u为直线向量的单位向量，d为点到直线的距离。
该公式可以用于求解空间中点到直线的距离，具有一定的实际应用价值。
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2017寒假复习：用空间向量方法求点到直线距离的解题思路_题型归纳
导读：高中的假期不是用来休息的，是用来反超的。
学如逆水行舟，不进则退，很多人赢在了假期，也很很多人输在了假期，特别是数学，放松一刻你都会觉得自己错过了好几个剧情。
在立体几何中，空间点、直线、平面之间的关系是学习的重点，点和直线的位置关系包括两种：点在直线上，点在直线外.当点在直线外时，点到直线距离的计算随之出现.关于解决点到直线距离的问题，现在在立体几何的高考中似乎很少考到了，但空间的点P到直线AB的距离的求法，(在竞赛中)还是应该理解和掌握的。
具体地说，就是过点P作直线AB的垂线PM，且与直线AB相交于点M.那么线段PM 的长度，就是我们所要求的距离.但在实际操作中，有时我们往往很难找出我们所做的AB的垂线时的垂足具体在什么地方?既然所要求解的距离(线段)都难以作出来，那么求解就更加困难了。
所以，查字典数学网小编来给大家介绍一下：立体几何中，“用空间向量方法求点到直线的距离公式”。
【公式推导过程】求点P到直线a的距离。
很多时候一个人的领先不是因为他比别人多长了个脑子，而是因为他与别人早已不在一条起跑线上，寒假还是学习起来吧。
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