姚天任现代数字信号处理习题解答第一章答案
数字信号处理第一章课后答案
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
n
（7） y(n)= x(m) 令输入为m0
x(n－n0)
输出为
n
y′(n)= =0[DD)]x(m-n0)
m0
nn0
y(n－n0)= x(m)≠y′(n) m0
故系统是时变系统。 由于
n
T［ax1(n)+bx2(n)］=
［ax1(m)+bx2(m)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：
x(n)=δ(n+4)+2δ(n+2)－δ(n+1)+2δ(n)+δ(n－1)
+2δ(n－2)+4δ(n－3)+0.5δ(n－4)+2δ(n－6)
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
(x(n)= 6 0
0≤n≤4 其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
（2） y(n)=x(n)+x(n+1)
n n0
（3） y(n)= x(k) k nn0
（4） y(n)=x(n－n0) （5） y(n)=ex(n)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解：（1）只要N≥1， 该系统就是因果系统， 因为输出 只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。
如果|x(n)|≤M， 则|y(n)|≤M， （2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以 后（（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|≤M, 则 |y(n)|≤|x(n)|+|x(n+1)|≤2M,
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统 题2解图（四）
数字信号处理(姚天任江太辉第三版)课后习题答案
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0 即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理课后答案
k = n0
∑
n
x[ k ]
（B） T {x[n]} =
∑
x[k ]
（C） T {x[ n]} = 0.5
x[ n ]
（D） T {x[n]} = x[− n]
1-5 有一系统输入为 x[n] ，输出为 y[n] ，满足关系 y[n] = ( x[n] ∗ u[n + 2])u[n] ，则系统是（A） （A）线性的 （B）时不变的 （C）因果的 （D）稳定的 解：
（a） T { x[ n ]} = h[ n] + x[ n ], （c） T {x[ n]} = ∑ x[ n − k ]
δ [n] + aδ [n − n0 ] ，单位阶跃响应 s[n] = u[n] + au[n − n0 ] 。
1-15 线性常系数差分方程为 y[n] − y[n − 1] +
y[n] = 0 ， n < 0 ， 则 y[3] = 0.5 。 解： y[0] = y[ −1] − 0.25 y[ −2] + x[0] = 1 y[1] = y[0] − 0.25 y[ −1] + x[1] = 1 y[2] = y[1] − 0.25 y[0] + x[2] = 0.75 y[3] = y[2] − 0.25 y[1] + x[3] = 0.5
∞ ∞ k =−∞ n '=−∞
解： （a）
n =−∞
∑ y[n] = ∑ ∑ x[k ]h[n − k ] = ∑ x[k ] ∑ h[n − k ] = ∑ x[k ] ∑ h[n ']
n =−∞ k =−∞ k =−∞ n =−∞
∞
∞
∞
数字信处理课后习题答案
数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章2.1判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期(1)x(n)二Acos( 5 n86)(2)x(n )= e j(- 8 )(3) x(n )=Asi n(3 n4 3)解(1)对照正弦型序列的-般公式x(n)二 Acos( n )，得出5。
因此82 16是有理数，所以是周期序列。
5 最小周期等于N=^k 16(k取5)。
5(2)对照复指数序列的般公式x(n)二exp[ j ]n,得出1。
因此2168是无理数，所以不是周期序列。
(3)对照正弦型序列的般公式x(n)二 Acos( 3n )，又x(n)二Asin( n ) =Acos(— .门—)=Acos( —n 丄)，得出3。
因此2 8是有理数，所以2 434 6 4 3是周期序列。
最小周期等于N=-k38(k 取3)2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
解利用线性卷积公式y(n )= x(k)h( n k)k按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值(a) y(0)=x(0)h(0)=1y(l)=x(0)h(1)+x(1)h(0)=3y(n)=x(O)h( n)+x(1)h( n-1)+x(2)h( n-2)=4,n (b) x(n )=2 (n)- (n-1)h(n)=- (n)+2 (n-1)+ (n-2)y(n)=-2(n )+5(n-1)= (n-3)(c) y(n )=u(k)kn ka u(n k)：n k 1 a n 1/ \=a = . a u(n)k i a2.3计算线性线性卷积(1) y(n )=u( n)*u( n)(2) y(n)= n u(n)*u(n)解：(1) y(n)二u(k)u(n k)ku(k)u(n k)=(n+1),n >0 k 0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n )=kku(k)u( n k)2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为 九(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知 x(n)=u(n), h ^n)二(n)-(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出 y(n).解(n)=x( n)*h Jn)u(k)[(n-k)- (n-k-4)]k=u( n)-u( n-4)y(n)= (n)*h 2 (n)a k u(k)[u( n-k)-u( n-k-4)]k算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应即 y(n)二ku(k)u(n1n 1——,n >n 1—u(n)2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)二a n u(-n),0<a<1 用直接计2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
1
4
(2m 5) (n m) 6 (n m)
m4
m0
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图 （二）所示。
(4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三） 所示。
因此系统是非线性系统。
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
（6） y(n)=x(n2)
令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x((n－n0)2) y(n－n0)=x((n－n0)2)=y′(n) 故系统是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n2)+bx2(n2) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
x(m)h(n－m)
m
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
解法（二） 采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为
数字信号处理课后习题答案完整版
数字信号处理课后习题答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =在图中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n) 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)图所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥3已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n -u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理-第1章习题答案
解：
2 i 14i i 3 , N min 14 (1) N 0 3 / 7 3 (2) i 7, j 4, N min 56 2 j 2 j 14 j N2 0 / 7 2 i 8i N1 0 / 4 2 i
0
20
40
60 n
80
100
120
1 3 绘出如下序列的波形。 1.3
(1) x(n) 3 (n 3) 2 (n 1) 4 (n 1) 2 (n 2) (2) x(n) 0.5n R5 (n)
解 (1)
3
2
1
0 x(n n) -1 -2 2 -3 -4 -4
因此，T[.]为线性系统；
T x( n n1 ) nx ( n n1 ) T x( n n1 ) y ( n n1 ) y ( n n1 ) ( n n1 ) x ( n n1 )
因此 T[.]为时变系统。 因此， 为时变系统
1 16 确定下列系统的因果性与稳定性。 1.16
(2) 收敛区域为|z|>a，即圆|z|=a的外部。
1 0.8 0.6 0.4 Imagina ary Part 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 Real Part 0.5 1 1.5
j 1 1 2 e a c 1 2 a cos a 1 j (3) H (e ) j 2 e a d a 1 2a cos a
2 i
3 x(n) cos n 4 7
1 0.8 0.6 04 0.4 0.2 x(n) 0 -0.2 -0.4 -0 0.6 6 -0.8 -1
数字信号处理(姚天任江太辉第三版)课后习题答案
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 33333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0 即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a nu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理作业答案（参考版-第一章）
1-2习题1-2图所示为一个理想采样—恢复系统，采样频率Ωs =8π,采样后经过理想低通G jΩ 还原。
解：(1)根据余弦函数傅里叶变换知：)]2()2([)]2[cos(πδπδππ-Ω++Ω=t F ，)]6()6([)]6[cos(πδπδππ-Ω++Ω=t F 。
又根据抽样后频谱公式：∑∞-∞=∧Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(，得到14T= ∑∞-∞=∧--Ω+-+Ω=Ωk a k k j X )]82()82([4)(1ππδππδπ∑∞-∞=∧--Ω+-+Ω=Ωk a k k j X )]86()86([4)(2ππδππδπ所以，)(1t x a ∧频谱如下所示)(2t x a ∧频谱如下所示（2）)(1t y a 是由)(1t x a ∧经过理想低通滤波器)(Ωj G 得到，)]2()2([)()()]([11πδπδπ-Ω++Ω=ΩΩ=∧j G j X t y F a a ，故)2cos()(1t t y a π=(4π) (4π) (4π)(4π)(4π) (4π) Ω-6π-10π-2π 2π0 6π10π)(1Ω∧j X a Ω10π-10π -6π-2π 0 2π6π-14π 14π(4π)(4π) (4π)(4π) (4π) (4π)(4π) (4π))(2Ω∧j X a同理，)]2()2([)()()]([22πδπδπ-Ω++Ω=ΩΩ=∧j G j X t y F a a 故)2cos()(2t t y a π=（3）由题（2）可知，无失真，有失真。
原因是根据采样定理，采样频率满足信号)(1t x a 的采样率，而不满足)(2t x a 的，发生了频谱混叠。
1-3判断下列序列是否为周期序列，对周期序列确定其周期。
（1）()5cos 86x n A ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）()8n j x n eπ⎛⎫- ⎪⎝⎭=（3）()3sin 43x n A ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭解：（1）85πω=，5162=ωπ为有理数，是周期序列，.16=N （2）πωπω162,81==，为无理数，是非周期序列； （3）382,43==ωππω，为有理数，是周期序列，8=N 。
数字信号处理习题及答案解析
==============================绪论==============================1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV==================第一章 时域离散时间信号与系统==================1.①写出图示序列的表达式答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}2. ①求下列周期)54sin()8sin()4()51cos()3()54sin()2()8sin()1(n n n n n ππππ-②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。
（1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （2）)81(j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω=73π, 所以314π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ωπ2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0ϕ+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。
3.加法乘法序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。
移位翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
卷积和：①h(n)*求x(n)，其他02n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、⎩⎨⎧≤≤-=⎩⎨⎧≤≤= }23,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)=②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n )x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转)解得y (n )={2,7,19,28,29,15}③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+=}{1,4,6,5,2答案：x(n)=4.如果输入信号为，求下述系统的输出信号。
现代数字信号处理 (姚天任 著) 华中科技大学出版社 课后答案1
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即RY (m) 2 (m) a[ RY (m 1) RY (m 1)]
由此可见,{Y (n)}为一阶马尔可夫过程。
w.
k{1, 2 ,M }
1、 11：解
x（n） 为最小相位序列，则有 z i 1，i 1， 2， 3， M。
z 由Z变换的性质Y（z） X（ ），要使Y（z）为最小相位序列，即使 a
2 { y 0 , y1 }, e0 { y 0 , y1 }, 故e0 2 , 即E[ 2 e0 ] 0
T T T
1 4 ˆ （0） R yn yn 1 YY 5 n 0
1 3 ˆ（ R ） y n 1 y n 0.8 YY 1 5 n 0
1 ˆ （4） R y 4 y 0 0.2 YY 5
ˆ （m） R [1,0.8,0.6,0.4,0.2] YY
ˆ ( z) S YY ˆ （k ) z R
YY N 1 k
m 0,.1, ,4
k N 1
4 ˆ （k ) z k 1 [5 4 z 1 3 z 2 2 z 3 z 4 4 z 3z 2 2 z 3 z 4 ] R YY 5 k 4
R31 1 1 1 2 1 y1 {E[ y（ ]E （ [ y 2 R21 R11 y1） ] [ y 2 R21 R11 y1 ]} 3 y 2 R21 R11 y1） R11 R R R21 R31 R31 R （R R R21 R31） y 2 21 32 11 y1 y1 32 11 R11 R11 （R22 R11 R21 R12） R22 R11 R21 R12
数字信号处理第一章习题解答【精选】
1.2 (5) y(n) x(n)*h(n) [ (n) (n 3)]*0.8u(n 1)
0.8u(n 1) 0.8u(n 4) {0,0.8,0.8,0.8,0, }
sin( n)
1.4 (5) x(n)
7
n
非周期序列
（7）sin(3 n) cos(15n)
aT [ x1(n)] bT [ x2 (n)]
为线性系统
T[x(n)]g(n)x(n) T[x(nm)]g(n)x(nm)
y(n)T[x(n)]g(n)x(n), y(nm)g(nm)x(nm)T[x(nm)]
为移变系统
1.7 (1) T[x(n)] g(n)x(n) 系统的输出仅取决于n时刻的输入x(n)和g(n)，
为因果系统 设 x(n) M ，T[x(n)] g(n)x(n) g(n) x(n)
若 g(n) N ,则系统为稳定系统，否则为不稳定系统
1.7 (5) T[x(n)] nx(n)
T[x1(n)] nx1(n)
T[x2(n)] nx2(n)
T[ax1(n)bx2 (n)]n[ax1(n)bx 2(n)]
x2(n) y2(n) x2(n)
ax1(n) bx2(n) y(n) ax1(n) bx2(n)
ay1(n) by2(n)
为线性系统
T[x(n)]x(n) T[x(nm)]x((nm))x(nm)
y(nm) x((nm)) x(n m)T [ x(n m)]
anx1(n)bnx2 (n)aT [ x1(n)]bT [ x2 (n)]] 系统为线性系统。
T[x(n m)] nx(n m)
y(n)T[x(n)]nx(n), y(n-m)(nm)x(nm)T[x(nm)]
数字信号处理习题答案
冲响应， 即
14
第1章 时域离散信号与时域离散系统
h(n) 1[ (n) δ(n 1) δ(n 2) δ(n 3) δ(n 4)]
5
（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为 y(n) x(k)h(n k) k
表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表
第1章 时域离散信号与时域离散系统
2． 给定信号：
2n+5
－4≤n≤－1
x(n)= 6
0≤n≤4
0
其它
(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值；
(2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；
（3） 令x1(n)=2x(n－2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2－n)， 试画出x3(n)波形。
n
n
x(n) 2 cos(0nT )
- n
（3）
0 2πf0 200π rad
T 1 2.5 ms fs
Xˆ a (
j )
1 T
X a ( j
k
jks )
2π T
[δ(
k
0
k s
)
δ(
0
ks )]
式中 s 2πfs 800π rad/s
22
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=－3δ(n+4)－δ(n+3)+δ(n+2)+3δ(n+1)+6δ(n) +6δ(n－1)+6δ(n－2)+6δ(n－3)+6δ(n－4)
数字信号处理 第1章习题答案
由于 x2 (n) x1 (n 1) ，而且 y2 (n) y1(n 1) 故当 y(-1)=0时，系统具有移不变性。
(c)设 x3 (n) (n) (n 1) 则 y3 (n) a y3 (n 1) x3 (n) 且 y3 (1) 0
根据 y3 (n) a y3 (n 1) x3 (n) ，当 n ≥ 0 时有
3 ( a ) x( n) A cos( n ) 7 8 (c ) x ( n ) e
j( n ) 6
;
13 (b) x( n) A sin n 3
π π 解 (a) 2 2 14 为有理数 3 π 3 ω
0
7
故 x(n)是周期的，周期 N=14
x(m)h(n m)
x(m) : m n0
h(n m) : n N 1 m n
① 当 n n0时， y(n) 0 ② 当 n0 n n0 N 1 时，
n n
n n y(n) x(m)h(n m) mn0 nm n 0 mn0 mn0 mn0
(b)设 x2 (n) (n 1) ，则 y2 (n) a y2 (n 1) x2 (n) 且 y2 (0) 0
根据 y2 (n) a y2 (n 1) x2 (n) ，当 n > 0 时有
y2 (1) a y2 (0) x2 (1) 1 ,
……
y2 (2) a y2 (1) x2 (2) a
y3 (1) a y3 (0) x3 (1) 1 , y3 (2) a y3 (1) x3 (2) a y3 (3) a y3 (2) x3 (3) a 2 , , y3 (n) a y3 (n 1) x3 (n) a n1
现代数字信号处理_姚天任_第一章
现代数字信号处理Modern (Advanced) Digital signal Processing绪论在电子信息与通信工程学科的各专业中，为本科生开出的数字信号处理课程，主要讲授的有：离散时间信号和系统的基本理论，离散付里叶变换及快速算法（DFT、FFT）等，这称为所谓“经典”理论。
作为电气信息类研究生开设的这门学位课，主要内容为：最佳线性滤波（维纳滤波和卡尔曼滤波），自适应信号处理，现代谱估计理论，同态信号处理，阵列信号处理，人工神经网络和小波变换在信号处理中的应用，以及数字信号处理的硬件实现等。
它们大多是近十多年来发展迅速和应用广泛的前沿学科领域，其中不少属交叉学科领域。
因此，取名为“现代数字信号处理”。
“经典”与“现代”没有严格的界线，因为许多“经典”内容，也曾一度作为新兴前沿学科，而今正在发展的“现代”理论和方法，终有成为“经典”的一天。
本课程总学时数有限，许多内容还要同学们自学，不然的话，在这有限的学时中，很难完成我们的教学内容和学习目的。
本课程也是通信类博士考试的必选专业课。
Chapter 1 基础知识§1.1 离散随机信号及其数字特征§1.2 相关抵消§1.3 Gram-Schmidt正交化§1.4 功率谱和周期图§1.5 谱分解§1.1 离散随机信号及其数字特征一、随机信号指不能用确定性的时间函数来描述，只能用统计方法研究的信号。
统计特性：概率分布函数、概率密度函数统计平均：均值、方差、相关在时域离散情况下的随机过程——离散随机信号二、离散随机信号视为随机矢量常用的数字特征是各种平均特性及相关函数等。
说明：我们考虑的是①平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。
②各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。
所以只需测量一次样本就是以描述所有样本的随机特性。
T n x x x X ),,,(10 =Note：各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。
数字信号处理第1章作业参考答案
（1）x n
Acos
3
7
n
8
解：x(n)为正弦序列
其中0
3
7
2 14 是有理数 0 3
N 14是满足x(n N ) x(n)的最小正整数
x n为周期序列，周期为14
2）x(n) Asin( 13 n)
3
2 0
2 13
6 N 13 k
3
N 6
x(n)为周期序列，周期是6
3）x(n)
6）x(n) sin(24n ) 解 : 2 2 N
0 24 12 k 是无理数，序列非周期
12
7）x(n) sin(3 n) cos(15 n) 解：sin(3 n)是周期序列，cos(15 n)是非周期序列
x(n)是非周期序列
8）x(n) e j3 n/4 e j5 n/7
e
j
(
n 6
)
2 0
2
1
12
N k
6
N，k无论取何值，都无法得到整数值
x(n)为非周期序列
4) x(n) e j8n/ 3
解：2 0
=
2 8
=
3=N 4k
3
3是无理数，无论k为什么数，N不能为整数
为非周期序列
5）x(n) sin( n/ 7) / ( n) 解 : n 是非周期的， x(n)是非周期序列
y2 (n)
[x (n)]2 2
ax1 (n)
bx2 (n)
y(n)
[ax (n)+bx (n)]2
1
2
a
2[x (n)]2 1
2abx1(n)x2(n)
b
2[x (n)]2 2
数字信号处理习题集及答案1
所以抽样频率应满足：
因为要求谱分辨率 ，所以
因为选用的抽样点数N必须是2的整数次幂，所以一个记录中的最少抽样点数
相邻样点间的最大时间间隔
信号的最小记录时间
6．（1）模拟数据以10.24千赫速率取样，且计算了1024个取样的离散傅里叶变换。求频谱取样之间的频率间隔。
（2）以上数字数据经处理以后又进行了离散傅里叶反变换，求离散傅里叶反变换后抽样点的间隔为多少？整个1024点的时宽为多少？
（1） 和 的循环卷积和 ；
（2） 和 的线性卷积和 ；
（3）写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤。
【答案】（1）
（2）
（3）略
23．如图表示一个5点序列 。
（1）试画出
（2）试画出
解：
简答题：
24．试述用DFT计算离散线性卷积的方法。
解：计算长度为M,N两序列的线性卷积，可将两序列补零至长度为M+N-1,而后求补零后两序列的DFT，并求其乘积，最后求乘积后序列的IDFT，可得原两序列的线性卷积。
解：（1）频率间隔 （赫）
（2）抽样点的间隔
整个1024点的时宽T=97.66 1024=100ms
7．频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT，试确定频谱抽样之间的频率间隔，并证明你的回答。
证明：由
得
其中 是以角频率为变量的频谱的周期， 是频谱抽样之间的频谱间隔。
又
则
对于本题叶变换的对称性：
证明略。
6． 长为N的有限长序列， 分别为 的圆周共轭偶部及奇部，也即
证明：
证
7．若
证： （1）
（2）
由（2） ，将 互换，则有
姚天任现代数字信号处理第一章答案
第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-xT x xT TT x x T T TT T xT x N xT T x X xT x x xNxx B BB m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T XT XYXM N T XY TXY M N YXY X TY XNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=xTx x xx ee x Tee TTxx xx Tx x ee Tx x x Cov m m R R m xa a a aaR aam m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--THy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x x x x x E T）（、解][2][][TTTyy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
数字信号处理课后习题答案完整版
数字信号处理课后习题答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】数字信号处理（姚天任江太辉）第三版课后习题答案第二章判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =在图中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n) 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)图所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥3已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n -u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
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第一章），（服从正态分布，即之间的唯一性定理知：由特征函数与分布函数）（）（）（）（）（）（的特征函数则），，，（此外，）（的特征函数为：）（）（）（）（）。
概率密度函数为：，（服从正态分布，即、证明：∑∑∑∑∑∑∑=-=-===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-x T x x T T T x x TT T T T xT x N xT T x X xT x x xNx x B B B m N X B B B B m j B B B m j B f f t t t t t t t m j t f X m X m X x p m N X X~]21exp[]21exp[]21exp[21exp 21~1211212ξξμμμμμμμμξπξ[]相互独立。
与）（）（）（）（），（的联合概率密度函数为，），（的协方差为，的协方差为设、证明：Y X Y p X p Y Y X X Y X R Y X R Y X p Y X Y X E R Y X Cov Y X T X T X YX M N T XY TXY M N Y XY X T YXNN NN∴=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∑∑∑∑∑∑∑∑++⨯⨯2121exp 2121exp 2100][221212212ππ 。
且，则，，则要使））（（则，为常量。
，其中设、证明：∑==-==∴====+-=----==+=x Tx x xx ee x T ee TTx x xx T x x ee T x x x Cov m m R R m xa a a aa R aa m m R a m x a m x E R ee E a a m x),(ˆ00min ][][ˆ3φ∆=-=--T Hy)-)(E[( )]ˆ(ˆ[:6.1x Hy x xx x x E T）（、解][2][][T T T yy HE yx E xy E dHd +--=φ为随机误差。
为真实值。
其中设i i i ii i i i i v c x w x v c x y +=+=][][][][T T TT xw E xx E w x x E xy E +=+=∴）（都是零均值的，与不相关。
且与不相关，故与v x x w x v0][][==TTwx E xw E 故][][][][x x E xx E x w x E yx E T T T T ==+=）（同理：][][TTyx E xy E =∴ 0][2][2=+-=T T yy HE xy E dHd φ故令1][][-=∴TTyy E xy E H正交化过程：由：解、Schmidt 7111y =ε11111221111222][][][][y y y E y y E y E y E y --=-=εεεεε1221R R = 11221112231223212212211122312111323y R R R R R R R R y R R R R R R R R y -+-+---=∴）原式[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-2112221121132313y y R R R R R R y ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-------=-----=--=------112211122113121113221212211122312111321113131111212121111212111121231113132122231111333]}[][][{][][][][y R R R R R R R R R R y R R R R R R R R y R R y y R R y y R R y E y R R y y E y R R y y E y E E y E y ）（）（）（）（εεεεεεεε正交分解定理，有上的单位方向矢量，由、、分别为、、设：解、32032081y y y e e e11111000][][y y y E y y E e y TT-+= 得由Ay =ε11111221211111102202221210222][][][][y y y E y y E e y a y y y E y y E a e a y y a y a T T T T--++++=++=ε故有,12y ⊥ε20222e e a +=ε0][,},,{},,{022*******=⊥∈⊥TT T T T e E e y y e y y εεε即故 22100022][][a e e E e e E y T-==∴- 33100033][][,a e e E e e E y T-==-同理 1,1ˆ9110-≤=∑--=+N k y yNk R k N n n kn YY）（取样自相关：解、4,,1,.0]2.0,4.0,6.0,8.0,1[ˆ =--=∴m m R YY）（11111202][][y y y E y y E e y TT -+=代入上式得][][][][121121102212=++=y y E y y E a y y E a y E TT T ε1510ˆ40==∑=n n n YY y y R ）（8.0511ˆ31-==∑=+n n n YY y y R ）（6.0512ˆ202==∑=+n n n YYy y R ）（4.0513ˆ103-==∑=+n n n YYy y R ）（2.0514ˆ04=⋅=y y R YY）（]2342345[51)ˆ)ˆ)(ˆ43243214411z z z z z z z z z k R z k Rz S k k YYN N k kYYYY+-+-+-+-===-----=----=-∑∑（（）（）后输出（经则其自相关函数为一零阶马尔可夫）（证明：设：解、z Y z B z X m m R P R n x x )()()(,.}{1012δσ= 变换有，），对此式做递（）（）（）化简为（）（）（则z z aY z zY z zX z B z X z Y -==）（）（）（，有），令（）（）（1111--=+=-+=+n aY n Y n X n k n aY n Y n X)()]1()1[][2m m R m R a m R m n X n X E m R Y Y Y xx δσ=++--=+=（）（）（）（）（)]1()1([)()(2++-+=m R m R a m m R Y Y Y δσ即 为一阶马尔可夫过程。
由此可见)}({,n Y。
，，，，为最小相位序列，则有）（：解、M i z n x i 3211111=≥使）为最小相位序列，即（），要使（）（变换的性质由z Y azX z Y Z =11*<<=aza z z z Y k k k 成立，即）的所有零点（ M k M k z z a =>∈},2,1{max 即）对应的所有的零点（）、（变换为最小相位序列，则其）（）、（设：解、z Y z X Z n y n x 121 。
，，，，，都在单位圆内，其中，M k N i Z Z iy ix 2121== ），其零点的集合（）（）（），有（）（）（令z Y z X z Z n y n x n z ==* {}{}{}.12121成立必有，，，，，，<≡===nz nz ky ix z Z Z M k Z N i Z Z则）为两最小相位序列，（、设证明z B z A )(:13.1）（）（），（）（设B k Mk A iNi z z b z B z z a z A -∏=-∏===10111〈，〈B i A i z z）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（，，z g z z z z b z z a z z z z b z z a z B z A z C C j Qj B k Mj k k A i N i i CjQj B k Mk A iNi ⋅-∏≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∏+-∏-∏≡-∏+-∏=+==≠=≠====110101101{}{}M k Z N i Z Z B k A i C j ，，，，，，其中 2121==∈ 则不是。
）为最小单位序列，否（内，则）的所有零点在单位圆（显然，若z c z g 相位序列。
亦为最小且为最小相位序列其中举例)15(61,,)31)(21()15(61)31)(21(22+---+-+=--z z z z z z z z 为非最小相位序列。
其中)2)(21()32(23)2)(21(2+--+=+-z z z z z z ∑∑=∞==Nn n n h n h Parsval 022min141）（）（等式知，由：证明、能量集中）具有最小时延性，其（）是最小相位序列，故（n h n h min min）（）（）（）（在序列初始阶段，所以00,min 22min h h n h n h <> 由谱分解定理知：分解。
））（（）（率谱用谱分解定理对有理功：解、18.018.0136.01511+--=-z z z S xx18.018.0136.08.018.01]1][1[111212+--=----==----））（（））（（）（）（）（z z z z az az z B z B z S xx εεσσ 6.15.02==εσa 解得））（（））（（）（z z z z z z z S xx 8.018.01)5.01)(5.01(6.118.018.0136.0111----=+--=∴---1161+=+=）（）（）（）（：解、z S z S z S z S xx VV xx YY的输出）（）激励系统（），相当于（）（）（由16.0116.01--=+=+zz B n w n w n x n x ））（（）（）（）（）（故z z z B z B n w Z z S xx 6.016.0182.0][11--=⋅=--））（（））（（））（（）（z z az az z z z z z z z S YY 6.016.01]1][1[6.016.016.06.018.216.016.0182.0112111----=----=+--=∴-----εσ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+∴23.06.018.212222εεεσσσa a a 解得）（ ））（（））（（）（z z z z z S YY 6.016.013.013.01211----=∴--为随机矢量的新息表达式：解、171⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321323121321101001εεεb b by y y ）（）（其中01][][][][1121111121111221YY YY R R R R y y E y y E E y E b ====--εεε ）（）（02][][11311111331YY YY R R R R E y E b ===-εεε {}{}2211132121122312121132111211221211321221111312132121221212123111122122][][][R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R y b y y b y E y b y y E E y E b +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=---==---））（（！εεε。