立体几何证明方法总结

一、线线平行的证明方法:1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行。

(线面平行的性质定理)4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。

(面面平行的性质定理)5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。

(线面垂直的性质定理)6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

(需证明)二、线面平行的证明方法:1、定义法:直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。

(线面平行的判定定理)3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法:1、定义法:两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。

(面面平行的判定定理)3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法:1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角就是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。

7、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。

(三垂线定理,需证明)8、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直。

(三垂线逆定理,需证明)9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法:1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。

(线面垂直的判定定理)4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

(面面垂直的性质定理)5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法:1、定义法:两个平面的二面角就是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

(面面垂直的判定定理)3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。

一.选择题(共27小题)1.(2010•浙江)设l,m就是两条不同的直线,α就是一个平面,则下列命题正确的就是( )A. 若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB. 若l⊥α,l∥m,则m⊥αC. 若l∥α,m⊂α,则l∥mD. 若l∥α,m∥α,则l∥m2.(2006•湖南)过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )A. 4条B. 6条C. 8条D. 12条3.“直线l与平面α无公共点”就是“l∥α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知m,n表示两条直线,α表示一个平面,给出下列四个命题:①∥n;②∥α;③;④.其中正确命题的序号就是( )A. ①②B. ②④C. ②③D. ①④5.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别就是A1B1、CD、B1C1的中点,则下列中与直线AE有关的正确命题就是( )A. A E丄CGB. AE与CG就是异面直线C. 四边形ABC1F就是正方形D. A E∥平面BC1F6.直线与平面平行的充要条件就是这条直线与平面内的( )A. 一条直线不相交B. 两条直线不相交C. 任意一条直线都不相交D. 无数条直线不相交7.α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分条件就是( )A. α⊥β,且a⊥βB. α∩β=b,且a∥bC. a∥b,且b∥αD. α∥β,且a⊂β8.已知两条直线a,b,两个平面α,β,则下列结论中正确的就是( )A. 若a⊂β,且α∥β,则a∥αB. 若b⊂α,a∥b,则a∥αC. 若a∥β,α∥β,则a∥αD. 若b∥α,a∥b,则a∥α9.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号就是( )A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④10.设α、β、γ就是三个不同的平面,a、b就是两条不同的直线,给出下列4个命题:①若a∥α,b∥α,则a∥b;②若a∥α,b∥β,a∥b,则α∥β;③若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥β;④若a、b在平面α内的射影互相垂直,则a⊥b.其中正确命题就是( )A. ③B. ④C. ①③D. ②④11.已知两条直线a,b与平面α,若b⊂α,则a∥b就是a∥α的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件12.已知直线a与平面α,那么a∥α的一个充分条件就是( )A. 存在一条直线b,a∥b,b⊂αB. 存在一条直线b,a⊥b,b⊥αC. 存在一个平面β,a⊂β,α∥βD. 存在一个平面β,a⊥β,a⊥β13.已知α,β表示平面,a,b表示直线,则a∥α的一个充分条件就是( )A. a⊥β,α⊥βB. a⊥β=b,a∥bC. a∥b,b∥αD. α∥β,a⊂β14.A,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合平面,现给出六个命题①⇒a∥b ②⇒a∥b ③⇒α∥β④⇒α∥β⑤⇒α∥a ⑥⇒α∥a其中正确的命题就是( )A. ①②③B. ①④⑤C. ①④D. ①③④15.下列说法正确的就是( )A. 垂直于同一平面的两平面也平行B. 与两条异面直线都相交的两条直线一定就是异面直线C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 垂直于同一直线的两平面平行16.已知两条直线m、n与两个平面α、β,下列命题正确的就是( )A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m∥α,m∥β,则α∥βC. 若m⊥α,m⊥β,则α∥βD. 若m⊥n,m⊥β,则n∥β17.已知直线a,b,平面α,β,则a∥α的一个充分条件就是( )A. a⊥b,b⊥αB. a∥β,β∥αC. b⊂α,a∥bD. a∥b,b∥α,a⊄α18.A就是平面BCD外一点,E,F,G分别就是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在直线AB,AC,AD,BC,BD,DC 中,与平面α平行的直线有( )A. 0B. 1条C. 2条D. 3条19.(2010•山东)在空间,下列命题正确的就是( )A. 平行直线的平行投影重合B. 平行于同一直线的两个平面平行C. 垂直于同一平面的两个平面平行D. 垂直于同一平面的两条直线平行20.(2008•湖南)设有直线m、n与平面α、β,下列四个命题中,正确的就是( )A. 若m∥α,n∥α,则m∥nB. 若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC. 若α⊥β,m⊂α,则m⊥βD. 若α∥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α21.(2008•福建)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )A. B. C. D.22.(2008•安徽)两条不同直线,α,β,γ就是三个不同平面,下列命题中正确的就是( )A. 若m∥∂,n∥∂,则m∥nB. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC. 若m∥α,m∥β,则α∥βD. 若m⊥α,n⊥α,则m∥n23.(2007•辽宁)若m,n就是两条不同的直线,α,β,γ就是三个不同的平面,则下列命题中为真命题的就是( )A. 若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB. 若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC. 若α⊥γ,α⊥β,则β∥γD. 若m⊥β,m∥α,则α⊥β24.(2007•江苏)已知两条直线m,n,两个平面α,β,给出下面四个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n③m∥n,m∥α⇒n∥α④α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号就是( )A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③25.(2002•北京)已知三条直线m、n、l,三个平面a、b、g,下列四个命题中,正确的就是( )A. B. C. D.26.已知直线m⊂平面α,直线n⊂平面α,“直线c⊥m,直线c⊥n”就是“直线c⊥平面α”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件27.若直线a∥直线b,且a∥平面α,则b与平面α的位置关系就是( )A. 一定平行B. 不平行C. 平行或相交D. 平行或在平面内二.填空题(共3小题)28.如图:点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:①三棱锥A﹣D1PC的体积不变;②A1P∥面ACD1;③DP⊥BC1;④面PDB1⊥面ACD1.其中正确的命题的序号就是_________ .29.考察下列三个命题,在“﹣﹣”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为不同的直线,α、β为不重合的平面),则此条件为_________ .①⇒l∥α,②⇒l∥α,③⇒l∥α30.在正四面体PABC中,D,E,F分别就是棱AB,BC,CA的中点.给出下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面ABC, 其中所有不正确的结论的序号就是_________ .1、分析:根据题意,依次分析选项:A,根据线面垂直的判定定理判断.C:根据线面平行的判定定理判断.D:由线线的位置关系判断.B:由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.解答:解:A,根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行,不正确;C:l∥α,m⊂α,则l∥m或两线异面,故不正确.D:平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交,不正确.B:由线面垂直的性质可知:平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.故选B2、:解:如图,过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条,故选D.3解:若“直线l与平面α无公共点”成立,则“l∥α”即“直线l与平面α无公共点”⇒“l∥α”为真命题反之,当“l∥α”时,“直线l与平面α无公共点”即“l∥α”⇒“直线l与平面α无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得:直线l与平面α无公共点”就是“l∥α”的充要条件故选C4:①⇒m∥n,根据线面垂直的性质定理:垂直于同一平面的两直线平行,故①正确.②⇒n∥α,由m⊥α,m⊥n得n∥α或n⊂α,故②不正确.③⇒m∥n,由m∥α,n∥α,则m,n可能平行、可能相交、可能异面.故③不正确.④,则m,n可能相交、可能异面,根据异面直线所成的角,可知m⊥n.故④正确.故选D.5根据正方体的几何特征,可以判断出AE与CG相交,但不垂直,由此可以判断出A,B的真假,分析四边形ABC1F中各边的长度,即可判断C的真假,由线面平行的判定定理,可以判断出D的真假,进而得到答案.解:由正方体的几何特征,可得AE丄C1G,但AE与平面BCB1C1不垂直,故AE丄CG不成立;由于EG∥AC,故A,E,B,C四点共线∴AE与CG就是异面直线错误;四边形ABC1F中,AB≠BC1,故四边形ABC1F就是正方形错误;而AE∥C1F,由线面平行的判定定理,可得AE∥平面BC1F故选D其性质可知:任意一条直线都不相交,有其它直线与其相交,故A错误;明有其它直线与其相交,故B错误;说明有其它直线与其相交,无数不就是全部,故D错误;行的判断定理:一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上确定一个平面点确定一个平面一个平面,所以不正确内,所以不正确不正确面平行的性质定理可知就是正确的.,面面的平行及垂直间的相互转化,一定要注意常见结论的严密性. a∥α故A正确;,则a不可能与α平行,故B错误;则结论不成立,故C错误;则结论不成立,故D错误;行的判断定理:一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上确定一个平面点确定一个平面一个平面,行,考虑线面平行定义;对于②,考虑线面平行的判定及定义;对于③,可以用线面平的定义及判定定理判断;对于④,用线面平的平面,即对角面,可以证明这个对角面与平面MNP,由线面平行的定义可得AB∥平面MNP.N得到AB∥平面MNP;还就是判定定理都无法证明线面平行;定,主要考虑定义、判定定理两种方法,同时运用面面平行的性质解决问题.故①错误;②错误;⊥β,故③正确;射影互相垂直,a与b不一定就是垂直的,有可能斜交,故④错误;行的判断定理:一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上确定一个平面点确定一个平面系可能就是a∥α,也可能就是a⊂α,即a∥α不一定成立,故a∥b⇒a∥α为假命题;系可能就是a∥b,也可能就是a与b异面,即a∥b不一定成立,故a∥α⇒a∥b也为假命题;不充分又不必要条件充要条件,直线与平面平行关系的判断,先判断a∥b⇒a∥α与a∥α⇒a∥b的真假,然后利用充要条件的定义得到结论就是证明求大家熟练掌握.,不正确正确理知正确正确理或常见结论时一定要条件全面,提醒学生做题量考虑要具体全面.∥α或a⊂α∥α或a⊂α或a⊂α能排除a⊂α,性质可知正确正确;理可知④正确;相交,α内.平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定,同时考查了对定理、公理的理解,属于综合题.个平面的位置关系不能确定,与两条异面直线都相交的直线如果就是交于不同的四个点,一定异面,若交于三个点则共面,过直线与已知直线垂直,得到结论.两个平面的位置关系不能确定,故A不正确,的直线如果就是交于不同的四个点,一定异面,若交于三个点则共面,故B不正确,条直线与已知直线垂直,故C不正确,平面平行,正确,则m,n可以平行、相交,也可以异面,故不正确;当m平行于α,β的交线时,也成立,故不正确;则m为平面α与β的公垂线,则α∥β,故正确;则n∥β,n也可以在β内平面的位置关系.涉及到两直线共面与异面,线面平行等知识点,在证明线面平行时,其常用方法就是在平面内找已知直线平面面平行来推导线面平行.平面平行或在平面内,不正确.平行或在平面内,不正确.面平行或在平面内,不正确.知,正确.何中线面之间的位置关系及判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查,属中档题18解答:解:取AB的中点H,连接HE、EF、FG、GH∴平面HEFG为平面α其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交∵E、F就是BD、CD的中点∴EF∥BC,而EF⊂α,BC⊄α∴BC∥平面α同理可证AD∥平面α故选C点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,同时考查了空间想象能力与推理论证的能力,属于基础题.19解答:解:平行直线的平行投影重合,还可能平行,A错误.平行于同一直线的两个平面平行,两个平面可能相交,B错误.垂直于同一平面的两个平面平行,可能相交,C错误.故选D.20分析由面面平行的判定定理与线面平行的定理判断A、B、D;由面面垂直的性质定理判断C.解答:解:A不对,由面面平行的判定定理知,m与n可能相交;B不对,由面面平行的判定定理知少相交条件;C不对,由面面垂直的性质定理知,m必须垂直交线;故选D.点评:本题考查了线面的位置关系,主要用了面面垂直与平行的定理进行验证,属于基础题. 21分:由题意连接A1C1,则∠AC1A1为所求的角,在△AC1A1计算.解答:解:连接A1C1,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,∴A1A⊥平面A1B1C1D1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角.在△AC1A1中,sin∠AC1A1===.故选D.22分析:本题考查的知识点就是空间中直线与平面之间的位置关系,若m∥∂,n∥∂,m,n可以相交也可以异面,故A不正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β,则α、β可以相交也可以平行,故B不正确;若m∥α,m∥β,则α∥β,则α、β可以相交也可以平行,故C不正确;m⊥α,n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行;故D答案正确;分析即可得到结论.解答:解:m,n均为直线,其中m,n平行α,m,n可以相交也可以异面,故A不正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β,则α、β可以相交也可以平行,故B不正确;若m∥α,m∥β,则α∥β,则α、β可以相交也可以平行,故C不正确;m⊥α,n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行;故选D.23分析:对于选项A直线m可能与平面α斜交,对于选项B可根据三棱柱进行判定,对于选项C列举反例,如正方体同一顶点的三个平面,对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可.解答:解:对于选项D,若m∥α,则过直线m的平面与平面α相交得交线n,由线面平行的性质定理可得m∥n,又m ⊥β,故n⊥β,且n⊂α,故由面面垂直的判定定理可得α⊥β.故选D点评:本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,以及面面垂直的判定定理,同时考查了推理能力,属于基础题.24解答:解:用线面垂直与面面平行的定理可判断①④正确;②中,由面面平行的定义,m,n可以平行或异面;③中,用线面平行的判定定理知,n可以在α内;故选C.点评:本题考查了线面垂直与面面平行的定理,及线面、面面位置关系的定义,属于基础题.25分析:利用墙角知A不对,线面平行与垂直的定理知B不对,由面面平行的判定定理与线面垂直的性质定理来判断出C与D.解答:解:A、α与β可能相交,如墙角,故A错误;B、可能l⊂β,故B错误;C、由面面平行的判定定理知,m、n可能相交,故C错误;D、由线面垂直的性质定理知,故D正确.故选D.点评:本题考查了空间中线面位置关系,主要根据线面与面面平行及垂直的定理进行判断,考查了定理的运用能力与空间想象能力.26:由线面垂直的定义,当直线c⊥平面α时,c与α中的任意一条直线都垂直,即“直线c⊥平面α”⇒“直线c⊥m,直线c⊥n”为真命题,但反之,当“直线c⊥m,直线c⊥n”时,直线c⊥平面α不一定成立,根据充要条件的定义,易得答案.解答:解:若直线c⊥m,直线c⊥n成立则当m,n相交时,直线c⊥平面α成立,当m,n平行时,直线c⊥平面α不一定成立故“直线c⊥m,直线c⊥n”⇒“直线c⊥平面α”为假命题若直线c⊥平面α成立则C垂直平面α的每一条直线故“直线c⊥平面α”“直线c⊥m,直线c⊥n”⇒为“直线c⊥m,直线c⊥n”真命题故“直线c⊥m,直线c⊥n”就是“直线c⊥平面α”的必要而不充分条件故选B点评:判断充要条件的方法就是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p就是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p就是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p就是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p就是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.27分由直线a∥直线b,且a∥平面α,知直线b∥平面α或直线b在平面α内.解答:解:∵直线a∥直线b,且a∥平面α,直线b∥平面α或直线b在平面α内.故选D.点评:本题考查空间直线与平面之间的位置关系,就是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.28分析:如右图,对于①,容易证明AD1∥BC1,从而BC1∥平面AD1C,以P为顶点,平面AD1C为底面,易得;对于②,连接A1B,A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得;对于③,由于DC⊥平面BCB1C1,所以DC⊥BC1平面,若DP⊥BC1,则DC与DP重合,与条件矛盾;对于④,容易证明PDB1⊥面ACD1,从而可以证明面面垂直.解答:解:对于①,容易证明AD1∥BC1,从而BC1∥平面AD1C,故BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等,所以以P为顶点,平面AD1C为底面,则三棱锥A﹣D1PC的体积不变;正确;对于②,连接A1B,A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等,由于①知:AD1∥BC1,所以BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得;正确;对于③由于DC⊥平面BCB1C1,所以DC⊥BC1平面,若DP⊥BC1,则DC与DP重合,与条件矛盾;错误;对于④,连接DB1,容易证明DB1⊥面ACD1,从而由面面垂直的判定知:正确.故答案为:①②④点评:本题考查三棱锥体积求法中的等体积法;线面平行、垂直的判定,要注意使用转化的思想.29分析:根据线面平行的判定定理,我们知道要判断线面平行需要三个条件:面内一线,面外一线,线线平行,分析已知中的三个命题,即可得到答案.解答:解:①体现的就是线面平行的判定定理, 缺的条件就是“l为平面α外的直线”,即“l⊄α”.它同样适合②③,故填l⊄α.故答案为:l⊄α点评:本题考查的知识点就是直线与平面平行的判定,熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件就是解答本题的关键.30专综合题。