第十一章 动量矩定理

注意，回转半径不是刚体某一部分的尺寸，它只是在计算刚体的转动惯 量时，假想地把刚体的全部质量几种在离轴距离为回转半径的某一圆柱面上 （或点上），这样在计算刚体对该轴的转动惯量时，就简化为计算这个圆柱 面或点对该轴的转动惯量。
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例11-8 如图所示传动系统，主动轮半径为r1，对于其转轴的转动惯量为J01， 从动轮半径为r2，鼓轮半径为r。鼓轮与从动轮固结成为一个刚体，从动轮连同鼓 轮对于其转轴的转动惯量为Jo2。鼓轮外绕一绳，绳端系一质量为m的物体。 若 在主动轮上作用一不变力矩M，设轴承处摩擦及绳和胶带质量不计，求重物的加 速度。
例11-2 求半径为R，质量为m的均质等厚薄圆板对通过质心且与板面 垂直的z轴的转动惯量。
二、平行轴定理
从转动惯量的计算公式可见，同一刚体对不同的轴的转动惯量一般是不 同的。在工程手册中往往只能查出物体对于通过其质心的轴的转动惯量，但 在实际问题中，物体都常常绕不通过质心的轴的转动，而往往直接计算刚体 对这些轴的转动惯量又非常困难。因此需寻找求解转动惯量的方便途径。
质点系的动量为
外力对O点的合力矩为
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11-4 刚体定轴转动微分方程
上式即为刚体转动微分方程。
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例11-7 求如图所示悬挂在固定的水平 轴上的刚体（称为复摆或者物理摆）， 在微小摆动时的运动规律及周期。空气阻力及转动轴处的摩擦都不计。 所有外力对转轴的力矩之和为
解得
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分析主动轮，得 分析从动轮，得
解得:
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在剪断绳子的瞬间，受力情况如图 所示，所受力矩为
解得：
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当杆落至任意位置时，受力情况如图所示，所 受力矩为：
故切向加速度为：
对上式两边同时积分： 故法向加速度为：
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解得
L
r
x
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教师：袁方强
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度量力对绕某点或某轴转动的刚体的作用效果，不能仅用力的大小和方向， 还要用到力对该点或轴之矩。同样，度量绕某点或某轴转动的刚体的机械运动， 就不能仅用刚体的动量，还要用动量对该点或该轴之矩。例如，一刚体在外力系 作用下绕过质心的固定轴转动，无论刚体转动的快慢如何，也无论其转动的状态 变化如何，它的动量恒等于零。
三、动量矩守恒定理
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由于在这个过程中，没有力 或者说是力矩做功，则转动动量 （或者说动量矩）大小不变。
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11-5 如图所示，卷扬机鼓轮质量m1，半径r，可绕过鼓轮中 心的水平轴转动。鼓轮上绕一绳，绳的一端悬挂一质量为m2的重 物。鼓轮视为均质，今在鼓轮上作用一不变力矩M，试求重物上升 的加速度。
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11-2 动量矩
对某一固定轴的动量矩为
二、质点系的动量矩
质点系中所有各质点的动量对于任选的固定点O的矩的矢量和，称为质 点系对固定点O的动量矩，记为
(ห้องสมุดไป่ตู้1-8)
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三、定轴转动刚体对转轴的动量矩
而整个刚体对转轴z的动量矩为
即定轴转动刚体对于转轴的动量矩，等于刚体对于转轴的转动惯量与 角速度的乘积。
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11-3 质点系的动量矩定理
一、质点系对固定点的动量矩定理
因为内力总是大小相等，方向相反，作用线相同地成对出现，所以内力 矩应为零，则有
由上式可知，质点系对于任一固定点O的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的所有外力对同一点的力矩的矢量和。
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将上式投影到固定的直角坐标轴上，得
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(11-5) 即刚体对任一轴的转动惯量，等于该刚体对于过质心且与这一轴平行 的轴的转动惯量，加上该刚体的质量与两轴间距离的平方的乘积。这就是 转动惯量的平行轴定理。
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(11-5) 由这一定理可知，在所有相互平行的轴中，刚体对过其质心的轴的转动惯量 是最小的。
解析：复摆由一均质杆和均质圆盘组成，所以
11-1 转动惯量
(11-1) 刚体对某一轴的转动惯量不仅与刚体的质量大小有关， 而且还与质量对轴的分布情况有关。
转动惯量是刚体转动惯性的度量。单位为：kg*m2。
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对于简单形状的刚体，若刚体的质量连续分布，则式(11-1)应改写为 (11-2)
工程上在计算刚体的转动惯量时，常应用下面的公式： (11-3)