实际生活中的几个概率问题

实际生活中的几个概率问题

作者：叶亮

来源：《读与写·下旬刊》2015年第06期

摘要：概率论在实际生活中有着广泛的应用，本文主要讨论了利用古典概率，小概率事件原理，全概率公式，伯努利试验，数学期望等概率知识解决实际生活中的几个概率问题。

关键词：古典概率；全概率公式；伯努利试验；小概率事件原理

中图分类号：G718文献标识码：B文章编号：1672-1578（2015）06-0434-02

概率论作为一门研究现实世界中广泛存在的随机现象规律性的数学分支，早已渗透到了生活的方方面面，正为我们的日常生活带来方便。本文在查阅大量资料的基础上，列举了现实生活中几个典型概率问题的例子，并对这些问题给出了概率理论上的解释，希望读者通过这些例子，体会概率知识在实际生活中发挥的重要作用，从而学会利用概率知识解决实际问题。

1.考试中的运气问题

很多考生面临考试时，由于努力不足或准备不充分，产生了企图靠"瞎蒙"过关的侥幸心理，那么这种靠"瞎蒙"过关的概率到底有多大？以大学英语考试为例来说明。

例大学英语考试包括听力、完型填空、阅读理解、写作四个部分。除写作20分外，其余80道题（每题1分）都是单项选择题，每道题有A、B、C、D四个选项，这种情况下，不写作文只做选择题，靠运气能通过考试吗？

分析：按60分及格算，80道题必须答对60道题以上。每做一题我们可以看成是进行一次伯努利试验，那么此次考试我们就可看成是80重伯努利试验。

设答对题的个数为随机变量ξ，则ξ□（80，0.25）

显然，这个概率极小，相当于1000亿个靠运气答题的考生中仅有0.445个人能通过考试，所以靠"瞎蒙"过关不可能。

2.先抽后抽的问题

在体育比赛抽签仪式，商家搞的抽奖活动中，人们都面临先抽后抽的问题，那么到底怎样抽会更有优势？

例假设6张奖券中有3张是中奖券，现有6人依次从中各抽一张，那么第一位抽奖者是否比第二位抽奖者中奖的概率大呢？

分析：设A1表示第一位抽奖者中奖，表示第二位抽奖者中奖，则

根据全概率公式得，P（A1）=C13/C16=12

显然，第一位抽奖者与第二位抽奖者中奖的概率一样大。实际上，所有抽奖人中奖的概率都是相等的，每个人抽到中奖券的概率只与中奖券所占比例36有关，而与抽奖次序无关。

3.选择比赛制度的问题

例甲乙两名围棋选手进行围棋比赛。根据以往比赛排名和战绩统计，每赛一局甲胜出的概率为0.6，乙胜出的概率为0.4。若比赛可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，那么甲应选择哪种比赛制度会让自己更胜一筹？

分析：（1）若采用五局三胜制

设A表示甲胜，A1表示前三局甲胜；A2表示前三局中，甲胜两局，第四局甲胜；

A3表示前四局中甲乙两人各胜两局，第五局甲胜，则A=A1UA2UA3

P（A1）=0.63=0216

P（A2）=C23×0.62×0.4×0.6=0.2592

P（A3）=C24×0.62×0.42×0.6=0.20736

由于A1，A2，A3互斥，由加法定理得

P（A）=P（A1UA2UA3）

=P（A1）+P（A2）+P（A3）

=0216+0.2592+0.20736

=0.68256

（2）若采用三局两胜制

设：B表示甲胜，B1表示前两局甲胜；B2表示前两局中甲乙两人各胜一局，第三局甲胜，

则B=B1UB2

P（B1）=0.62=0.36

P（B2）=C12×0.6×0.4×0.6=0.288

由于B1，B2互斥，由加法定理得

P（B）=P（B1UB2）=P（B1）+P（B2）=0.288+0.36=0.648

很显然P（A）>P（B），所以对于胜算率为0.6的甲来说，应选五局三胜制，取胜的把握更大，而对于处于劣势的乙，则应选三局两胜制对自己更有利。

4.生日问题

例一位负责招生的老师在核对高一年级新生名单时，发现了一件有趣的现象：高一年级七个班（每个班40人），每班的新生中至少有两名同学生日相同，这个现象的发生是一种巧合么？

分析：现在要试图计算"40个人中至少有2名同学生日相同"的概率有点困难，因为要考虑可能有2个人生日相同，3个人生日相同，……50个人生日相同的情况。我们不妨考虑它的对立事件，"40人中任意两人生日都不相同"的概率。

我们可将一年365天看作是365个不同的箱子，40个人看作40个球。用A表示"任一箱内的球数均不超过1"这个事件。根据古典概率的算法，先计算样本点总数。第一球置于1号箱或2号箱……或365号箱，共有365种不同的放置法，第二个球直至第40个球均是这样。按乘法原理，40个球不同的放置法总数为36540。而与A有关的样本点总数可这样算出：第一个球有365种不同放法，第二个球就只有364种不同放法，依次类推，第40个球就只有326种放法，依据乘法原理，

P（A）=365×364×…×32636540≈0.109

因此，"40人中至少有两名同学生日相同"的概率为1-0.109=0.891，可见它的概率很大（0.891），但它不是1，故它仍是随机事件，那么"高一年级七个班，每班至少有2人生日相同"，这个现象的发生就是一种巧合！

5.买桔子问题

例王大妈上街准备给孩子们买几箱桔子，路上被一小贩拦住，小贩告诉王大妈，他的桔子一箱里（假设箱中有100个桔子）最多有5个是烂的，王大妈随手打箱子，从中随意拿了10个检查，心想如果这10个桔子里，烂桔子数不超过3个就买，可她发现有4个是烂的，于是王大妈指责小贩说，你的一箱桔子肯定不止5个是坏的，王大妈的怀疑有道理吗？

分析：我们先假设箱里100个桔子中坏桔子有5个，从中随机抽取10个，则坏桔子数ξ=4的概率为：

P（ξ=4）=C45·C695/C10100≈2.7×10-6

同样可求出坏桔子数ξ=5的概率：

P（ξ=5）=C55·C595/C10100≈3.34×10-6

由加法原理，任意抽取10个桔子，其中坏桔子数ξ>3的概率：

P（ξ>3）=P（ξ=3）+P（ξ=5）=2.7×10-6+3.34×10-6=6.04×10-6

可以看出，抽取"10个桔子，坏桔子数超过3个"是个小