【东南大学】《几何与代数》总复习资料共56页文档

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东南大学11-12-2 几何与代数B期末试题A与答案A

东南大学11-12-2 几何与代数B期末试题A与答案A

4.
过点
P(1,
2,
0)
且与直线
⎧ ⎨ ⎩
x x
+ −
2 y
y−z + 3z
= =
1 0
垂直的平面的方程是

5. 若向量组 (1, −1, 2), (1, k, −3), (3, 0,1) 线性相关,则 k =

6. 设 A 是 4 × 3 阶矩阵,若齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系只含一个解向量,则

⎛4 2 0 ⎞
10.
矩阵
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
2 0
k +1 k
k
k +
⎟ 1⎟⎟⎠
正定,则参数
k
满足

abc d a −1 b +1 c d
二、(10%)计算行列式
a−2 b c+2 d a−3 b c d +3 .
⎛0 0 1⎞
三、(12%)设矩阵
A
=
⎜ ⎜
2
−3
0
⎟ ⎟
,求矩阵方程
AXA−1
+
A−
2
⎟ ⎟
,特征向量 η3
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ 2⎟⎠
⎛ 1/ 2
令正交矩阵 Q
⎛ = ⎜⎜⎝
η1 η1
,
η2 η2
,
η3 η3
⎞⎜
⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
−1
0 /
2
1/ 18 −4 / 18 1/ 18
2 / 3⎞ ⎟
1/3⎟ , 2 / 3⎟⎟⎠
则正交变换 x = Qy 将二次型化为标准形: f ( y1, y2 , y3) = 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 (2)变换 x = Qy 将二次曲面 f (x1, x2, x3) = −1的方程化为: 7 y12 + 7 y22 − 2 y32 = −1,

【东南大学】《几何与代数》总复习资料资料

【东南大学】《几何与代数》总复习资料资料
几何与代数总复习
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 一 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩 矩 分块运算: 分块转置
阵 初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵




n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B

r

B

r

A O
O
B

n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r

A*



1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用 初等变换 终止矩阵
结果

行变换 阶梯阵
极大无 关组(基)
阶梯阵 行变换
行最简形

东南大学12-13-2 几何与代数B期末答案A

东南大学12-13-2 几何与代数B期末答案A
D 1,2 ,3 ( p 1)2 ( p 2) …………………………………………………….2
所以,1, 2 , 3 是1,2 ,3,4 的极大无关组当且仅当1, 2 , 3 线性无关….2
当且仅当 D 0 ,即 p 1, 2 , q 可以任意取值。….…………………….2
2. 当 p, q 取何值时,1, 2 是这个向量组的极大线性无关组?并在这时将3 , 4 表
0
0
1
1 3 1
Q
0 2
3 2
0
……………………………………………………………………..4
4
共4页
第2页
1 1 p 1
四.
(15%)已知向量组 1
1
,
2
p
,
3
1
,
4
4

p
1
1
q
1. 当 p, q 取何值时,1, 2 , 3 是这个向量组的极大线性无关组?
或 6x 3y 2z 17 0 ………………………………………….2
共4页
第3页
3 2 2 六. (15%)已知矩阵 A k 1 k 与对角阵相似。求参数 k 的值,并求可逆矩阵 P
4 2 3 及对角阵 ,使得 P 1 AP 。
解: E A ( 1)( 1)2 。所以, A 的特征和值是1, 1(二重)。……………….6 如果 A 相似于对角阵,则相应于特征值 1, A 有两个线性无关特征向量, 即 r( A E) 1 ,于是 k 0 。………………………………………………………….3
0
1
1 0
1 1

2.

2
阶方阵
A
( ,

东南大学09-10-2几何与代数(B)期末考试答案

东南大学09-10-2几何与代数(B)期末考试答案

共 4 页 第 页东 南 大 学 考 试 卷( A 卷)课程名称 几何与代数B 考试学期09-10-2得分适用专业电类专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一. (30%)填空题1. 若101,110a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且222()AB A B =,则,a b 满足条件 a b =;2. 设2阶方阵(,)A αβ=,()2,3B αβαβ=-+,若B AC =,则矩阵C = 2113⎛⎫⎪-⎝⎭;3. 直线3221x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩的一个方向向量为 (5,4,3) ;4. 点(1,1,1)P 到平面223x y z -+=的距离是23;5. 如果向量组1111,,21a a a αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性相关,则参数a 满足条件 1a =;6. 向量12η⎛⎫= ⎪⎝⎭在2R 的基13,12αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标是 41⎛⎫ ⎪-⎝⎭;7. 如果11⎛⎫ ⎪⎝⎭是矩阵211a ⎛⎫⎪⎝⎭的属于特征值b 的特征向量,则 (,)a b = (0,2) ; 8. 假设A 是22⨯矩阵,若可逆矩阵(,)P αβ=满足11002P AP -⎛⎫=⎪⎝⎭,(),Q βα=,则1Q AQ -= 2001⎛⎫⎪⎝⎭;9.(1)r n ≤≤的特征多项式是 (1)n r r λλ--。

共 4 页 第 页二. (10%)设211101111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,111012B -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

已知XA B X =+ ,求 X 。

解:()X A E B -=,1()X B A E -=-, (4)111111110A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,1122111221()0101A E --⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭, (4)51220102X ⎛⎫= ⎪--⎝⎭……………………………………………………………………2 三. (14%)设线性方程组12342341234123412123435(6)5x x x x x x x x x ax x b x x x a x + + +=⎧⎪ - +=⎪⎨+ + +=⎪⎪+ +++=⎩。

《几何与代数》 科学出版社 习题解析第一章

《几何与代数》 科学出版社 习题解析第一章

§1.4 线性方程组的求解
1.矩阵的初等行变换 1.矩阵的初等行变换 ri ↔rj , ri ×k, ri+krj 2. 阶梯阵与行简化阶梯阵 主元为1,主列为ej 主元为1 主列为e 3. 阶梯数与线性方程组的解 r2 = r1+1 ↔ 无解 r2 = r1=n ↔ 唯一解 r2 = r1< n ↔ 无穷多解对 为 取
解3:化成四块三角形 :
x r1 − r2 1 1 x 1 1 0 1 0 1 1 1− x
1 1 0 0 1 1 1− y 1 1− x 1 =x 1 1 1+ y 1 1 1
1+ y 1 1 1− y
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
解3:化成四块三角形 :
1 =x 1 1
=x 1
1 1 1
第一章 行列式和线性方程组的求解
习题解析
习题一( 习题一(B):
2.若排列x1,x2,…,xn的逆序数是a, 求排列xn, xn−1,…,x1的 若排列x 的逆序数是a 排列x 逆序数a’. 什么时候这两个排列的奇偶性相同? 逆序数a’.问:什么时候这两个排列的奇偶性相同? 解: 任取两个元素xi, xj, 任取两个元素x xi, xj必在排列x1,x2,…,xn和xn, xn−1,…,x1中的一个 必在排列x ,…,x ,…,x 构成逆序, 构成逆序, 因此这两个排列的逆序数之和 因此这两个排列的逆序数之和为 逆序数之和为
=
am1 … amm
A,B为m,n阶 为 阶 矩阵 0 A = (−1)mn |A| |B| B C C A = B 0
思考题: 思考题:能否利用这些结果证明 |AB| = |A| |B|? ? (其中 其中A,B为n阶矩阵 (可先考虑 n=2的情况 阶矩阵) 的情况) 其中 为 阶矩阵 可先考虑 的情况

《几何与代数》科学出版社习题解析第六章

《几何与代数》科学出版社习题解析第六章

设A与A在实数域上相合,则p(A)=p(A)=q 所以 n=2p 为偶数. 证明1:设A与A在实数域上相合,则存在可逆阵P T 使得 P AP A
P T AP A P T A P 1 A
n
因为A可逆,所以|A|0. n 2 1 P 0 所以n为偶数.
几何与代数习题解析第六章
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
第六章 二次型与二次曲面
§6.3 二次曲面
一般二次型f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 Q正交且|Q|=1 作直角系的旋转变换 右手系→右手系 x = Qy, Q正交 g(y) = yTy + B’Ty + c = 0 坐标轴 y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d 的平移 实对称阵的正交相似对角化问题 Q正交, s.t., Q1AQ=QTAQ= =diag(1,…,n) 实二次型 正交变换 标准形
T 2 T 2 T
A 0 1 1
T 2
A O , 15. 设A, B都是实对称矩阵, M = O B 证明: M正定 A, B都正定. 证明: ()
① M正定 x, y , x T T T x Ax = (x , )M > 0, yTBy = (T, yT)M A, B都正定.
二次曲面 直角坐标变换 曲面的标准形
条件

2 1 1

2 2 2
p,q p=3,q=0 p=0,q=3 p=2, q=1
d d>0 d<0
二次曲面 椭球面 球面 单叶双曲面 双叶双曲面 二次锥面 椭圆抛物面

【东南大学】《几何与代数》总复习资料共56页文档

【东南大学】《几何与代数》总复习资料共56页文档
(AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2
矩阵乘积可交换的情况: 1. 方阵 AkAl=AlAk
2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n(a En)
4. AA*A*AAE5. A A 1 A 1 A E
• 矩阵乘法消去率一般不成立.
对称矩阵: AT = A.
反对称矩阵: AT = A.
方阵: 行数=列数.
正交矩阵: QTQ = QQT = E.
正定矩阵: AT = A且x 有xTAx > 0.
可逆矩阵: AB = BA = E.
初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
《几何与代数》复习要点
矩阵乘法的交换律和消去率
• 矩阵乘法交换率一般不成立
判别解:
r1<r2无解 线
r1=r2=n
矩 唯一解, 性
r1=r2<n 阵 无穷多解

的 线性 程

方程组 Ax=b



计算

(A b) rref 用
基解:非主列变 量=e1..enr 特解:非主列 变量=0
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
零矩阵 单位矩阵
《几何与代数》复习要点
特殊矩阵
行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量. 列矩阵An1: 只有一列, 又名列向量. 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Omn或O. 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0,
常记为E或I. 数量矩阵: kE, kI, 其中k为常数.

代数与几何基础

代数与几何基础

代数与几何基础第一章:行列式和消元法1。

行列式det,对角线法则,主对角线,次对角线;第1页2。

n阶排列,逆序,逆序数,奇排列,偶排列,自然排列;第2页3。

上三角行列式,对角行列式;第4页4。

转置行列式;第8页5。

行列式的展开,vandermonde行列式;6。

行列式的子式,余子式,代数余子式;第15页7。

行列式的分解,Laplace定理;第16页8。

线形方程组,齐次/非齐次线形方程组,解集合,通解,相容/不相容;第21页9。

N元线形方程组的求解,cramer法则;第22页10。

多项式插值--根据采样值求函数;第25页11。

消元法,线形方程组的初等变换;第27页12。

矩阵,元,复矩阵,方阵,零矩阵O,单位矩阵E,同型矩阵,系数矩阵,增广矩阵,矩阵初等变换;第29页13。

矩阵的子式,方阵的行列式,矩阵的秩/rank,行满秩矩阵,列满秩矩阵,非奇异矩阵,奇异矩阵,首元,梯矩阵,行最简矩阵;第31页14。

矩阵的等价标准形;第33页15。

自由未知量--因方程数不够而多出来的无法求解的未知量;第35页第二章:几何向量及应用1。

向量的长度/模/范数;第39页2。

自由向量,径向量/径矢/向径,负向量,向量的共线/平行,正交/垂直,向量三角形加法法则,向量的数乘,向量的线形运算;第40页3。

空间仿射坐标系,右手坐标系,左手坐标系,仿射坐标;第46页4。

空间直角坐标系,横坐标,纵坐标,竖坐标,8个卦限及顺序;第48页5。

向量的标量积/内积,向量之间的投影prj;第49页6。

标量积运算特性;第50页7。

向量的方向余弦,方向角;第52页8。

向量的向量积/叉积,平行四边形法则,向量积运算特性;第53页9。

向量积在空间直角坐标系中的行列式表达;第54页10。

向量的混合积,平行六面体体积法则;第55页11。

混合积运算法则;第56页12。

法向量,点法式方程,平面的一般式方程--3元一次方程;第58页13。

平面3点式方程的行列式表达,平面的截距式方程,截距;第59页14。

张小向几何复习

张小向几何复习

定义 行 列 式 性质 计算 应用
矩阵
向量组
几 何
几何与代数总复习
一. 行列式
一阶
数 对角线法则
N ( j1 j2 ( 1) jn ) in )
行 列 式 的 定 义
低 阶
二阶
三阶
一 般
排列 组合 递推 公式
a1 j1 a2 j2
anjn ain n
(1)
N ( i1i2
ai11ai2 2

几何与代数总复习
二. 矩阵
方阵 反对称 矩阵
对称 矩阵 对角 矩阵 数量 矩阵
可逆 矩阵
行矩阵
列 矩 阵
正交 正定 初等 矩阵 矩阵 矩阵
零矩阵 单位矩阵

几何与代数总复习
二. 矩阵
行矩阵A1n: 只有一行, 又名行向量. 列矩阵An1: 只有一列, 又名列向量. 零矩阵: 每个元素都是0, 常记为Omn或O. 单位矩阵: 主对角线元素都是1, 其余元素都是0, 常记为E或I. 数量矩阵: kE, kI, 其中k为常数. 对角矩阵: diag{1, 2, …, n}, 常用表示. 对称矩阵: AT = A. 反对称矩阵: AT = A. 方阵: 行数=列数. 正交矩阵: QTQ = QQT = E. 正定矩阵: AT = A且x 有xTAx > 0. 可逆矩阵: AB = BA = E. 初等矩阵: 由单位矩阵经过一次初等变换所得.
0 例如: (1 0) 0 , 但 = 0 = (1 0) 3 2 1 0 1 0 0 0 0 0 又如: 0 0 0 2 = 0 0 = 0 0 0 0 0 0 但 0 2 0 3 . 0 0 2 3 , 0 0 0 3 ,
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