圆有关结论
圆的相关定理
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
“圆”中的实用结论与公式
“圆”中的实用结论与公式作者：薛飞来源：《初中生世界·九年级》2015年第10期圆是最完美的平面图形，在“对称图形——圆”这一章中我们学习了“等”对“等”定理、垂径定理、圆周角定理，这些定理能够帮助我们解决绝大部分问题，当然这一章中还有一些我们不知道但是非常实用的结论及公式.1. 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角.如图1，以BC为直径的圆上有一点A（异于B，C两点），那么∠BAC=90°.由此猜想：如果点A在圆内（或圆外），那么∠BAC的大小又会怎样呢？①当点A在圆内时（如图2）：由此我们可以得出如下结论：如果点A（异于B，C两点）在以BC为直径的圆上，则∠BAC=90°；如果点A（不在线段BC上）在以BC为直径的圆内，则∠BAC>90°；如果点A（不在直线BC上）在以BC为直径的圆外，则∠BAC例1 如图4，在平面直角坐标系中，以A（2，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于O，C 两点，过O点的直线l与圆交于B（2，2），问：直线l上能否找到点D（m，m）使得∠ODC为钝角，写出m的取值范围_____________.【解析】根据上述结论，要使得∠ODC为钝角，那么点D必须在圆A内部且在直线l 上，即D点在O点和B点之间（不包括O，B两点）.所以02. 圆中还有一些实用的公式例2 如图5，△ABC的周长为21，面积为42，求它的内切圆的半径.【解析】如图6，连接OA，OB，OC，OE，OF，OG（通过这些辅助线，我们可以把原△ABC的面积分成△ABO，△BOC，△AOC三个三角形面积之和）.设△ABC内切圆半径为r，原△ABC的面积为S，周长为C.答：内切圆半径为4.【点评】其实这种方法也可以推广到任意三角形中，我们可以把它当作求一般三角形内切圆半径的公式，即r=（其中S表示三角形面积，C表示三角形周长，r表示三角形的内切圆半径）.在求直角三角形内切圆半径时我们往往还会利用下面的公式.例3 如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求出Rt△ABC的内切圆半径.【解析】连接OE，OF，OG.【点评】这种求内切圆半径的方法我们可以推广到任意直角三角形.如图8，在Rt△ABC 中，∠C=90°，△ABC的内切圆半径 r=.3. 圆不仅仅是问题的背景，也经常被用来作为解决问题的辅助工具.例4 如图9，四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=AC=AD=5，BC=，求BD的长.【解析】因为题中给出了AB=AC=AD，所以以点A为圆心，AB长为半径构造圆A（如图10），那么圆A一定经过B，C，D三点，延长BA交圆A于点E，连接ED，易得BC=DE.【点评】这道题看似与圆无关，但是恰当地构造圆这个图形加以辅助，就使得这个问题简单化，从而快速地解决问题.例5 如图11，已知△ABC三个顶点都在格点上，求tan∠ACB的值.【解析】如图12在网格中利用三角形外接圆的知识确定△ABC的外接圆圆心O，由圆周角定理可知，弧AB所对的圆周角是圆心角的一半，即∠ACB=∠AOB=∠HOB，所以tan∠ACB=.【点评】网格图中求一个角的三角函数值我们有多种方法，可以构造直角三角形，也可以用面积法解决，这里我们介绍的是利用三角形外接圆的知识来转移要求的∠ACB.“对称图形——圆”是初中数学重要组成部分，也是我们解决一些问题的重要工具.以上我们总结了圆中一些比较实用的结论和三角形内切圆半径的一些公式，同时我们也认识到了对待一些看似与圆无关的题目，有时候构造恰当的圆加以辅助，往往可以使问题简单化，从而更快地解决问题.（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）。
圆的12条常用结论
圆的12条常⽤结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
如图，AB 是圆O 的⼀条弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，AC=CB ；如果AM=BM ，则CD ⊥AB ，AC=CB。
同⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半。
如图①②③，下⾯仅证明图③⼀种情况。
已知：如图，∠BAC 是弧BC 所对的圆周⾓，∠BOC 是弧BC 所对的圆⼼⾓求证：∠BAC=1/2∠BOC01垂径定理02圆周⾓与圆⼼⾓关系证明：连接O 、A 与B 、C ，则△OAC 为等腰三⾓形则∠COA=180°-2∠OAC=180°-2（∠BAC+∠BAO ）⼜因为均为等腰三⾓形所以∠BOA+2∠BAO=180°即（∠BOC+∠COA ）+2∠BAO=180°即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO ）]+2∠BAO=180°化简得∠BAC=1/2∠BOC同圆或等圆中，如果两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦、两条弦⼼距这五个量中只要有⼀组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。
直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。
如图，圆O 的两条弦AB 、CD 相交与点E ，则AE·EB=CE·ED圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。
切线与弦所夹的⾓等于它们所夹的弧所对的圆周⾓。
如图，AB 切O 于点A ，AC 是O 的⼀条弦，D 为圆上⼀点，则∠BAC=∠ADC03五等关系04直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓05相交弦定理06切线垂直于过切点的半径07弦切⾓定理证明：连接OA 、OC ，则OA ⊥AB ，即∠BAC+∠OAC ＝90°⼜因为在等腰△OAC 中，∠OAC=1/2（180°-∠AOC ）=90°-1/2∠AOC所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°即∠BAC=1/2∠AOC所以∠BAC=∠ADC如图，AB 切O 于点B ，过A 点的割线分别交O 于点C 、D ，则AB²=AC·AD 证明：连接BC 、BD ，由弦切⾓定理可知∠ABC=∠BDA⼜因为 ∠A=∠A所以△ABC ∽△ADB所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD08切割线定理如图，AB 、AC 均是O 的切线，则AB=AC 如图，AB ∥CD ，则AC=BD共斜边的两直⾓三⾓形共圆，如图①②对⾓互补的四边形四个顶点共圆。
专题：圆形相关的二级结论及推导-讲解(最全、最经典)
专题：圆形相关的二级结论及推导-讲解
(最全、最经典)
圆形作为几何学的基础，有很多重要结论和推导。
本文将为您总结和讲解圆形相关的二级结论和推导，以帮助您更好地理解和掌握。
1.圆的基本性质
圆是指平面上所有点到圆心的距离相等的点的集合。
圆的基本性质包括：
- 圆的直径是圆上任意两点之间的最长距离，且等于圆的半径的两倍。
- 圆心角是指圆心所在的角，它的度数等于圆弧所对的圆心角的一半。
- 弧长是指圆上的一段弧的长度。
圆弧所对的圆心角越大，对应的弧长也越大。
2.切线与切点
- 切线是指与圆相切的直线。
切点是切线与圆相交的点。
- 在圆上，切线与切点之间满足垂直关系。
即切线与半径的夹
角为直角。
3.正多边形外接圆的性质
- 正 $n$ 边形是指有 $n$ 条边长度相等，内角为 $\frac{(n-
2)×180^\circ}{n}$ 的多边形。
- 正 $n$ 边形外接圆的半径长为 $R =
\frac{a}{2sin\frac{180^\circ}{n}}$，其中$a$ 为正$n$ 边形的边长。
- 正 $n$ 边形外接圆的周长长为$C = 2πR =
a×n×sin\frac{180^\circ}{n}$。
4.圆锥曲线
- 圆锥曲线是指在圆锥上切割的曲线。
圆锥曲线包括四种类型：圆、椭圆、抛物线和双曲线。
- 圆锥曲线的方程可以表示为二次方程
$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$。
这些是关于圆形相关的二级结论和推导的基本内容，希望对您有所帮助。
高中圆二级结论
高中圆二级结论
在高中数学中，关于圆的二级结论有以下几个：
1.圆周角的性质：圆周角是指圆上的两条弧所对的角。
对于
同一个圆上的任意圆周角，它们所对的弧相等。
这个结论被称为圆周角的等量性质。
2.切线与半径的垂直性：从圆的任意一点引一条切线，这条
切线与通过圆心的半径垂直。
这个结论被称为切线与半径的垂直关系。
3.弦心角的性质：弦心角是指以任一弦为一边的角，其顶点
在圆上。
对于同一个圆上的两个弦心角，如果它们所对的弦相等，则这两个角相等。
这个结论被称为弦心角的等量性质。
4.弧长与圆心角的关系：圆心角所对的弧长等于该圆心角的
角度与360度的比值乘以圆的周长。
这个结论被称为圆心角的弧长性质。
这些二级结论是在对圆的基本概念和性质进行研究的基础上得出的，它们在解决与圆相关的几何问题和证明中有着重要的应用。
在高中数学教学中，深入理解和掌握这些结论，能够帮助学生更好地应用和推导圆的性质，解决各种与圆相关的问题。
圆的切线问题二级结论
圆的切线问题二级结论一、圆的切线相关二级结论1. 切线长定理- 结论：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，切点分别为A、B。
- 求证：PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
- 证明：连接OA、OB、OP。
因为PA、PB是圆O的切线，所以OA⊥PA，OB⊥ PB（切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径）。
- 在Rt△ PAO和Rt△ PBO中，OA = OB（圆的半径相等），OP = OP （公共边），所以Rt△ PAO≅ Rt△ PBO（HL定理）。
- 则PA = PB，∠ APO=∠ BPO。
2. 弦切角定理- 结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
- 题目解析- 例如：已知圆O，AB是圆O的弦，CD是圆O的切线，切点为A，∠BAC是弦切角，∠ ADC是圆周角，widehat{AC}是它们所夹的弧。
- 求证：∠ BAC=∠ ADC。
- 证明：连接AO并延长交圆O于点E，连接EC。
- 因为CD是圆O的切线，所以∠ EAC +∠ BAC = 90^∘（切线的性质）。
- 又因为AE是直径，所以∠ ACE = 90^∘，在△ ACE中，∠ EAC+∠ E = 90^∘，所以∠ BAC=∠ E。
- 而∠ E和∠ ADC所对的弧都是widehat{AC}，根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ E=∠ ADC，从而∠ BAC=∠ ADC。
3. 切割线定理- 结论：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
- 题目解析- 例如：已知圆O，点P是圆O外一点，PT是圆O的切线，切点为T，PAB是圆O的割线，A、B是割线与圆的交点。
- 求证：PT^2=PA· PB。
- 证明：连接TA、TB。
因为∠ PTA=∠ B（弦切角定理），∠ P=∠ P（公共角），所以△ PTAsim△ PBT（两角对应相等的两个三角形相似）。
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学直线与圆常用二级结论
高考数学中，直线与圆的常用二级结论有以下几个：
1. 直线与圆的位置关系：
a) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
b) 直线与圆外切：直线与圆相切于圆外切点。
c) 直线与圆内切：直线与圆相切于圆内切点。
2. 直线与圆的切线：
a) 切线的定义：直线与圆相切于圆上的一点，并且与
圆的切点垂直。
b) 切线的性质：切线与半径的夹角为直角。
3. 直线与圆的长度关系：
a) 弦：直线在圆内部的部分称为弦，弦的两个端点在
圆上。
b) 弦长定理：如果两条弦的长度相等，则它们所对应
的弧长也相等。
c) 弦切角定理：直线与圆相交于两个点，这两个点与
圆心连线所夹的角等于直线所对应的弦所对应的圆心角的
一半。
4. 直线与圆的垂直关系：
a) 直径与切线的垂直性：直径与其所对应的切线垂直。
b) 切线与半径的垂直性：切线与其所对应的半径垂直。
这些二级结论在高考数学中经常出现，考生需要熟练掌握，并能够运用到解题中。
圆的结论
1.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
2.垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧3.圆周角定理:定义: 顶点在圆上,且两边与圆还有另一个交点。
圆周角定理: 同弧所对圆周角是圆心角的一半.证明略(分类思想,3种,半径相等)弦切角定理:定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。
过点A作TP的平行线交BC于D，则∠TCB=∠CDA ∵∠TCB=90-∠OCD ∵∠BOC=180-2∠OCD 更清楚的∴,∠BOC=2∠TCB （弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB ∴∠TCB=∠CAB（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）证明已知：AC是⊙O的弦，AB 是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧. 求证：.（弦切角定理）证明：分三种情况：（1）圆心O在∠BAC的一边AC上∵AC为直径，AB切⊙O 于A，∴弧CmA=弧CA ∵为半圆, ∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角（2）圆心O在∠BAC的内部. 过A作直径AD交⊙O于D, 若在优弧m所对的劣弧上有一点E 那么，连接EC、ED、EA 则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB ∴∠CEA=∠CAB ∴（弦切角定理）（3）圆心O在∠BAC的外部, 过A作直径AD 交⊙O于D 那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90 ∴∠CDA=∠CAB ∴（弦切角定理）四圆定理:垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，OC过圆心（垂径定理）推论1 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）（2）弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧几何语言：∵AC＝BC，OC过圆心（弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧）（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧几何语言：（平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧）推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等几何语言：∵AB‖CD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。
二级结论——圆
二级结论——圆圆是数学中一个非常重要的几何形状。
它具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将探讨关于圆的二级结论。
1. 圆的周长公式圆的周长是其周围边缘的长度。
根据数学公式，圆的周长可以通过直径或半径计算。
周长公式如下：周长= 2πr 或周长= πd其中，r表示圆的半径，d表示圆的直径，π是一个常数，约等于3.。
2. 圆的面积公式圆的面积是其内部区域的大小。
根据数学公式，圆的面积可以通过半径计算。
面积公式如下：面积= πr^2其中，r表示圆的半径，π是一个常数，约等于3.。
3. 圆与其他几何形状的关系圆与其他几何形状之间有许多有趣的关系。
下面是一些常见的关系：- 圆与正方形：正方形的对角线长度等于其边长的√2倍，而这个对角线恰好是圆的直径。
- 圆与三角形：圆可以外接于某些特殊的三角形，称为外接圆。
外接圆的直径和三角形的边长之间有一定的关系。
- 圆与长方形：长方形的对角线长度等于其长和宽边长的平方和的开方，而这个对角线恰好是圆的直径。
这些关系进一步展示了圆的重要性和广泛的应用领域。
4. 圆在实际生活中的应用圆在我们的日常生活中有许多实际应用，包括但不限于以下几个方面：- 建筑设计：圆形建筑物如圆形体育场和圆形剧院。
- 交通工程：交通圆环和转盘。
- 自然界：月亮、太阳、眼球等。
圆的形状和特性使得它在各个领域都具有实际应用的价值。
通过本文的探讨，我们了解了关于圆的二级结论，包括其周长公式、面积公式、与其他几何形状的关系以及实际应用。
圆是一个重要且广泛应用的几何形状，对我们的生活和学习都有深远的影响。
初中《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
圆基本图形和结论
圆中基本图和结论
一、垂径图
二、单高图
条件：AB⊥CD（圆的内接四边形，对角线互相垂直：垂美四边形）
结论：
①∠OCA=∠BCD（6对：半径与一边的夹角等于高与另一边的夹角）
②AC2+BD2=BC2+AD2（2组：对弦的平方和等于直径的平方）
BD（4组：弦心距等于对弦的一半）
③OE=1
2
④若PH⊥AC，则直线PH过BD中点M（4组：中点对垂直）
三、双高图
①AD=AH=AF，PH=PD（垂心鸡爪型：3组）
②平行四边形AHCF
四、等腰图——圆心在三线
五、等腰图——圆心在腰上
六、角平分线图（1）
七、角平分线图（2）
八、折弦内外角平分线
条件：直径AD⊥BC
结论：①角平分线：PA平分∠BPF，PD平分∠BPC；
②旋转全等：△ABE≌△ACF，△BDM≌△DCN
③PB-PC=2PE，PB+PC=2PN
十、双切图。
圆形常结论及其结论(完全版)
圆形常结论及其结论(完全版)圆形常结论及其结论（完全版）
1. 引言
圆形常结论是数学中一类重要的命题或推论，它们与圆形相关
且具有普遍适用性。
本文将介绍一些常见的圆形常结论及其结论。
2. 直径定理
直径定理是圆形常结论中最基本且最重要的定理之一。
它表明：在任何圆中，通过圆心的直径都是最长的直线段。
3. 弧长定理
弧长定理是另一个常见的圆形常结论。
它指出：在同一个圆中，两个弧所对应的圆心角相等，则它们的弧长之比等于它们所对应的
圆心角的弧度之比。
4. 垂径定理
垂径定理是圆形常结论中与垂直关系密切相关的定理。
它表明：在任何圆中，垂直于弦的直径经过弦的中点。
5. 正弦定理
正弦定理并非专门针对圆形，但在解决圆形相关问题时常常使用。
它是三角学中的常用定理，用于计算三角形的边与角之间的关系。
6. 弧角定理
弧角定理也是处理圆形相关问题时常用的定理。
它指出：在同
一个圆中，圆心角的度数是其所对应的弧所包含的度数的两倍。
7. 结论
圆形常结论为我们解决与圆相关的问题提供了重要的线索和工具。
通过应用这些结论，我们可以简化求解过程，提高问题解决的
效率。
然而，在应用时还需注意问题的具体条件和前提，避免错误的推断。
希望本文能为读者提供有关圆形常结论的基本知识，并在解决数学问题时发挥积极的作用。
参考文献
- 张咏红. 数学常见问题解题全纪实. 北京: 高等教育出版社, 2009.
- テキストデータ。
阿氏圆的常用结论
阿氏圆是指在平面内，由一个点和它的所有连线构成的圆。
阿氏圆是一个重要的几何图形，常用的结论有：
1 关于圆的定义：圆是由一个点和它的所有连线构成的图形。
这个
点被称为圆心，连线的长度称为圆的半径。
2 圆的性质：圆是一个对称图形，所有连接圆心的线段长度相等。
因此，圆心到圆周的任意一点都是圆的直径。
3 圆的周长：圆的周长是圆周上任意两点间的距离之和。
公式为：
周长=2πr，其中r 是圆的半径。
4 圆的面积：圆的面积是圆内所有点到圆心的距离之和。
公式为：
面积=πr^2，其中r 是圆的半径。
5 两圆的位置关系：两个圆可能相交、相离、内含或相切。
6 圆的切线：切线是圆与圆外某条直线的交点的连线。
切线一般有
两条，称为切点。
7圆的垂线：垂线是圆与圆外某条直线的垂直交点的连线。
垂线只有一条，称为垂足。
8 圆的属性：圆的属性是指圆的一些性质，如圆的半径、圆的周长、
圆的面积等。
9 圆的解析式：圆的解析式是指表示圆的一种数学形式。
通常表示
为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2，其中（a，b）是圆心的坐标，r 是圆的半径。
10 圆的参数方程：圆的参数方程是指用参数来表示圆的一种数
学形式。
通常表示为x=a+r cosθ，y=b+r sinθ，其中（a，b）是圆心的坐标，r 是圆的半径，θ是参数。
11这些结论是阿氏圆的基本知识，了解这些知识可以帮助你更
好地理解和分析圆的性质。
圆中基本图形及结论
《圆的证明与计算》专题研究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点分析：1.圆中的重要定理:(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。
三、解题秘笈：1、判定切线的方法：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。
在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O 的切线；（2）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.（3）如图，以等腰△ABC 的一腰为直径作⊙O ，交底边BC 于D ，交另一腰于F ，若DE ⊥AC 于E （或E 为CF 中点），求证：DE 是⊙O 的切线.（4）如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C ，求证：CD 是⊙O 的切线.2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。
圆中一些著名的结论
如图，设 P 、Q 为 ABC 外接圆上异于三角形顶点的两点， P 关于三边 BC 、CA 、 AB 的对称点分别是 L 、 M 、 N ，且 QL 、 QM 、 QN 分别交三边 BC 、 CA 、 AB 或 其延长线于 D 、 E 、 F ，则 D 、 E 、 F 三点共线.
5.他拿定理
（5）如图，ABC 外接圆直径 EF 的两个端点关于该三角形的西姆松线 l1 和 l2 互相垂直 于 H，其交点 H 在 ABC 的九点圆上.
（6）安宁定理：以圆内接四边形任一顶点作余下三点形成的三角形的西姆松线，则这四 条西姆松线共点.
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（7）朗古来定理：在圆周上有四点，以其中任三点作三角形共有四个三角形，在圆周上 另取一点，作该点关于这四个三角形的西姆松线，再过此点向这四条西姆松线引垂线，则这 四个垂足共线.
等号成立的条件是四边形有外接圆.
推 广 （ 2 ） 三 角 形 中 的 托 勒 密 定 理 ： M 是 ABC 的 边 BC 上 一 点 ， 则
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R 六点中任取三点构成的三角形和余下三点构成的三角形的垂心，则 M 、 H1 、 H2 三点共 线且 M 是 H1H2 的中点.
推论三：△ABC 外接圆上三点 P、Q、R，若 QR 垂直于 P 关于△ABC 的西姆松线，则三
点 P、Q、R 关于△ABC 的西姆松线交于一点.
推论四：从 ABC 的顶点 A 、B 、C 分别向边 BC 、CA 、AB 引垂线，垂足分别是 D 、 E 、 F ，边 BC 、 CA 、 AB 的中点分别是 P 、 Q 、 R ，则 D 、 E 、 F 、 P 、 Q 、 R 六 点共圆，且 P 、 Q 、 R 关于 DEF 的西姆松线交于一点.
设 P 、 Q 为关于 ABC 外接圆的一对反演点， P 关于三边 BC 、 CA 、 AB 的对称 点分别是 L 、 M 、 N ，且 QL 、QM 、QN 分别交三边 BC 、CA 、AB 或其延长线于 D 、 E 、 F ，则 D 、 E 、 F 三点共线.
圆周运动的临界问题结论总结
圆周运动的临界问题结论总结圆周运动的临界问题结论总结1. 引言：圆周运动是物理学中的一个重要问题，涉及到质点在圆周轨道上运动的临界条件和相关结论。
通过对圆周运动的深入研究和分析，我们可以更好地理解质点运动的性质以及相应的临界条件。
2. 圆周运动的基本定义和参数：圆周运动是指质点沿着固定半径的圆周轨道做匀速运动。
它的参数包括半径r、角速度ω和线速度v等。
圆周运动的关键特征是质点受到向心力的作用，它的大小与质点的质量m、角速度ω和半径r有关，即F = mω²r。
3. 圆周运动的临界条件：圆周运动会出现临界情况，当质点的向心力等于或超过受力的上限时，圆周运动将发生变化。
这个临界条件可以用一个重要的方程来表示：F = mv²/r = mω²r。
当F > mω²r时，质点将脱离圆周轨道，产生离心力；当F = mω²r时，质点保持在圆周轨道上做匀速运动，达到临界情况。
4. 圆周运动的结论总结：通过对圆周运动的分析，我们可以得出以下结论：4.1 向心力是使质点保持在圆周轨道上运动的重要力量，它提供了质点的必要的向心加速度，进而产生了向心力。
4.2 圆周运动的临界条件是质点所受向心力等于或超过受力上限，当向心力小于受力上限时，质点无法保持在圆周轨道上做匀速运动。
4.3 圆周运动的临界条件方程为F = mω²r，其中F是向心力，m是质点的质量，ω是角速度，r是运动半径。
4.4 圆周运动的临界条件可以帮助我们计算或推导质点的角速度、线速度、运动半径等参数，从而更加深入地了解质点运动的性质。
5. 我的个人观点和理解：圆周运动的临界问题是一个非常有趣且重要的物理学问题。
通过对临界条件的研究和理解，我们可以更好地把握物体在圆周轨道上运动时的行为特征，推导出相关的运动参数，并进行定量分析。
这样，我们可以更深入、全面地了解物体运动的规律和特点，为实际问题的解决提供有力支持。
圆内弦互相垂直结论-概述说明以及解释
圆内弦互相垂直结论-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:圆内弦互相垂直是一个几何学中的重要结论，它描述了当一个圆内的两条弦相交时，它们的交点与圆心所形成的两个角互相垂直。
这个结论在解决许多与圆相关的几何问题时非常有用。
本文将介绍这一结论的证明方法以及其应用范围。
在几何学中，圆是一个非常基础且重要的图形。
而圆内弦作为直径以外一种特殊的弦，它与圆的关系一直备受关注。
在研究圆内弦的性质时，我们发现了一个有趣而且实用的结论，即圆内的两条弦相交时，它们的交点与圆心所形成的两个角是互相垂直的。
这一结论的证明方法可以通过运用几何学中的一些基本定理和性质来进行推导。
我们可以利用弦与弦的交角等于其对应弧所对应的圆心角的一半这一性质，以及互补角的性质来进行证明。
通过具体的几何图形的分析和角度的计算，我们可以得出这一结论成立的证明。
除了证明过程，圆内弦互相垂直的结论在实际应用中也有广泛的应用。
例如在测量和绘制圆弧时，我们可以利用这个结论来准确确定弦的位置和角度。
此外，在求解与圆相关的各种几何问题时，这一结论也为我们提供了一个有效的解题方法。
因此，了解和掌握圆内弦互相垂直的结论对于学习和应用几何学都具有重要的意义。
在本文的后续部分，我们将进一步介绍圆内弦互相垂直的具体证明方法，并通过一些实例来展示其应用。
通过深入理解和掌握这个重要的结论，读者将能更好地应用几何学知识解决实际问题，并增强对几何学的兴趣和理解。
接下来，我们将详细讨论第一个要点，即圆内弦互相垂直的证明过程。
文章结构部分应该简要介绍本文的整体结构和内容安排。
下面是对1.2文章结构部分的内容描述：本文主要由引言、正文和结论三个部分组成。
引言部分（Chapter 1）将介绍本文的概述、文章结构和目的。
首先，文章将总体说明圆内弦互相垂直的概念以及该结论的重要性。
接着，文章将明确阐述本文的章节组成和主要内容安排。
最后，文章将明确阐述本文的目的，即为读者提供关于圆内弦互相垂直结论的详细说明和解释。
初二数学圆的常用结论和性质
初二数学圆的常用结论和性质一、圆的基本概念在初二的数学学习中，我们会接触到圆的相关知识。
圆是由平面上与一个确定点的距离相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，其中圆心是圆上任意一点到圆的直径上所有点的中垂线的交点。
二、弧和弦1. 弧：圆上两点间的弧是这两点所对的圆心角所确定的弧。
弧长是弧的长度，以弧度表示。
2. 弦：圆上两点间的弦是这两点所确定的圆内的线段。
三、圆心角及其性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于它所对应的弧长的度数。
2. 弧度和圆心角的关系：一个圆心角的弧度等于这个圆心角对应的弧段长度与圆的半径的比值。
3. 同弧的圆心角相等：在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等。
4. 同圆弧所对的圆心角相等：如果两个圆的圆心角所对的圆弧相等，那么这两个圆心角也相等。
四、垂直弦定理如果在圆上两条弦垂直相交，那么每条弦所对的圆心角互为对补角。
五、弧所对圆心角的性质1. 弧所对的圆心角相等：在同一个圆上，两个等长的弦所对的圆心角相等。
2. 弧所对的圆心角是锐角（直角、钝角）：在同一个圆上，两个切线所对的圆心角是锐角（直角、钝角）。
六、切线和弦的性质1. 切线的性质：切线与半径垂直。
2. 切线与切线的性质：如果两条切线相交，交点在两切点连线的延长线上。
3. 切线与弦的性质：一个圆的切线与它所对的弦垂直。
七、弦切角及其性质1. 弦切角：弦所对的圆所切的两条切线所夹的角叫做弦切角。
2. 弦切角的性质：弦切角等于它所对的圆心角。
八、垂径定理如果直径AB是弦CD所在直径的一部分，那么直径AB与弦CD 之间的两个角互为对补角。
九、余弦定理在一个圆中，以A、B、C为圆上三点，AC是AB所在弦的一部分，那么AC和BC之间的夹角的余弦等于AB与弦CD之间的夹角的正弦，即cos∠ACB = sin∠ACD。
十、弦长与圆心角之间的关系对于同一个圆上的弦，弦长相等的两个弦所对的圆心角相等，而对于相等的圆心角，这两个圆心角所对的弦长也相等。
圆中的基本结论
圆中的基本结论1. 内心伴随外接圆，必有等腰三角形。
2.△ABC内心为I，外心为O。
设R,r分别是△ABC的外接圆，内切圆半径，则OI^2=R^2-2Rr3.如图，E是△ABC的内心，AE交BC于D,交△ABC外接圆于F，过F的△ABC外接圆的切线交AB,AC的延长线于M,N,则（1）BC∥MN（2）EF^2/FA^2=MB/MA4.垂心伴随外接圆，必有平行四边形。
5.如图，△ABC内接于圆O,CD⊥AB,BE⊥AC,则DE⊥AO6.垂心组：以三点为三角形的顶点，另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组，由此即知，垂心组中的四点，每一点都可以为其余三点为顶点的三角形的垂心。
7.垂心组的四个三角形的外接圆是等圆。
8.如图，设Rt△ABC的各边长分别为a,b,c(斜边），圆O为△ABC内切圆，则（1）r=(a+b+c)/2（2）R=ab/a+b+c（3）S△ABC=AE*BE9.凡直角处的内切圆必然伴随着正方形。
10.如图，圆I内切于△ABC,则PF*DE=PE*FD11.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90,点O在BC上，圆O切AC,AB于C,D,交BC 于E,连CD,DE,则：（1）AO∥DE,AO⊥CD（2）△BOD∽△BAC,△BDE∽△BCD12.如图，已知半圆O，AB为直径，AC,BD都为AB的垂线，P为弧AB上一点，过P作半圆的切线分别交AC和BD于M,N.进一步连线，可推出多个结论：（1）∠MON=90（2）AM*BN=OA^2=OB^2（3）过P作PG⊥AB于Q,连AN,BM,则PQ,AN,BM三线共点G（4）PG=QG13.14. 15. 16.17.18.A B*CD+AD*BC=BD*AC19.如图，设∠APB=2a,PH平分∠APB,则PA+PB=2PHcosa20如图，过圆的弦AB的中点M引任意两条弦CD,EF,连ED,CF分别交AB于P,Q,则PM=QM。
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1.如图，弧AB 的度数为m ，弧CD 的度数为n ，则
1()2APB m n ∠=- 1()2
APB m n ∠=+ 2.如图，ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，则
2b c a AE AF +-== 2
a b c r +-= 2a c b BD BE +-== 1()2
ABC S a b c r ∆=++⋅12ab = 2a b c CD CF +-== ab r a b c
=++ 1()2
ABC S a b c r ∆=++⋅ （r 为ABC ∆内切圆的半径） 3.如图
AD BC AB CD +=+ PCD ∆的周长=22PA PB = 12
COD AOB ∠=∠ 外切偶数边形相间各边的和相等 0180AOB P ∠+∠=
4.同一圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距分别为3r 、4r 、6r ，边长分别为3a 、
4a 、6a ，则3r ：4r ：6r 1=
3a ：4a ：6a ：1
正n 多边形的面积：12
n S p r =
⋅ （p 是周长，r 是边心距） 5.
0180A C B D ∠+∠=∠+∠=
S 圆环=21()2AB π⋅ 6. 弧长公式： 180
n r l π= 扇形面积公式：2360n r S π=12
l r =⋅ （l 是弧长） 7.圆锥侧面积公式：
S 侧=rl π 0360
r n l =（r 是圆锥底面圆的半径，l 是母线长，n 圆锥侧面展开图的圆心角）
如果圆锥的轴截面是等边三角形，那么圆锥的侧面展开图是半圆
8.三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等
三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等
六．《圆》中常见分类讨论的填空题
1.⊙O 的直径为50cm ，弦AB CD P ,且40AB cm =,48CD cm =，则AB 与CD 间的 距离是
2.圆内接等腰三角形ABC 中，圆心到BC 的距离为3cm ，圆的半径为7cm ，则腰AB 的长为
3.点O 为ABC ∆的外心，若0150BOC ∠=，则BAC ∠=
4.若⊙O 的半径为4，弦AB =AB 所对的圆周角的度数为
5. ⊙O 的半径为1，弦AC ，弦AB =BAC ∠=
6. 已知⊙O 半径为5，⊙O 与⊙P 相切
（1）若6OP =,则⊙P 的半径为
（2）若4OP =,则⊙P 的半径为
7.已知⊙1O 与⊙2O 相交于AB ，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为3，4AB =， 则12O O =
8.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若AB=2CD,则弧AB 和弧CD 的大小关系是
9.⊙O 中，AB 、CD 是弦，若弧AB 和弧CD,则AB 2CD。