矢量算符
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2 2 2 2 2 = h12 dx1 + h2 dx2 + h3 dx3
其中
x 2 y 2 z 2 hi = ( ) + ( ) + ( ) xi xi xi
(i = 1,2,3)
称拉梅系数,正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述. (2) 哈密顿算符 ,梯度,散度,旋度及拉普拉斯算 梯度,散度, 符 2 在正交曲线坐标系下的一般表达式
r ∴ ′r = = r r
( ′)
梯度的概念重要性在于,它用来表征 标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的 程度. 3. 矢量场的散度: (1) 通量 一个矢量场通过 ds 面元的通量为
d Φ = A cos θ dS = A dS
通过S面的通量为
Φ = ∫∫ A dS
s
通过闭合曲面S的通量为
1 = h1h2 h3
2
h2 h3 h3 h1 ( )+ ( ) x 2 h2 x 2 x1 h1 x1
h1 h2 ( ) + x3 h3 x3
其中
e1 , e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢;
= ( x1 , x 2 , x 3 )
是一个标量函数;
A = A ( x1 , x 2 , x3 ) = A1e1 + A2 e 2 + A3 e3 是一个 矢量函数.
1 2 u 1 u u= 2 (r )+ 2 (sin θ ) r r r r sin θ θ θ 2 1 u + 2 2 2 r sin θ φ
2
6. 算符的运算 (1)一阶微分运算 一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场, 即分别得到梯度,散度和旋度,即
, A , × A
∫
L
A dl = ∫∫ ( × A) dS
S
它将任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线 为界的任意曲面的面积分,反之亦然.
5.正交曲线坐标系
(1)拉梅系数 拉梅系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标,x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标,长度元的平方表示为
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
2 2 2
ez z gz g x y
2g y
2g y
(c) (ψ ) = ψ + ψ
这些都叫一阶微分运算.
(2)二阶微分运算 二阶微分运算 将算符 作用于梯度,散度和旋度,则称 为二阶微分运算,设 ( x ) 为标量场, g ( x ) , f ( x ) 为矢量场.
并假设 和 g , f 的分量可连续微商,则不难得到: (a)标量场的梯度必为无旋场
× ( ) = 0
(b)矢量场的旋度必为无散场
4. 矢量场的旋度
(1)矢量场 的环量 矢量场 将矢量场 A(x ) 沿一条有向闭合曲线L的线积分
称为 A 沿该曲线L的环量. (2)旋度 (2)旋度
c = ∫ A dl
L
设闭合曲线L围着面积 S , 当 S → 0 时, A 对L的环量 与 S 之比的极限称为 A 的旋度沿该面法线的分量
(rotA) n 或
的正源;当div A < 0 ,表示该点有吸收通量的负源; 当div A,表示该点为无源场. =0 (3)高斯定理 高斯定理
∫∫ A ds = ∫ AdV
s V
它将一个闭合曲面的面积分转为该曲面所包围体积 一个闭合曲面的面积分 一个闭合曲面的面积分 曲面所包围体积 体积分,反之亦然. 的体积分
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1.矢量代数
源点位矢:
x′ = x′ex + y′ey + z ′ez
场点位矢:
x = xex + yey + zez
x
r
x′
r = x x′
1)标量积
= ( x x′)ex + ( y y′)ey + ( z z ′)ez
a b = ax bx + a y by + az bz = ab cos θ
eφ φ rAφ
1 ez r z Az
Ar Az 1 Az Aφ =( )er + ( )eφ r φ z z r 1 1 Ar + (rAφ ) ez r φ r r
c) 球坐标系
坐标变量:
( x1 , x2 , x3 ) = (r ,θ , φ )
与笛卡儿坐标的关系:
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ
电动力学导论
INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS
引
言
电动力学的研究对象: 电磁场的基本属 性,运动规律以及它和带电物质之间的相互 作用. 电动力学的研究内容: 阐述宏观电磁场 理论,根据实验定律建立Maxwell方程组.研 究稳恒电场和磁场,迅变电磁场及电磁场运 动规律的参考系问题.
拉梅系数:
h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sin θ
1 1 = er + eθ + eφ r r θ r sin θ φ
u 1 u 1 u u = er + eθ + eφ r θ r sin θ φ r
1 2 1 A = 2 (r Ar ) + (sin θ Aθ ) r r r sin θ θ 1 Aφ + r sin θ φ
a × (b × c ) = (a c )b (a b )c
(a × b ) × c = (c a )b (c b )a
2. 标量场的梯度
标量场: ( x, y, z )
d = dx + dy + dz x y z = grad dx = dx
= ex + ey + ez x y z
= er + eφ + ez r rφ z
u 1 u u u = er + eφ + ez r r φ z 1 1 Aφ Az A = (rAr ) + + r r r φ z
1 u 1 u u u= (r ) + 2 + 2 2 r r r r φ z
2 2 2
1 er r × A = r Ar
( × g ) = 0
(c)无旋场可表示一个标量场的梯度
若 × g = 0 , 则 g =
(d)无散场可表示一个矢量场的旋度
若 g = 0 , 则g = × f
(e)标量场的梯度的散度为
( ) = ( ) + ( ) + ( ) x x y y z z 2 2 2 = 2 + 2 + 2 x y z =
2
(f)矢量场的旋度的旋度为
× ( × g ) = ( g ) 2 g (3) 运算于乘积
(a) × ( ) = 0
ex × ( ) = x x
ey y y
ez z z
2 2 2 2 = ex y z z y + e y z x x z 2 2 + ez xy yx =0
笛卡儿坐标:
= ex + ey + ez x y z
例子:
′) 2 + ( y y′) 2 + ( z z ′) 2 r = (x x
r r r ′r = ex + ey + ez x′ y′ z ′ r ( x x′) r ( y y′) r ( z z ′) = , = , = x′ y′ z ′ r r r
(b) ( × g ) = 0
ex e y ( × g ) = e x x + e y y + e z z x y g x gy g z g y g x g z g y = y z + y z x + z x x gx gz 2gx gz = + + x y x z y z z x z x z y =0
Φ=
(2)散度 散度
∫∫ A dS
s
设封闭曲面S所包围的体积为V ,则
∫∫ A ds / V
s
就是矢量场 A(x ) 在V中单位体积的平均通量,或者 平均发散量.当闭合曲面s 及其所包围的体积 V 向 其内某点 M (x ) 收缩时,若平均发散量的极限值存在, 便记作 ∫∫ A ds divA = A = lim s V →0 V 称为矢量场 A(x ) 在该点的散度(div是divergence的 缩写). 散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程 度,当div A > 0 ,表示该点有散发通量
ey y Ay
2
ez z Az
2
= + + 2 2 x y z 2
b) 圆柱坐标系 坐标变量:
( x1 , x2 , x3 ) = (r , φ , z )
与笛卡儿坐标的关系:
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z
拉梅系数: h1 = 1, h2 = r, h3=1
er × A =
1 r 2 s in θ r Ar
eθ
1 r s in θ θ r Aθ
eφ
1 r
φ r s i n θ Aφ
1 = r sin θ
Aθ θ (sin θ Aφ ) φ 1 Ar + (rAθ ) eφ r r θ
1 1 Ar er + r sin θ φ r (rAφ ) eθ
a (b + c ) = a b + a c
2) 矢积:
a × b = b × a ex ey ez a × b = ax a y az bx by bz = (a y bz az by )ex + (az bx ax bz )ey + (ax by a y bx )ez
3)混合积
a (b × c ) = (a × b ) c = (c × a ) b
1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 A= h1 h2 h3 (h2 h3 A1 ) + (h3 h1 A2 ) + (h2 h1 A3 ) x 2 x 3 x1
学习参考书: [1]郭硕鸿.电动力学(第二版).北京:高等 教育出版社,1997. [2]曹昌祺.电动力学(第二版).北京:人民 教育出版社,1962. [3] J.D.杰克逊,朱培豫译.经典电动力学 (上,下).北京:人民教育出版社,1980.
矢量分析
矢量代数 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 正交曲线坐标系 微分算符的运算 常用的几个重要公式
∫ = lim
s → 0
L
A dl s
当S → 0时
∫
A dl = (rotA) S
rotA = × A
此式称为矢量场 A(x ) 的旋度(rot是 rotation缩写).
旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流 强弱的程度,如果场中处处rot A = 0 称为无旋场. (3)斯托克斯定理(Stoke's Theorem) 斯托克斯定理( 斯托克斯定理 )
h1e1 1 × A = h1 h2 h3 x1 h1 A1 e1 = h2 h3
h2 e2 x2 h2 A2
h3 e3 x3 h3 A3
( h3 A3 ) ( h2 A2 ) x3 x2 e2 + ( h1 A1 ) ( h3 A3 ) h1 h3 x3 x1 e3 + h1 h2 ( h2 A2 ) ( h1 A1 ) x2 x1
学习目的和意义: 学习目的和意义: (1) 掌握电磁场的基本规律,加深对电磁场 性质和时空概念的理解; (2)获得本课程领域内分析和处理一些基本 问题的初步能力,为以后解决实际问题打下基 础; (3)通过电磁场运动规律和狭义相对论的学 习,更深刻领会电磁场的物质性; (4) 现代生产实践和科学技术领域都要涉及 与电磁场有关的问题.
(3) 不同坐标系中的微分表达式 a) 笛卡儿坐标 x1=x, x2=y, x3=z h1=1,h2=1,h3=1
= ex + ey + ez x y z
= ex + ey + ez x y z Ax A y Az A= + + x y z ex × A = x Ax
2 2
其中
x 2 y 2 z 2 hi = ( ) + ( ) + ( ) xi xi xi
(i = 1,2,3)
称拉梅系数,正交坐标系完全由三个拉梅系数h1, h2, h3来描述. (2) 哈密顿算符 ,梯度,散度,旋度及拉普拉斯算 梯度,散度, 符 2 在正交曲线坐标系下的一般表达式
r ∴ ′r = = r r
( ′)
梯度的概念重要性在于,它用来表征 标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的 程度. 3. 矢量场的散度: (1) 通量 一个矢量场通过 ds 面元的通量为
d Φ = A cos θ dS = A dS
通过S面的通量为
Φ = ∫∫ A dS
s
通过闭合曲面S的通量为
1 = h1h2 h3
2
h2 h3 h3 h1 ( )+ ( ) x 2 h2 x 2 x1 h1 x1
h1 h2 ( ) + x3 h3 x3
其中
e1 , e2 , e3 为正交曲线坐标系的基矢;
= ( x1 , x 2 , x 3 )
是一个标量函数;
A = A ( x1 , x 2 , x3 ) = A1e1 + A2 e 2 + A3 e3 是一个 矢量函数.
1 2 u 1 u u= 2 (r )+ 2 (sin θ ) r r r r sin θ θ θ 2 1 u + 2 2 2 r sin θ φ
2
6. 算符的运算 (1)一阶微分运算 一阶微分运算 将算符 直接作用于标量场和矢量场, 即分别得到梯度,散度和旋度,即
, A , × A
∫
L
A dl = ∫∫ ( × A) dS
S
它将任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线 为界的任意曲面的面积分,反之亦然.
5.正交曲线坐标系
(1)拉梅系数 拉梅系数 设x,y,z是某点的笛卡儿坐标,x1, x2, x3是这点的 正交曲线坐标,长度元的平方表示为
dl 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
2 2 2
ez z gz g x y
2g y
2g y
(c) (ψ ) = ψ + ψ
这些都叫一阶微分运算.
(2)二阶微分运算 二阶微分运算 将算符 作用于梯度,散度和旋度,则称 为二阶微分运算,设 ( x ) 为标量场, g ( x ) , f ( x ) 为矢量场.
并假设 和 g , f 的分量可连续微商,则不难得到: (a)标量场的梯度必为无旋场
× ( ) = 0
(b)矢量场的旋度必为无散场
4. 矢量场的旋度
(1)矢量场 的环量 矢量场 将矢量场 A(x ) 沿一条有向闭合曲线L的线积分
称为 A 沿该曲线L的环量. (2)旋度 (2)旋度
c = ∫ A dl
L
设闭合曲线L围着面积 S , 当 S → 0 时, A 对L的环量 与 S 之比的极限称为 A 的旋度沿该面法线的分量
(rotA) n 或
的正源;当div A < 0 ,表示该点有吸收通量的负源; 当div A,表示该点为无源场. =0 (3)高斯定理 高斯定理
∫∫ A ds = ∫ AdV
s V
它将一个闭合曲面的面积分转为该曲面所包围体积 一个闭合曲面的面积分 一个闭合曲面的面积分 曲面所包围体积 体积分,反之亦然. 的体积分
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1.矢量代数
源点位矢:
x′ = x′ex + y′ey + z ′ez
场点位矢:
x = xex + yey + zez
x
r
x′
r = x x′
1)标量积
= ( x x′)ex + ( y y′)ey + ( z z ′)ez
a b = ax bx + a y by + az bz = ab cos θ
eφ φ rAφ
1 ez r z Az
Ar Az 1 Az Aφ =( )er + ( )eφ r φ z z r 1 1 Ar + (rAφ ) ez r φ r r
c) 球坐标系
坐标变量:
( x1 , x2 , x3 ) = (r ,θ , φ )
与笛卡儿坐标的关系:
x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ
电动力学导论
INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS
引
言
电动力学的研究对象: 电磁场的基本属 性,运动规律以及它和带电物质之间的相互 作用. 电动力学的研究内容: 阐述宏观电磁场 理论,根据实验定律建立Maxwell方程组.研 究稳恒电场和磁场,迅变电磁场及电磁场运 动规律的参考系问题.
拉梅系数:
h1 = 1 , h2 = r , h3 = r sin θ
1 1 = er + eθ + eφ r r θ r sin θ φ
u 1 u 1 u u = er + eθ + eφ r θ r sin θ φ r
1 2 1 A = 2 (r Ar ) + (sin θ Aθ ) r r r sin θ θ 1 Aφ + r sin θ φ
a × (b × c ) = (a c )b (a b )c
(a × b ) × c = (c a )b (c b )a
2. 标量场的梯度
标量场: ( x, y, z )
d = dx + dy + dz x y z = grad dx = dx
= ex + ey + ez x y z
= er + eφ + ez r rφ z
u 1 u u u = er + eφ + ez r r φ z 1 1 Aφ Az A = (rAr ) + + r r r φ z
1 u 1 u u u= (r ) + 2 + 2 2 r r r r φ z
2 2 2
1 er r × A = r Ar
( × g ) = 0
(c)无旋场可表示一个标量场的梯度
若 × g = 0 , 则 g =
(d)无散场可表示一个矢量场的旋度
若 g = 0 , 则g = × f
(e)标量场的梯度的散度为
( ) = ( ) + ( ) + ( ) x x y y z z 2 2 2 = 2 + 2 + 2 x y z =
2
(f)矢量场的旋度的旋度为
× ( × g ) = ( g ) 2 g (3) 运算于乘积
(a) × ( ) = 0
ex × ( ) = x x
ey y y
ez z z
2 2 2 2 = ex y z z y + e y z x x z 2 2 + ez xy yx =0
笛卡儿坐标:
= ex + ey + ez x y z
例子:
′) 2 + ( y y′) 2 + ( z z ′) 2 r = (x x
r r r ′r = ex + ey + ez x′ y′ z ′ r ( x x′) r ( y y′) r ( z z ′) = , = , = x′ y′ z ′ r r r
(b) ( × g ) = 0
ex e y ( × g ) = e x x + e y y + e z z x y g x gy g z g y g x g z g y = y z + y z x + z x x gx gz 2gx gz = + + x y x z y z z x z x z y =0
Φ=
(2)散度 散度
∫∫ A dS
s
设封闭曲面S所包围的体积为V ,则
∫∫ A ds / V
s
就是矢量场 A(x ) 在V中单位体积的平均通量,或者 平均发散量.当闭合曲面s 及其所包围的体积 V 向 其内某点 M (x ) 收缩时,若平均发散量的极限值存在, 便记作 ∫∫ A ds divA = A = lim s V →0 V 称为矢量场 A(x ) 在该点的散度(div是divergence的 缩写). 散度可用来表征空间各点矢量场发散的强弱程 度,当div A > 0 ,表示该点有散发通量
ey y Ay
2
ez z Az
2
= + + 2 2 x y z 2
b) 圆柱坐标系 坐标变量:
( x1 , x2 , x3 ) = (r , φ , z )
与笛卡儿坐标的关系:
x = r cos φ , y = r sin φ , z = z
拉梅系数: h1 = 1, h2 = r, h3=1
er × A =
1 r 2 s in θ r Ar
eθ
1 r s in θ θ r Aθ
eφ
1 r
φ r s i n θ Aφ
1 = r sin θ
Aθ θ (sin θ Aφ ) φ 1 Ar + (rAθ ) eφ r r θ
1 1 Ar er + r sin θ φ r (rAφ ) eθ
a (b + c ) = a b + a c
2) 矢积:
a × b = b × a ex ey ez a × b = ax a y az bx by bz = (a y bz az by )ex + (az bx ax bz )ey + (ax by a y bx )ez
3)混合积
a (b × c ) = (a × b ) c = (c × a ) b
1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 1 1 = e1 + e2 + e3 h1 x1 h2 x 2 h3 x 3 1 A= h1 h2 h3 (h2 h3 A1 ) + (h3 h1 A2 ) + (h2 h1 A3 ) x 2 x 3 x1
学习参考书: [1]郭硕鸿.电动力学(第二版).北京:高等 教育出版社,1997. [2]曹昌祺.电动力学(第二版).北京:人民 教育出版社,1962. [3] J.D.杰克逊,朱培豫译.经典电动力学 (上,下).北京:人民教育出版社,1980.
矢量分析
矢量代数 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 正交曲线坐标系 微分算符的运算 常用的几个重要公式
∫ = lim
s → 0
L
A dl s
当S → 0时
∫
A dl = (rotA) S
rotA = × A
此式称为矢量场 A(x ) 的旋度(rot是 rotation缩写).
旋度可用以表征矢量在某点附近各方向上环流 强弱的程度,如果场中处处rot A = 0 称为无旋场. (3)斯托克斯定理(Stoke's Theorem) 斯托克斯定理( 斯托克斯定理 )
h1e1 1 × A = h1 h2 h3 x1 h1 A1 e1 = h2 h3
h2 e2 x2 h2 A2
h3 e3 x3 h3 A3
( h3 A3 ) ( h2 A2 ) x3 x2 e2 + ( h1 A1 ) ( h3 A3 ) h1 h3 x3 x1 e3 + h1 h2 ( h2 A2 ) ( h1 A1 ) x2 x1
学习目的和意义: 学习目的和意义: (1) 掌握电磁场的基本规律,加深对电磁场 性质和时空概念的理解; (2)获得本课程领域内分析和处理一些基本 问题的初步能力,为以后解决实际问题打下基 础; (3)通过电磁场运动规律和狭义相对论的学 习,更深刻领会电磁场的物质性; (4) 现代生产实践和科学技术领域都要涉及 与电磁场有关的问题.
(3) 不同坐标系中的微分表达式 a) 笛卡儿坐标 x1=x, x2=y, x3=z h1=1,h2=1,h3=1
= ex + ey + ez x y z
= ex + ey + ez x y z Ax A y Az A= + + x y z ex × A = x Ax
2 2