最新高考数学总复习经典练习题--集合·(理)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习01 集合(解析版)
高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。
新高考2023版高考数学一轮总复习练案1第一章第一讲集合
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式第一讲 集合一、单选题1．已知集合M＝{x|x2－x－6＝0}，则下列表述正确的是( D )A．{－2}∈M B．2∈MC．－3∈M D．3∈M[解析] ∵集合M＝{x|x2－x－6＝0}．∴集合M＝{－2,3}，∴－2∈M,3∈M，故选D.2．(2019·课标全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(∁U A)＝( C )A．{1,6} B．{1,7}C．{6.7} D．{1,6,7}[解析] 依题意得∁U A＝{1,6,7}，故B∩(∁U A)＝{6,7}．故选C.3．(2021·全国甲)设集合M＝{x|0<x<4}，N＝，则M∩N＝( B )A． B．C．{x|4≤x<5} D．{x|0<x≤5}[解析] 由得≤x<4，故选B.4．已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( A )A．7个 B．8个 C．15个 D．16个[解析] ∵集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}＝{x∈N*|－1<x<4}＝{1,2,3}，∴集合A中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．5．(2021·山东新高考模拟)设集合A＝{(x，y)|x＋y＝2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝( C )A．{(1,1)} B．{(－2,4)}C．{(1,1)，(－2,4)} D．∅[解析] A∩B＝＝＝{(1,1)，(－2,4)}，故选C.6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( D )A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2[解析] 集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图，可知a≥2.7．(2021·广东肇庆二模，1)图中阴影部分所对应的集合是( C )A．(A∪B)∩(∁U B)B．∁U(A∩B)C．(∁U(A∩B))∩(A∪B)D．(∁U(A∪B))∪(A∩B)[解析] 由题意可得(A∩(∁U B))∪(B∩(∁U A))＝((∁U A)∪(∁U B))∩(A∪B)＝(∁U(A∩B))∩(A∪B)，故选C.思路分析 阴影的左边部分在A内且在B外，转化为集合语言A∩(∁U B)，阴影的右边部分在B内且在A外，转化为集合语言B∩(∁U A)，取两个集合的并集再化简即可．二、多选题8．已知集合M⊆{4,7,8}，且M中至多有一个偶数，则这样的集合M可以为( ABD )A．{4,7} B．∅C．{4,7,8} D．{7}[解析] 由题意，M＝∅，{7}，{4,7}，{7,8}，{4}，{8}，共六个，对照选项，A、B、D均可．故选A、B、D.9．(2021·济宁高三月考)已知集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，则集合B 可能为( AD )A．{1,2,5} B．{2,3,5}C．{0,1,5} D．{1,2,3,4,5}[解析] 集合A＝{2,3,4}，集合A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以集合B中必有元素1和5，且有元素2,4,4中的0个，1个，2个或3个都可以，A、D符合，B、C不符合．10．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(CD )A．A∪B＝BB．(∁R B)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}D．(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}[解析] 因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．(∁R B)∪A＝{x|x≤2或x>3}，(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}．三、填空题11．(2021·上海，2,4分)已知A＝{x|2x≤1}，B＝{－1,0,1}，则A∩B＝ { －1,0} .[解析] 由题意得A＝，又B＝{－1,0,1}，所以A∩B＝{－1,0}．12．2∈{x2＋x,2x}，则x＝ －2 ；－2∉{x2＋x,2x}，则x≠ 0且x ≠1且x ≠－ 1 .[解析] x2＋x＝2得x＝－2或1(舍去)，2x＝2得x＝1(舍去)，综上x＝－2；不属于按属于处理，－2＝x2＋x无解．－2＝2x，得x＝－1，又x2＋x与2x不同，∴x≠0,1.13．设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2,3}，则m＝4 .[解析] 因为S＝{1,2,3,4}，∁S A＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x ＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.14．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝(2,3)，A∪B＝ (1,4) ，(∁R A)∪B＝ ( －∞，1]∪(2 ，＋∞) .[解析] 由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∩B＝{x| 2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁R A)∪B＝(x|x≤1或x>2)．15．已知集合A＝，B＝{x|x<2m－1}，且A⊆∁R B，则m的最大值是 .[解析] 依题意，A＝＝，∁R B＝{x|x≥2m－1}，又A⊆∁R B，所以2m－1≤，解得m≤.故m的最大值为.B组能力提升1．(多选题)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}．若A∪B＝A，则m＝( AD ) A．0 B．1 C． D．3[解析] 本题考查根据集合间关系求参数．因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m＝3或m＝，若m＝3，则A＝{1,3，}，B＝{1,3}，满足A∪B＝A.若m＝，解得m＝0或m＝1.当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，满足A∪B＝A.当m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足集合元素的互异性．综上，m＝0或m＝3，故选AD.2．(2021·北京人大附中月考)定义集合运算：A★B＝{z|z＝x2－y2，x∈A，y∈B}．设集合A＝{1，}，B＝{－1,0}，则集合A★B的元素之和为( C )A．2 B．1 C．3 D．4[解析] 当时，z＝0；当或时，z＝1；当时，z＝2.∴A★B＝{0,1,2}，A★B所有元素之和为0＋1＋2＝3.故选C.3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝( D )A．(2,3] B．∅C．[－1,0)∪(2,3] D．[－1,0]∪(2,3][解析] 集合U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x| log2x≤1}＝{x|0<x≤2}，所以∁U B＝{x|x≤0或x>2}，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x≤0或2<x≤3}＝[－1,0]∪(2,3]，故选D.4．(2022·湖北孝感模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－2x)}，B＝{x|x2≤x}，则∁A∪B(A∩B)＝( C )A．(－∞，0) B．C．(－∞，0)∪ D．[解析] 根据题意可知A＝，B＝[0,1]，所以A∪B＝(－∞，1]，A∩B＝，所以∁A∪B(A∩B)＝(－∞，0)∪，故选C.5．已知集合A＝{x∈R|x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝ －1 ，n＝ 1 .[解析] A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.。
集合-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第2题
6．(2021年新高考Ⅰ卷·第1题)设集合 ， ，则 ()
A． B． C． D．
【答案】B
解析:由题设有 ，故选B．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第1题
7．(2020年新高考I卷(山东卷)·第1题)设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=()
【解析】 或 ， ，
故 ，故选A．
【点评】本题主要考查一元二次不等式，一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题．
本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第1题
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2021年高考全国甲卷理科·第1题
11．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第2题)设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=()
A．–4B．–2C．2D．4
【答案】B
【解析】求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： ．
A．{−2，3}B．{−2，2，3}C．{−2，−1，0，3}D．{−2，−1，0，2，3}
【答案】A
解析：由题意可得： ，则 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题．
【题目栏目】集合\集合的基本运算
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第1题)已知集合 ， ，则 中元素的个数为()
考向01 集合(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)
考向01 集合【2022年新高考全国Ⅰ卷】1. 若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N = （ ）A. {}02x x ≤< B. 123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C. {}316x x ≤< D. 1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D 【2022年全国甲卷】2. 设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（ ）A. {1,3}B. {0,3}C. {2,1}-D. {2,0}-【答案】D【解析】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U 2,0A B ⋃=-ð.故选：D.【2022年全国乙卷】3. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A. 2M ∈ B. 3M∈ C. 4M∉ D. 5M∉【答案】A【解析】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误.故选:A【2022年北京卷】4. 已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ）A. (2,1]- B. (3,2)[1,3)-- C. [2,1)- D.(3,2](1,3)-- 【答案】D【解析】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =-- ð，故选：D ．易错题【01】对集合中元素的类型理解不到位集合问题是高考必考问题,一般作为容易题出现,求解集合问题的关键是理解集合中元素的类型,特别是用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是连续数集、离散数集、点集或其他类型的集合.易错题【02】忽略集合中元素互异性利用元素与集合的关系或两集合之间的关系求参数的值,集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意,求出以后一定要代入检验,看看是否满足元素的互异性.易错题【03】忽略空集空集是任何集合的子集,在涉及集合关系,如根据,A B ⊆求参数的值或范围要注意A 是否可以为∅,根据A B =∅ 求参数的值或范围必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．易错题【04】忽视集合转化的等价性把用描述法表示的集合转化为用列举法表述的集合或化简集合容易忽略等价性,如去分母忽略分母不为零,解含有对数式的不等式要保证对数式有意义,要注意集合中的限制条件等.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--,(){|ln 1}B x y x ==+，则A B =（ ）A ．{1,0}- B ．{0,1} C ．{1,0,1}- D ．{0,1,2}【答案】D【解析】{|1}B x x =>-，A B ={0,1,2}.注意注意代表元素的字母是x 还是y.2．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B【解析】圆221x y +=与y x =有两个交点，A B 中元素的个数为2,注意集合中元素的特征，这两个集合是点集。
2023年高考数学真题实战复习(2022高考+模考题)专题01 集合问题(解析版)
专题01 集合问题【高考真题】1．(2022·全国乙理)设全集U ＝{1，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则( )A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M1．答案 A 解析 由题知M ＝{2，4，5}，对比选项知，A 正确．故选A ．2．(2022·全国乙文)集合M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1<x <6}，则M ∩N ＝( )A ．{2，4}B ．{2，4，6}C ．{2，4，6，8}D ．{2，4，6，8，10}2．答案 A 解析 因为M ＝{2，4，6，8，10}，N ＝{x |－1<x <6}，所以M ∩N ＝{2，4}．故选A ．3．(2022·全国甲理)设全集U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}，则 ∁U (A ∪B )＝( )A ．{1，3}B ．{0，3}C ．{－2，1}D ．{－2，0}3．答案 D 解析 由题意，B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1，3}，所以A ∪B ＝{－1，1，2，3}，所以∁U (A ∪B )＝{－2，0}．故选D ．4．(2022·全国甲文)设集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |0≤x <52}，则A ∩B ＝( ) A ．{0，1，2} B ．{－2，－1，0} C ．{0，１} D ．{1，2}4．答案 A 解析 因为A ＝{－2，－1，0，1，2}，B ＝{x |0≤x <52}，所以A ∩B ＝{0，1，2}．故选A ． 5．(2022·新高考Ⅰ)若集合M ＝{x |x <4}，N ＝{x |3x ≥1}，则M ∩N ＝( )A ．{x |0≤x <2}B ．{x |13≤x <2}C ．{x |3≤x <16}D ．{x |13≤x <16} 5．答案 D 解析 M ＝{x |0≤x <16}，N ＝{x |x ≥13}，则M ∩N ＝{x |13≤x <16}．故选D ． 6．(2022·新高考Ⅱ)已知集合A ＝{－1，1，2，4}，B ＝{x ||x －1|≤1}，则A ∩B ＝( )A ．{－1，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{－1，4}6．答案 B 解析 B ＝{x |0≤x ≤2}，故A ∩B ＝{1，2}．故选B ．7．(2022·北京)已知全集U ＝{x |－3<x <3}，集合A ＝{x |－2<x ≤1}，则∁U A ＝( )A ．(－2，1]B ．(－3，－2)∪[1，3)C ．[－2，1)D ．(－3，－2]∪(1，3)7．答案 D 解析 由补集定义可知，∁U A ＝{x |－3<x ≤－2或1<x <3}，即∁U A ＝(－3，－2]∪(1，3)．故 选D ．8．(2022·浙江)设集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4，6}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{1，2}C ．{2，4，6}D ．{1，2，4，6}8．答案 D 解析 A ∪B ＝{1，2，4，6}．故选D ．【知识总结】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算【同类问题】1．(2021·新高考Ⅰ)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( )A ．{2}B ．{2，3}C ．{3，4}D ．{2，3，4}1．答案 B 解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B ．2．(2021·新高考Ⅱ)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{3}B ．{1，6}C ．{5，6}D ．{1，3}2．答案 B 解析 由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}．3．(2021·全国甲)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x ≤5，则M ∩N 等于( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤13B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x <4 C ．{x |4≤x <5} D ．{x |0<x ≤5} 3．答案 B 解析 因为M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13≤x ≤5，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x <4． 4．(2021·全国乙)已知集合S ＝{s |s ＝2n ＋1，n ∈Z }，T ＝{t |t ＝4n ＋1，n ∈Z }，则S ∩T ＝( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z4．答案 C 解析 法一 在集合T 中，令n ＝k (k ∈Z )，则t ＝4n ＋1＝2(2k )＋1(k ∈Z )，而集合S 中，s ＝2n ＋1(n ∈Z )，所以必有T ⊆S ，所以S ∩T ＝T ，故选C ．法二 S ＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T ＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T ⊆S ，所以S ∩T ＝T ，故选C ．5．(2021·天津)设集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4}5．答案 C 解析 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，∴A ∩B ＝{1}，∴(A ∩B )∪C ＝{0，1，2，4}．6．(2021·北京)已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}6．答案 B 解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选B ．7．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．67．答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，且y ≥x }＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．8．设全集为R ，集合A ＝{y |y ＝2x ，x ＜1}，B ＝{x |y ＝x 2－1}，则A ∩(∁R B )＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜1}C ．D ．{x |0＜x ＜2}8．答案 B 解析 由题意知A ＝{y |0＜y ＜2}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，所以∁R B ＝{x |－1＜x ＜1}，所以A ∩(∁RB )＝{x |0＜x ＜1}，故选B ．9．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N 等于( )A ．[0，1]B ．(0，1]C ．[0，1)D ．(－∞，1]9．答案 A 解析 ∵M ＝{0，1}，N ＝{x |0＜x ≤1}，∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}．10．集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}，B ＝{x |1＜x ＜5}，则集合(∁R A )∪B 等于( )A ．[－1，5)B ．(－1，5)C ．(1，4]D ．(1，4)10．答案 B 解析 因为集合A ＝{x |x 2－3x －4≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，又B ＝{x |1＜x ＜5}，所以∁R A＝(－1，4)，则集合(∁R A )∪B ＝(－1，5)．11．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}．由M ⊆(A ∩B )，知M ＝∅或M ＝{(2， －1)}．12．(2020·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．612．答案 C 解析 A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，共4个元素．13．若全集U ＝R ，A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |0＜x ≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________．13．答案 {x |0＜x ≤6} 解析 由题图知阴影部分所表示的集合为A ∩B ＝{x |0＜x ≤6}．14．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}，N ＝{－4，－2，0，1，5}，则下列Venn 图中阴影部分的集合为________．14．答案 {－1，2，3} 解析 集合M ＝{x ∈Z ||x －1|<3}＝{x ∈Z |－3<x －1<3}＝{x∈Z |－2<x <4}＝{－1，0，1，2，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合是M ∩(∁R N )＝{－1，2，3}．15．(2021·上海)已知集合A ＝{x |x ＞－1，x ∈R }，B ＝{x |x 2－x －2≥0，x ∈R }，则下列关系中，正确的是( )A ．A ⊆B B ．∁R A ⊆∁R BC ．A ∩B ＝D ．A ∪B ＝R15．答案 D 解析 ∵A ＝(－1，＋∞)，B ＝(－∞，－1]∪[2，＋∞)，∴A ∪B ＝R ，D 正确，其余选项均错误．16．(多选)已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}16．答案 BD 解析 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}，A错误；A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；∵∁R B ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，∴A ∪∁R B ＝{x |x ＜－2或x ＞－1}，C 错误；A ∩∁R B ＝{x |2＜x ≤3}，D 正确．17．(多选)已知集合P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，则下列说法正确的是( )A ．P ∪Q ＝RB ．P ∩Q ＝{(1，0)，(0，1)}C ．P ∩Q ＝{(x ，y )|x ＝0或1，y ＝0或1}D ．P ∩Q 的真子集有3个17．答案 BD 解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴P ∩Q ＝{(1，0)，(0，1)}，故B 正 确，C 错误；又P ，Q 为点集，∴A 错误；又P ∩Q 有两个元素，∴P ∩Q 有3个真子集，∴D 正确．18．(多选)已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足(∁U A )∪B ＝B ，则下列关系一定正确的是( )A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∩B ＝BC ．A ∪B ＝UD ．(∁U B )∪A ＝A18．答案 CD 解析 令U ＝{1，2，3，4}，A ＝{2，3，4}，B ＝{1，2}，满足(∁U A )∪B ＝B ，但A ∩B ≠∅， A ∩B ≠B ，故A ，B 均不正确；由(∁U A )∪B ＝B ，知∁U A ⊆B ，∴U ＝A ∪(∁U A )⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝U ，由∁U A ⊆B ，知∁U B ⊆A ，∴(∁U B )∪A ＝A ，故C ，D 均正确．19．(多选)已知全集U ＝{x ∈N |log 2x <3}，A ＝{1，2，3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B 可能为( )A ．{2，3，4}B ．{3，4，5}C ．{4，5，6}D ．{3，5，6}19．答案 BD 解析 由log 2x <3得0<x <23，即0<x <8，于是得全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，因为∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，则有A ∩B ＝{3}，3∈B ，C 不正确；对于A 选项，若B ＝{2，3，4}，则A ∩B ＝{2，3}，∁U (A ∩B )＝{1，4，5，6，7}，矛盾，A 不正确；对于B 选项，若B ＝{3，4，5}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，B 正确；对于D 选项，若B ＝{3，5，6}，则A ∩B ＝{3}，∁U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7}，D 正确．20．已知集合A ＝{m 2，－2}，B ＝{m ，m －3}，若A ∩B ＝{－2}，则A ∪B ＝________．20．答案 {－5，－2，4} 解析 ∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈B ，若m ＝－2，则A ＝{4，－2}，B ＝{－2，－5}，∴A ∩B ＝{－2}，A ∪B ＝{－5，－2，4}；若m －3＝－2，则m ＝1，∴A ＝{1，－2}，B ＝{1，－2}，∴A ∩B ＝{1，－2}(舍去)，综上，有A ∪B ＝{－5，－2，4}．21．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}，B ＝{x |4x ＞2m }，若A ∩B 中有三个元素，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，6)B ．[1，2)C ．[2，4)D ．(2，4]21．答案 C 解析 集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |4x ＞2m }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞m 2，∵A ∩B 中有三个元素，∴1≤m 2＜2，解得2≤m ＜4． 22．集合M ＝{x |2x 2－x －1＜0}，N ＝{x |2x ＋a ＞0}，U ＝R ．若M ∩(∁U N )＝，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]22．答案 B 解析 易得M ＝{x |2x 2－x －1＜0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜1．∵N ＝{x |2x ＋a ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－a 2，∴∁U N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2．由M ∩(∁U N )＝，则－a 2≤－12，得a ≥1． 23．已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x 2－8x ＋15)}，B ＝{x |a ＜x ＜a ＋1}，若A ∩B ＝，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，4]C ．(3，4)D ．[3，4]23．答案 D 解析 易知A ＝{x |x 2－8x ＋15＞0}＝{x |x ＜3或x ＞5}，由A ∩B ＝，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ＋1≤5，所以 3≤a ≤4．24．已知集合A ＝{x |－5＜x ＜1}，B ＝{x |(x －m )(x －2)＜0}，若A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝________．24．答案 0 解析 ∵A ∩B ＝(－1，n )，∴m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0．25．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝，则实数m 的取值范围是________．25．答案 [0，＋∞) 解析 ①当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝，符合题意；②当2m ＜1－m ，即m ＜13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，所以0≤m ＜13．综上，实数m 的取值范围是[0，＋∞)．26．已知集合A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－103或a >12B ．a ≤－103或a ≥12C ．a <－16或a >2D ．a ≤－16或a ≥2 26．答案 B 解析 A ＝{x |3x 2－2x －1≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤1，①B ＝∅，2a ≥a ＋3⇒a ≥3，符合题意； ②B ≠∅，⎩⎪⎨⎪⎧ a <3，a ＋3≤－13或⎩⎪⎨⎪⎧a <3，2a ≥1，解得a ≤－103或12≤a <3．∴a 的取值范围是a ≤－103或a ≥12． 27．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{x |log 2x <1}，且A ∩B 有2个子集，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．(0，1)∪(1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，0]∪[2，＋∞)27．答案 D 解析 由题意得，B ＝{x |log 2x <1}＝{x |0<x <2}，∵A ∩B 有2个子集，∴A ∩B 中的元素个数为1；∵1∈(A ∩B )，∴a ∉(A ∩B )，即a ∉B ，∴a ≤0或a ≥2，即实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．28．已知A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，若A ∩(∁R B )≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．1≤a ≤2B ．1<a <2C ．a ≤1或a ≥2D ．a <1或a >228．答案 D 解析 A ＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |x ≤a －1或x ≥a ＋1}，所以∁R B ＝{x |a －1<x <a ＋1}；又A ∩(∁RB )≠∅，所以a －1<0或a ＋1>3，解得a <1或a >2，所以实数a 的取值范围是a <1或a >2．29．已知集合A ＝{x |y ＝lg(a －x )}，B ＝{x |1<x <2}，且(∁R B )∪A ＝R ，则实数a 的取值范围是________．29．答案 [2，＋∞) 解析 由已知可得A ＝(－∞，a )，∁R B ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，∵(∁R B )∪A ＝R ，∴a ≥2．30．已知集合A ＝{x |8<x <10}，设集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，若(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，则实数a 的取值范围是________________．30．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，92 解析 当B ＝∅时，2a －1≤a ，解得a ≤1，此时∁U B ＝U ，(∁U B )∩A ＝U ∩A ＝{x |8<x <9}， 符合题意；当B ≠∅时，2a －1>a ，解得a >1，因为集合U ＝{x |0<x <9}，B ＝{x |a <x <2a －1}，所以∁U B ＝{x |0<x ≤a 或2a －1≤x <9}，因为(∁U B )∩A ＝{x |8<x <9}，所以2a －1≤8，解得a ≤92，所以B ≠∅时，1<a ≤92，综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，92．。
2023年新高考数学大一轮复习专题01 集合(原卷版)
专题01 集合【考点预测】 1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）. （4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}AB x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且． 4、集合的运算性质 （1）A A A =，A ∅=∅，A B B A =． （2）A A A =，A A ∅=，A B BA =．（3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．【方法技巧与总结】（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集． （3）U U A B A B A A B B C B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆．（4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．【题型归纳目录】题型一：集合的表示：列举法、描述法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：集合与集合之间的关系 题型四：集合的交、并、补运算 题型五：集合与排列组合的密切结合 题型六：集合的创新定义【题型一】集合的表示：列举法、描述法 【典例例题】例1．（2022·安徽·芜湖一中三模（理））已知集合{}24A x x =≤，集合{}*1B x x N x A =∈-∈且，则B =（ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【方法技巧与总结】1.列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2.描述法，注意代表元素.例2．（2022·山东聊城·二模）已知集合{}0,1,2A =，{},B ab a A b A =∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5例3．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．无数个例4．（2022·湖南·岳阳一中一模）定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例5．（2022·山东济南·二模）已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，{},,y C z z x x A y B ==∈∈ ，则C 中元素的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4例6．（2022·全国·高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【题型二】 集合元素的三大特征 【典例例题】例7．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知集合{}1,0,1A =-，{},B a b a A b A =+∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,1- B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,1,2--D ．{}2,1,0,1,2--【方法技巧与总结】1.研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
高考数学总复习经典练习题--集合·(理)
课时作业1 §1.1集合对应学生用书P 261一、选择题1．下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A ．{x 2－x ＝0} B ．{y |y 2－y ＝0} C ．{x |y ＝x 2－x }D ．{y |y ＝x 2－x }解析：A 选项集合表示只有一个方程x 2－x ＝0的集合．B 中，∵y 2－y ＝0，∴y ＝0或y ＝1，∴{y |y 2－y ＝0}＝{0,1}，恰有两个元素；C 中集合表示函数y ＝x 2－x 的定义域，为R ；D 中集合表示的是y ＝x 2－x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：B2．(2013·浙江卷)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：∁R S ＝{x |≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，故(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．答案：C3．(2013·广州测试)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．m －nD ．n －m解析：作出韦恩图，可知m >n ，且A ∩B 的元素个数肯定比m 小，只有C 符合要求．答案：C4．设集合A ＝{3，log 2(a 2－3a ＋4)}，集合B ＝{2，a,6}，若A ∩B ＝{1}，则集合A ∪B 的真子集个数是( )A ．15B ．12C ．7D ．3解析：依题意，log 2(a 2－3a ＋4)＝1，所以a 2－3a ＋4＝2，即a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2，而B ＝{2，a,6}，所以a ＝2舍去．所以A ∪B ＝{1,2,3,6}，因此集合A ∪B 的真子集的个数是24－1＝15.答案：A5．(2013·天津调查)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )A ．ØB ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：由于只有实数间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩(∁R B )＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．答案：D6．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3解析：|x－a|<1⇔－1<x－a<1⇔a－1<x<a＋1，|x－b|>2⇔x<b－2或x>b＋2，∵A⊆B，∴a＋1≤b－2，或b＋2≤a－1，即b－a≥3或a－b≥3⇒|a－b|≥3.答案：D二、填空题7．已知A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：∵A＝{y|y＝(x－1)2－2，x∈R}＝{y|y≥－2}，B＝{y|－2≤y<8}，∴B A.答案：B A8．(2013·山西月考)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.解析：依题意得A＝{0,3}，因此有32＋3m＝0，m＝－3.经检验，符合条件．答案：－39．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________．(写出所有凸集相应图形的序号)解析：在图形①中，连接最上面的两个端点的线段，显然不在图形中；②满足新定义；③满足新定义；④不满足，当分别连接两个圆上的点时不满足新定义．答案：②③10．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率为44%，拥有上述三种电器中两种或三种的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为________．解析：不妨设调查了100户农户，U ＝{被调查的100户农户}， A ＝{100户中拥有电冰箱的农户}， B ＝{100户中拥有电视机的农户}， C ＝{100户中拥有洗衣机的农户}，由图可知，A ∪B ∪C 的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90. ∴∁U (A ∪B ∪C )的元素个数为100－90＝10. ∴所占比例为：10%. 答案：10% 三、解答题11．(1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值；(2)已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：(1)由题知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1， ∴a ＝－1或－2或0，据元素的互异性排除－1，－2. ∴a ＝0即为所求．(2)由题知，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝12，据元素的互异性得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝12即为所求．12．设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝1x 2－x －12的定义域为B .(1)求集合A 与B ； (2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2，∴A ＝{x |－3<x <2}． 函数y ＝ 1x 2－x －12要有意义需满足x 2－x －12>0，解得x <－3或x >4，∴B ＝{x |x <－3或x >4}． (2)A ∩B ＝Ø.∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}， ∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．13．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，当A B 时，应满足⎩⎨⎧a ≤2，3a >4.或⎩⎪⎨⎪⎧a <2，3a ≥4⇒43≤a ≤2；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，当A B 时，应满足⎩⎨⎧ 3a ≤2a >4或⎩⎨⎧3a <2a ≥4⇒a ∈∅，∴43≤a ≤2时，AB .(2)要满足A ∩B ＝∅，当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤23或a ≥4；当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥43， ∴a <0，验证知当a ＝0时也成立． 综上所述，{a |a ≤23，或a ≥4}时A ∩B ＝∅. (3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}， 显然a >0且a ＝3时成立，此时B ＝{x |3<x <9}，且A ∩B ＝{x |3<x <4}． 故所求a 的值为3.。
2021年新高考数学总复习：集合(附答案解析)
2021年新高考数学总复习：集合1．(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6 <0}，则M∩N＝( )A．{x|－4<x<3} B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2} D．{x|2<x<3}解析：因为M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|－2<x<3}，所以M∩N＝{x|－2<x<2}．答案：C2．(2020·广东湛江测试)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2 x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )A．1 B．2 C．4 D．8解析：因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，所以A∩B的子集个数为22＝4.答案：C3．(2019·浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则(∁U A)∩B＝( )A．{－1} B．{0，1}C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}解析：因为∁U A＝{－1，3}，所以(∁U A)∩B＝{－1}．答案：A4．(多选题)设集合M＝{x|x2－x>0}，N＝，则下列关系正确的是( )A．M N B．N⊆MC．M＝N D．M∪N＝M解析：集合M＝{x|x2－x>0}＝{x|x>1或x<0}，N＝＝{x|x>1或x<0 }，所以M＝N，则B、C、D正确．答案：BCD5．(2019·全国卷Ⅱ改编)已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x －1≥0}，全集U＝R，则A∩(∁U B)＝( )A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：由x2－5x＋6>0，得A＝{x|x<2或x>3}，又B＝{x|x≥1}，知∁U B＝{x|x<1}，所以A∩(∁U B)＝{x|x<1}．答案：A6．若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1，0，1} B．{－1，0}C．{－1，1} D．{0}解析：B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B)．A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{0}．答案：D7．设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：由得所以A∩B＝{(2，－1)}．由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}．答案：C8．(2020·佛山一中检测)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x －a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为( )A．(1，3) B．[1，3]C．[1，＋∞) D．(－∞，3]解析：由log2(x－1)<1，得A＝(1，3)，又|x－a|<2，得B＝(a－2，a＋2)．由A⊆B，所以解之得1≤a≤3.故实数a的取值范围为[1，3]．答案：B9．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x ∈R}，则A∩B＝________．解析：因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，所以A∩B＝{1，6}．答案：{1，6}10．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A ⊆B，则实数c的取值范围是________．解析：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B ＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)．由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c ≥1.答案：[1，＋∞)11．已知集合A＝，B＝{(x，y)|y＝kx＋m，k∈R，m∈R}，若对任意实数k，A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．解析：由已知，无论k取何值，椭圆＋＝1和直线y＝kx＋m均有交点，故点(0，m)在椭圆＋＝1上或在其内部，所以m2≤2，所以－≤m≤.答案：[－，]12．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1 }，则A∩(∁U B)＝________．解析：集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因为log3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3，所以－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，所以∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，所以A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．答案：{x|x<－1或x≥2}[B级能力提升]13．(多选题)(2020·东莞中学质检)已知集合A＝{x|x2－16<0}，B ＝{x|3x2＋6x＝1}，则( )A．A∪B＝(－4，4)∪{－6}B．B⊆AC．A∩B＝{0}D．A⊆B解析：因为A＝{x|x2－16<0}，所以A＝{x|－4<x<4}，B＝{x|3x2＋6x＝1}，则B＝{0，－6}，A∪B＝{x|x＝－6或－4<x<4}，故A正确，显然B、D错误，A∩B＝{0}，故C正确．答案：AC14．如图，集合A＝{x|log(x－1)>0}，B＝，则阴影部分表示的集合是( )A．[0，1] B．[0，1)C．(0，1) D．(0，1]解析：图中阴影部分表示集合B∩∁R A.因为A＝{x|log(x－1)>0}＝{x|1<x<2}，B＝＝，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥2}，B∩∁R A＝{x|0<x≤1}．答案：D15．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2) <0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 1[C级素养升华]16．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B ＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________．解析：因为A＝{y|y≥0}＝[0，＋∞)，B＝(－3，3)，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝[3，＋∞)∪(－3，0)＝(－3，0)∪[3，＋∞)．答案：(－3，0) (－3，0)∪[3，＋∞)。
2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)集合、常用逻辑用语、不等式(含解析)
1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条 件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。
高考数学总复习 11集合的概念及其运算 课后作业 试题
卜人入州八九几市潮王学校【走向高考】2021年高考数学总复习1-1集合的概念及其运算课后作业北师大一、选择题1．(文)(2021·文，1)假设集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，那么M∩N等于()A．{0,1} B．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}[答案]A[解析]此题考察集合的交集运算．M∩N＝{0,1}．(理)(2021·理，1)集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}，假设P∪M＝P，那么a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]此题主要考察了集合的运算及子集．依题意：P＝[－1,1]，∵P∪M＝P，∴M⊆P，又M＝{a}，∴a∈[－1,1]，应选C.2．(文)(2021·文，1)U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，那么∁U(A∪B)＝()A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案]A[解析]此题考察了集合的并集和补集运算，可以先求A∪B，再求∁U(A∪B)，也可以利用∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B))求解．∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2021·理，2)U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝{y|y＝，x>2}，那么∁U P＝()A．[，＋∞)B．(0，)C．(0，＋∞)D．(－∞，0]∪[，＋∞)[答案]A[解析]此题考察函数值域求解及补集运算．∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝(0，＋∞)，P＝{y|y＝，x>2}＝(0，)，∴∁U P＝[，＋∞)．3．(文)全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，那么(∁U A)∩B等于()A．[－1,4) B．(2,3)C．(2,3] D．(－1,4)[答案]C[解析]解法1：A＝{x|x>3或者x<－1}，B＝{x|2<x<4}，∁U A＝{x|－1≤x≤3}，∴(∁U A)∩B＝(2,3]，应选C.解法2：验证排除法，取x＝0，x∉Bx＝3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁U A)∩B.排除B.(理)函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，那么M∩N等于()A．{x|x>－1} B．{x|－1<x<1}C．{x|x<1} D．∅[答案]B[解析]M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．4．M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，那么M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－，]，∴M∩N＝[0，]，应选D.[点评]此题特别易错的地方是将数集误认为点集．5．(文)(2021·理，2)集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，那么A∩B的元素个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]此题考察集合的概念、集合交集的根本运算．可采用数形结合方法直接求解．集合A中点的集合是单位圆，B中点的集合是直线y＝x，A∩B中元素个数，即判断直线y＝x与单位圆有几个公一共点，显然有2个公一共点，故A∩B中有2个元素．选C.(理)(2021·文，4)设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，那么“x∈A∪B〞是“x ∈C〞的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]此题考察了集合的运算与逻辑语言的充分必要条件的运用．∵A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}∴A∪B＝{x∈R|x<0或者x>2}C＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x<0或者x>2}，∴A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充要条件．6．(文)假设A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，那么一定有()A．A⊆C B．C⊆AC．A≠C D．A＝∅[答案]A[解析]考察集合的根本概念及运算．∵B∩C⊆B⊆A∪B，A∪B＝B∩C⊆B，∴A∪B＝B，B∩C＝B，∴A⊆B，B⊆C，∴A⊆C，选A.(理)(2021·理，7)设集合M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，x∈R}，N＝{x||x－|<，i为虚数单位，x∈R}，那么M∩N 为()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1][答案]C[解析]本小题考察三角函数的倍角公式、值域及复数的模．y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|，∴0≤y≤1.|x－|＝|x＋i|＝<.∴x2<1，∴－1<x<1，∴M∩N＝[0,1)．二、填空题7．A＝{(x，y)|x2＝y2}，B＝{(x，y)|x＝y2}，那么A∩B＝______.[答案]{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．[解析]A∩B＝＝{(0,0)，(1,1)，(1，－1)}．8．集合A＝{x||x－a|≤1}，B＝{x2－5x＋4≥0}，假设A∩B＝∅，那么实数a的取值范围是________．[答案](2,3)[解析]B中，x2－5x＋4≥0，∴x≥4或者x≤1.又∵A中|x－a|≤1，∴a－1≤x≤1＋a.∵A∩B＝∅，∴a＋1<4且a－1>1，∴2<a<3.三、解答题9．集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，假设A∪B＝B，务实数a的取值范围．[分析]由A∪B＝B，可以得出A⊆B，而A⊆B中含有特例，A＝∅，应注意．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)假设A＝∅，那么Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)假设A≠∅，那么0∈A或者－4∈A当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或者a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或者a＝1.一、选择题1．(文)(2021·理，2)假设集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，那么A∩B＝()A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}[答案]B[解析]此题主要考察不等式的解法与集合的运算．A＝{x|－1≤2x＋1≤3}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|≤0}＝{x|0<x≤2}，A∩B＝{x|0<x≤1}，应选B.(理)P＝{α|α＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{β|β＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是两个向量集合，那么P∩Q ＝()A．{1，－2} B．{(－13，－23)}C．{(1，－2)} D．{(－23，－13)}[答案]B[解析]α＝(m－1,2m＋1)，β＝(2n＋1,3n－2)，令α＝β得，∴∴P∩Q＝{(－13，－23)}．2．(文)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或者x∈B，且x∉(A∩B)}，那么(A*B)*A等于()A．A B．BC．(∁U A)∩B D．A∩(∁U B)[分析]此题考察集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的局部，再画出(A*B)*A表示的局部．[答案]B[解析]画一个一般情况的韦恩图，如下列图，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B.(理)(2021·高三期中)设集合S＝{x||x－2|>3}，T＝{x|a<x<a＋8}，S∪T＝R，那么a的取值范围是()A．－3<a<－1 B．－3≤a≤－1C．a≤－3或者a≥－1 D．a<－3或者a>－1[答案]A[解析]S＝{x|x>5或者x<－1}，∵S∪T＝R，∴，∴－3<a<－1，应选A.二、填空题3．(2021·文，9)集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，那么集合A∩Z中所有元素的和等于________．[答案]3[解析]此题考察了简单绝对值不等式的解法与集合的运算．用列举法将A∩Z中的元素列举出来相加即可．A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}∴A∩Z＝{0,1,2}．∴A∩Z的元素的和为3.4．(文)设全集U＝A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}，假设A∩∁U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，那么集合B＝________.[答案]{2,4,6,8}[解析]A∪B＝{x∈N＋|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩∁U B＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．(理)(2021·模拟)设S为满足以下条件的实数构成的非空集合：(1)1∈S；(2)假设a∈S，那么∈S①0∈S；②假设2∈S，那么∈S；③集合S＝{－1，，1,2}是符合条件的一个集合；④集合S中至少有4个元素，那么正确结论的序号是________．[答案]②③④[解析]因为∈S，且不可能为零，故①不正确；假设2∈S，那么－1∈S，那么∈S，故②正确；易知集合S＝{－1，，1,2}是符合条件的含有元素最少的集合，所以集合S中至少有4个元素，故③④正确．三、解答题5．(2021·模拟)设A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，A∩B＝{9}，务实数a的值．[解析]∵A∩B＝{9}，∴9∈A.(1)假设2a－1＝9，那么a＝5，此时A＝{－4,9,25}，B＝{9,0，－4}，A∩B＝{9，－4}，与矛盾，舍去．(2)假设a2＝9，那么aa＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，B中有两个元素均为－2，与集合元素的互异性相矛盾，应舍去；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{9，－8,4}，符合题意．综上所述，a＝－3.6．(文)(2021·联考)设集合A＝{x|x2<4}，B＝.(1)求集合A∩B；(2)假设不等式2x2＋ax＋b<0的解集是B，求a，b的值．[解析]A＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，B＝＝＝{x|－3<x<1}，(1)A∩B＝{x|－2<x<1}．(2)∵2x2＋ax＋b<0的解集为B＝{x|－3<x<1}，∴－3和1为方程2x2＋ax＋b＝0的两根，∴∴a＝4，b＝－6.(理)集合A＝{x|x2－x－6<0}，集合B＝{x|x2＋2x－8>0}，集合C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}，假设C⊇(A∩B)．试确定实数a的取值范围．[解析]由得A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x<－4或者x>2}，A∩B＝{x|2<x<3}．∵C＝{x|x2－4ax＋3a2<0}＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}，∴当a>0时，C＝{x|a<x<3a}；当a<0时，C＝{x|3a<x<a}；当a＝0时，C＝∅，此时C⊇(A∩B)是不可能的．①当a>0时，如下列图．C⊇(A∩B)⇔⇔1≤a≤2.②当a<0时，C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因此C⊇(A∩B)是不可能的．综上所述，1≤a≤2.7．集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}，B＝{x|qx2＋px＋1＝0}，同时满足：①A∩B≠∅；②－2∈A(p，q≠0)．求p，q的值．[分析]两个集合有公一共元素，可联立方程求解，注意到系数关系，问题可有多种解法．[解析]解法1：∵A∩B≠∅∴方程组有解．两式相减得：(q－1)x2＝q－1.①当q＝1时，方程有解．∵－2∈A，∴根据韦达定理知方程另一根为－.∴－p＝－2＋＝－，p＝.这时A＝B＝，符合题意．∴②当q≠1时，x2＝1，x＝±1又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或者{－1，－2}，根据韦达定理：或者∴或者.综上：p，q的值是或者或者解法2：设x0∈A，那么有x＋px0＋q＝0，两端同除以x，得1＋p＋q＝0，那么知∈B.∴集合A，B中元素互为倒数．由A∩B≠∅，一定有x0∈A，使得∈B且x0＝，x0＝±1.又∵－2∈A，∴A＝{1，－2}或者{－1，－2}，由此得B＝或者.根据韦达定理：或者，∴或者另－2∈A，A∩B≠∅，可能出现－2∈B，那么－∈A.此时－2，－为A的两个元素，易知此时A＝B＝，故或者或者.。
考点01集合(4种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练(新高考版)
考点01集合（4种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．【知识点】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．3．集合的基本运算表示运算 集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A 有n (n ≥1)个元素，则集合A 有2n 个子集，2n －1个真子集．2．A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .【核心题型】题型一 集合的含义与表示解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．【例1】下列四组集合中表示同一集合的为（ ）A ．(){}1,3M =-，(){}3,1N =-B ．{}1,3M =-，{}3,1N =-C ．(){}2,|3M x y y x x ==+，{}2|3N x y x x ==+D ．{}0M =，0N =【变式1】已知集合{,,}{1,0,1}a b c =-，若下列三个关系有且只有一个正确：①1a ¹-；②1b =-；③0c ¹，则202324a b c -+=（ ）A ．2B ．3C ．5D ．8【变式2】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知{}210A x x ax =-+£，若2A Î，且3A Ï，则a 的取值范围是（ ）A ．510,23öé÷êëøB ．510,23æùçúèûC ．5,2éö+¥÷êëøD ．10,3æö-¥ç÷èø【变式3】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知集合{}22e1xxA x -=£，{}1,0,1B =-，则集合A B Ç的非空子集个数为（ ）A ．4B ．3C ．8D ．7题型二 集合间的基本关系(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【例2】在集合{}1,1,2,3,4,5,6A =-的子集中，含有3个元素的子集的个数为.【变式1】（2024·海南·模拟预测）已知集合{}{}21,2,4,,A B a a==，若A B B =I ，则=a.【变式2】集合{3,}A m =-，{}24,1B m m =+-，且A B =，则实数m = ．【变式3】若集合{}210A x ax ax =-+<=Æ，则实数a 的值的集合为．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算【例3】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知集合π2π2π2π,Z 63A x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，集合ππππ,Z 43B x k x k k ìü=+<<+Îíýîþ，则A B =I （ ）A ．ππ2π,2π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎB ．πππ,π43k k æö++ç÷èø，Zk ÎC ．ππ2π,2π63k k æö++ç÷èø，Zk ÎD ．πππ,π63k k æö++ç÷èø，Zk Î【变式1】（2024·云南红河·二模）设集合{}{}0,1,2,3,A B m ==，若{}2A B Ç=，则A B È=（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}2,3【变式2】（23-24高一上·陕西宝鸡·期中）已知{1,2,3,4,5,6,7},{2,4,5},{1,3,5,7},U A B ===则()U A B =I ð（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}命题点2 利用集合的运算求参数的值(范围)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．【例4】（2024·四川凉山·二模）已知集合{}1,11A y y x x ==+-££，{}B x x a =£，若A B B È=，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,2B ．[)2,+¥C ．(],2-¥D ．(],1-¥【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}5,1,1,5A =--，{}3B x a x a =<<+，若A B Ç中有2个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,1--B ．[]2,1--C ．(]2,2-D ．[)5,1--【变式2】．已知集合{}3217A x x =-<+<，{4B x x =<-或}2x >，{}321C x a x a =-<<+．(1)求()R A B I ð；(2)若“()R :p x A B ÎU ð”是“:q x C Δ的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．题型四 集合的新定义问题解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．【例5】（23-24高三下·上海·阶段练习）对于全集R 的子集A ，定义函数()1,0,A x Af x x A Îì=íÎî为A 的特征函数．设A ，B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是（ ）A ．若A B Í，则()()A B f x f x £B ．()1()A A f x f x =-C ．()()()A B A B f x f x f x Ç=×D ．()()()A B A B f x f x f x È=+【变式1】（2024·河南·模拟预测）定义()0,0sgn ,0x x x x x =ìï=í¹ïî，若集合()31|sgn i i A y y x =ìü==íýîþå，则A 中元素的个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式2】（2024·黑龙江·二模）已知集合{}1,2A =，{}3,4B =，定义集合：(){},,A B x y x A y B *=ÎÎ，则集合A B *的非空子集的个数是（ ）个．A ．16B ．15C ．14D ．13【变式3】已知实数集A 满足条件:若a A Î，则11aA a+Î-，则集合A 中所有元素的乘积为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．与a 的取值有关【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．下列说法中正确的是（ ）A ．1与{}1表示同一个集合B ．由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}3,2,1C ．方程()()2120x x --=的所有解的集合可表示为{}1,1,2D ．集合{}5|4x x <<可以用列举法表示2．（2024·福建厦门·二模）设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5i B x x x x x x A i =Î=，那么集合B 中满足1234513x x x x x £++++£的元素的个数为（ ）A ．60B ．100C ．120D ．1303．集合{03}M x x =Î<<N∣的子集的个数是（ ）A ．16B ．8C ．7D ．44．（2024·浙江·模拟预测）已知全集{}(){}(){}(){}1,2,3,4,5,1,2,4,3U U U U M N M N M N ====I I U ððð，则M N Ç=（ ）A ．ÆB ．{}4C ．{}5D ．{}1,2二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）设1A ，2A ，×××，()4n A n ³为集合{}1,2,,S n =×××的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为0,1,j ij j i A a i A Ïì=íÎî．则下列说法中正确的是（ ）A ．数阵中第一列的数全是0，当且仅当1A =ÆB ．数阵中第n 列的数全是1，当且仅当n A S =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过2n n 1-+6．（2024高三·全国·专题练习）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N È=，M N Ç=Æ，M 中的每一个元素小于N 中的每一个元素，则称(,)M N 为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ）A ．{}0M x x =<，{}0N x x =>是一个戴德金分割B ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素三、填空题7．已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B Í，则=a ．四、解答题8．已知集合A U Í，B U Í，全集{}1,2,3,4,5,6U =，且{}1,3,4U A =ð，{}3,5,6B =(1)求集合A ；(2)求A B Ç.9．已知集合{}1,4A =，{}1,4,5,6B =.(1)求A B Ç及A B È；(2)求B A ð.【综合提升练】一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}{}22,0,20A B x x x =-=-=，则()U A B È=ð（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}1,1-3．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知集合{1,2}A =，{0,2}B =，若定义集合运算：{}*,,A B z z xy x A y B ==ÎÎ，则集合*A B 的所有元素之和为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知集合U =Z ，{}21,A x x k k ==+ÎZ ，{}42,B x x k k ==+ÎZ ，则{}4,x x k k =Î=Z （ ）A ．()U AB ÇðB ．()U A B U ðC ．U A B I ðD ．U A BÈð5．设全集U =R ，集合302x A xx ìü-£íý+îþ．集合{}ln 1B x x =³，则()U A B =I ð（ ）A ．()e,3B ．[]e,3C ．[]2,e -D ．()2,e -6．（2024·陕西咸阳·二模）已知集合105x A xx ìü+=³íý-îþ，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B Ç=ð（ ）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,57．已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当a m n =+（其中正整数m 、n S Î且m n ¹）或a p q =+（其中正整数p 、q S Ï且p q ¹）．现有如下两个命题：①5S Î；②集合{}*3,x x n n S =ÎÍN ．则下列判断正确的是（ ）A ．①对②对B ．①对②错C ．①错②对D ．①错②错8．已知函数()442xx f x =+，[]y x =为高斯函数，表示不超过实数x 的最大整数，例如[]0.51-=-，[]1.31=.记{}2,1,0,1A =--，()()111,22B yy f x f x x ìüéùéù==-+--ÎíýêúêúëûëûîþR ，则集合A ，B 的关系是（ ）A ．{}2A B Ç=-B ．{}1,0,1A B =-I C ．{}1,0A B Ç=-D ．{}0,1A B =I 二、多选题9．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,4M =，{}2,3N =，则集合{}5,6等于（ ）A ．()()U U M N U ððB ．()U M N U ðC ．()U M N ððD ．()U N Mðð10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合212{|N,N},{|67}1A x xB x x x x =ÎÎ=-<+，则（ ）A ．{}1,2,3,5AB Ç=B ．(){}1,711A B È=-ÈC ．{}12,x y x A y B Ï-ÎÎ∣D ．(){}2,lg 9Ra A y y x ax $Î=-+=∣11．已知集合,A B 满足(){},,11,,,B x y z x y z x y z A =++=Î∣，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}2,0,1,13A =-，则B 中的元素的个数为1B ．若{}21,A xx k k ==+ÎN ∣，则B 中的元素的个数为15C ．若A +=N ，则B 中的元素的个数为45D ．若A =N ，则B 中的元素的个数为78三、填空题12．已知集合{}2,0,2,4M =-，{}N x x m =³，若M N M Ç=，则m 的最大值为．13．（2024·广东湛江·一模）已知全集U 为实数集R ，集合{}24A x x =£，{}2log 2B x x =>，则U A B =U ð ．14．（2024·辽宁·一模）已知集合{|M x y ==，{2}N x x =Î>-N∣，则M = ，M N Ç= .四、解答题15．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，B ＝{1，2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．17．已知a 为实数，设集合{}22A x x a x =-+£．(1)设集合{}lg 0B x x ==，若B A Í，求实数a 的取值范围．(2)若集合A =R ，求实数a 的取值范围；18．对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -Îì=íÏî．对于两个集合,M N ，定义集合()(){}1M N M N x f x f x Ä=×=-∣．已知集合{}{}1,3,5,7,9,2,3,5,6,9A B ==．(1)求()1A f 与()1B f 的值；(2)用列举法写出集合A B Ä；(3)用()Card M 表示有限集合M 所包含元素的个数．已知集合X 是正整数集的子集，求()()Card Card X A X B Ä+Ä的最小值，并说明理由.19．对于数集{}121,,,,n X x x x =-×××，其中120n x x x <<<×××<，2n ³，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==ÎÎr r，若对任意1a Y Îr ，存在2a Y Îr ，使得120a a ×=r r ，则称X 具有性质P ．(1)设{}1,1,2X =-，请写出向量集Y 并判断X 是否具有性质P （不需要证明）．(2)若102x <<，且集合11,,,12x ìü-íýîþ具有性质P ，求x 的值；(3)若X 具有性质P ，且2x q =，q 为常数且1q >，求证：34231n n x xx q x x x -==×××==．【拓展冲刺练】一、单选题1．（2023·上海宝山·一模）已知集合S 是由某些正整数组成的集合，且满足：若a S Î，则当且仅当(a m n =+其中,m n S Î且)m n ¹，或(a p q =+其中*,,,Z p q S p q ÏÎ且)p q ¹.现有如下两个命题: ①4S ∈；②集合{}35,N x x n n S =+ÎÍ.则下列选项中正确的是（ ）A ．①是真命题， ②是真命题；B ．①是真命题， ②是假命题C ．①是假命题， ②是真命题；D ．①是假命题， ②是假命题.2．已知函数()()221R f x x ax a =-+Î，若非空集合(){}()(){}0,1A x f x B x f f x =£=£∣∣，满足A B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11éù--ëûB ．1éù-ëûC ．éëD ．1,1éë3．已知集合{}Z 10A x x =Î+³，{}23B x x =-<<，则A B =I （ ）A ．{}Z 1x x γ-B ．{}13x x -££C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}1,0,1,2-4．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}230,e 1x M x x N y y =->==+，则（ ）A ．31,2M N æö=ç÷èøIB ．3,2M N æö=+¥ç÷èøUC ．31,2N M æö=ç÷èøðD ．M NÍ5．（23-24高三上·上海·期中）设R a Î且0a ¹，n 为正整数，集合()cos πx S x a x n ìü==íýîþ．有以下两个命题：①对任意a ，存在n ，使得集合S 中至少有2个元素；②若存在两个n ，使得S 中只有1个元素，则25a <，那么（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是假命题D ．①、②都是真命题二、多选题6．设集合X 是实数集R 的子集，如果点0R x Î满足：对任意0a >，都存在x X Î，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ）A ．{}|R,0x x x ιB ．{Z |0}x x ιC ．*1,N x x n n ìü=ÎíýîþD ．*,N 1n x x n n ìü=Îíý+îþ7．下列说法正确的是（ ）A ．已知集合ππ,Z 42k M x x k ìü==+Îíýîþ，ππ,Z 24k N x x k ìü==+Îíýîþ，则M NB ．终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,Z k k a a =°+ÎC ．若sin cos 0x x ->，则π5π2π2π,Z 44x x k x k k ìüÎ+<<+ÎíýîþD ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 为等腰三角形三、填空题8．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合{}21A x x =-<£，集合{}211B x a x a =-££+，若A B Ç=Æ，则实数a 的取值范围为 .9．（2024·四川遂宁·二模）已知等差数列{}n a 的公差为23p ，集合*{|cos ,}n S x x a n ==ÎN 有且仅有两个元素，则这两个元素的积为 ．10．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==£ÎÎ，12n S a a a =+++L 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+£ÎÎ，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=L.四、解答题11．设自然数3n ³，由n 个不同正整数123,,,n a a a a L 构成集合{}123,,,n S a a a a =L ，若集合S 的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合S P ，记()card S P 为集合S P 元素的个数(1)已知集合{1,2,3,4}A =，集合{1,2,4,8}B =，分别求解()()card ,card A B P P ．(2)对于集合{}123,,,n S a a a a =L ，若()card S P 取得最大值，则称该集合S 为“极异集合”①求()card S P 的最大值（无需证明）．②已知集合{}123,,,n S a a a a =L 是极异集合，记12i i i d a -=-求证：数列{}n d 的前n 项和0n D ³．12．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k 是正整数，A 是*N 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A 中的任意两个元素x ，y ，都有||x y k -¹，则称A 具有性质()P k ．(1)试判断集合{1,2,3,4}B =和{1,4,7,10}C =是否具有性质(2)P ？并说明理由．(2)若{}1212,,,{1,2,,20}A a a a =¼Í¼．证明：A 不可能具有性质(3)P ．(3)若{1,2,,2023}A ͼ且A 具有性质(4)P 和(7)P ．求A 中元素个数的最大值．13．（2024·北京·模拟预测）已知集合{}1,2,3,,A n =¼，其中*12,,,,m n A A A ÎN L 都是A的子集且互不相同，记i i M A =的元素个数，()ij i j N A A =Ç的元素个数{}(,1,2,,,)i j m i j Î<L .(1)若{}{}1213234,1,2,1,3,1n A A N N =====，直接写出所有满足条件的集合3A ；(2)若5n =，且对任意1i j m £<£，都有0ij N >，求m 的最大值；(3)若()7,31,2,,i n M i m ³£=L 且对任意1i j m £<£，都有1ij N =，求m 的最大值.。
集合-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结(新高考通用)解析版
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第01练集合（精练）1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.能使用Venn 图表示集合间的基本关系及集合的基本运算.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A ．{}0,2,4,6,8B ．{}0,1,4,6,8C ．{}1,2,4,6,8D ．U2．（2023·全国·高考真题）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}2-D ．{}2【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N ，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．-3．（2023·全国·高考真题）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A ．2B ．1C ．23D ．1-4．（2023·全国·高考真题）设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，()U M N ⋃=ð（）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，(){}|3,U M N x x k k ==∈Z ð．故选：A ．5．（2023·全国·高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．126．（2022·全国·高考真题）设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M∉【答案】A【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A7．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M x N x x ==≥∣，则M N ⋂=（）8．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-【A 级基础巩固练】一、单选题1．（2024·北京丰台·一模）已知集合{}220A x x x =-≤，{}10B x x =->，则A B ⋃=（）A ．{}0x x ≥B ．{}01x x ≤<C ．{}1x x >D ．{}12x x <≤2．（2024·北京顺义·二模）设集合24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U A =ð（）A ．[]2,0-B ．{}0C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--【答案】DA ．(]0,2B ．31,2⎛⎤ ⎥C ．()0,2D ．30,2⎛⎤4．（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合{}{}1,2,2,3A B ==，则集合{},,C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．85．（2024·陕西安康·模拟预测）已知集合{}{}3N 0log 2,21,Z A x x B x x k k =∈<<==+∈∣∣，则A B = （）A ．{}1,3,5,7B ．{}5,6,7C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【分析】先求出集合A ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}{}3N0log 2N192,3,4,5,6,7,8A x x x x =∈<<=∈<<=∣∣，所以{}3,5,7A B = .故选：D.6．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合{}2,1,4,8A =-，{}2,B x y x A y A =-∈∈∣，则B 中元素的最大值为（）A ．4B ．5C ．7D ．10【答案】C【分析】根据B 中元素的特征，只需满足()2max minx y-即可得解.【详解】由题意，()()222max maxmin817x y x y -=-=-=.故选：C7．（2024·四川成都·三模）设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合M 满足{}1,4U M ⊆ð，则（）A ．4M ÎB ．1M ∉C ．2M ∈D ．3M∉8．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个9．（2024·全国·模拟预测）若集合{}()(){}28,158A x x B x x x =∈<=+->-Z ，则()A B ⋂=R ð（）A ．{}0,1,2B ．{0x x ≤<C ．{1x x ≤≤D ．{}1,210．（2024·四川泸州·三模）已知集合2230A x x x =--<，{}0,B a =，若A B ⋂中有且仅有一个元素，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,3-B ．(][),13,-∞-+∞C ．()3,1-D ．(][),31,-∞-⋃+∞11．（2024·北京东城·一模）如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．AB ⋂B ．A B⋃C ．()U A B ⋂ðD ．()U A B ⋃ð【答案】D【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð.二、多选题12．（2024·甘肃定西·一模）设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-≤=∈∈∣∣，则（）A ．AB B= B ．Z B ⋂的元素个数为16C ．A B B⋃=D ．A Z I 的子集个数为64取值可能是（）A ．3-B ．1C ．1-D ．014．（2024·广西·二模）若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则,M N 可能是（）A ．{}{}0,2,4,6,4M N ==B ．{}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣C ．{}{}lg ,e 5x M xy x N y y ====+∣∣D ．(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣三、填空题15．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合{}22,4,10A a a a =-+，且3A -∈，则=a .【答案】3-【分析】根据题意，列出方程，求得a 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.【详解】因为3A -∈，所以23a -=-或243a a +=-，解得1a =-或3a =-，当1a =-时，23a -=，243a a +=-，集合A 不满足元素的互异性，所以1a =-舍去；当3a =-时，经检验，符合题意，所以3a =-．故答案为：3-．16．（2024高三下·全国·专题练习）集合(){}22,2,,x y x y x y +<∈∈Z Z 的真子集的个数是.17．（23-24高一上·辽宁大连·期中）设{}50A x x =-=，{}10B x ax =-=，若A B B = ，则实数a 的值为.18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A x x B x a x a =≤=-≤≤+∣∣，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是.【答案】()(),33,-∞-+∞ 【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定义即可求解.【详解】由24x ≤，得()()220x x -+≤,解得22x -≤≤，所以{}22A xx =-≤≤∣.因为A B ⋂=∅，所以12a +<-或12a ->，解得3a <-或3a >，所以a 的取值范围是()(),33,-∞-+∞ .故答案为：()(),33,-∞-+∞ .19．（2024高三·全国·专题练习）设集合(){}2|1A x x a =-<，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围为．【答案】(]1,2【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据2A ∈且3A ∉得到不等式组，解得即可.【详解】由()21x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，即(){}{}2|11|1A x x a x a x a =-<=-<<+，因为2A ∈且3A ∉，所以121213a a a -<⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得12a <≤，即实数a 的取值范围为(]1,2.故答案为：(]1,2四、解答题20．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．(1)当1a =时，求A B -与B A -；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．21．（2024高三·全国·专题练习）设M 是由直线0Ax By C ++=上所有点构成的集合,即{}(,)0M x y Ax By C =++=,在点集M 上定义运算“⊗”：对任意()11,,x y M ∈()22,,x y M ∈则()()11221212,,x y x y x x y y ⊗=+．(1)若M 是直线230x y -+=上所有点的集合,计算()()1,52,1⊗--的值．(2)对（1）中的点集M ,能否确定(3,)(,5)a b ⊗（其中,a b ∈R ）的值？(3)对（1）中的点集M ,若(3,)(,)0a b c ⊗<,请你写出实数a ,b ,c 可能的值．【B 级能力提升练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合{}{}2210,2log 10M x x P x x =->=-<，则M P ⋂=（）A ．12x x ⎧<<⎨⎩B ．142x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C ．{}4x <<D ．{}24x x <<2．（2024·宁夏银川·一模）设全集{0,1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4,5},{Z 2}U A B x ===∈<，则集合{4,5}=（）A ．()U AB ⋂ðB ．()U A B ⋂ðC ．()U A B ∩ðD ．()()U U A B ⋂痧所以{}{}Z |041,2,3B x x =∈<<=，所以{}0,4,5,6U B =ð，所以(){}4,5U A B Ç=ð，故ABD 错误，故C 正确；故选：C3．（23-24高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知集合{}24xA x =>，集合{}B x x a =<∣，若A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，然后根据A B ⋃=R ，即可求解.【详解】由24x >，得2x >，所以()2,A =+∞，因为(),B a =-∞，A B ⋃=R ，所以2a >，故D 正确.故选：D.4．（23-24高一上·全国·期末）已知m ∈R ，n ∈R ，若集合{}2,,1,,0n m m m n m ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20232023m n +的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知全集{}N |010U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，则集合B 的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．不确定【答案】B【分析】由已知求出全集，再由(){}U 1,3,5,7A B ⋂=ð可知A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，从而可求出B 中的元素.【详解】因为全集{}{}N |0100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U A B x x =⋃=∈≤≤=，(){}1,3,5,7U A B ⋂=ð，所以A 中肯定有1，3，5，7，B 中肯定没有1，3，5，7，A 和B 中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，且除了1，3，5，7，A 中有的其他数字，B 中也一定会有，A 中没有的数字，B 中也一定会有，所以{}0,2,4,6,8,9,10B =，故选：B6．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且满足12k A A A U =U U L U ，那么称子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．若集合I 中含有4个元素，则集合I 的所有划分的个数为（）A ．7个B ．9个C ．10个D ．14个二、多选题7．（2024·江苏泰州·模拟预测）对任意,A B ⊆R ，记{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B⊕≠⊕R R痧三、填空题8．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合{}20A x x mx =+≤，1,13B m ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，且A B ⋂有4个子集，则实数m 的最小值是.9．（2024·湖南·二模）对于非空集合P ，定义函数()1,,P f x x P ⎧=⎨∈⎩已知集合{01},{2}A x x B x t x t=<<=<<∣∣，若存在x ∈R ，使得()()0A B f x f x +>，则实数t 的取值范围为.【C 级拓广探索练】一、单选题1．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.二、多选题2．（2024·浙江宁波·二模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况.已知U 为全集且元素个数有限，对于U 的任意一个子集S ，定义集合S 的指示函数()()U 1,1,10,S S x Sx x x S∈⎧=⎨∈⎩ð若,,A B C U ⊆，则（）注：()x Mf x ∈∑表示M 中所有元素x 所对应的函数值()f x 之和（其中M 是()f x 定义域的子集）.A ．1()1()A A x Ax Ux x ∈∈<∑∑B ．1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤C ．()1()1()1()1()1()A B A B A B x Ux Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑D ．()()()11()11()11()1()1()A B C U A B C x Ux Ux Ux x x x x ⋃⋃∈∈∈---=-∑∑∑【答案】BCD【分析】根据()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，由于A U ⊆,所以1()1()1()1(),uA A A A x U x A x A x Ax x x x ∈∈∈∈=+=∑∑∑∑ð故1()1()A A x Ax Ux x ∈∈=∑∑，故A 错误，对于B ，若x A B ∈ ,则1()1,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，此时满足1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，若x A ∈且x B ∉时，1()0,1()1,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x B ∈且x A ∉时，1()0,1()0,1()1A B A A B x x x ⋂⋃===，若x A ∉且x B ∉时，1()0,1()0,1()0A B A A B x x x ⋂⋃===，综上可得1()1()1()A B A A B x x x ⋂⋃≤≤，故B 正确，对于C ，()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()U UAB A B AB A B AB A B x Ux A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈∈⋂∈⋂+-=+-++-∑∑∑痧()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()U ABABABABx A B x A Bx x x x x x x x ∈⋂∈⋃++-++-∑∑ð()()()()()()()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()0U U U ABABABABABABx A B x A B x A B x B A x x x x x x x x x x x x ∈⋂∈⋃∈⋂∈⋂=+-++-++-+∑∑∑∑ð痧()()1()1()1()1()ABABx A B x x x x ∈⋃=+-∑而()1()1()1()1()U A B A BA B A Bx Ux A Bx A Bx A Bx x x x ⋃⋃⋃⋃∈∈⋃∈⋃∈⋃=+=∑∑∑∑ð，由于()()()U 1,10,A B x A Bx x A B ⋃∈⋃⎧=⎨∈⋃⎩ð，所以1()1()1()1()1()A B A B A B x x x x x ⋃+-=故()1()1()1()1()1()A B AB A B x U x Ux x x x x ⋃∈∈=+-∑∑,C 正确，()1()1()1()U UA B C U x Ux Ux A B C x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃-=∑∑∑ð,当x A B C ∈⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 中至少一个为1，所以()()()11()11()11()0A B C x x x ---=，当()x A B C ∉⋃⋃时，此时()()()1,1,1A B C x x x 均为0，所以()()()11()11()11()1A B C x x x ---=，故()()()()()()()()11()11()11()11()11()11()1()UU A B C A B C A B C U x U x x A B C x x x x x x x ⋃⋃∈∈∈⋃⋃---=---=∑∑∑痧,故D 正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：充分利用()1S x 的定义()U 1,10,S x Sx x S ∈⎧=⎨∈⎩ð以及()x M f x ∈∑的定义，由此可得()x A B C ∉⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 均为0，x A B C ∈⋃⋃时，此时1(),1(),I ()A B C x x x 中至少一个为1，结合()1S x 的定义化简求解.三、填空题3．（23-24高三上·江西·期末）定义：有限集合{}++,,N ,N i A x x a i n i n ==≤∈∈，12n S a a a =+++ 则称S 为集合A 的“元素和”，记为A .若集合(){}+12,,N ,N i P x x i i n i n +==+≤∈∈，集合P 的所有非空子集分别为1P ，2P ，…，k P ，则12k P P P +++=.四、解答题4．（2024·浙江台州·二模）设A ，B 是两个非空集合，如果对于集合A 中的任意一个元素x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，并且不同的x 对应不同的y ；同时B 中的每一个元素y ，都有一个A 中的元素x 与它对应，则称f ：A B →为从集合A 到集合B 的一一对应，并称集合A 与B 等势，记作A B =.若集合A 与B 之间不存在一一对应关系，则称A 与B 不等势，记作A B ≠.例如：对于集合*N A =，{}*2N B n n =∈，存在一一对应关系()2,y x x A y B =∈∈，因此A B =.(1)已知集合(){}22,1C x y x y =+=，()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，试判断C D =是否成立?请说明理由；(2)证明：①()()0,1,=-∞+∞；②{}**N N x x ≠⊆.【答案】(1)成立，理由见解析(2)①证明见解析；②证明见解析5．（2024·北京延庆·一模）已知数列{}n a ，记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.(1)若数列{}n a 为1,2,3，写出集合T ；(2)若2n a n =，是否存在*,N i j ∈，使得(),512S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；(3)若n a n =，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12,,...,,...m b b b ，若2024m b ≤，求m 的最大值．若正整数()221t h k =+，其中*N,N t k ∈∈，则当1221t k +>+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()22122...2221...21221...212t t t t t t t t t t t h k k k k k =+=+++=-+-+++-++++++-++，此时结论成立，当1221t k +<+时，由等差数列的性质可得：()()()()()()()()2121...2121...112...2t t h k k k k k k k k k =++++++=-+++-++++++++，此时结论成立，对于数列n a n =，此问题等价于数列1,2,3,...n 其相应集合T 中满足2024m b ≤有多少项，由前面证明可知正整数1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024不是T 中的项，所以m 的最大值为2013.。
备考2024年新高考数学一轮复习专题1-1 集合含详解
专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x=，若A B =，则2x y +=______.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R A B ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2xA y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U A B⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M ⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且BA ，求实数m 的值.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R (1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.专题1.1集合题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题题型二集合与集合之间的关系题型三集合间的基本运算题型四集合间的交并补混合运算题型五Venn 图题型六集合的含参运算题型一利用集合元素的特征解决元素与集合的问题例1．（2022秋·湖南永州·高三校考阶段练习）若{}2122a a a ∈-+，，则实数a 的值为______.【答案】2【分析】分1a =，222a a a =-+分别求解，再根据元素的互异性即可得答案.【详解】解：当1a =时，则2221a a -+=不满足元素的互异性，故1a ≠；所以222a a a -+=，解得:1a =(舍)或2a =，故实数a 的值为2.故答案为：2.例2．（2022·上海·高一统考学业考试）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________【答案】7【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n ，o ，t ，e ，b ，k ，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；故答案为：7.练习1．（2022秋·贵州·高三统考期中）若{}{},,101a a a =，则=a __________.【答案】101-.【分析】由集合相等和元素互异性，进行求解.【详解】由题意得101,101,a a ≠⎧⎨=⎩所以101a =-.故答案为：-101.练习2．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考期中）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，(){},,,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则集合B 中的元素个数为________．【答案】14【分析】根据元素特征，采用列举法表示出集合B ，由此可得元素个数.【详解】由题意得：()()()()()()()()()(){()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,B =()()()}4,1,5,1,6,1，B ∴中元素个数为14.故答案为：14.练习3．（2022秋·北京海淀·高三校考期中）设集合{},A x y =，{}20,B x =，若A B =，则2x y +=______.【答案】2【分析】根据集合相等可得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解.【详解】由集合元素的互异性可知20x ≠，则0x ≠，因为A B =，则200x x y x ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，因此，22x y +=.故答案为：2.练习4．（2021秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则=a __________．【答案】1-【分析】根据集合相等及集合中元素的互异性求解即可.【详解】由集合2{,1,}A a b =，2{,,0}B a b =，若{1}A B ⋂=，则集合B 中21a =或1b =，若21a =，则1a =-或1(a =舍去)，此时1b ≠±且0b ≠；若1b =，则集合A 中21b =，不符合集合中元素的互异性，不成立，综上， 1.a =-故答案为：1-练习5．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成,,1ba a⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20222022a b +=_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，显然0a ≠，故0ba=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ，则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.所以2022202220222022(1)01a b +=-+=故答案为：1.题型二集合与集合之间的关系例3．（2023·河南开封·统考三模）已知集合{}1,0,1A =-，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的真子集个数是（）A ．3B ．4C ．7D ．8【答案】C【分析】根据题意得到集合B ，然后根据集合B 中元素的个数求集合B 的真子集个数即可.【详解】由题意得{}1,0,1B =-，所以集合B 的真子集个数为3217-=.故选：C.例4．（2021秋·高三课时练习）下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈，故①错误；由集合与集合的关系可知{}{}10,1,2⊆，故②错误；任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B ．练习6．（2023春·吉林长春·高二长春市第十七中学校考阶段练习）已知集合{}|15A x x =-<<，{}Z 18B x x =∈<<.(1)求R Að(2)求A B ⋂的子集个数【答案】(1){R 5A x x =≥ð或}1x ≤-(2)8【分析】（1）根据补集的定义即可得解；（2）根据交集的定义求出A B ⋂，再根据子集的定义即可得解.【详解】（1）因为{}|15A x x =-<<，所以{R 5A x x =≥ð或}1x ≤-；（2）{}{}Z 182,3,4,5,6,7B x x =∈<<=，所以{}2,3,4A B = ，所以A B ⋂的子集个数有328=个.练习7．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合{A =第一象限的角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，给出下列四个命题；①A B C ==；②A C ⊆；③C A ⊆；④A C B ⊆=.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【分析】根据任意角的定义和集合的基本关系求解.【详解】A ={第一象限角}，只需要终边落在第一象限的都是属于第一象限角．B ={锐角}，是指大于0 而小于90 的角．C ={小于90 的角}，小于90 的角包括锐角，零角和负角．根据集合的含义和基本运算判断：①A B C ==，①错误；②A C ⊆，比如，361A ∈ ，但361C ∉ ，②错误；③C A ⊆，比如0C ∈ ，但0A ∉ ，③错误；④A C B ⊆=，④错误；∴正确命题个数为0个．故选：A ．练习8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合(){}22,|4A x y x y =+=，(){}|,0B x y x y =+=，则A ∩B 的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据集合A 与集合B 中方程的几何意义，利用直线过圆心判断直线与圆的位置关系，确定交集中元素的个数，进而求解.【详解】集合(){}22,|4A x y x y =+=表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，集合(){}|,0B x y x y =+=表示直线0x y +=上的所有点，因为直线0x y +=经过圆心(0,0)，所以直线与圆相交，所以A B ⋂的元素个数有2个，则A B ⋂的子集个数为4个，故选：D .练习9．（2022秋·高三课时练习）设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A =∈∣且}{1,6,7}x B ∉=，其非空真子集的个数为3226-=.故选：B练习10．（2021秋·高一课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．空集没有子集B ．{}{}21,2|320x x x ⊆-+=C ．{}{}2|,R |,Ry y x x y y x x =∈⊆=∈D ．非空集合都有真子集【答案】BD【分析】根据空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，可判断出选项AD 的正误；选项B ，通过解方程，可求出集合{}2|320x x x -+=中的元素，从而判断出选项B 正确；选项C ，通过求出两集合的元素满足的条件，从而判断出集合{}|,R y y x x =∈与{}2|,R y y x x =∈间的关系，从而判断出选项C 错误.【详解】对于选项A ，因为空集是任何集合的子集，所以空集也是它自身的子集，所以选项A 错误；对于选项B ，由2320x x -+=，得到1x =或2x =，所以{}{}2|3201,2x x x -+==，所以选项B 正确；对于选项C ，因为{}|,R R y y x x =∈=，{}{}2|,R |0y y x x y y =∈=≥，所以{}{}2|,R |,R y y x x y y x x =∈⊆=∈，所以选项C 错误；对于选项D ，因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D 正确.故选：BD题型三集合间的基本运算例5．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）若集合{}10,lg 01x A xB x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣，则A B = （）A ．[)1,1-B ．(]0,1C ．[)0,1D ．()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= ，故选：D.例6．（2023·山东菏泽·统考二模）已知全集{}|0U x x =≥，集合(){}|20A x x x =-≤，则U A =ð（）A ．(2,)+∞B ．[2,)+∞C ．()(),02,-∞⋃+∞D ．(,0][2,)-∞⋃+∞【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用补集的定义求解作答.【详解】集合(){}|20[0,2]A x x x =-≤=，而全集[0,)U =+∞，所以(2,)U A =+∞ð.故选：A练习11．（2023·全国·模拟预测）已知集合{}215A x x =∈-<N ，{}320B x x =-≥，则A B = （）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}2,3【答案】C【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】由条件可知，{}{}30,1,2A x x =∈<=N ，{}23203B x x x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，所以{1,2}A B = ．故选：C.练习12．（江西省赣抚吉十一校联盟体2023届高三下学期4月联考数学（理）试卷）已知集合{2},{73}M x x N x x =<=-<<∣∣，则M N ⋂=（）A ．{3}xx <∣B ．{03}xx ≤<∣C ．{73}xx -<<∣D ．{74}xx -<<∣【答案】B【分析】根据集合交集运算可得.【详解】因为{2}{04},{73}M x x x x N x x =<=≤<=-<<∣∣∣所以{|03}M N x x ⋂=≤<.故选：B练习13．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设集合{}12A x x =-<，[]{}2,0,2xB y y x ==∈，则（）A ．()1,3AB ⋂=B ．[)1,4A B =C ．(]1,4A B =-D ．(]1,3A B ⋃=-【答案】C【分析】先解绝对值不等式得出集合，再根据交集并集概念计算求解即可.【详解】因为{}{}1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{}2,0,214xB y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A B ⋂=，(]1,4A B =- .故选：C.练习14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集{|33}U x x =-<<，集合{}2|20A x x x =+-<，则U A =ð（）A ．(2,1]-B ．(3,2][1,3)--⋃C ．[2,1)-D ．(3,1)(1,3)-- 【答案】B【分析】计算{}21A x x =-<<，再计算补集得到答案.【详解】{}{}2|2021A x x x x x =+-<=-<<，则(3,2][1,3)U A =--⋃ð.故选：B练习15．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）已知集合(){}lg 2M x y x ==-，{}e 1x N y y ==+，则M N ⋃=（）A ．(),-∞+∞B ．()1,+∞C ．[)1,2D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答.【详解】集合(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=，即(2,)M =+∞，e 11x +>，则(1,)N =+∞，所以()1,M N =+∞U .故选：B题型四集合间的交并补混合运算例7．（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试卷）已知集合{}|12M x x =-≥，{}1,0,1,2,3N -＝，则()RM N ⋂=ð（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}1,0,1,2-D ．{}2,3【答案】A【分析】解出集合{|1M x x =≤-或}3x ≥，再根据补集和交集的含义即可得到答案.【详解】12x -≥，解得3x ≥或1x ≤-，则{|1M x x =≤-或}3x ≥，则()R 1,3M =-ð，故(){}R 0,1,2M N ⋂=ð，故选：A.例8．（山东省淄博市部分学校2023届高一下学期4月阶段性诊断考试数学试卷）已知集合{}21,{ln 1}x A x B x x =>=>∣∣，则下列集合为空集的是（）A ．()R AB ðB ．()A BR ðC ．A B⋂D ．()()A B R RI痧【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合,A B ，然后利用集合的运算逐项进行判断即可求解.【详解】集合{|21}{|0}x A x x x ==>>，集合{|ln 1}{|e}B x x x x =>=>，所以R {|0}A x x =≤ð，R {|e}B x x =≤ð，对于A ，()R {|0e}A B x x =<≤ ð，故选项A 不满足题意；对于B ，()A B =∅R I ð，故选项B 满足题意；对于C ，={|e}A B x x > ，故选项C 不满足题意；对于D ，()(){|0}A B x x =≤R R 痧，故选项D 不满足题意，故选：B .练习16．（天津市部分区2023届高三二模数学试卷）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()UB A ⋂=ð（）A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,3,4D ．{}0,1,3【答案】B【分析】由集合的运算求解.【详解】(){}{}{}2,4,62,42,3,4U A B ⋂==⋂ð.故选：B练习17．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤，(){}1,3,5,7U A B = ð，则集合B =（）A ．{}0,2,4,6B ．{}2,4,6C ．{}0,2,4D ．{}2,4【答案】A【分析】由{}N |07U A B x x =⋃=∈≤≤可知集合U 中的元素，再由(){}1,3,5,7U A B = ð即可求得集合B .【详解】由(){}1,3,5,7U A B = ð知，{}{}1,3,5,71,3,5,,7U B A ⊆⊆ð又因为{}{}7017N 2356|04U A B x x =⋃=∈≤≤=，，，，，，，，所以B ={}0,2,4,6.故选：A.练习18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{}2320M xx x =-+=∣，{}2Z 650N x x x =∈-+<∣，则集合()U M N ð中的子集个数为（）A ．1B ．2C ．16D ．无数个【答案】B【分析】首先求集合,M N ，再求集合的运算.【详解】先求{}1,2M =，{Z 1}5}2,4|,{3N x x =∈<<=，所以{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð，所以子集的个数为122=.故选：B练习19．（2023·福建·统考模拟预测）已知全集*2{N ,80}I x x x =∈|<，{1,3,4,7}A =，{4,5,6,7}B =，则()I A B ⋃=ð（）A ．{2,5,6}B ．{1,2,3,8}C ．{2,8}D ．{1,3,4,5,6,7}【答案】C【分析】利用集合的交并补运算即可求解.【详解】{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，{1,3,4,5,6,7}A B = ，故(){}2,8I A B ⋃=ð．故选：C ．练习20．（2023·广东·统考模拟预测）集合{}2x A y y ==，(){}2log 32B x y x ==-，则()R B A ⋂=ð（）A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】求出集合A 、B ，利用补集和交集的定义可求得集合()B A R ð.【详解】因为{}{}20xA y y y y ===>，(){}{}22log 323203B x y x x x x x ⎧⎫==-=->=>⎨⎬⎩⎭，则23B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，因此，()R 20,3B A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：C.题型五Venn 图例9．（2023·山东潍坊·统考二模）已知集合{}|10M x x =+≥，{}|21xN x =<，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{}|10x x -≤<的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】化简集合M ，N ，根据集合的运算判断{}|10x x -≤<为两集合交集即可得解.【详解】{}|10[1,)M x x =+≥=-+∞ ，{}|21(,0)xN x =<=-∞，{}|10M N x x ∴-=≤< ,由Venn 图知，A 符合要求.故选：A例10．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）已知全集U ，集合A 和集合B 都是U 的非空子集，且满足A B B ⋃=，则下列集合中表示空集的是（）A ．()U AB ⋂ðB ．A B⋂C ．()()U UA B ⋂痧D ．()U A B ∩ð【答案】D【分析】利用Venn 图表示集合,,U A B ，结合图像即可找出表示空集的选项.【详解】由Venn 图表示集合,,U A B 如下：，由图可得()U BA B A = 痧，A B A = ，()()U U UA B B ⋂=痧，()U A B =∅ ð，故选：D练习21．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）集合{}{}0,1,2,4,8,0,1,2,3A B ==，将集合,A B 分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】{}0,1,2A B = ，所以:A 选项，阴影部分表示{}0,1,2，不符合题意.B 选项，阴影部分表示{}4,8，符合题意.C 选项，阴影部分表示{}3，不符合题意.D 选项，阴影部分表示{}3,4,8，不符合题意.故选：B练习22．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集U =R ，集合{}02A x x =∈<≤Z ，{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}2,0-B ．{}2,3-C ．{}2,0,2-D ．{}2,0,3-【答案】D【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】全集为U ，集合{}2,1,1,2A =--，{}1,0,1,2,3B =-，{}{}1,1,2,2,1,0,1,2,3A B A B ⋂=-⋃=--,图中阴影部分表示是A B ⋃去掉A B ⋂的部分，故表示的集合是{}2,0,3-．故选：D ．练习23．（2022秋·高三单元测试）（多选）如图，U 为全集，M P S ､､是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()U P S M⎡⎤⋂⋂⎣⎦ðB ．()M P SC ．()U M P S⋂⋂ðD ．()U M P S⋂⋃ð【答案】AC 【分析】分析出阴影部分为M P 和U S ð的子集，从而选出正确答案.【详解】图中阴影部分是M P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即U S ð的子集，满足要求的为()()U U P S M M P S ⎡⎤=⎣⎦ 痧，均表示阴影部分,BD 不合要求.故选：AC练习24．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习是（）A ．70％B ．56％C ．40％D ．30％【答案】C【分析】根据公式()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂列方程求解即可.【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，这两组的比练习数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比练习，设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比练习为x ，则对物理或历史感兴趣的同学的比练习是56％＋74％－x ，所以56％＋74％－x ＝90％，解得40x =％，故选：C.练习25．（2023春·湖南·高三校联考期中）设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【答案】B 【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.题型六集合的含参运算例11．（广东省汕头市2023届高三二模数学试卷）已知集合{}21,3,A a =，{1,2}B a =+，且A B A ⋃=，则a 的取值集合为（）A ．{}1-B ．{2}C ．{1,2}-D ．{1,1,2}-【答案】B 【分析】由集合和元素的关系及并集的定义讨论即可.【详解】由题意可得：23a +=或22a a +=若23a +=，此时211a a =⇒=，集合A 的元素有重复，不符合题意；若22a a +=，解得2a =或1a =-，显然2a =时符合题意，而211a a =-⇒=同上，集合A 的元素有重复，不符合题意；故2a =.故选：B例12．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）若集合{}2|60A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m =或12m =-或0m =【分析】分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】{}{}2|603,2A x x x =+-==-，当0m =时，B =∅A ，当0m ≠时，1{|10}B x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，因为B A ，所以13m -=-或12m-=，所以13m =或12-，综上所述，13m =或12m =-或0m =.练习26．（2022秋·山东菏泽·高三校联考期中）已知集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >．(1)若1a =-，求A B ⋃R ð；(2)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围．【答案】(1){}25A C B x x ⋃=-≤≤R (2)1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或【分析】(1)根据题意，先求出集合A 的补集，再利用集合的并集运算求解即可；(2)根据集合的包含关系分A =∅和A ≠∅两种情况进行讨论即可求解.【详解】（1）若1a =-，则集合{}22A x x =-≤≤，所以{}15B x x =-≤≤R ð，所以{}25A C B x x ⋃=-≤≤R ；（2）因为集合{}23A x a x a =≤≤+，{|1B x x =<-或5}x >，因为A B ⋂=∅，所以分以下两种情况：若A =∅，即23a a >+，解得3a >，满足题意，若A ≠∅，则213523a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪≤+⎩解得122a -≤≤，综上所述a 的取值范围为1232x a a ⎧⎫-≤≤>⎨⎬⎩⎭或练习27．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合{2A x x =<∣或{}4},1x B x a x a ≥=≤≤+∣，若()A B =∅R ð，则a 的取值范围是（）A ．1a ≤或4a >B ．1a <或4a ≥C ．1a <D ．4a >【答案】B【分析】先求出A R ð，根据()A B =∅R ð，可求得结果.【详解】由集合{2A x x =<∣或4}x ≥，得{24}A x x =≤<R ∣ð，又集合{}1B x a x a =≤≤+∣且()A B =∅R ð，则1a +<2或4a ≥，即1a <或4a ≥.故选：B.练习28．（2023·全国·模拟预测）设集合{(1)(3)0}A xx x =+-≤∣，{}5B x a x a =-<<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[]3,4B ．（3,4）C ．(,4]-∞D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】根据集合的包含关系列出关于a 的不等式组即可.【详解】由已知可得，集合{}13A xx =-≤≤∣，{}5B x a x a =-<<，因为A B ⊆，所以351a a >⎧⎨-<-⎩，（注意端点值是否能取到），解得34a <<，故选：B ．练习29．（2023·全国·高三专题练习）设全集U =R ，{}|325M x a x a =<<+，{}|21P x x =-≤≤．(1)若0a =，求()UM P ⋂ð．(2)若U M P ⊆ð，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(){}|20U M P x x =-≤≤ ð；(2)71,,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解.（2）求出U P ð，U M P ⊆ð，分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可.【详解】（1）当0a =时，{}|05=<<M x x ，{}|21P x x =-≤≤，所以{0U M x x =≤ð或5}x ³，(){}|20U M P x x ⋂=-≤≤ð；（2） 全集U =R ，{}|21P x x =-≤≤，{2U P x x ∴=<-ð或1}x >，⊆ U M P ð，∴分=∅≠∅，M M ，两种情况讨论.（1）当M 蛊时，如图可得，325252a a a <+⎧⎨+≤-⎩或32531a a a <+⎧⎨≥⎩，72a ∴≤-或153a ≤<；（2）当M =∅时，应有：325a a ≥+，解得5a ≥；综上可知，72a ∴≤-或13a ≥，故得实数a 的取值范围71,23∞⎛⎤⎡⎫--+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.练习30．（2023·全国·高三专题练习）已知{}23A x x =-≤≤，{}23B x a x a =-<<，全集U =R(1)若2a =，求()U A B ∩ð；(2)若A B ⊇，求实数a 的取值范围.【答案】(1)(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð(2)(][],10,1-∞-⋃【分析】（1）根据交集与补集的运算求解即可；（2）分B =∅与B ≠∅由条件列不等式求范围即可.【详解】（1）当2a =时，{}06B x x =<<，所以{0U B x x =≤ð或}6x ≥，又{}23A x x =-≤≤，所以(){}20U A B x x ⋂=-≤≤ð.（2）由题可得：当B =∅时，有23a a -≥，解得a 的取值范围为(],1-∞-；当B ≠∅时有232233a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，解得a 的取值范围为[]0,1，综上所述a 的取值范围为(][],10,1-∞-⋃.。
2025年上海市数学高考一轮复习重难点 专题1集合与逻辑(考点练+模拟练)含详解
专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B =．5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M ⎤+∈⎥⎥⎦，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z 14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R 21|1,1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合{}11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.3．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．5．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.7．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.11．（2022·上海青浦·二模）已知集合1,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A>B ．22a b >C ．11b a>D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．816．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x Mx-∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21nn A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．专题01集合与逻辑（考点练+模拟练）一、填空题1．（23-24高三上·上海·期中）已如全集U =R ，集合10,x A x x x ⎧⎫-=≥∈⎨⎬⎩⎭R ，则A =．【答案】{}01x x ≤<【分析】解出集合A ，利用补集的定义可求得集合A .【解析】由10x x -≥可得()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，解得0x <或1x ≥，则{0A x x =<或}1x ≥，又因为全集U =R ，则{}01A x x =≤<.故答案为：{}01x x ≤<.2．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的条件.【答案】充要【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解析】命题“若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠”是真命题，命题“若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠”是真命题，所以“0x ≠或0y ≠”是“220x y +≠”的充要条件.故答案为：充要3．（2023·上海普陀·模拟预测）已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1xx +>，则命题p 的否定为．【答案】存在正数0x ，使()001e 1xx +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【解析】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤.故答案为：存在正数0x ，使()001e 1xx +≤4．（23-24高三上·上海·期中）已知集合()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，则A B = ．【答案】()2,1--【分析】直接由交集的概念、区间的表示即可得解.【解析】因为()2,1A =-，()()4,11,2B =-- ，所以()2,1A B ⋂=--.故答案为：()2,1--.5．（22-23高一上·上海复旦附中分校·阶段练习）已知全集U =R ，集合{|1},{|2}A x x B x x =≤=≥，则A B ＝．6．（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知集合{}ln M x y x ==，集合11N y y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=．【答案】()0,∞+【分析】根据函数的定义域及值域结合交集的运算求值即可.【解析】由题意可知()()()0,,,00,M N ∞∞∞=+=-⋃+，所以()0,M N ∞⋂=+.故答案为：()0,∞+7．（23-24高三上·上海松江·期中）已知2:280,:123p x x q a x a --<-<<-，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是.8．（23-24高三上·上海静安·开学考试）集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则实数=a .【答案】2-或1-【分析】集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，解方程并检验即可.【解析】集合{}1,2,A a =，{}21,2B a =-，若集合A B ⋃中有三个元素，则222a -=或22a a -=，若222a -=，解得2a =±，其中2a =与元素互异性矛盾舍去，2a =-满足题意；若22a a -=，解得2a =或1a =-，2a =舍去，1a =-满足题意，所以2a =-或1a =-.故答案为：2-或1-9．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）若集合{}N |12A x x =∈-<≤，{},,B x x ab a b A ==∈，则集合B 的非空真子集的个数为.10．（20-21高三上·上海崇明·阶段练习）已知:31x m α<-或x m >-，:2x β<或4x ≥，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是.11．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知集合M ＝2|0x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是．12．（23-24高三上·上海浦东新·期中）M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为．二、单选题13．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知集合π,2m A x x m ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，集合π,4n B x x n ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则A B = （）A ．∅B ．AC ．BD ．{}π,x x k k =∈Z14．（16-17高一上·上海浦东新·期中）已知集合A ，B ，若A 不是B 的子集，则下列命题中正确的是（）A ．对任意的a A ∈，都有aB ∉B ．对任意的a B ∈，都有a A ∈C ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∉D ．存在0a ，满足0a A ∈，且0a B∈【答案】C【分析】根据子集关系结合元素与集合的关系逐项分析判断.【解析】对于选项A 、B ：例如{}{}1,2,2,3A B ==，满足A 不是B 的子集，但2,2A B ∈∈，故A 错误；3,3A B ∉∈，故B 错误；对于选项C ：对任意的a A ∈，都有a B ∈，则A B ⊆，若A 不是B 的子集，则存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∉，故C 正确；对于选项D ：例如{}{}1,2A B ==，满足A 不是B 的子集，但不存在0a ，满足0a A ∈，且0a B ∈，故D 错误；故选：C.15．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）集合,A B 各有8个元素,A B ⋂有6个元素,若集合C 满足:()()A B C A B ⊆⊆ ,则满足条件的集合C 共有（）A ．32个B ．16个C ．8个D ．4个【答案】B【分析】根据题意设出集合,A B ,根据()()A B C A B ⊆⊆ 判断集合C 中元素的构成情况,根据子集和集合中元素的个数关系即可得出结果.【解析】解:由题知,A B 各有8个元素,且A B ⋂有6个元素,设{}123456,,,,,c c c c A c c B = ,且{}12123456,,,,,,,,a a c c c c c c A ={}12123456,,,,,,,b bc c c c c B c =,则画Venn 图如下:因为()()A B C A B ⊆⊆ ,所以{}{}1234561212123456,,,,,,,,,,,,,,,c c c c c c C a a b b c c c c c c ⊆⊆所以集合C 中至少有123456,,,,,c c c c c c ,6个元素,最多有1212123456,,,,,,,,,a a b b c c c c c c ,10个元素,只需求出{}1212,,,a a b b 的子集,在每个子集中加入123456,,,,,c c c c c c 6个元素,即可得集合C ,所以集合C 的个数,即是{}1212,,,a a b b 的子集的个数4216=个.故选:B16．（20-21高三上·浙江·开学考试）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【解析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【解析】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈，当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =- ，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试卷中发现可以使用的集合的性质的一些因素.三、解答题17．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）设全集()(){}4230,0A x ax x a a =+-+>>，B x y ⎧⎪==⎨⎪⎩.(1)若2a =，求A B ⋂，A B ；(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（22-23高三上·上海青浦·期中）已知集合{}(2)(3)0A x x x =--≤，{}3B x a x a =<<，且0a >．(1)若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若命题“A B ⋂=∅”为假命题，求实数a 的取值范围．19．（22-23高三上·上海崇明·阶段练习）已知R 为全集，集合R |1,1A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}1,R B x x a x =-≤∈．(1)求集合A ；(2)若B A B ⋂=，求实数a 的取值范围．20．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）设全集U 为R ，集合11A x x =-<，{}2320B x x x =--≥.(1)求A B ；(2)若{}22430C x x ax a A B =-+≥⊇⋃，求a 的取值范围.21．（23-24高一上·上海·期中）集合{}12,,,n A a a a =⋅⋅⋅是由()3n n >个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”．(1)判断集合{}1,2,3,4、{}1,3,5,7,9,11,13是否为“可分集合”（不用说明理由）；(2)求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；(3)若集合{}12,,,n A a a a = 是“可分集合”，证明n 是奇数．【答案】(1){}1,2,3,4不是“可分集合”，{}1,3,5,7,9,11,13为“可分集合”(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由“可分集合”的定义判断；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，讨论当在集合{}12345,,,,a a a a a 中去掉元素1a 、2a 后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立；（3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明.【解析】（1）解：对于{}1,2,3,4，去掉3后，{}1,2,4不满足题中条件，故{}1,2,3,4不是“可分集合”，对于{}1,3,5,7,9,11,13，集合{}1,3,5,7,9,11,13所有元素之和为49.当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，剩下元素可以组合{}3,5,7,9、{}11,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，剩下元素可以组合{}1,9,13、{}5,7,11这两个集合，显然符合题意；当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，剩下元素可以组合{}1,3,7,11、{}9,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，剩下元素可以组合{}1,9,11、{}3,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，剩下元素可以组合{}1,3,5,11、{}7,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，剩下元素可以组合{}3,7,9、{}1,5,13这两个集合，显然符合题意；当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，剩下元素可以组合{}1,3,5,9、{}7,11这两个集合，显然符合题意.综上所述，集合{}1,3,5,7,9,11,13是“可分集合”.（2）证明：不妨设123450a a a a a <<<<<，一、填空题1．（2022·上海·模拟预测）已知集合{}2=|40,A x x x x N *-<∈，则用列举法表示集合A =【答案】{}1,2,3【分析】根据不等式的解法，求得04x <<，进而利用列举法，即可求解.【解析】由不等式240x x -<，可得()40x x -<，解得04x <<，即集合{|04A x x =<<且}{1,2,3}x N *∈=.故答案为：{}1,2,3.2．（2022·上海浦东新·模拟预测）已知集合()0,2A =，()1,3B =，则A B ⋃=.【答案】()0,3【分析】直接根据并集定义求解即可.【解析】因为()0,2A =，()1,3B =，所以()0,3A B ⋃=，故答案为：()0,33．（2024·上海·三模）已知集合{}0,1,2A =，{}331B x x x =-≤，则A B =【答案】{}0,1【分析】把集合中的元素代入不等式331x x -≤检验可求得{0,1}A B = .【解析】当0x =时，303001-⨯=≤，所以0B ∈，当1x =时，313121-⨯=-≤，所以1B ∈，当2x =时，323221-⨯=>，所以2∉B ，所以{0,1}A B = .故答案为：{0,1}.4．（2024·上海·三模）已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【解析】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：35．（2024·上海·三模）已知集合{}11A x x =-<，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =．6．（2023·上海静安·二模）若集合{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，则A B ⋃=.【答案】{}0,1,2【分析】依题意可得0A ∈且0B ∈，即可求出a 、b 的值，从而求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得.【解析】因为{}22,log A a =，{},B a b =，且{}0A B ⋂=，所以0A ∈且0B ∈，显然0a >，所以2log 0a =且0b =，所以1a =，所以{}2,0A =，{}1,0B =，所以{}0,1,2A B = .故答案为：{}0,1,27．（2023·上海青浦·二模）已知集合(){}{}|ln 3,|A x y x B x x a ==-=>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为.【答案】[)3,+∞【分析】求函数的定义域求得集合A ，根据A B ⋂=∅求得a 的取值范围.【解析】由30x ->解得3x <，所以(),3A =-∞，由于A B ⋂=∅，所以3a ≥，所以a 的取值范围是[)3,+∞.故答案为：[)3,+∞8．（2024·上海宝山·二模）已知集合{}2,1,3A a a =++，且1A ∈，则实数a 的值为.9．（2017·上海奉贤·一模）已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n =，则m n +=．【答案】-1【分析】分情况讨论2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =再计算即可.【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n =,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-．故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了根据集合的互异性与集合相等求参数的问题,属于基础题型.10．（2023·上海金山·一模）若集合()(){}2,20A x y x y x y =+++-≤，()()(){}222,211B x y x a y a a =-+--≤-，且A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是.B 其中()()2221x a y a -+--当1a =±时，B 表示点(1,3)当1a ≠±时，B 表示以(M 其圆心在直线21y x =+上，依题意A B ⋂≠∅，即表示圆当1a =-时，显然满足题意，当当1a <-时，因为A B ⋂≠所以d r ≤，即222a a +++所以()()17110a a ++≤，所以1117a -≤<-；当1a >时，因为A B ⋂≠∅11．（2022·上海青浦·二模）已知集合,[,1]6A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ ，其中1A ∉且6s t +<，函数()1xf x x =-，且对任意a A ∈，都有()f a A ∈，则t 的值是．12．（2022·上海普陀·一模）设非空集合Q M ⊆，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合{}1,2,3,4,5,6,7=M ，则其偶子集Q 的个数为.【答案】63【分析】对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.【解析】集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{}1,3、{}1,5、{}1,7、{}3,5、{}3,7、{}5,7，共6种，若集合Q 中只有4个奇数时，则集合{}1,3,5,7Q =，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{}2,4、{}2,6、{}4,6，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合{}2,4,6Q =，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6318⨯=种；若集合Q 中的元素为2个奇数3个偶数，共616⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数1个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数2个偶数，共133⨯=种；若集合Q 中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q 的个数为771818633163+++++++=.故答案为：63.二、单选题13．（2022·上海·模拟预测）已知集合(){},2A x y x y =+=，(){},24B x y x y =-=-，则A B = （）A ．{}0,2B ．()0,2C ．∅D ．(){}0,214．（2023·上海普陀·二模）设,a b 为实数，则“0a b >>”的一个充分非必要条件是（）A >B ．22a b >C ．11b a >D ．a b b a->-15．（2023·上海普陀·一模）设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【解析】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.16．（2021·上海青浦·一模）设函数,()1,x x P f x x M x -∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，其中,P M 是实数集R 的两个非空子集，又规定()(){},A P y y f x x P ==∈，()(){},A M y y f x x M ==∈，则下列说法：（1）一定有()()A P A M ⋂=∅；（2）若P M R ⋃≠，则()()A P A M R ⋃≠；（3）一定有P M ⋂=∅；（4）若P M R ⋃=，则()()A P A M R ⋃=.其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的定义、一次函数和反比例函数的性质，结合集合交集、并集的运算定义进行判断即可.【解析】函数()f x 是分段函数，故P M ⋂=∅一定成立，因此说法（3）正确；对于（1）：当{}{}1,1P M =-=时，根据已知的规定，有{}{}()1,()1A P A M ==，显然()(){}1A P A M ⋂=≠∅，因此说法（1）不正确；对于（4）：当(,1),[1,)P M =-∞=+∞时，显然满足P M R ⋃=成立，根据已知的规定，有()(1,),()(0,1]A P A M =-+∞=，显然()()(1,)(0,1]A P A M R ⋃=-+∞⋃≠，因此说法（4）不正确；对于（2）来说，当P M R ⋃=时，()()A P A M R ⋃=不一定成立，故当P M R ⋃≠时，显然()()A P A M R ⋃≠一定成立，因此说法（2）正确，所以只有（2）（3）说法正确.故选：B三、解答题17．（2017·上海浦东新·三模）数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a ⋅⋅⋅()*N n ∈组成集合{}12,,,n n A a a a =⋅⋅⋅，从集合n A 中任取(1,2,3,,)k k n =⋅⋅⋅个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列{21}n -，当1n =时，1{1},A =11;T =2n =时，2{1,3},A =113,T =+213T =⋅；(1)若集合{1,3,5,,21}n A n =⋅⋅⋅-，求当3n =时，1,T 2,T 3T 的值；(2)若集合{}1,3,7,,21n n A =⋅⋅⋅-，证明：n k =时集合k A 的m T 与1n k =+时集合1k A +的m T （为了以示区别，用m T '表示）有关系式()1121k m m m T T T +-'=-+，其中*,N ,m k ∈2m k ≤≤；(3)对于（2）中集合n A ．定义12=+++…n n S T T T ，求n S （用n 表示）．。
高考数学专题《集合》习题含答案解析
专题1.1 集合1．（2020·海南高考真题）设集合A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则AB =（ ） A ．{1，3，5，7} B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C【解析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A {2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B =故选：C2．（2021·河北邯郸市·高三二模）已知集合{}5U x x =∈≤N ，{1,2}A =，则U A （）A ．{}0,3,5B ．{}0,3,4C ．{}3,4,5D ．{}0,3,4,5【答案】D【解析】由补集的定义可得.【详解】因为全集{0,1,2,3,4,5}U =，{1,2}A =，所以{0,3,4,5}U A =．故选: D3．（2020·全国高一课时练习）下列集合中，结果是空集的是( )A ．{x ∈R |x 2-1=0}B ．{x |x >6或x <1}C ．{(x ，y )|x 2+y 2=0}D ．{x |x >6且x <1}【答案】D【解析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】 练基础A 选项：21{|10}x R x ±∈∈-=，不是空集；B 选项：7∃∈{x |x >6或x <1}，不是空集；C 选项：(0,0)∈{(x ，y )|x 2+y 2=0}，不是空集；D 选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x |x >6且x <1}=∅.故选：D4．（2020·北京高考真题）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则AB =（ ）．A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2} 【答案】D【解析】根据交集定义直接得结果.【详解】 {1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=，故选：D.5.【多选题】（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知集合{}22133A a aa =+++,,，且1A ∈，则实数a 的可能值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2- 【答案】ABD【解析】由已知条件可得出关于实数a 的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数a 的值.【详解】已知集合{}22133A a a a =+++,,且1A ∈，则11a +=或2331a a ++=，解得0a =或1a =-或2a =-.若0a =，则{}2,1,3A =，合乎题意；若1a =-，则{}2,0,1A =，合乎题意；若2a =-，则{}2,1,1A =-，合乎题意.综上所述，0a =或1a =-或2a =-.故选：ABD.6．（2021·云南昆明市·昆明一中高三其他模拟（文））已知集合{}1,0,1,2,3,4,5,6U =-，{}1,2,3,6A =，{}1,0,1,4,6B =-，则()U A B =（ ）A ．{}1,0,4,5-B ．{}1,0,4-C ．{}0,4D ．{}4【答案】B【解析】首先求出U A ，然后可得答案.【详解】因为{}1,0,4,5U A =-，所以(){}1,0,4U A B =-，故选：B7.（2018·天津高考真题（理））设全集为R ，集合，，则（） A ． B ． C ． D ．【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项.8．（2017·全国高考真题（理））已知集合A ={x |x <1}，B ={x |}，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】∵集合∴ {}02A x x =<<{}1B x x =≥()A B =R {}01x x <≤{}01x x <<{}12x x ≤<{}02x x <<R C B {}|1R C B x x =<(){}01R A C B x ⋂=<<31x <{|0}A B x x =<A B R ={|1}A B x x =>A B =∅{|31}x B x =<{}|0B x x =<∵集合∴，故选A9．（2010·湖南省高考真题）已知集合，，则下列式子正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】因为集合，所以选C.10．（2019·安徽省高三二模（理））已知集合{}|21,A x x x Z =-<≤∈，则集合A 中元素的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】 {}{}|21,1,0,1A x x x Z =-<≤∈=-，所以集合A 中元素的个数为3.故选：D.1．（2020·陕西省高三三模（文））设集合{}|31A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是（ ）A ．25m <<B ．25m ≤<C ．25<≤mD ．25m ≤≤【答案】C【解析】因为集合{|31}A x x m =-<，而1A ∈且2A ∉， 311m ∴⨯-<且321m ⨯-≥，解得25<≤m ．故选：C ．2．（2019·凤阳县第二中学高三期中（文））下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；{|1}A x x =<{}|0A B x x ⋂=<{}|1A B x x ⋃=<{1,2,3}M ={2,3,4}N=M N ⊆N M ⊆{,}M N 23={1,4}M N ={1,2,3}M ={2,3,4}N ={}2,3,N M ⋂=∴练提升④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误.对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.故选：C.3．（2021·浙江高一期末）已知集合{}0,1,2,3,4M =，{}2,4,6N =，P M N =⋂，则满足条件的P 的非空子集有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个【答案】A【解析】由交集定义可得集合P ，由P 的元素个数计算得到结果.【详解】 {}2,4P MN ==，P ∴的非空子集有2213-=个.故选：A. 4．（2021·辽宁高三二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．16B ．18C ．14D ．8 【答案】A【解析】由题设，列举法写出集合A B *，根据所得集合，加总所有元素即可.【详解】由题设知：{1,2,3,4,6}A B *=，∴所有元素之和1234616++++=.故选：A.5．（2020·浙江省高三其他）设全集[]0,3U =，[]0,2P =，[]1,3Q =，则()U C P Q ⋂=（ ）A ．(]2,3B ．()1,2C ．[)0,1D ．[)(]0.12,3 【答案】A【解析】∵[][]0,3,0,2U P ==，∴(]2,3U C P =，又[]1,3Q =，∴()(]2,3U C P Q =， 故选：A ．6．（2020·江西省高三其他（理））已知集合{}2,,0A a a =，{}1,2B =，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．±1 【答案】A【解析】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈，又2a a ≠，所以0a ≠且1a ≠，所以21a =，所以1a =-(1a =已舍)，此时满足{}1A B ⋂=.故选：A7．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则A B =（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 【答案】C【解析】由()()2430130x x x x -+<⇒--<所以13x <<，所以()1,3A =又(){|24}2,4B x x =<<=，所以(2,3)A B ⋂=故选：C8．（2019·北京临川学校高二期末（文））已知集合A ={−1,3}，B ={2,a 2}，若A ∪B ={−1,3,2,9}，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．±3C ．−1D ．3 【答案】B【解析】∵集合A ={−1,3}，B ={2,a 2}，且A ∪B ={−1,3,2,9}，∴a 2=9，因此，a =±3，故选：B.9．（2021·全国高三月考（理））已知集合(){},1A x y y ==，(){}22,2B x y x y =+≤，则集合A B 中含有的元素有（ ）A ．零个B ．一个C ．两个D ．无数个 【答案】D【解析】确定集合A 、B 的几何意义，数形结合可得结果.【详解】集合A 表示直线1y =上的点，集合B 为半径的圆及其内部的点， 如图所示．A B 表示两图形的交点的集合，该集合有无数个元素．故选：D.10．（2020·全国高三一模（理））已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．0或2-C ．0或2D ．2【答案】C【解析】若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∴2480a a =-=△，∴0a =或2.故选：C1.（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D【解析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.2.（2020·海南高考真题）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（ ）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C【解析】根据集合并集概念求解. 练真题【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==故选：C3.（2020·天津高考真题）设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =（ ）A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}--- 【答案】C【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：{}U 2,1,1B =--，则(){}U 1,1A B =-.故选：C.4.（2020·全国高考真题（文））已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】 由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B 5．（2017·全国高考真题（理））已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】 集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.。
专题1-1 集合及集合思想应用(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)
专题1-1 集合及集合思想应用目录讲高考 (1)题型全归纳 ................................................................................................................................................... 3 【题型一】集合中元素表示 ................................................................................................................... 3 【题型二】集合元素个数 ........................................................................................................................ 4 【题型三】知识点交汇处的集合元素个数........................................................................................ 5 【题型四】由元素个数求参 ................................................................................................................... 7 【题型五】子集关系求参 ........................................................................................................................ 8 【题型六】集合运算1：交集运算求参 .......................................................................................... 10 【题型七】集合运算2：并集运算求参 .......................................................................................... 12 【题型八】集合运算3：补集运算求参 .......................................................................................... 13 【题型九】应用韦恩图求解 ................................................................................................................ 15 【题型十】集合中的新定义 ................................................................................................................ 18 专题训练 .. (20)讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()UA B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-, 所以(){}U 2,0A B ⋃=-. 故选：D.2.（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ） A ．∅ B ．S C ．T D ．Z 【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.3．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()UM N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =，则(){}5U M N =.故选：A.6．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么E F 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E ，F ，再利用交集的运算求解.【详解】∵5{cos sin ,02}44E πθθθθπθθπ⎧⎫=<≤≤=<<⎨⎬⎩⎭∣∣， {}tan sin ,2F k k k πθθθθπθππ⎧⎫=<=+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，∵2E F πθθπ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣.故选：A.7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34π B ．π C ．2π D ．3π 【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且2362332BO =⨯⨯=，故361226PO =-=.因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M N B ．M N C ．M N ⊆ D ．M N【答案】B 【分析】对于集合N ，令2()k m m =∈Z 和21()k m m Z =-∈，即得解. 【详解】{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈， 对于集合N ，当2()k m m =∈Z 时，22m x ππ=+，m Z ∈； 当21()k m m Z =-∈时，24m x ππ=+，m Z ∈．M N ∴，故选：B ．1.以下四个写法中：∵ {}00,1,2∈；∵{}1,2∅⊆；∵{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；∵A A ⋂∅=，正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C对于∵，{}00,1,2∈正确；对于∵，因为空集是任何集合的子集，所以{}1,2∅⊆正确；对于∵，根据集合的互异性可知{}{}0,1,2,3=2,3,0,1正确；对于∵， A ∅=∅，所以A A⋂∅=不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.2.下面五个式子中：∵{}a a ⊆；∵{}a ∅⊆；∵{a }∈{a ，b }；∵{}{}a a ⊆；∵a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ） A ．∵∵∵ B ．∵∵∵∵ C ．∵∵ D ．∵∵ 【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案. ①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确； {}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确； a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确. 故选：A.3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3 【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值. 0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∵0a =或3a =均可以.故选：C【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】B 【分析】解指数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数. 【详解】 由113381x -<≤得411333x --<≤，411x -<-≤，解得32x -<≤，所以{}2,1,0,1,2A =--.由203x x +<-解得23x -<<，所以{}1,0,1,2B =-.所以{}|,,z z xy x A y B =∈∈{}2,0,2,4,1,1,4=---，共有7个元素.故选：B. 例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______． 【答案】11； 682． 【详解】 试题分析：当时，，，即，，由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，1.若集合{}2N log3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【分析】分别求出集合,A B ，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．由题意得，{}{}081,2,3,4,5,6,7A x x =∈<<=N ，{}3B x x =≥，故{}3,4,5,6,7A B =，有5个元素. 故选：C2.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为A ．3B ．4C ．6D ．9 【答案】B【分析】根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数.因为x A ∈，y A ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.3.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D{}{}{}2**|70,|07,1,2,3,4,5,6A x x x x x x x =-<∈=<<∈=N N , {}*6|,1,2,3,6B y y A y ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭N ,则B 中的元素个数为4个.本题选择D 选项.【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 【答案】C求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，其中关于直线y x =对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．因为(2,3)S ∈,S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =对称，所以(2,3),(2,3),(2,3),(3,2),(32),S S S S S --∈-∈-∈∈--∈，(32),S ∈，-(32),S -∈，所以S 中的元素个数至少有8个， 故选：C.例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】将1111=()i j i j AB A A A B B B ++代入11i j A B A B ⋅,结合111j A B A A ⊥和111j A B B B ⊥({}2,3,4j ∈)化简即可得出集合中元素的个数.∵当11i j A B A B ≠时 正方体12341234A A A A B B B B -∴111j A B A A ⊥ 故:1110j A B A A ⋅= ({}2,3,4j ∈)∴111j A B B B ⊥ 故:1110j A B B B ⋅= ({}2,3,4j ∈)1111()i j i j A B A A A B B B =++∴11111111()i j i j A B A B A B A A A B B B ⋅=⋅++2111111111j j A B A A A B A B B B =⋅++⋅= {}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.∵11=i j A B A B 时.2111111111i j x A B A B A B A B A B =⋅=⋅==此时{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.综上所述, {}{}{|,1,2,3,4,1,2,3,4}x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.故选:A.1.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A ．11 B ．9 C ．6 D ．4 【答案】A【分析】由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法； 2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法； ∴C 中元素有11个． 故选A ．2.已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．3.若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0=t 时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．【题型四】由元素个数求参【讲题型】例题1.若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或4 【答案】A2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选 考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 例题2.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则 A ．8k > B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥【答案】C试题分析：因为{}21log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元4【练题型】1.已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或2- C ．0或2 D ．2 【答案】C 【分析】根据题意转化为抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，只需2480a a =-=△即可求解.若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∵2480a a =-=△，∵0a =或2.故选：C 2.．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥ 【答案】A先理解题意，然后分∵当11x =±,10y =时,∵当10x =,11y =±时, ∵当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,∵当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----, 123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,∵当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---, 124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第∵种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ∵当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个, 综合∵∵∵可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A.3.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定【答案】B因为A 中只有一个元素，所以方程2210ax x ++=只有一个根，当a=0时，12x =-;当0a ≠时，440,1a a ∆=-==，所以a=0或1.【题型五】子集关系求参【讲题型】例题1.已知集合{}(){}1,0A B x x x a ==-<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【分析】先化简集合A ，,B 再根据A B ⊆得解. 【详解】112x =>≤≤，故[]1,2A =， 当0a <时，(,0)B a =，显然不满足A B ⊆； 当0a =时，B =∅，显然不满足A B ⊆；当0a >时，(0,)B a =，若2A B a ⊆⇒>.故选：D例题2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B先化简集合A ，再由B A ⊆建立不等式组即可求解 【详解】{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，由B A ⊆且B 为非空集合可知，应满足211312a a a a-≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>-，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B1.若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ） A ．{}|27a a ≤≤ B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅【答案】C考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.2. {}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．23m ≤≤ C ．3m ≤ D ．23m <<【答案】C由B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，因为B A ⊆， （1）当B =∅时，可得121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆，符合题意；（2）当B ≠∅时，由B A ⊆，则满足12121215m m m m +≤-⎧⎪-≤+⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤. 故选：C.3.已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ）A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【答案】A解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-；∵当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意；∵当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：A .【题型六】集合运算1：交集运算求参【讲题型】例题1.已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1 【答案】A【分析】将问题转化为“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行”，由此求解出a 的取值.【详解】因为A B =∅，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=没有交点， 所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行，所以()1230a a a ⨯+-⨯=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，两直线为：10x y -+=，10x y -+-=，此时两直线重合，不满足， 当3a =时，两直线为：330x y +-=，3910x y +-=，此时两直线平行，满足， 所以a 的值为3， 故选：A.例题2.已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0-- 【答案】D【分析】先求出集合A ，由A B B =得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆； 当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-， 综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .1.已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]1,4C ．[)1,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D由A B A =可得出A B ⊆，可知B ≠∅，解出集合B ，结合题意可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】A B A =且{}12A x x =<<，则A B ⊆，B ∴≠∅. 若0m <，则20m x -<，可得B =∅，不合乎题意；若0m ≥，则{{B x y x x ==，2≥，解得4m ≥.因此，实数m 的取值范围是[)4,+∞.故选：D.2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4 【答案】B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.3.已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．{}()12,∞⋃+ C ．{}[)12,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【分析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a 或211a +-解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭，，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a 或211a +-，即 2.a综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞.故选：C.【题型七】集合运算2：并集运算求参【讲题型】例题1..已知{|A x y ==，{}2|220B x x ax a =-++≤，若A B A ⋃=，那么实数a的取值范围是（ ） A ．(12)-， B ．182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．181,7⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由题意,可先化简集合A,再由A B A ⋃=得B A ⊆,由此对B 的集合讨论求a,由于集合B 可能为空集,可分两类探讨,当B 是空集时,与B 不是空集时,分别解出a 的取值范围,选出正确选项【详解】解：由题意,{|{|14}A x y x x ===, 由A B A ⋃=得B A ⊆又2{|220}B x x ax a =-++≤当B 是空集时,符合题意,此时有24480a a =--＜解得12a -＜＜当B 不是空集时,有2448014122016820a a a a a a a ⎧∆=--⎪⎪⎨-++⎪⎪-++⎩解得1827a ≤≤综上知,实数a 的取值范围是181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦故选：D例题2.设常数a∵R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∵B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞） 【答案】B【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.1.设集合{}2|(3)30A x x a x a =-++=，{}2|540B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{0}B ．{03}，C ．{013,4}，，D ．{13,4}，【答案】C【详解】试题分析：B={1,4},2(3)30x a x a -++=两根是x=3，x=a ，当a=0、1、3、4时，满足集合A B ⋃中所有元素之和为8，故选C.2.非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ）A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由题知{}1,2A B ==，进而构造函数()21f x x mx =-+，再根据零点存在性定理得()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知{}0{|}13,2A x N x =∈<=<，因为A B A B =，所以A B =，所以{}2{|10,}1,2B y N y my m R =∈-+<∈=，故令函数()21f x x mx =-+，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，即103052020m m m -≥⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，解得51023m <≤，所以，实数m 的取值范围为510,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可.【详解】因为{}1,2,3M N =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意； 若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.【题型八】集合运算3：补集运算求参【讲题型】例题1.已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，{|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C ＞，=+⋃⊆ ，∵111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜； ∵m 0= 时，成立；∵1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜， 综上所述，112m -≤≤，故答案为112m -≤≤． 例题2..已知集合1121A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()R A B =∅，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．()0,∞+ D ．()1,+∞ 【答案】B解分式不等式求得集合A ，对a 进行分类讨论，结合()R A B =∅，求得实数a 的取值范围. 【详解】由1121210,021212121x x x x x x +--≤-=≤++++()2210210x x x ⎧-+≤⇔⎨+≠⎩12x ⇔<-或0x ≥.所以{1|2A x x =<-或}0x ≥，所以1|02R A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭.由()()2210x a x a ---=，解得2x a =或21x a =+.2122a a a +≥=≥，当1a =时，221a a =+，此时B =∅，满足()R A B =∅；当1a ≠时，{}2|21B x a x a =<<+，由()R A B =∅得201a a ≥⎧⎨≠⎩，即0a ≥且1a ≠.综上所述，实数a 的取值范围是[)0,+∞. 【讲技巧】补集运算：1.符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．2.图形语言：【练题型】 1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}21,1,4A a =-，{}2,3UA a =+，则a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．2-D ．2【答案】D【分析】根据集合A 及其补集情况分情况讨论即可.【详解】由已知得{}21,2,4,1,3a a U -+=，所以21335a a ⎧-=⎨+=⎩或21533a a ⎧-=⎨+=⎩，解得2a =，故选：D.2.已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1U A =，则a 的所有可能值形成的集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅【答案】A【解析】由U A U ⊆，可得21a =，即1a =±，当1a =时，不符合元素的互异性，1a =-时，符合题意.【详解】由U A U ⊆，即{}1{}22,4,a ⊆，则21a =，解得1a =±，若1a =，则34a +=，而{}4,3A a =+，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若1a =-，则{}2,4,1U =，{}4,2A =，{}1UA =，符合题意.所以a 的所有可能值形成的集合为{}1-.故选：A.3.已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________ 湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题 【答案】2【分析】要求a 的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a 为未知数，此题应该进行分类讨论【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足 ()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或 分两种情况进行讨论：在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合∵，故舍去． 在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合∵，故舍去，a=2能满足∵∵∵，故a=2符合题意．答案为：2【题型九】应用韦恩图求解【讲题型】例题1.全集U =R ，集合04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞【答案】C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C .例题2.已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1 【答案】C【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤， ∵(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤， 故选：C【练题型】1.若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}|21x B x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）【讲技巧】并集运算韦恩图：符号语言 Venn 图表示A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }交集运算韦恩图符号语言Venn 图表示A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }补集运算韦恩图图形语言：A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞ 【答案】D 【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,A B ，阴影部分表示的集合是U B A ，计算得到答案.【详解】(){}{}|lg 66A x y x x x ==-=<，{}{}210xB x x x ==>，阴影部分表示的集合是(]()(]U,0,6,0BA =-∞-∞=-∞.故选：D.2.已知全集U R =，集合{}2313100M x x x =--<和{}2,N x x k k Z ==∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 【答案】C【分析】由题意首先求得集合M ，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.【详解】求解二次不等式2313100x x --<可得2|53M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，集合{}|2,N x x k k Z ==∈表示所有的偶数组成的集合， 由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合M N ⋂，由于区间2,53⎛⎫- ⎪⎝⎭中含有的偶数为0,2,4，故{}0,2,4M N ⋂=，即阴影部分所示的集合的元素共有3个. 本题选择C 选项.3.已知集合{|{||1|2}M x y N x x ==+≤，且 M 、M 都是全集 I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≤B ．{|31}z z -≤≤C ．{|3z z -≤<D ．{|1x x <≤【答案】C【详解】试题分析：{{}|,|31{|I M x x N x x C M x x ==-≤≤⇒=I N C M ⇒⋂={|3x x -≤<,故选C ．【题型十】集合中的新定义【讲题型】例题1定义运算.()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨-<⎩若{}()(){}221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =_______.【答案】3【分析】由新定义1A B *=得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程2220x ax x ax 根的个数，即等价于研究两个方程20x ax 、220x ax ++=根的个数.【详解】2220x ax x ax等价于20x ax∵或220x ax ++=∵.由{}1,2A =，且*1A B =，得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合. 若集合B 是单元素集合，则方程∵有两相等实根，∵无实数根，可得0a =；若集合B 是三元素集合，则方程∵有两不相等实根，∵有两个相等且异于∵的实数根，即280a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±综上所述，0a =或a =±3C S. 例题2..对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x 两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得2<<1x -，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩∵. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩∵.要使()()1A B f x f x ⋅=-，由∵∵可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+. 故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【练题型】1.设A 、B 、C 是集合，称(,,)A B C 为有序三元组，如果集合A 、B 、C 满足||A B =||||1B C C A ==，且A B C =∅，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（其中||S 表示集合S 中的元素个数），如集合{1,2}A =，{2,3}B =，{3,1}C =就是最小相交有序三元组，则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________ 【答案】7680 【分析】令S ={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x ，y ，z ∵S ，使得A∩B ={x }，B ∩C ={y}，C ∩A ={z }，而要确定x ，y ，z 共有6×5×4种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数．【详解】令S ={1，2，3，4，5，6}，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x ，y ，z ∵S ，使得A ∩B ={x }，B ∩C ={y }，C ∩A ={z }，（如图），要确定x ，y ，z 共有6×5×4种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有43种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数6×5×4×43=7680． 故答案为：7680 2.．集合{}6666,11135,2333,10,99111,1,198,1000,0,M π=---有10个元素，设M 的所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，每一个i M 中所有元素乘积为()1,2,,1023i m i =⋅⋅⋅，则1231023m m m m +++⋅⋅⋅+=_____.【答案】1-【分析】将这1023个子集分成以下几种情况：∵含0的子集；∵不含0，含1-且还含有其他元素的子集；∵不含0，不含1-但含有其他元素的子集；∵只含1-的子集一个.将每种情况下的i m 计算出来，并根据∵∵中的集合是一一对应的，求满足的i m ，可得答案. 【详解】M 所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，这1023个子集分成以下几种情况： ∵含0的子集512个，这些子集均满足0i m =；∵不含0，含1-且还含有其他元素的子集255个； ∵不含0，不含1-但含有其他元素的子集有255个； ∵只含1-的子集一个{}1-，满足1i m =-.其中∵∵中的集合是一一对应的，且满足i m 对应成相反数，因此，12310235120255011m m m m ++++=⨯+⨯-=-. 故答案为：1-.3.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中：∵{}0x x ∈≠Z ；∵{},0x x x ∈≠R ；∵1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；∵,1n x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______．上海市延安中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题 【答案】∵∵【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，∵对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{}0x x x ∈∈≠Z ，都有00x x -=或者01x x -≥，也就是说不可能000.5x x <-<，从而0不是{}0x x ∈≠Z 的聚点；∵集合{}0x x ∈≠R ，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得02ax a <=<，∵0是集合{}0x x ∈≠R 的聚点；∵集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n<=<，∵0是集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 的聚点；∵中，集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∵在12a <的时候，不存在满足得0x a <<的x ，∵0不是集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 的聚点． 故答案为：∵∵．一、单选题1．已知集合{}N 23A x x =∈-<<，则集合A 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．14 D ．15 【答案】A【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可. 【详解】因为{}{}N 230,1,2A x x =∈-<<=，所以集合A 的元素个数为3，因此集合A 的所有非空真子集的个数是3226-=， 故选：A2．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}【答案】C 【分析】先求UB ，再求并集即可.【详解】由题可知：{0,1}U B =， 而{0,1,2,3}A =，所以(){0,1,2,3}U A B =. 故选：C3．如图，设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．()M P SB ．()U M P S ⋂⋂C ．()M P SD ．()U M P S ⋂⋃【答案】B【分析】根据韦恩图，利用集合的运算即可求解.【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x S ∉，∴U x S ∈，且x MP ∈， 因此()U x MP S ∈．故选：B ． 4．设集合P ，Q 都是实数集R 的子集，且()R P Q =∅，则P Q =（ ）A ．∅B ．RC ．QD ．P【答案】D【分析】由题设交集的结果知P Q ⊆，进而可得P Q .【详解】由()R P Q =∅知：P Q ⊆，所以P Q P =.故选：D5．设集合{}2,,0A a a =-，{}2,4B =，若{}4A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．2或-4C ．2D ．-4【答案】B【分析】根据给定条件可得4A ∈，由此列出方程求解，再验证即可得解．【详解】因{}4A B ⋂=，则4A ∈，即4a =-或24a =，当4a =-时，{}16,4,0A =，{}4A B ⋂=，符合题意，当24a =时，解得2a =或2a =-，若2a =，则{}2,4,0A =-，{}4A B ⋂=，符合题意，若2a =-，则{}2,4,0A =，{}2,4A B =，不符合题意，于是得2a =或4a =-，所以实数a 的值为2或4-．故选：B6．集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．113a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{}10a a a <-≥或D ．10013a a a ⎧⎫-≤<<<⎨⎬⎩⎭或 【答案】A【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况，建立条件关系即可求实数a 的取值范围.【详解】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +≤无解，此时0a =，满足题意； ②当B ≠∅时，即10ax +≤有解当0a >时，可得1x a ≤-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<当a<0时，可得1x a ≥-，要使B A ⊆，则需要013a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得103a -≤< 综上，实数a 的取值范围是113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭故选：A.7．用()C A 表非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}(){}21,20A B x x x ax ==++=∣，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．9【答案】C【分析】由新定义，确定()1C A =，再由新运算确定()C B ，并由集合B 的定义确定()2C B =，然后由判别式求得a 值，得集合S ，从而得结论．【详解】由已知()1C A =，又*1A B =，所以()0C B =或()2C B =，又2(2)0x x ax ++=中0x =显然是一个解，即0B ∈，因此()1C B ≥，所以()2C B =， 所以220x ax ++=有两个相等的实根且不为0，280a ∆=-=，a =±{S =-，所以()2C S =．故选：C ．8．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 【答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <- 即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m +<⇒<-，由B A ⊆， 可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤ 当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆， 可得1133m m -≥⇒≥-，即103m -≤< 综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.二、填空题9．若集合{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，且{|1}A B x x ⋃=<，则实数a 的取值范围为_________.【答案】[)3,1-【分析】根据已知条件{}|1A B x x =<，运用集合并集运算定义，列出关于参数a 的不等式，即可求得参数的取值范围.【详解】已知{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，{}|1A B x x =<，∴31a -≤<，故参数a 的取值范围为[)3,1-.故答案为：[)3,1-10．已知A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{}222124a a a ，，且a 1＜a 2＜a 3＜a 4，其中ai ∈Z （i ＝1，2，3，4），若A ∩B ＝{a 2，a 3}，a 1+a 3＝0，且A ∪B 的所有元素之和为56，求a 3+a 4＝_____．【答案】8【分析】先通过()A B B ⊆，判断得20a ≥，分类讨论20a >与20a =的情况，得到11a =-，20a =，31a =，再求A B ⋃的元素，进而得到24456a a +=，解得47a =，故得答案．【详解】由130a a +=得13a a =-，所以2213a a =，又因为()A B B ⊆，即{}{}22223124a a a a a ⊆，，，，所以20a ≥， （1）若20a >，因为2Z a ∈，所以21a ≥，此时222a a ≤，22331a a a <=，244a a <，即2432a a a >>，故{}2423a a a ∉，，从而{}{}222312a a a a =，，， 所以221232==a a a a ⎧⎨⎩，则2443213a a a a ===，即30a =或1，与32a a >矛盾； （2）若20a =，则4320a a a >>=，244a a >，即2432a a a >>，所以{}2423a a a ∉，， 从而{}{}222312a a a a =，，，显然222223130a a a a a ====，，即30a =或1， 而30a =与32a a >矛盾，故31a =，131a a =-=-，又{}212344A B a a a a a =，，，，，故21234456a a a a a ++++=， 将11a =-，20a =，31a =代入，得到24456a a +=，解得47a =或48a =-（舍去），所以348a a +=．故答案为：8．11．已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.【分析】求得,B C 中所有元素之和后，根据C 中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断C 中元素不同个数时可能的结果即可.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=；若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C ab a b =<，则()55ab a b =-+，当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++；当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴=若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<，则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7.故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对C 中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列C 中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.12．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为Xi （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为___．【答案】132【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【详解】集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，由集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M 可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X 1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X 2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X 3最小值为10；则X 1+X 2+X 3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34； 含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27； 含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X 1+X 2+X 3的最大值为34+27+20＝81；所以X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．。
2020年高考总复习理科数学题库第一章《集合》AAN
2020年高考总复习 理科数学题库第一章 集合学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则U A ð等于 A ． { x ∣0≤x ≤2} B { x ∣0<x<2}C ． { x ∣x<0或x>2}D { x ∣x ≤0或x ≤2}（2009福建卷理）2．设全集为I ，非空集合A ，B 满足A ⊂B ，则下列集合中为空集的是----------------（ ）A.A ∩BB.A ∩BC.A ∩BD.A ∩B 3．集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .4．若全集U=｛x ∈R|x 2≤4} A=｛x ∈R||x+1|≤1}的补集CuA 为 A |x ∈R |0＜x ＜2| B |x ∈R |0≤x ＜2| C |x ∈R |0＜x≤2| D |x ∈R |0≤x≤2|5．已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A ∩B=A （-∞，-1）B （-1，-23）C （-23,3）D (3,+∞)6．已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则)()(B C A C U U I 为(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}7．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C A B U 为 （A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,48．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =I （ ） A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]9．设全集是实数集R ，M x x =-≤≤{|}22，N x x =<{|}1，则N M C R I )(等于（ ） A. {|}x x <-2 B. {|}x x -<<21 C. {|}x x <1 D. {|}x x -≤<21（2004北京理1）10．若集合{},{}x A x x B x x-2=-1≤2+1≤3=≤0，则A B ⋂= A. {}x x -1≤<0 B. {}x x 0<≤1C. {}x x 0≤≤2D.{}x x 0≤≤1 (2011年高考江西卷理科2)1．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}， 则A ∩ B 的元素个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3(2011年高考广东卷理科2)11．若A={}|10x x +>，B={}|30x x -<，则A B I =(A)(-1，+∞) (B)(-∞，3) (C)(-1，3) (D)(1，3)12．满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a =I 的集合M 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（2008山东理） 1．（文科1）13．设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =IＡ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x << Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<< 关键字：解绝对值不等式；解一元二次不等式；求交集【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式，考查集合的运算，基础题。
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课时作业1 §1.1集合
对应学生用书P 261
一、选择题
1．下列集合中恰有2个元素的集合是( ) A ．{x 2－x ＝0} B ．{y |y 2－y ＝0} C ．{x |y ＝x 2－x }
D ．{y |y ＝x 2－x }
解析：A 选项集合表示只有一个方程x 2－x ＝0的集合．B 中，∵
y 2－y ＝0，∴y ＝0或y ＝1，∴{y |y 2－y ＝0}＝{0,1}，恰有两个元素；
C 中集合表示函数y ＝x 2－x 的定义域，为R ；
D 中集合表示的是y ＝
x 2
－x 的值域为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－14，＋∞.
答案：B
2．(2013·浙江卷)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )
A ．(－2,1]
B ．(－∞，－4]
C ．(－∞，1]
D ．[1，＋∞)
解析：∁R S ＝{x |≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，故(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}．
答案：C
3．(2013·广州测试)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )
A ．mn
B ．m ＋n
C ．m －n
D ．n －m
解析：作出韦恩图，可知m >n ，且A ∩B 的元素个数肯定比m 小，只有C 符合要求．
答案：C
4．设集合A ＝{3，log 2(a 2－3a ＋4)}，集合B ＝{2，a,6}，若A ∩B ＝{1}，则集合A ∪B 的真子集个数是( )
A ．15
B ．12
C ．7
D ．3
解析：依题意，log 2(a 2－3a ＋4)＝1，所以a 2－3a ＋4＝2，即a 2
－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2，而B ＝{2，a,6}，所以a ＝2舍去．所以A ∪B ＝{1,2,3,6}，因此集合A ∪B 的真子集的个数是24－1＝15.
答案：A
5．(2013·天津调查)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )
A ．Ø
B ．{0}
C ．{x |－2<x <1}
D ．{x |－2<x <0或0<x <1}
解析：由于只有实数间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔
⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋a <2，b ＝c ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
－2<a <1，
b ＝
c ＝0，
因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故
A ∩(∁R
B )＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．
答案：D
6．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解析：|x－a|<1⇔－1<x－a<1⇔a－1<x<a＋1，|x－b|>2⇔x<b －2或x>b＋2，∵A⊆B，∴a＋1≤b－2，或b＋2≤a－1，即b－a≥3或a－b≥3⇒|a－b|≥3.
答案：D
二、填空题
7．已知A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：∵A＝{y|y＝(x－1)2－2，x∈R}＝{y|y≥－2}，B＝{y|－2≤y<8}，∴B A.
答案：B A
8．(2013·山西月考)设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.
解析：依题意得A＝{0,3}，因此有32＋3m＝0，m＝－3.经检验，符合条件．
答案：－3
9．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是________．(写出所有凸集相应图形的序号)
解析：在图形①中，连接最上面的两个端点的线段，显然不在图形中；②满足新定义；③满足新定义；④不满足，当分别连接两个圆上的点时不满足新定义．
答案：②③
10．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49%，电视机拥有率85%，洗衣机拥有率为44%，拥有上述三种电器中两种或三种的占63%，三种电器齐全的为25%，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为________．
解析：不妨设调查了100户农户，
U ＝{被调查的100户农户}， A ＝{100户中拥有电冰箱的农户}， B ＝{100户中拥有电视机的农户}， C ＝{100户中拥有洗衣机的农户}，
由图可知，A ∪B ∪C 的元素个数为49＋85＋44－63－25＝90. ∴∁U (A ∪B ∪C )的元素个数为100－90＝10. ∴所占比例为：10%. 答案：10% 三、解答题
11．(1)已知A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}且1∈A ，求实数a 的值；
(2)已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}且M ＝N ，求a ，b 的值． 解：(1)由题知：a ＋2＝1或(a ＋1)2＝1或a 2＋3a ＋3＝1， ∴a ＝－1或－2或0，据元素的互异性排除－1，－2. ∴a ＝0即为所求．
(2)由题知，⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2a
b ＝b 2
或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝
b 2
b ＝2a ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝0或
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝14
b ＝12
，据元素的互异性得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝0
b ＝1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝
14
b ＝1
2
即为所求．
12．设全集U ＝R ，函数y ＝log 2(6－x －x 2)的定义域为A ，函数y ＝
1
x 2－x －12的定义域为B .
(1)求集合A 与B ； (2)求A ∩B 、(∁U A )∪B .
解：(1)函数y ＝log 2(6－x －x 2)要有意义需满足：6－x －x 2>0，解得－3<x <2，
∴A ＝{x |－3<x <2}． 函数y ＝ 1x 2－x －12
要有意义需满足x 2
－x －12>0，解得x <
－3或x >4，
∴B ＝{x |x <－3或x >4}． (2)A ∩B ＝Ø.
∁U A ＝{x |x ≤－3或x ≥2}， ∴(∁U A )∪B ＝{x |x ≤－3或x ≥2}．
13．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若A
B ，求a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围； (3)若A ∩B ＝{x |3<x <4}，求a 的取值范围． 解：∵A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}， ∴A ＝{x |2<x <4}．
(1)当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，当A
B 时，
应满足⎩⎪⎨
⎪⎧
a ≤2，
3a >4.
或⎩⎪⎨⎪⎧
a <2，
3a ≥4
⇒4
3
≤a ≤2； 当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，当A
B 时，
应满足⎩⎪⎨
⎪⎧
3a ≤2
a >4
或⎩⎪⎨⎪⎧
3a <2
a ≥4
⇒a ∈∅，∴4
3
≤a ≤2时，A
B .
(2)要满足A ∩B ＝∅，
当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，a ≥4或3a ≤2， ∴0<a ≤2
3
或a ≥4；
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，a ≤2或a ≥4
3，
∴a <0，验证知当a ＝0时也成立．
综上所述，{a |a ≤2
3，或a ≥4}时A ∩B ＝∅.
(3)要满足A ∩B ＝{x |3<x <4}， 显然a >0且a ＝3时成立，
此时B ＝{x |3<x <9}，且A ∩B ＝{x |3<x <4}．
故所求a的值为3.
中小学生培训学校
暑假各科目话术
（内涵科目）
语文数学物理化学英语政治地理历史
（涉及年级）
小学二年级至高三。