第8章 相关分析与回归分析及答案
统计学 第8章 相关与回归分析
2
-1 1 0 -1 -2 0 1 -2
4
1 1 0 1 4 0 1 4 20
6 * 20 r 1 2 1 0.8788 2 n(n 1) 10 * (10 1)
6 d 2
8.3
8.3.1 8.3.2 8.3.3 8.3.4 8.3.5
一元线性回归
一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归直线的拟合优度 显著性检验 利用回归方程进行预测
共计
325
462 77
445 89
707 101
685 137
1043 149
E(Y|X) 65
Y
X=X1时Y 的分布
X=X2时Y 的分布 X=X3时Y 的分布
b0
X=X1时的E(Y)
b0+ b 1X
X=X2时的E(Y) X=X3时的E(Y)
X1=80
X2=100
X3=120
X
总体回归函数
(population regression function)
相关系数的显著性检验
(检验的步骤)
1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系 2. 利用样本的相关系数对总体相关系数进行 检验 3. 采用R.A.Fisher提出的 t 检验 4. 检验的步骤为
提出假设：H0： ；H1： 0
n2 计算检验的统计量： tr ~ t (n 2) 2 1 r 确定显著性水平，并作出决策
2
2
或化简为 r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
例 产品产量与单位成本相关系数
产 月 量 份 x 1 2 2 3 3 4 4 3 5 4 6 5 合 21 计 单位 成本 y 73 72 71 73 69 68
《应用统计学》第八章相关和回归分析
《应用统计学》第八章相关和回归分析相关和回归分析是统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系以及预测因变量的值。
本章将介绍相关和回归分析的原理和应用。
相关分析是研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
通过计算相关系数来衡量变量之间的线性相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于两个连续变量的相关分析，而斯皮尔曼相关系数适用于两个有序变量的相关分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的统计方法。
通过建立回归模型来预测因变量的值。
回归模型可以是线性模型、非线性模型或者多元回归模型。
线性回归模型的表达式为Y=a+bX，其中Y为因变量，X为自变量，a和b为参数。
回归分析有两个主要目的，一是预测因变量的值，二是研究自变量对因变量的影响程度和方向。
常用的回归分析方法有简单线性回归分析、多元线性回归分析和逻辑回归分析等。
相关和回归分析在实际应用中有着广泛的应用。
在社会科学研究中，相关和回归分析可以用来研究变量之间的关系，如收入和教育水平的相关性。
在医学研究中，相关和回归分析可以用来探索疾病与一些特定因素之间的关系，如高血压和体重的相关性。
在商业领域中，相关和回归分析可以用来分析销售量与广告投资的关系，预测未来的销售量。
需要注意的是，相关和回归分析只是描述性分析方法，并不能确定因果关系。
除了变量之间的线性关系，还可能存在其他非线性的关系。
此外，相关和回归分析只能用于连续变量的分析，不能用于分类型变量的分析。
在进行相关和回归分析时，需要注意几个问题。
首先是样本的选择和数据的收集，确保样本具有代表性，并获得准确和可靠的数据。
其次是确保数据满足相关和回归分析的假设前提。
例如，线性回归模型要求因变量与自变量之间呈线性关系，并且误差项满足正态分布和独立性。
最后是正确选择和解释统计指标，如相关系数和回归系数。
总之，相关和回归分析是应用统计学中常用的分析方法，用来研究变量之间的关系和预测因变量的值。
第八章 相关分析与回归分析
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19
③在数据区域中输入B2:C11，选择“系列产 生在—列”，如下图所示，单击“下一步” 按钮。
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第8章 回归分析
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20
④打开“图例”页面，取消图例，省略标题，如 下图所示。
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第8章 回归分析
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21
⑤单击“完成”按钮，便得到XY散点图如下图 所示。
n 8, x 36.4, x 207.54 , y 104214 y 880, . xy 4544 6
2 2
r
n xy x y n x2 x 2 n y2 y 2 8 4544 6 36.4 880 .
第8章 回归分析
40
（二）回归分析的种类： 1、按自变量 x 的多少，分为一元回归和多 元回归； 2、按 y 与 x 关系的形式，分为线性回归和 非线性回归。
第8章 回归分析
41
二、一元线性回归分析
x y 62 86 80 110 115 132 135 160
42
（一）一元线性回归方程：
2、非线性相关：当一个变量变动时， 另一个变量也相应发生变动，但这种变 动是不均等的。
第8章 回归分析
9
㈢根据相关关系的方向 1、正相关：两个变量间的变化方向一 致，都是增长趋势或下降趋势。 2、负相关：两个变量变化趋势相反。
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第8章 回归分析
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10
（四）根据相关关系的程度 1、完全相关：两个变量之间呈函数关系 2、不相关：两个变量彼此互不影响，其 数量的变化各自独立
第八章 相关与回归分析
相关系数的特点：
相关系数的取值在-1与1之间。 相关系数的取值在之间。 =0时 表明X 没有线性相关关系。 当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系。 表明X 当 时，表明X与Y存在一定的线性相关关 系； 表明X 为正相关; 若 表明X与Y 为正相关; 表明X 为负相关。 若 表明X与Y 为负相关。 表明X 完全线性相关； 当 时，表明X与Y完全线性相关； r=1， 完全正相关； 若r=1，称X与Y完全正相关； r=完全负相关。 若r=-1，称X与Y完全负相关
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 5 10
相关关系的类型
25
● 从变量相关关系变化的方向 方向看 方向 正相关——变量同方向变化 正相关 负相关——变量反方向变化 负相关 ● 从变量相关的程度看 完全相关 不完全相关 不相关
x
最小二乘法 ˆ ˆ (α 和 β 的计算公式)
根据最小二乘法， 根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下
最小二乘估计的性质 ——高斯 马尔可夫定理 高斯—马尔可夫定理 前提： 在基本假定满足时
最小二乘估计是因变量的线性函数 线性函数 最小二乘估计是无偏估计 无偏估计，即 无偏估计 在所有的线性无偏估计中，回归系数的最小二 乘估计的方差最小 方差最小。 方差最小
结论：
回归系数的最小二乘估计是最佳线性无偏估计 最佳线性无偏估计
四、简单线性回归模型的检验
回归模型的检验包括： 回归模型的检验包括： 理论意义检验： 理论意义检验：主要涉及参数估计值的符号和取 值区间，检验它们与实质性科学的理论以及人们 的实践经验是否相符。 一级检验： 一级检验：又称统计学检验，利用统计学的抽样 理论来检验样本回归方程的可靠性，具体分为拟 合优度检验和显著性检验。 二级检验： 二级检验：又称计量经济学检验，它是对标准线 性回归模型的假设条件是否满足进行检验，包括 自相关检验、异方差检验、多重共线性检验等。
薛薇,《SPSS统计分析方法及应用》第八章 相关分析和线性回归分析
以控制，进行偏相关分析。
偏相关分 析输出结 果;负的 弱相关
相关分析 输出结果 ;正强相 关
8.4.1
8.4.2
回归分析概述
线性回归模型
8.4.3
8.4.4 8.4.5 8.4.6
回归方程的统计检验
基本操作
其它操作
应用举例
线性回归分析的内容
能否找到一个线性组合来说明一组自变量和因变量
可解释x对Y的影响大小，还可 以对y进行预测与控制
目的是刻画变量间的相关 程度
8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4
散点图 相关系数 基本操作 应用举例
•
相关分析通过图形和数值两种方式，有效地揭示事物
之间相关关系的强弱程度和形式。
8.2.1 散点图 它将数据以点的的形式画在直角坐标系上，通过
Distances 过程用于对各样本点之间或各个变量之间 进行相似性分析，一般不单独使用，而作为聚类分
析和因子分析等的预分析。
1) 选择菜单Analyze Correlate Bivariate，出现 窗口：
2) 把要分析的变量选到变量Variables框。
3) 在相关系数Correlation Coefficents框中选择计算哪种
一元线性回归模型的数学模型：
y 0 1 x
其中x为自变量；y为因变量； 0 为截距，即常量；
1 为回归系数，表明自变量对因变量的影响程度。
用最小二乘法求解方程中的两个参数，得到
1
( x x )( y y ) (x x)
i i 2 i
0 y bx
2015年《统计学》第八章 相关与回归分析习题及满分答案
2015年《统计学》第八章相关与回归分析习题及满分答案一、单选题1.相关分析研究的是（ A ）A、变量间相互关系的密切程度B、变量之间因果关系C、变量之间严格的相依关系D、变量之间的线性关系2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（A ）。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（B）。
A、正相关关系B、负相关关系C、直线相关关系D、曲线相关关系4．相关系数等于零表明两变量（B）。
A.是严格的函数关系B.不存在相关关系C.不存在线性相关关系D.存在曲线线性相关关系5．相关关系的主要特征是（B）。
A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系6．时间数列自身相关是指（ C ）。
A、两变量在不同时间上的依存关系B、两变量静态的依存关系C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系D、一个变量的数值与时间之间的依存关系7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（D）。
A、不存在相关关系B、相关程度很低C、相关程度很高D、完全负相关8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（C）。
A、无相关B、存在正相关C、存在负相关D、无法判断是否相关9．相关分析对资料的要求是（A）。
A.两变量均为随机的B.两变量均不是随机的C、自变量是随机的，因变量不是随机的D、自变量不是随机的，因变量是随机的10．回归分析中简单回归是指（D）。
A.时间数列自身回归B.两个变量之间的回归C.变量之间的线性回归D.两个变量之间的线性回归11.已知某工厂甲产品产量和生产成本有直线关系，在这条直线上，当产量为10 00时，其生产成本为30000元，其中不随产量变化的成本为6000元，则成本总额对产量的回归方程为（ A ）A. y=6000+24xB. y=6+0.24xC. y=24000+6xD. y=24+6000x12.直线回归方程中，若回归系数为负，则（B） A.表明现象正相关B.表明现象负相关C.表明相关程度很弱D.不能说明相关方向和程度二、多项选择题1．下列属于相关关系的有（ABD ）。
第8章 相关与回归分析
32
估计标准误差
估计标准误差（standard error of estimate）是 对各观测数据在回归直线周围分散程度的一个度 量值，它是对误差项ε的标准差σ的估计。 估计标准误差Sy可以看作是在排除了X对Y的线性 影响后，Y随机波动大小的一个估计量。
33
从估计标准误差的实际意义看，它反映了用估计 的回归方程预测因变量Y时预测误差的大小。若 各观测数据越靠近回归直线，Sy越小，回归直线 对各观测数据的代表性就越好，根据估计的回归 方程进行预测也就越准确。
当一个变量取一定数值时，另一个变量有确定值 与之相对应，这种关系称为确定性的函数关系。 当一个变量取一定数值时，与之相对应的另一变 量的数值虽然不确定，但它仍按某种规律在一定 的范围内变化，这种关系称为不确定性的相关关 系。
7
变量间的关系: 函数关系
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x
是一一对应的确定关系 记为 y = f (x)， x 称为自变 量，y 称为因变量 – 某种商品的销售额(y)与 销售量(x)之间的关系可 表示为 y = p x (p 为单 价) – 圆的面积(S)与半径之间 的关系: S = R2
19
复相关系数和偏相关系数
复相关系数反映一个变量Y与其他多个变量X1， X2，…Xk之间的线性相关程度 偏相关系数 反映在X2，…Xk不变的情况下，变量 Y与X1之间的线性相关程度
20
第三节 简单线性回归分析
回归分析的内容
回归分析的特点
相关分析与回归分析的区别与联系
21
相关分析研究变量之间相关的方向和相关的程度， 但是相关分析不能指出变量间相互关系的具体形 式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量 的变化情况。 回归分析则是研究变量之间相互关系的具体形式， 它对具有相关关系的变量之间的数量联系进行测 定，确定一个回归方程，根据这个回归方程可以 从已知量来推测未知量，从而为估算和预测提供 了一个重要的方法。
统计学原理第八章相关与回归分析
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
第八章-相关与回归分析
第八章相关与回归分析一1. 进行相关分析，要求相关的两个变量（A. 都是随机的B.C. 一个是随机的，一个不是随机的D.2. 相关关系的主要特征是（A.B. 某一现象的标志与另一标志之间存在着一定的关系，但它们不是确定的关系C.D. 某一现象的标志与另一标志之间存在着函数关系3. 相关分析是研究（A. 变量之间的数量关系B.C.变量之间相互关系的密切程度D.4. 相关关系的取值范围是（A. r=0B. -1≤r≤0C. 0≤r≤1D. -1≤r≤15. 现象之间相互依存关系的程度越低，则相关系数（A. 越接近于0B. 越接近于-1C. 越接近于1D. 越接近于0.56. 当所有观察值都落在回归直线上，则x与y之间的相关系数（）。
A. r=0B. -1<r<1C. |r|=1D. 0<r<17. 在回归直线中，若b<0，则x与y之间的相关系数（A. r=0B. r=1C. 0<r<1D. -1<r<08. 在回归直线中，b表示（A. 当x增加一个单位，y增加a的数量B. 当y增加一个单位时，x增加bC. 当x增加一个单位时，y的平均增加量D. 当y增加一个单位时，x9. 当相关系数r=0时，表明（A. 现象之间完全无关B.C. 现象之间完全相关D.10. r值越接近于-1，表明两变量间（A. 没有相关关系B. 线性相关关系越弱C. 负相关关系越强D.11. 下列直线回归方程中，肯定错误的是（A. y=2+3x，r=0.88B. y=4+5x，r=0.55C. y=-10+5X，R=-0.90D. y=-100-0.9x，r=-0.8312. 正相关的特点是（A.B.C.D.13. 下列现象的相关密切程度高的是（A. 某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87B. 流通费用率与商业利润率之间的相关系数为-0.94C. 商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51D. 商品销售额与流通费用率之间的相关系数为-0.8114. 计算估计标准误差的依据是（A. 因变量的数列B.C. 因变量的回归变差D.15. 两个变量间的相关关系称为（A. 单相关B. 复相关C. 无相关D.16. 从变量之间相关的方向看，可分为（A. 正相关与负相关B.C. 单相关与复相关D.17. 从变量之间相关的表现形式看，可分为（）。
第八章 相关分析与回归分析习题答案
第八章 相关分析与回归分析习题参考答案一、名词解释函数关系：函数关系亦称确定性关系，是指变量（现象）之间存在的严格确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，必定有另一个且只有一个变量有确定的值与之对应。
相关关系：是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
在这种关系中，当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时，可以有另一变量的若干数值与之相对应。
这种关系不能用完全确定的函数来表示。
相关分析：相关分析主要是研究两个或者两个以上随机变量之间相互依存关系的方向和密切程度的方法，直线相关用相关系数表示，曲线相关用相关指数表示，多元相关用复相关系数表示。
回归分析：回归分析是研究某一随机变量关于另一个（或多个）非随机变量之间数量关系变动趋势的方法。
其目的在于根据已知非随机变量来估计和预测随机变量的总体均值。
单相关：单相关是指仅涉及两个变量的相关关系。
复相关：复相关是指一个变量对两个或者两个以上其他变量的相关关系。
正相关：正相关是指两个变量的变化方向是一致的，当一个变量的值增加（或减少）时，另一变量的值也随之增加（或减少）。
负相关：负相关是指两个变量的变化方向相反，即当一个变量的值增加（或减少）时，另一个变量的值会随之减少（或增加）。
线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈一条直线，则称为线性相关。
非线性相关：如果相关的两个变量对应值在直角坐标系中的散点图近似呈现出某种曲线形式，则为非线性相关。
相关系数：相关系数是衡量变量之间线性相关密切程度及相关方向的统计分析指标。
取值在-1到1之间。
两个变量之间的简单样本相关系数的计算公式为：()()niix x y y r --∑二、单项选择1.B;2.D;3.D;4.C;5.A;6.D 。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1.×; 2.×; 3.√; 4.×; 5.×; 6.×; 7.×; 8.√. 四、简答题1、什么是相关关系？相关关系与函数关系有什么区别？答：相关关系，是指变量（现象）之间存在着非严格、不确定的依存关系。
第八章 相关分析与回归分析
第八章相关分析与回归分析一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。
)1．根据散点图8-1，可以判断两个变量之间存在( )。
A．正线性相关关系B．负线性相关关系C．非线性关系D．函数关系[答案] A2．假设某品牌的笔记本市场需求只与消费者的收入水平和该笔记本的市场价格水平有关。
则在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的相关关系就是一种( )。
A．单相关B．复相关C．偏相关D．函数关系[答案] C[解析] 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其他变量不变，专门考察其中两个变量的相关关系称为偏相关。
在假定消费者的收入水平不变的条件下，该笔记本的市场需求与其市场价格水平的关系就是一种偏相关。
3．相关图又称( )。
A．散布表B．折线图C．散点图D．曲线图[答案] C[解析] 相关图又称散点图，是指把相关表中的原始对应数值在乎面直角坐标系中用坐标点描绘出来的图形。
4．下列相关系数取值中错误的是( )。
A．-0.86 B．0.78 C．1.25 D．0[答案] C[解析] 相关系数r的取值介于-1与1之间。
5．如果相关系数r=0，则表明两个变量之间( )。
A．相关程度很低B．不存在任何关系C．不存在线性相关关系D．存在非线性相关关系[答案] C[解析] 相关系数r是根据样本数据计算的度量两个变量之间线性关系强度的统计量。
如果相关系数r=0，说明两个变量之间不存在线性相关关系。
6．当所有观测值都落在回归直线上，则两个变量之间的相关系数为( )。
A．1 B．-1C．+1或-1 D．大于-1，小于+1[答案] C[解析] 当所有观测值都落在回归直线上时，说明两个变量完全线性相关，所以相关系数为+1或-1。
即当两个变量完全正相关时，r=+1；当两个变量完全负相关时，r=-1。
7．对于回归方程，下列说法中正确的是( )。
A．只能由自变量x去预测因变量yB．只能由因变量y去预测自变量xC．既可以由自变量x去预测因变量y，也可以由变量因y去预测自变量xD．能否相互预测，取决于自变量x和变量因y之间的因果关系[答案] A[解析] 回归方程中，只能由自变量x去预测因变量y，而不能由因变量y不能预测自变量x。
08相关与回归分析(8)袁卫第八章
3.鹳的数量与丹麦乡间婴儿出生率的关系
4.人的长相与工作业绩 5.学习成绩与上网时间 6.人的相貌与智商
第八章
相关与回归分析
第二节 两变量相关分析
一、相关表与相关图 （一）相关表
表1
账单 （美元） 小费 （美元） 33.5 5.5
账单与小费的成对数据
50.7 5.0 87.9 8.1 98.8 17.0 63.6 107.3 120.7 12.0 16.0 18.6
第八章
相关与回归分析
（二）积差法计算公式
设( xi , yi )是( X , Y )的一组样本观察值则 ,
xy x, y的协方差 xy r 为x与y的相关系数 x y x , y x, y的标准差
r ( x x )( y y ) n ( x x ) 2 ( y y ) 2 n n ( x x )( y y ) ( x x ) 2 ( y y ) 2
相关关系特点
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达； （2）一个变量的取值不能由另 y 一个变量唯一确定； （3）当变量 x 取某个值时，变 量 y 的取值可能有几个； （4）各观测点分布在直线周围。
x
第八章
相关与回归分析
[例]身高y与体重x； A：x=60kg、y=1.70m； B： x=60kg、y=1.72m； C：x=60kg、y=1.68m； D： x=60kg、y=1.65m。 影响身高的因素：体重、遗传、锻炼、睡眠质 量……
第八章
相关与回归分析
本章的重点就是基于成对出现的样本数据做出一些 推论。如上例，我们想要确定账单与小费数额之间是 否存在某种关联，如果存在，我们就想用一个规律来 描述它，这样就能找出人们留小费时遵循的规则。 类似这样的问题还有很多，如：
第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
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若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
第8章 相关与回归分析
4、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。 、在相关关系中，变量之间是平等关系，不存在自变量和因变量。
而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。 而在回归分析中必须明确划分自变量和因变量。
8-9
统计学
STATISTICS
8.2 简单线性相关与回归分析
8 - 10
STATISTICS
8-5
统计学
STATISTICS
（三）从变量相关关系变化的方向看 从变量相关关系变化的方向看 变化的方向 正相关： A 正相关：变量同方向变化 ， 即同增同减 (A) 同增同减 负相关：变量反方向变化， 负相关：变量反方向变化， 即一增一减 (B) B 一增一减 从变量相关的程度 相关的程度看 （四）从变量相关的程度看
完全相关 (B) 不完全相关 (A) 不相关 (C)
8-6
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
C
35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
统计学
STATISTICS
三、回归分析
回归一词的由来： 回归一词的由来：
8 - 13
见第218页例题 页例题 见第 页例
统计学
STATISTICS
相关系数的特点： 相关系数的特点：
1、r 的取值范围是 − 1 ≤ r ≤ 1 。 、 2、r<0时，β<0 为负相关；r>0时， β>0 为正相关。 为负相关； 为正相关。 、 时 时 3、|r|=1，为完全相关。r =1，为完全正相关；r = -1， 、 ，为完全相关。 ，为完全正相关； ， 为完全负正相关。 为完全负正相关。 4、r = 0，不存在线性相关。 、 线性相关。 ，不存在线性相关 5、|r|越趋于 表示两变量线性关系越密切；|r|越趋于 、 越趋于 表示两变量线性关系越密切； 越趋于 越趋于1表示两变量线性关系越密切 越趋于0 表示两变量线性关系越不密切。 表示两变量线性关系越不密切。 线性关系越不密切 6、r是一个随机变量。 、 是一个随机变量 是一个随机变量。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
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估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
第8章《相关与回归》练习题
第8章《相关与回归》练习题第八章《相关与回归分析》练习题一、单选题1、两线性相关变量的相关图形是一条：a、一条平行于x轴B的直线，一条平行于y轴C的直线，一条倾斜的直线D，一条倾斜45并穿过原点的直线02、若估计标准误s等于因变量的标准差，则说明回归方程：a、非常有意义的B，毫无价值的C，错误的计算D，这个问题是站不住脚的3、某校经济管理类的学生学习统计学的时间（ｘ）与考试成绩（у）之间建立回归方程ηc=a+bｘ。
计算后，方程为k C=20-0.8x，该方程的计算：a、a值是明显不对的b、b值是明显不对的c、 A和B不正确，D、A和B正确4、已知某工厂产品产量和成本费用有直线关系，在这条直线上，当产量为1千吨时，其成本费用为3万元，其中不随产量变化的费用为6000元，则成本费用对产量的回归直线方程是：a、ηc=24+6000ｘb、ηc=24000+6ｘc、 crmk_c=6000+2.4ｘd、ηC=0.6+2.4x5。
在进行相关和回归分析时，需要考虑是否需要确定自变量和因变量的问题：a、前者勿需确定，后者需要确定b、前者需要确定，后者勿需确定c、两者均需确定d、两者都勿需确定6、判定系数的值越大，则回归直线a、拟合度B越低，拟合度越高c、偏离原始数据定越远d、进行预测越不准确7、相关分析是研究:a、变量C之间的数量关系和变量之间的机器关系的密切程度b、变量之间的变动关系d、变量之间的因果关系8.在以下公式中，误差为：a、y=-40+1.6xr=0.89b、y=-5c3.8xr=-0.94c、y=36c2.4xr=0.96d、y=c36+3.8xr=0.989.估计的标准误差是否为SY/x？0表示a、全部观察值和回归值都不相等b、回归值代表性小c、所有观测值和回归值之间的偏差的乘积为零D，所有观测值都落在回归线上二、多项选择题1.判断系数越大，说明：a、观察值的离散程度也越大b、回归估计愈准确c、估计标准误的越大d、回归系数也越大e、相关系数的绝对值也越大2、在回归分析中，确定直线回归方程的两个变量必须是a、自变量B和因变量B分别是随机变量C、随机变量和可控变量d、对等关系e、不对等关系3.以下现象是相关的：a、家庭收入与消费支出之间的关系b、作物收获与施肥之间的关系C，圆圈面积与圆圈半径之间的关系D，身高与体重之间的关系e，年龄与血压之间的关系4、直线相关分析与直线回归分析的区别在于a、这两个变量是随机的，而回归分析中的自变量是给定值。
《统计学概论》第八章课后练习题答案
《统计学概论》第八章课后练习答案一、思考题1．什么是相关系数？它与函数关系有什么不同？P237- P2382．什么是正相关、负相关、无线性相关？试举例说明。
P238- P2393．相关系数r的意义是什么？如何根据相关系数来判定变量之间的相关系数？P245 4．简述等级相关系数的含义及其作用？P2505．配合回归直线方程有什么要求？回归方程中参数a、b的经济含义是什么？P2566．回归系数b与相关系数r之间有何关系？P2587．回归分析与相关分析有什么联系与区别？P2548．什么是估计标准误差？这个指标有什么作用？P2619．估计标准误差与相关系数的关系如何？P258-P26410．解释判定系数的意义和作用。
P261二、单项选择题1．从变量之间相互关系的方向来看，相关关系可以分为（）。
A．正相关和负相关B．直线关系与曲线关系C．单相关和复相关D．完全相关和不完全相关2．相关分析和回归分析相比较，对变量的要求是不同的。
回归分析中要求（）。
A．因变量是随机的，自变量是给定的B．两个变量都是随机的C．两个变量都不是随机的D．以上三个答案都不对3．如果变量x与变量y之间的相关系数为－1，这说明两个变量之间是（）。
A．低度相关关系B．完全相关关系C．高度相关关系D．完全不相关4．初学打字时练习的次数越多，出现错误的量就越少，这里“练习次数”与“错误量”之间的相关关系为（）。
A．正相关B．高相关C．负相关D．低相关5．假设两变量呈线性关系，且两变量均为顺序变量，那么表现两变量相关关系时应选用（）。
A．简单相关系数r B．等级相关系数r sC．回归系数b D．估计标准误差S yx6．变量之间的相关程度越低，则相关系数的数值（）。
A．越大B．越接近0C．越接近－1 D．越接近17．下列各组中，两个变量之间的相关程度最高的是（）。
A．商品销售额和商品销售量的相关系数是0．9B．商品销售额和商品利润率的相关系数是0．84C．产量与单位成本之间的相关系数为－0．94D．商品销售价格与销售量的相关系数为－0．918．相关系数r的取值范围是（）。
第8章 相关与回归分析
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
第八章 线性相关与回归分析
20.用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点到直线的
A.纵向距离之和最小B.纵向距离的平方和最小C.垂直距窝的平方和最小
D.垂距离之和最小E.无正确选项
答案：B
21.相关系数取值错误的是
A.0.87 B.-0.65 C.1.23 D.0 E.无正确选项
答案：C
22.在求出直线回归方程后,如果检验结果是接受原假设,那就意味着
A.有一定关系B.有正相关关系C.有负相关关系D.有线性相关关系E.无正确选项
答案：D
27.相关系数显著性检验的原假设Ho是( )
A.总体相关系数ρ=0 B.总体相关系数ρ≠0 C.总体相关系数ρ>0 D.总体相关系数ρ<0
E.无正确选项
答案：A
28.线性回归方程的显著性假设检验,其F检验统计量的自由度为( )
A.ρ=0 B.ρ≠0 C.β=0 D.β≠0 E.以上都不是
答案：C
25.直线回归分析口,有直线回归方程y=0.24-0.457x.代人两点描出回归直线,则有
A.所有实测点都应在直线上B.所绘回归直线必经过点（ ）
C.回归直线过原点D.回归直线x取值范围为(-1,1) E.无正确选项
答案：B
26.当|r|>ra/2(n-2)时,可认为两个变量X与Y间( )
A.相关系数的显著性B.回归系数的显著性C.线性关系的显著性
D.估计标准误差的显著性E.无正确选项
答案：C
16.某研究者测定58个中学生的体重,询问了他们每天睡眠时间,做直线相关分析,其自由度为
A.1 B.2 C.56 D.57 E.无正确选项
答案：C
17.若分析肺活量和身高之间的数量关系,拟用身高值预测肺活量值,则采用
应用回归分析,第8章课后习题参考答案
第8章 非线性回归思考与练习参考答案8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。
如：(1) 乘性误差项，模型形式为e y AK L αβε=， (2) 加性误差项，模型形式为y AK L αβε=+ 。
对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。
一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。
8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。
表8.15生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%）5.26.56.88.110.2 10.3 13.0解：先画出散点图如下图：5000.004000.003000.002000.001000.00x12.0010.008.006.00y从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。
（1）二次曲线 SPSS 输出结果如下：Model Summary.981.962.942.651R R SquareAdjusted R SquareStd. Error of the EstimateThe independent variable is x.ANOVA42.571221.28650.160.0011.6974.42444.2696Regression Residual TotalSum of Squares dfMean SquareF Sig.The independent v ariable is x .Coefficients-.001.001-.449-.891.4234.47E-007.0001.4172.812.0485.843 1.3244.414.012x x ** 2(Constant)B Std. E rror Unstandardized Coefficients BetaStandardizedCoefficients tSig.从上表可以得到回归方程为：72ˆ 5.8430.087 4.4710yx x -=-+⨯ 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。
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第八章相关与回归分析
一、本章重点
1．相关系数的概念及相关系数的种类。
事物之间的依存关系，可以分为函数关系和相关关系。
相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。
2．相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数以及进行相关系数的推断。
相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方法是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着密切的关系，得到样本相关系数后还要对总体相关系数进行科学推断。
3．回归分析，着重掌握一元回归的基本原理方法，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。
用最小平方法估计回归参数，回归参数的性质和显著性检验，随机项方差的估计，回归方程的显著性检验，利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。
4．应用相关与回归分析应注意的问题。
相关与回归分析都有它们的应用范围，必须知道在什么情况下能用，什么情况下不能用。
相关分析和回归分析必须以定性分析为前提，否则可能会闹出笑话，在进行预测时选取的样本要尽量分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情况下才能进行，如果条件发生了变化，原来的方程也就失去了效用。
二、难点释疑
本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。
为了掌握基本计算的内容，起码应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全部计算题。
初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy、Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。
如果能自己把这些公式推证一下，搞清其关系，那就更容易记住了。
三、练习题
（一）填空题
1事物之间的依存关系，根据其相互依存和制约的程度不同，可以分为（函数关系）和（相关关系）两种。
2．相关关系按相关关系的情况可分为（）和（）；按自变量的多少分（单相关）和（复相关）；按相关的表现形式分（线性相关）和（非线性相关）；按相关关系的密切程度分（完全相关）、（不完全相关）和（不相关）；按相关关系的方向分（正相关）和（负相关）。
3．回归方程只能用于由（自变量）推算（因变量）。
4．一个自变量与一个因变量的线性回归，称为（一元线性回归）
5．估计变量间的关系的紧密程度用（相关系数）
6．在相关分析中，要求两个变量都是随机的，而在回归分析中要求自变量是（不是随机的），因变量是（随机的）。
7．已知剩余变差为250，具有12对变量值资料，那么这时的估计标准误差是（）。
8．将现象之间的相关关系，用表格来反映，这种表称为（相关表），将现象之间的相关关系用图表示称（相关图）。
9．若两个变量完全不相关，则相关系数等于（0 ），若两个变量完全相关，则相关系数等于（ 1 ）。
10．在回归方程y=a+bx中，待定系数a为（直线的起点值），b为（回归系数）。
11．若已知y为每亩蔬菜产量（单位：百公斤），x为每亩地施肥量（单位：公斤），已知y=9.964+0.891x并已知每亩地最高施肥量为70公斤，最低施肥量为35公斤，那么每亩地蔬菜产量的大致变动范围为（41.15）到（72.33）。
（二）名词解释
1.函数关系
2.相关关系
3.单项因果关系
4.互为因果关系
5.回归分析
6.一元线性回归模型
7.估计标准误差
（三）判断题
1．某一变量的每一个数值都有另一变量的确定的值与之对应，这种关系叫相关关系。
（×）
2．任何两个有相关关系的现象，计算其相关系数一定是在-1至1之间。
（×）
3．当相关系数等于1或-1时，两个变量的关系是函数关系，当相关系数等于零时，说明两个变量之间的关系不是相关关系。
（×）
4．计算相关系数时，首先要确定自变量和因变量。
（×）
5．积距相关系数的正负号主要取决于计算公式的分子符号。
（√）
（四）单项选择题
1．相关分析研究的是（A）。
A、变量间相互关系的密切程度
B、变量之间因果关系
C、变量之间严格的相依关系
D、变量之间的线性关系
2．若变量X的值增加时，变量Y的值也增加，那么变量X和变量Y之间存在着（ A ）。
A、正相关关系
B、负相关关系
C、直线相关关系
D、曲线相关关系
3．若变量X的值增加时，变量Y的值随之下降，那么变量X和变量Y之间存在着（B）。
A、正相关关系
B、负相关关系
C、直线相关关系
D、曲线相关关系
4．相关系数等于零表明两变量（ C ）。
A、是严格的函数关系
B、不存在相关关系
C、不存在线性相关关系
D、存在曲线线性相关关系
5．相关关系的主要特征是（B）。
A、某一现象的标志与另外的标志之间的关系是不确定的
B、某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的依存关系，但它们不是确定的关系
C、某一现象的标志与另外的标志之间存在着严格的依存关系
D、某一现象的标志与另外的标志之间存在着不确定的直线关系
6．时间数列自身相关是指（ C ）。
A、两变量在不同时间上的依存关系
B、两变量静态的依存关系
C、一个变量随时间不同其前后期变量值之间的依存关系
D、一个变量的数值与时间之间的依存关系
7．如果变量X和变量Y之间的相关系数为负1，说明两个变量之间（ D ）。
A、不存在相关关系
B、相关程度很低
C、相关程度很高
D、完全负相关
8．若物价上涨，商品的需求量愈小，则物价与商品需求量之间（ C ）。
A、无相关
B、存在正相关
C、存在负相关
D、无法判断是否相关
9．相关分析对资料的要求是（ A ）。
A、两变量均为随机的
B、两变量均不是随机的
C、自变量是随机的，因变量不是随机的
D、自变量不是随机的，因变量是随机的
10．回归分析中简单回归是指（ D）。
A、时间数列自身回归
B、两个变量之间的回归
C、变量之间的线性回归
D、两个变量之间的线性回归
（五）多项选择题
1．下列属于相关关系的有（ABD ）。
A、农作物收获量和施肥量之间的关系
B、家庭收入与生活费支出间的关系
C、圆面积和圆半径之间的关系
D、身高与体重之间的关系
E、美国人口数和加拿大粮食产量之间的关系
2．下述关系中属于负相关的有（ CE）。
A、在合理限度内，农业中施肥量和平均亩产量之间的关系
B、工业企业中生产用固定资产平均价值和产品总产量之间的关系
C、商业企业的劳动效率和流通费用率之间的关系
D、单位产品成本和原材料消耗量之间的关系
E、工业产品产量和单位产品成本之间的关系
3．现象间相互依存的类型有（ AB）。
A、函数关系
B、相关关系
C、回归关系
D、随机关系
E、结构关系
4．下列语句中正确的有（CD ）。
A、具有明显因果关系的两变量一定不是相关关系
B、只要相关系数数值较大，两变量就一定存在密切的相关关系
C、相关系数的符号可说明两变量相互关系的方向
D、样本相关系数和总体相关系数之间存在着抽样误差
E、不具有因果关系的变量一定不存在相关关系
5．回归方程可用于（ AD ）。
A、根据自变量预测因变量
B、给定因变量推算自变量
C、推算时间数列中缺失的数据
D、给定自变量推算因变量
E、用于控制因变量
6、直线相关分析的特点有（BCD ）。
A、两变量不是对等的
B、两变量只能算出一个相关系数
C、相关系数有正负号
D、两个变量都是随机的
E、相关系数的绝对值是介于0－1之间的数
（六）简答题
1．什么是相关关系，相关分析有什么作用？
2．简述相关分析的特点。
3．简述相关分析和回归分析的关系。
（七）论述题
试述相关与回归分析应注意的几个问题。
（八）计算题
②列出正规方程组求单位成本倚产量的回归方程并解释回归方程中各系数的经济意义；
③试估计产量为3千件的单位成本；
④计算估计标准误差。
3.已知：ｎ＝6 ∑x=21 ∑y=426 ∑x2=79 ∑y2=30268
∑xy=1481
要求：
①计算相关系数
②建立回归方程
③计算估计标准误差
（1）以人均收入为自变量，商品销售额为因变量，建立直线回归方程；
（2）用最小平方法求人均收入数列的直线趋势方程，并估计2000年该市的人均收入；
（3）根据2000年的人均收入的估计值，利用回归方程推算2000年该市的商品销售额。
（1）计算相关系数；（2）建立回归直线方程；（3）计算估计的标准误差；（4）估计生产性固定资产为1100万元时的工业总产值。
b 待定系数的经济意义；若新建一企业，其年设备能力为6.5千瓦/人，估计劳动生产率将为多少？
误差；（4）若个人收入为213亿元时，估计个人消费支出。
）建立直线回归方程；（4）若某商店每人月平均销售额为2千元，估计其利润率；（5）计算估计的标准误差。
准误差；（3）计算相关系数，判断相关程度。