高考数学串讲三直线圆圆锥曲线

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高考数学串讲三直线圆

圆锥曲线

Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】

直线 圆 圆锥曲线

椭圆 双曲线 抛物线 定义 与两个定点的距离的 和等于常数

与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定

直线的距离相等 标准方程 (或22221x y b a +=), (或22

221y x a b

-=)

(或22x py =) 参数方程 (或sin cos x b y a θθ=⎧⎨=⎩) (或tan sec x b y a θθ=⎧⎨=⎩) (或2

22x pt

y pt

=⎧⎨=⎩) 焦点 (,0)c ±或(0,)c ± (,0)c ±或(0,)c ±

(,0)2p 或(0,)2p 正数a,b,c, p 的关系

(0a b >>) (0,0a b >>)

离心率

准线 2a x c =±(或2a y c =±) 2

a x c

=±(或

2

a y c =±)

2p x =-(或2p y =-) 渐近线

b y x a =±(或

b x y a

=±)

焦半径 (或10PF a ey =+ 2

PF a ey =-) (10PF ey a =--, 2

PF ey a =-+),

(点P 在左或下支)

(或02p PF y =+) 统一定义

到定点的距离与到定 的距离之比等于定值

的点的集合 ,(注:焦点要与对应

准线配对使用) 1,(05广东)在平面直角坐标系x Oy 中,抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO (如图4所示).

(Ⅰ)求△AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.

2,(05广东)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的长为2,宽为1,AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A 点落在线段DC 上.(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k ,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.

3,(04全国I)双曲线C :22

21x y a

-=(0a >)与直线l :1x y +=相交于两个不同的点A ,B .(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且5

12

PA PB =,求a 的值。

4,(05重庆)已知椭圆1C 的方程为2

214

x y +=,双曲线2C 的左,右焦点分别为1C 的

左,右顶点,而2C 的左,右顶点分别是1C 的左,右焦点。(I )求双曲线2C 的方程; (II

)若直线l :y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点,且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6OA OB ⋅<(其中O 为原点),求k 的取值范围。

5,(04广东)设直线l 与椭圆22

12516

x y +

=相交于A ,B 两点,l 又与双曲线221x y -= 相交于C ,D 两点,C ,D 三等分线段AB 。求直线l 的方程。 三,简明提示

1,(I )设1122(,),(,),(,)G x y A x y B x y ,则消去1212,,,x x y y 得2223

y x =+; (II

12AOB S OA OB ∆=

==

1≥=,当4412x x =,即121x x =-=-时,等号成立。

2,解:设点A 落在DC 上的点E 处,则折痕所在的直线是线段AE 的垂直平分线

(Ⅰ) AE 的方程为:1

y x k

=- ①E 点的纵坐标恒为1,代入 ① 得E 点横坐标

为k -,由:02k ≤-≤,得20k -≤≤

折痕的方程为:22A

E A E y y x x y k x ++⎛

-=- ⎪⎝

得:212k y kx +=+ (其中20k -≤≤)② (II) 若折痕所在直线与y 轴的交点的纵坐标大于1,则折痕与线段CD 有交点 若折痕所在直线与直线2x =的交点的纵坐标小于0,则折痕与线段AB 有交点 对于折痕上的点(x ,y ) 当0x =时,令01y ≤≤,得:201k ≤≤,又20k -≤≤,所以

10k -≤≤ 即:当10k -≤≤时,折痕与线段AD 有交点 ③ 当21k -≤≤-时,折痕与线段DC 有交点 ④

当2x =时,令01y ≤≤,得()2

325k ≤+≤,又20k -≤≤,所以20k -+≤≤

即:当20k -+≤≤时,折痕与BC 的边有交点 ⑤当22k -≤≤-+段AB 有交点 ⑥

综合③、④、⑤、⑥。记折痕的长度为()f k

(1) 当20k -+≤≤时,折痕的两个端点分别在AD 、BC 上

()21f k x x =-=

(2) 当2k =-+()f k 有最大值=

(3) 当12k -≤≤-+AB 、AD 上

(4) ()21f k y y =-==2

t k =,()23

2

(1)k g t k +=,则()2

1333

g t t t =+++ ((()2

2

21t -+≤≤-)对()g t 求导

数,则:()()()2

22

1211'23t t g t t t t +-=+-=

(5) 解()'0g t ≥,得1t =-(舍去)或1

2

t ≥,而(()2

2

1212

-+≤

≤-因此:()g t 的

最大值()(()22max max{2,1}g t g g ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎣

⎦⎣⎦从而得到:

()(()

max max{2,1}f k f f =--

(6) 当21k -≤≤-时,折痕的两个端点分别在AB 、CD 上

()21f k y y =-=

当1k =-时,()f k 综合(1)、(2)、(3),得,当2k =-+()

f k 有最大值。

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