高考数学串讲三直线圆圆锥曲线
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高考数学串讲三直线圆
圆锥曲线
Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
直线 圆 圆锥曲线
椭圆 双曲线 抛物线 定义 与两个定点的距离的 和等于常数
与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定
直线的距离相等 标准方程 (或22221x y b a +=), (或22
221y x a b
-=)
(或22x py =) 参数方程 (或sin cos x b y a θθ=⎧⎨=⎩) (或tan sec x b y a θθ=⎧⎨=⎩) (或2
22x pt
y pt
=⎧⎨=⎩) 焦点 (,0)c ±或(0,)c ± (,0)c ±或(0,)c ±
(,0)2p 或(0,)2p 正数a,b,c, p 的关系
(0a b >>) (0,0a b >>)
离心率
准线 2a x c =±(或2a y c =±) 2
a x c
=±(或
2
a y c =±)
2p x =-(或2p y =-) 渐近线
b y x a =±(或
b x y a
=±)
焦半径 (或10PF a ey =+ 2
PF a ey =-) (10PF ey a =--, 2
PF ey a =-+),
(点P 在左或下支)
(或02p PF y =+) 统一定义
到定点的距离与到定 的距离之比等于定值
的点的集合 ,(注:焦点要与对应
准线配对使用) 1,(05广东)在平面直角坐标系x Oy 中,抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO ⊥BO (如图4所示).
(Ⅰ)求△AOB 的重心G (即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ)△AOB 的面积是否存在最小值若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
2,(05广东)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的长为2,宽为1,AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上,A 点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A 点落在线段DC 上.(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k ,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值.
3,(04全国I)双曲线C :22
21x y a
-=(0a >)与直线l :1x y +=相交于两个不同的点A ,B .(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围;(II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且5
12
PA PB =,求a 的值。
4,(05重庆)已知椭圆1C 的方程为2
214
x y +=,双曲线2C 的左,右焦点分别为1C 的
左,右顶点,而2C 的左,右顶点分别是1C 的左,右焦点。(I )求双曲线2C 的方程; (II
)若直线l :y kx =+1C 及双曲线2C 都恒有两个不同的交点,且l 与2C 的两个交点A 和B 满足6OA OB ⋅<(其中O 为原点),求k 的取值范围。
5,(04广东)设直线l 与椭圆22
12516
x y +
=相交于A ,B 两点,l 又与双曲线221x y -= 相交于C ,D 两点,C ,D 三等分线段AB 。求直线l 的方程。 三,简明提示
1,(I )设1122(,),(,),(,)G x y A x y B x y ,则消去1212,,,x x y y 得2223
y x =+; (II
)
12AOB S OA OB ∆=
==
1≥=,当4412x x =,即121x x =-=-时,等号成立。
2,解:设点A 落在DC 上的点E 处,则折痕所在的直线是线段AE 的垂直平分线
(Ⅰ) AE 的方程为:1
y x k
=- ①E 点的纵坐标恒为1,代入 ① 得E 点横坐标
为k -,由:02k ≤-≤,得20k -≤≤
折痕的方程为:22A
E A E y y x x y k x ++⎛
⎫
-=- ⎪⎝
⎭
得:212k y kx +=+ (其中20k -≤≤)② (II) 若折痕所在直线与y 轴的交点的纵坐标大于1,则折痕与线段CD 有交点 若折痕所在直线与直线2x =的交点的纵坐标小于0,则折痕与线段AB 有交点 对于折痕上的点(x ,y ) 当0x =时,令01y ≤≤,得:201k ≤≤,又20k -≤≤,所以
10k -≤≤ 即:当10k -≤≤时,折痕与线段AD 有交点 ③ 当21k -≤≤-时,折痕与线段DC 有交点 ④
当2x =时,令01y ≤≤,得()2
325k ≤+≤,又20k -≤≤,所以20k -+≤≤
即:当20k -+≤≤时,折痕与BC 的边有交点 ⑤当22k -≤≤-+段AB 有交点 ⑥
综合③、④、⑤、⑥。记折痕的长度为()f k
(1) 当20k -+≤≤时,折痕的两个端点分别在AD 、BC 上
()21f k x x =-=
(2) 当2k =-+()f k 有最大值=
(3) 当12k -≤≤-+AB 、AD 上
(4) ()21f k y y =-==2
t k =,()23
2
(1)k g t k +=,则()2
1333
g t t t =+++ ((()2
2
21t -+≤≤-)对()g t 求导
数,则:()()()2
22
1211'23t t g t t t t +-=+-=
(5) 解()'0g t ≥,得1t =-(舍去)或1
2
t ≥,而(()2
2
1212
-+≤
≤-因此:()g t 的
最大值()(()22max max{2,1}g t g g ⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎣
⎦⎣⎦从而得到:
()(()
max max{2,1}f k f f =--
(6) 当21k -≤≤-时,折痕的两个端点分别在AB 、CD 上
()21f k y y =-=
当1k =-时,()f k 综合(1)、(2)、(3),得,当2k =-+()
f k 有最大值。