拉格朗日中值定理洛必达法则.
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§3.5 拉格朗日中值定理与洛必达法则
一、案例引入
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
曲线弧 AB内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线. 连接端点 A 和 B 作弦 AB , 则 f ( ) K AB f (b ) f (a ) . ba
讨论分析
2 f x x 2 x 在 [0, 2] 上满足拉格朗日定理么？ 函数 例1
如果满足，求出使定理成立的 的值。 解
（2）在开区间(a, b)内可导， 那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a ) f ( ), 或 f (b) f (a ) f ( )(b a ) ba
讨论分析
y
2、拉格朗日中值定理
C
B
的几何直观
A
由定理的条件可知,
O
a ξ
b
x
曲线 y
f ( x ) 在 [ a, b]上是一条连续的曲线弧 AB,
矛盾, 故假设不真!
讨论分析
例6 若方程
方程 证明：令 在
有正根
证明：
内必定有根。 则 在 在 上 存在，且
连续，
所以
在
满足罗尔定理的条件。
上至少存在一点 的根。
根据罗尔定理可知，在 使 即 是方程
讨论分析
二、洛必达法则 当
x x0 （或 x ）时，如果两个函数
那么极限 f ( x ), g( x ) 都是无穷小或都是无穷大，
讨论分析
例4. 证明等式
证: 设 在(-1, 1)上有：
由推论可知 令x=0,得 又
(C为常数)
故所证等式在定义域 上成立. 小结: 欲证 x I 时 f ( x ) C0 , 只需证在 I 上 f ( x ) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 ，
讨论分析
f x x 2 x是初等函数， 故在闭区间[0, 2]
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导， 所以函数在[0, 2]上满
f (b ) f (a ) f ( ) 足拉格朗日中值定理的条件． L-中值定理： ba
又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( ) 2 2
讨论分析
4、补充：罗尔（ Rolle ）定理
若函数 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 y (2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
L-中值定理： f ( )
f (b ) f (a ) ba
y f ( x)
o
a
b x
使 f ( ) 0.
20
即
80 2 2, 20
解得 1 (0, 2)
讨论分析
3、拉格朗日中值定理应用 （1）证明不等式； （2）证明等式
例2
证明：对任意 0 a b, 不等式 3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 b a 成立． 3 f ( x ) x , 显然它在 [a , b]上满足 解 设 拉格朗日中值定理的条件，所以有 L-中值定理： f (b) f (a) f ( ) (b a)
即 b3 a 3 3 2 (b a)， (a b) 显然有
3a 2 (b a) 3 2 (b a) 3b2 (b a)，
3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 (b a)
即
讨论分析
x 例3. 证明不等式 1 x ln(1 x ) x ( x wk.baidu.com).
练习: arctan x arccot x
2
, x ( , )
与 g ( x ) 的导数在区间 I 内相等， 推论2 若两个函数 f ( x ) 即
则
f ( x ) g( x )( x I )，
f ( x ) g( x ) C ( C 常数 )．
使
5 f ( x0 ) 0, 即 x0 5 x0 1 0
即方程 x 5 5 x 1 0 有小于 1 的正根
讨论分析
2) 根的唯一性 .
假设另有
f ( x) 在
[ x0 , x1 ](或 [ x1 , x0 ])满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点 但
则
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 I 上任意两点的函数值相等， 故 f (x) 在区间 I 上为一常数．
证: 设 f (t ) ln(1 t ) , 显然 f (t)在[0, x]上满足拉格
朗日中值定理条件, 因此应有 即
即 因为
故
讨论分析
推论1 若函数 f ( x )在区间 I 上满足 f ( x ) 0, f (x)在区间 I上必为一常数． 证 设 x1 , x2 为区间I上任意两点（不妨设 x1 x2 )
在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明： （1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。 （2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的 例5. 证明方程 正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1),
一、案例引入
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外 如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处 的切线水平的.
y P
A
B
x
O a b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、 定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数 f (x)满足下列条件： （1）在闭区间[a, b]上连续;
曲线弧 AB内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线. 连接端点 A 和 B 作弦 AB , 则 f ( ) K AB f (b ) f (a ) . ba
讨论分析
2 f x x 2 x 在 [0, 2] 上满足拉格朗日定理么？ 函数 例1
如果满足，求出使定理成立的 的值。 解
（2）在开区间(a, b)内可导， 那么在(a, b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a ) f ( ), 或 f (b) f (a ) f ( )(b a ) ba
讨论分析
y
2、拉格朗日中值定理
C
B
的几何直观
A
由定理的条件可知,
O
a ξ
b
x
曲线 y
f ( x ) 在 [ a, b]上是一条连续的曲线弧 AB,
矛盾, 故假设不真!
讨论分析
例6 若方程
方程 证明：令 在
有正根
证明：
内必定有根。 则 在 在 上 存在，且
连续，
所以
在
满足罗尔定理的条件。
上至少存在一点 的根。
根据罗尔定理可知，在 使 即 是方程
讨论分析
二、洛必达法则 当
x x0 （或 x ）时，如果两个函数
那么极限 f ( x ), g( x ) 都是无穷小或都是无穷大，
讨论分析
例4. 证明等式
证: 设 在(-1, 1)上有：
由推论可知 令x=0,得 又
(C为常数)
故所证等式在定义域 上成立. 小结: 欲证 x I 时 f ( x ) C0 , 只需证在 I 上 f ( x ) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 ，
讨论分析
f x x 2 x是初等函数， 故在闭区间[0, 2]
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导， 所以函数在[0, 2]上满
f (b ) f (a ) f ( ) 足拉格朗日中值定理的条件． L-中值定理： ba
又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( ) 2 2
讨论分析
4、补充：罗尔（ Rolle ）定理
若函数 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 y (2) 在区间 (a , b) 内可导
(3) f ( a ) = f ( b )
L-中值定理： f ( )
f (b ) f (a ) ba
y f ( x)
o
a
b x
使 f ( ) 0.
20
即
80 2 2, 20
解得 1 (0, 2)
讨论分析
3、拉格朗日中值定理应用 （1）证明不等式； （2）证明等式
例2
证明：对任意 0 a b, 不等式 3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 b a 成立． 3 f ( x ) x , 显然它在 [a , b]上满足 解 设 拉格朗日中值定理的条件，所以有 L-中值定理： f (b) f (a) f ( ) (b a)
即 b3 a 3 3 2 (b a)， (a b) 显然有
3a 2 (b a) 3 2 (b a) 3b2 (b a)，
3a 2 (b a) b3 a 3 3b2 (b a)
即
讨论分析
x 例3. 证明不等式 1 x ln(1 x ) x ( x wk.baidu.com).
练习: arctan x arccot x
2
, x ( , )
与 g ( x ) 的导数在区间 I 内相等， 推论2 若两个函数 f ( x ) 即
则
f ( x ) g( x )( x I )，
f ( x ) g( x ) C ( C 常数 )．
使
5 f ( x0 ) 0, 即 x0 5 x0 1 0
即方程 x 5 5 x 1 0 有小于 1 的正根
讨论分析
2) 根的唯一性 .
假设另有
f ( x) 在
[ x0 , x1 ](或 [ x1 , x0 ])满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
至少存在一点 但
则
显然，f ( x ) 在 [ x1 , x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 )( x1 x2 )
由于 f ( ) 0, 则 f ( x2 ) f ( x1 ) 0, 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 即函数f (x)在区间 I 上任意两点的函数值相等， 故 f (x) 在区间 I 上为一常数．
证: 设 f (t ) ln(1 t ) , 显然 f (t)在[0, x]上满足拉格
朗日中值定理条件, 因此应有 即
即 因为
故
讨论分析
推论1 若函数 f ( x )在区间 I 上满足 f ( x ) 0, f (x)在区间 I上必为一常数． 证 设 x1 , x2 为区间I上任意两点（不妨设 x1 x2 )
在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明： （1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。 （2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的 例5. 证明方程 正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由零点定理知存在 x0 (0,1),