利用导数求曲线的切线和公切线之令狐文艳创作

利用导数求曲线的切线和公切线

令狐文艳

一.求切线方程

【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.

(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；

(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.

提醒：注意是在某个点处还是过某个点！

二.有关切线的条数

【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．

（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）

【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，

∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，

∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．

（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），

则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3，

∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），

∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，设g （x）=4x3﹣6x2+t+3，

则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），

∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．

∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，

∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．

（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；

过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．

【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．

（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；

等价于，解得x，故解集为

（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以

，

令，

可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，

故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，

故a的取值范围为：[1，+∞）

（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x0，），

∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：

即，①

设g（x）=，则

∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，

故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．

又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，

由g （x ）在其定义域上的单调性知：g （x ）=0仅在（，1）内有且仅有一根，

方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．

【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ．

（1）设函数

，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数； （2）若过点P （a ，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f （x ）相切，求a 的取值范围．

三. 切线与切线之间的关系

【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+

c 的取值范围是. 23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，

∴235sin()b c βϕ+=+，

故a+c ∈[﹣，]，

【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其

中e 为自然对数的底数．

（Ⅰ）设

，求函数t （x ）在[m ，m+1]

（m ＞0）上的最小值；

（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，

求证：a=0或．

【解答】（Ⅰ）解：，

令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，

所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，

∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴

当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，

∴t（x）min=t（1）=e．

（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，

∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，

又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，

令，则，

∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，

而，在单调递减，∴．

若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m （e）=0，

∴x1=e ，∴

综上，a=0或．

【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a＜﹣．

四．求公切线的方程

【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．

（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由，得

，

令f′（x）=0，得．