两点边值问题的有限差分法

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人

盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人

学生实验报告

实验课程名称偏微分方程数值解 _________________

开课实验室___________ 数统学院 ____________________

学院数统年级2013专业班信计2班

学生姓名_________ 学号________

开课时间2015至2016学年第2 学期

数学与统计学院制

.实验内容

考虑如下的初值问题:

定常数。

部分。

0, b 1 , p 3,r 1,q 2 ,

0 ,

1,问题(1)的精确解 ux

x 2e x 1 ,

及p 1,r 2,q 3带入方程（1）可得f x 。分别取

并能通过计算机语言编程实现。

.实验目的

通过该实验，要求学生掌握求解两点问题的有限差分法, 开课学院、实验室： 数统学院

实验时间：2016年 月 日

Lu

d du x —p x ------------ dx dx

du x

dx q

f x , x a, b (1)

其中 p x C 1 a,b ,

x ,q a,b

P min 0 , q x 0 ,,是给

将区间N 等分, 网点x

1.在第三部分写出问题（

1)和 （2）的差分格式，并给出该格式的局部截断

2.根据你写出的差分格式, 编写一个有限差分法程序。将所写程序放到第四

3.给定参数a 其中将u x

N 10,20,40,80,160 ,用所编写的程序计算问题 (1)和⑵。将数值解记为

5 ,

i 1,...,N 1，网点处精确解记为i

1,…,N 1。然后计算相应的误差

1 l

N

/I 2 Nil

h u i U i 2及收敛阶

n e

： e 11，将计算结果填入 I i

In 2

第五部分的表格，并对表格中的结果进行解释？

4.将数值解和精确解画图显示，每种网格上的解画在一张图。

三•实验原理、方法(算法)、步骤

1. 差分格式：

L L .i=-1/h A 2O

|]

(% 曲汀—):i.「)/2h+w =

応=A,匕

2. 局部阶段误差：

n (u)=O(hA2)

3. 程序

clear all N=10; a=0;b=1;

P=@(x) 1; r=@(x) 2; q=@(x) 3; aIpha=0;beta=1;

f=@(x) (4*xA2-2)*exp(x-1);

h=(b-a)/N;

H=zeros(N-1,N-1);g=zeros(N-1,1);

%

for i=1

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1/2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

max u i c 0 i N

i

i U i

N

e

H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));

g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h))*alpha;

end

for i=2:N-2

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h);

H(i,i+1)=-(2*p(a+(i+1/2)*h)/h-r(a+i*h));

g(i)=2*h*f(a+i*h);

end

for i=N-1

H(i,i-1)=-(2*p(a+(i-1/2)*h)/h+r(a+i*h));

H(i,i)=2*(p(a+(i+1/2)*h)+p(a+(i-1 /2)*h))/h+2*h*q(a+i*h); g(i)=2*h*f(a+i*h)+(2*p(a+(i+1 /2)*h)/h-r(a+i*h))*beta; end

u=H\g;

u=[alpha;u;beta];

x=a:h:b;

y=(x.A2).*exp(x-1);

plot(x,u);

hold on

plot(x,y);

y=y'

z=y-u

四•实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件

Matlab

五•实验结果及实例分析

N越大只会使绝对误差变小，方法没变，所以收敛阶一致。图示为：（绿线为解析解，蓝线为计算解）N=10

N=20

■

1

N=40

1

os

0 8

0 7

0.6

05

04

□ 3

a?

a 1

Q

03 04 05 06 07 03 03 N=80

N=160

共享知识分享快乐

教师签名

年月日