贝叶斯统计与马航搜寻

贝叶斯统计与马航搜寻 Prepared on 22 November 2020

贝叶斯统计与马航搜寻

摘要：马航客机MH370已经失联超过一个月，中国在内的全球多国在南海与洋连日海空搜寻未果，希望渐趋渺茫。马航客机的搜寻，牵动着家属的心，也牵动着世界各国人民的心。马航搜寻过程中，贝叶斯统计起到了重要作用。

关键词：马航；贝叶斯；反演；概率。

1.导言

失踪多日的马航MH370客机航向何方，如今位在何处，已经成为本世纪至今最大的谜团。对于钻研数字，分析变项与评估机率的统计学者看来，找到失踪客机的可能性将涉及大量信息与数字分析。将概率学与海洋模拟实验相结合的方法，可以帮助人们尽快找到失联客机。

1966年美国一架B-52轰炸机在西班牙的帕洛玛雷斯上空发生事故，与加油机碰撞，飞行员失去对飞机的控制，轰炸机上的四枚氢弹找到一枚基本完好无损的，和两枚在人员稀少的地区爆炸的，还有一枚失踪了。一位名为约翰·克雷文的数学家被美国当局调派到当地进行搜寻工作。克雷文博士采取贝叶斯方法，做出各种假设，想象出各种情景，然后在各种情境下猜测出氢弹在各个位置的概率，以及每种情境出现的可能性，他从专家那里得到结果后，综合到一起，画了一张氢弹位置的概率图：把整个可能的区域划分成了很多个小方格，每一个小方格有不同的概率值，有高有低，如同地图上表示山峰和山谷的等高线一样，完成了贝叶斯方法的第一步。在搜索的过程中同时对每个格子的概率进行更新，不过，概率最大的方格子指示的位置常常是陆地上险峻的峡谷和深海区，即使氢弹真的在那里，也未必找得到，

所以需要绘制另一张概率图，表示“氢弹已经在那里，能找到的概率”而不是氢弹位置的概率。最后氢弹被找到，两张概率图和他的贝叶斯方法发挥了不小作用。两年后，克雷文又用同样的方法找到了失踪的潜艇“天蝎号”，下图为当时他在搜寻过程中绘制的20英里海域概率图：

几十年间，贝叶斯方法应用越来越广泛，从搜索引擎筛选词条到无人驾驶汽车综合判断自己的行驶位置，钻进了各个角落。

2.预备知识

英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计的内容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到 20世纪 30 年代。到50～60年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩大。它的技术原理分为先验分布与后验分布两种。

先验分布是总体分布参数θ的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于θ的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对θ规定一个，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学派把解释为在抽样前就有的关于θ的先验信息的表

述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。

例如，某甲怀疑自己患有一种疾病A ，在就诊时医生对他测了诸如体温、血压等指标，其结果构成样本X 。引进参数θ：有病时，1=θ；无病时，0=θ。X 的分布取决于θ是0还是1，因而知道了X 有助于推断θ是否为1。按传统（）学派的观点，医生诊断时，只使用X 提供的信息；而按贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数p 作为事件}1{=θ的时，才能对甲是否有病（即θ是否为1）进行推断。p 这个数刻画了本问题的，且可解释为疾病A 的发病率。的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病A 的发病率很小，医生将倾向于只有在样本X 显示出很强的证据时，才诊断甲有病。在这里的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于 “p 是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个p ，否则问题就无法求解。

后验分布则是根据样本X 的分布)(θP 及θ的)(θπ，用中求分布的方法，可算出在已知x X =的条件下，θ的条件分布 )|(x θπ。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为。贝叶斯学派认为：这个分布综合了样本X 及)(θπ所提供的有关的信息。抽样的全部目的，就在于完成由到的转换。如上例，设001.0)(==θP p ，而

86.0)|1(==x θπ，则贝叶斯学派解释为：在某甲的指标量出之前，他患病的可能性定为，而在得到X 后，认识发生了变化：其患病的可能性提高为，这一点的实现既与X 有关，也离不开。计算的本质上就是中着名的。

方法的关键在于所作出的任何推断都必须也只须根据)|(x θπ，而不能再涉及X 的)(θP 。

3.具体应用

贝叶斯搜索理论利用理论搜索失踪物，曾被多次用于搜救失踪的船只。一般的流程如下：1.提出所有关于船只失踪事件的假设。

2.针对每一假设，构造船只位置的空间分布概率。

3.针对每一位置，假设已知船只位于此处，计算能找到失踪船只的概率分布。在海洋中，这一般取决于水深：在浅水处找到失踪物的机会比在深水处大。

4.结合上述两个概率分布，构造整体的搜索成功的概率分布。

5.构造搜索路径：始于高概率区，经过居中概率区，最后搜索低概率区。

6.在搜索过程中，持续更新上述概率分布。例如，如果在某处未能找到失踪物，那么船只位置分布于此的概率要被降低。这一更新过程需要用到。

贝叶斯搜索不仅可以综合多个信息来源，而且可以自动估计搜索成功的概率。即使在搜索前，我们可以估计“5天内找到失踪物的概率是65%。在搜索十天后，这个概率会升高到90%。15天后，升高到97%”。如此，在分配搜索资源前可以评估可行性。

假定失踪物位于某区域的概率是p，在此处能搜索成功的概率是q。如果搜索此处后未能找到失踪物，根据贝叶斯定理，失踪物位于

域，如果其原本失踪物在其处的概率是r，那么这一概率将被更新为

2009年的失联法航客机447的搜寻过程中，以贝叶斯统计方法为基础，经过三次失败的搜寻，终于在第四次找到了飞机。在正常的情