第1章 《运动和力》习题课

r R cos (2 / )i R sin (2 / ) j
Rcos ( / )i R sin ( / ) j
2 Ri 注意到为角速度，在时间 t=/ 2/ 内 粒子刚好运动半个圆周，故其路程为:
S=R
例题1.3 质点运动方程为: x 2t , y 19 2t 2 ( SI ) , 求:(1）质点在 t=1s、t=2s时的位置矢量； (2）第2s内的平均速度;
t /S
故F（t)函数最终可表示成下列形式： 0<t<5s 2t F (t ) 35 5t 5<t<7s 再由牛顿定律，可得两时间段内质点的加速度各为
0<t<5s 2t a 35 5t 5<t<7s
对0＜t＜5 s时间段，由 a=dv/dt v t t 得 dv adt v 2tdt t 2
问：若要求最初2s内的平均速率又如何？ （2）1s末到3s末的位移为
x x3 x1 4 3 2 3 (4 1 2 1 ) 44 m
3 3
故1s末到3s末平均速度为 x v 22 m / s t
（3）1s末到3s末的平均加速度为
v v3 v1 4 6 32 (4 6 1) a 24 m / s 2 t 2 2
v0
v0 dt s dt s 显然有 v v0
l , s 随t减小，故 dl / dt 就是收纯的速率 v0 ， y y ds / dt 就是船的速率： l v0 ds l dl o
v0
dl ds l h s 2l 2s dt dt
2 2 2
v

x
dv s(dl / dt ) o / dt ) l (dsx a v0 2 dt s 2 v0 s lv h 2v0 v0 3 2 s s
此平均加速度不能用 a (a1 a2 ) / 2 计算。因为在 该运动过程中，速度方向发生了换向。
（4）3s末的瞬时加速度为
dv a 12t 12 3 36 m / s 2 dt
1.4 在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率v0 收绳拉船靠岸,船头在离岸边s距离处。试求船的速率 和加速度。 解 由图示知 注意到
x2 求得轨道方程： y 19 2
2
这是一条抛物线。
(5)质点位矢的量值为：
r x 2 y 2 (2t)2 (19 - 2t 2 ) 2 dr r有极值的必要条件是： dt 0
由此求得 8t (2t 2 18) 0 亦即: t= 0,3s (略去t=-3s); 可见t=3s时质点离原点最近。
解 首先由题设图示求得两个时间段的F(t)函数，进 而求得相应的加速度函数，再应用积分法求解。 由图示，F(t)函数可写成
F /N
10
0<t<5s 2t F (t ) b ct 5 t<7s
t=5时，F =10N → b-5c 0 = 10 t=7 时，F =0 → b-7c 5 7 图x1.2 例题1.6 图示 联解以上两式得： b =35, c =5。 =0
v雨对地
y
为雨滴相
x
v雨对地 = v雨对车 + v车对地
35 对三角形有 sin 45 sin 75
雨对地
雨对车
45
45o
30o
x
30°
雨对地
由此求得
车对地=35
v雨对地 =25.6 m / s
图x1-1 例题1.5图示
例题1.6 一质点的质量为1kg,沿ox轴运动,所受的 力F(t)如图所示,t=0时质点静止在坐标原点,试求此 质点第7s末的速度和坐标。
第1章 《运动和力》习题课 本章重点
1.位移、速度和加速度之间的关系 2.运动叠加原理 3.运动方程(匀速直线运动、匀变速直线运动） 4.牛顿三大定律
5.力的独立作用原理
习题课
解题示例：补充题 作业：p.42～45:1-2;1-4;1-9;1-15
解题示例
例题1.1 质点的位置矢量为：r (3 2t 2 )i (2t 2 1) j 问质点作什么样的运动？
r 2ti (19 2t ) j
2
dr 求得速度： 2i 4t j dt d 加速度： a 4 j dt 代入 t=1s,得：
v 22 (4)2 4.47 (m / s)
a 4 (m / s )
2
(4)运动轨道：
由运动方程 x 2t , y 19 2t
Baidu Nhomakorabea
(3)再由式（1）: FT1 G1 m1a1 m1 ( g a1 ) 1.57 N
t=0, r =19(m); t=3s, r =6.08(m),
例题1.4 质点沿半径R的圆周运动，路程与时间关系：
求：①何时有
1 2 s bt ct （b、c为常数，且 b2 Rc ) 2
②何时有加速度大小 a c ？ v 2 (b ct )2 ds dv 解. ①由公式 v b ct at c , an dt dt R R
(1)每个物体的加速度; (2)两根绳子中的张力FT1和FT2； 假定滑轮与绳的质量以及摩擦均 可忽略不计。
a1↓
习题1.15图示
a2↓
解 (1)采用隔离体法做受力分析,得
G1 FT1 m1a1 G2 FT2 m2 (a2 a1 ) FT2 G3 m3 (a1 a2 ) F 2F T2 T1 由(2)+(3)得： (1) (2) (3) (4)
60 0.866 100 0.5 9.8 0.12 m / s 2 160
(3) 又由式①得
T GA sin mAa 100 9.8 0.5 100 0.12 502 N
习题1.15
在附图中，A为定滑
轮,B为动滑轮,三个物体的质量
m1=200g,m2=100g,m3=50g,求:
a↓ 1↓ 1
G2 G3 (m3 m2 )a1 +(m2 +m3 )a2
(5) 由(1)-2× (2)得:
G1 2G2 (m1 2m2 )a1 2m2 a2 =0
∴
m1 2m2 a2 a1 2a1 2m2
↓ a 22↓ a
(6)
再由(2)有: G2 FT2 m2 a1 由式(5)得:
（3）第1s末的速度和加速度;
（4）运动轨道;
（5）何时质点离原点最近?
解 (1)由位矢表达式： r 2ti (19 2t 2 ) j 当t=1s时， 当t=2s时，
r1 2i 17 j (m)
r2 4i 11 j (m)
(2) 第2s内的平均速度： 由 r r 2 r1 2i 6 j (m) r 平均速度: 2i 6 j (m / s) t (3) 第1s末的速度和加速度: 由位矢
(7)
50 9.8 150a2 50a1
2
代入式(6)得:
250a1 490 a1 1.96 m / s
(2) m2对地面的加速度:
a ' a2 a1 1.96 m / s 2
2
m3对地面的加速度: a '' a2 + a1 5.88 m / s
而由式(4)得: FT2 FT1 / 2 0.785 N
由
an at ？
(指量值大小）
b ②由 a a a c t c 2 v dv 注意：在公式 at 和 an 中的v 都是指速率！ dt R
2 n 2 t
b R an | at | t c c
例题1.5 火车静止时，雨滴方向偏向车头30；当火车 以35m/s的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴方向偏向 车尾45，求雨滴相对于地面速度的大小。 解 设雨滴为研究对象，地面为静止参考系K，火车为 运动参考系K′, v车对地 为K′对K的速度， 对于K的速度，旅客看到雨 滴下落的速度为 v雨对车 ，则
解 先按坐标轴分解 x 3 2t 2 , y 2t 2 1 则运动轨道方程为：y 又由
= x- 4 ；故作直线运动。
dr 4ti 4t j dt d a 4i 4 j dt
故质点作匀加速直线运动。
例题1.2 粒子矢径为: r R cos ti R sin t j ，其中 R、为正值常量。
解（1）在2s末的位移为
x x2 x0 4t 2t 3 0 4 2 2 23 8 m
故在最初2s内的平均速度为 又2s末的瞬时速度为
2
v x / t 4 m / s
v dx / dt 4 6t 4 6 4 20 m / s
FA A
T T
FB
B
沿斜面上A、B各受张力 T和重力分量的作用，且

GA

GB
GA sin GB sin
故绳向B边运动。
图X1.4 题1.9图示
（2）由受力分析图,有 T GA sin mAa
①
②
GB sin T =mB a
式①+②得:
GB sin GA sin =(mB mA )a GB sin GA sin a (mB mA )
x5
dx vdt ，算得：
5s
t
习题答案
1.2 一质点沿ox轴运动，坐标与时间的变化关系为
x 4t 2t ，式中x,t 分别以m,s为单位，试计算：
3
（1）在最初2s内的平均速度，2s末的瞬时速度； （2）1s末到3s末的位移、平均速度； （3）1s末到3s末的平均加速度；此平均加速度是 否可用 a (a1 a3 ) / 2 计算？ （4）3s末的瞬时加速度。
5s
t
(35 5t )dt 5s 5 2 5 2 v5 35t 35 5 t 5 87.5 35t 2.5t 2 2 2 代入 t =7 s,最后算得速度：v 35 m / s
再由

t

x
35 2 35 2 2.5 3 2.5 3 x x5 87.5t 87.5 5 t 5 t 5 2 2 3 3 代入 t = 7s 算得坐标: x = 105 m 。
13 再由 v=dx/dt 得 0 dx 0 vdt x 0 t dt 3t 将t=5s代入得: v 25 m / s ; x 41.7 m
x t t 2

0

0

0
①
②
5s
5s
对 5s < t < 7s 时间段，用同样方法有

故 v v5
v
v5
dv a2 dt

a
dt d
dt
R sin ti R cos t j
R 2 cos ti R 2 sin t j 2 r
(2)在时间 t =/ 2/ 内的位移: 由矢径方程
r R cos ti R sin t j
代入题设数据，求得位移矢量为：
h
l
s
图x1.3 习题1.4图示
1.9 两物体A、B质量分别为mA 100kg , mB 60kg; 两斜面的倾角分别为 30 、 =60 ； 如果物体与 斜面间无摩擦，滑轮和绳的质量忽略不计，问： （1）该系统将向哪边运动？
（2）系统的加速度是多大？
（3）绳中的张力是多大？ 解 （1）由受力分析知，
(1)分析粒子的运动情况; (2)在时间t=/ 2/ 内的位移和路程。 解 (1) 运动方程为：x=Rcos t ， y=Rsin t ;
轨道方程为： x2+y2=R2 此
——
圆周运动
由于t=0时,x = R, y = 0,而t＞0+时,x＞0,y＞0,由
dr 判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。