教案：平面向量数量积的坐标表示模夹角
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
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1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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2.4.2平面向量的数量积的坐标表示 模 夹角
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1. 在坐标形式下，掌握平面向量数量积的运算公式及其变式（夹角公式）；2. 理解模长公式与解析几何中两点之间距离公式的一致性. 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：复习：1.向量a 与b 的数量积a b ⋅= .2.设a 、b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与b的夹角，则①a b a b ⊥⇔⋅=；②a = ；③cos θ= . （二）自主探究：（预习教材P106—P108） 探究：平面向量数量积的坐标表示问题1：已知两个非零向量()()1122,,,a x y b x y ==，怎样用a 与b 的坐标表示a b ⋅ 呢？1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅（坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
问题2：如何求向量(),a x y =和两点()11,A x y ，()22,B x y 间的距离？2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a = ________________或a ________________。
（２）若()11,A x y ，()22,B x y ，=___________________（平面内两点间的距离公式）。
问题3：如何求()()1122,,,a x y b x y ==的夹角θ和判断两个向量垂直？3．两向量夹角的余弦：设θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝_________＝_______________向量垂直的判定：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则⇔⊥b a _________________二、合作探究1、已知()()(),4,1,2,3,1,2-C B A（1）试判断ABC ∆的形状，并给出证明. （2）若ABDC 是矩形，求D 点的坐标。
2、已知()()1,3,3,1==，求a 与b的夹角θ.变式：已知a=(3,0),b=(k,5)a b 且与的夹角为3,k=4π则______________.三、交流展示1、若()4,3a =- ，()5,6b = ，则234a a b -⋅=2、已知()3,2a =-- ，()4,b k =- ，若()()5355a b b a -⋅-=-，试求k 的值.3、已知，(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时， （1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +- 与平行吗？它们是同向还是反向？四、达标检测（A 组必做，B 组选做）A 组：1. 已知()3,4a =- ，()5,2b =，则a b ⋅ 等于（ ） A.23 B.7 C.23- D.7-2. 若()3,4a =- ，()5,12b =，则a 与b 夹角的余弦为（ ）A.6365 B.3365 C.3365- D.6365- 3. ()2,3a = ，()2,4b =-，则()()a b a b +⋅- = ，4.已知向量()1,2OA =- ，()3,OB m =，若OA AB ⊥ ，则m = 。
《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 （2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式 （1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为 （3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ， 则四、典例分析、举一反三题型一 平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二 向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0， 解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三 向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.题型四 平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。
平面向量数量积的坐标表示教案
平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。
2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。
3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。
教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。
二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。
2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。
三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。
2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。
引导学生思考其中的计算思想和规律。
四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。
2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。
五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。
2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。
教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。
2. 学生课堂参与和讨论。
3. 学生课后完成的作业和练习题。
教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。
2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数学学案009
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【目标要求】1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【课堂互动】平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．向量的模的问题【例2】 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. 求|a ＋b |的最大值．练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A.5B.10 C ．5 D ．25向量的垂直问题【例3】 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．练3 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________．向量的夹角问题【例4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．4 如下图所示，已知O 是原点，点A (16,12), 点B (－5,15)，求：(1)|OA →|，|AB →|；(2)∠OAB .【限时训练】1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，若a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6}3．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．与a ＝(3,4)垂直的单位向量是( )A ．(45，35) B ．(－45，－35)C ．(45，－35或(－45，35) D ．(45，35)或(－45，－35)5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是() A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13) D ．(223，－13或(－223，13)。
平面向量数量积的坐标表示学案
必修4 2．4．3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.举例说明平面向量数量积的坐标表示、用坐标表示向量的模、夹角、垂直、平面内两点间的距离公式；2.能运用以上知识解决有关问题和解决问题的思想方法；3.通过本节课的学习，进一步加深对向量数量积的认识，提高同学们的运算速度、运算能力、创新能力及数学素质.【学习重点】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离等公式. 【难点提示】平面向量数量积的坐标表示、坐标表示向量的模、夹角、垂直、距离的综合运用以及灵活解决相关问题.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材106108P 结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.两个非零向量的夹角 ，夹角的范围是 ； 当两向量共线与垂直时夹角分别是 、 、 ；与非零向量a 垂直的向量有 个；2.平面向量数量积定义 ，向量数量积的几何意义 、向量数量积的性质 、 、 、 、 .3.向量数量积满足的运算律 、 、 ；4.平面向量的坐标表示及坐标运算 ，平面向量共线的坐标表示 ；热身练习 已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB =； （2）____AB AC -=；请问同学们，你还能求：____AB =，____AB AC ⋅=，cos ____ABC ∠=，该△ABC 的形状如何？等. 这就是我们本节课要探究的问题！二、学习探究通过“学习准备”，在想一想：前面我们学习了平面向量的坐标表示，我们已经会用向量的坐标表示来表示向量中的哪些相关知识？能用向量的坐标表示解决向量的哪些问题？上节课我们又学习了向量的数量积及相关知识，那么，现在你能用向量的坐标来表示向量的数量积、模、夹角吗？请同学们发挥你的想象探究一下：探究向量数量积坐标表示 已知：11(,)a x y =，22(,)b x y =，请你坐标表示a b ⋅？ 【提示】请同学们一定要先独立思考，再看链接1 探究：归纳结论 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a ⋅b= .快乐体验 1.已知：(3,4),(5,12)a b =-=，求：|a |= ，|b |= ，a ⋅b= ，cos ___θ=（θ为向量a 与b 的夹角）解：2. 已知(2,3),(2,4),(2,4),a b c ==-=-求2,()(),(),().a b a b a b a b c a b ⋅+⋅-⋅++ 解：3.已知△ABC 的三点为A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求：（1）____AB AC ⋅=； （2）____AB =；（3）△ABC 的形状是 . 解：同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积的坐标表示有哪些感悟？它们有哪些性质呢？你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能用几种语言来描述平面向量数量积的坐标表示？它实质就是一个运算公式，这个公式又怎样的特征？有几个变量？如何运用该公式？2.设),(y x a = ，则|a |= 或|a|= (长度公式)3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么||||AB a ==(平面内两点间的距离公式)4.夹角的计算：设),(11y x a =，),(22y x b = ,夹角为θ，则cos θ=5.垂直关系分析：设),(11y x a =，),(22y x b = ，则b a ⊥⇔ ⇔三、典例赏析例1.已知a =(3,4)，求：（1）a 的单位向量；（2）与a 垂直的单位向量； （3）与a 平行的单位向量. 解:解后反思 求解该题运用了哪些知识与思想方法？有易错点吗？ 变式练习 已知向量 (34)a OA ==-,O 为坐标原点，求： （1）与向量a 平行的单位向量；（2）与向量a 垂直的单位向量； （3）将向量a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量的坐标． 解：例2.在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值解:解后反思 该题的题型怎样？求解时运用了哪些知识与思想方法？求解的关键在哪里？有易错点吗？变式练习 如图2.4.3-1，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标． 解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？ 你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积、向量的夹角、长度、垂直的坐标表示都掌握了吗？这些公式给向量的运算与运用带来什么？（链接2）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数图2.4.3-1学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？【学习评价】1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（A ．23 ；B ．57 ；C ．63 ；D ．83.2.已知a =(4,3),向量b 是垂直a的单位向量，则b 等于（ ）A ．)54,53(或)53,54(B ．)54,53(或)54,53(--C ．)54,53(-或)53,54(-D ．)54,53(-或)54,53(-3.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b的夹角为 ．4.已知||3,||2,a b a b ==与的夹角为060,35,3c a b d ma b =+=-（1）求m ,使c d ⊥； （2）求m ,使//c d 解：5.已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21,23)． x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a＋t b ，且x y ⊥，求,k t 之间的函数关系式． 解：6.已知)2,32(-=+=b n a m c ，b c a ,⊥与c 的夹角为0120，且4-=⋅c b ；|a |=22，求实数m 、n 的值及a 与b的夹角θ.解：【学习链接】链接1. 回归向量坐标本质，令11(,)a x y ==11x i y j + ，22(,)b x y ==22x i y j +，请在再算一算或阅读教材；链接2. 向量、共线向量、向量数量积、向量的夹角、长度、垂直等的坐标表示给向量的运算与运用带来了一场革命，使几何问题转化为代数问题，使问题简单化，也拓宽了向量应用的途径.。
2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)
§2.4平面向量的数量积第7课时一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入：1． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ， 可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向； （3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（ ） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ， 若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（ ）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（ ） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（ ） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律 交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、 两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、 讲解范例：五、 设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )， 由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、 课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（ ） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（ ）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、 小结（略） 八、 课后作业（略） 九、 板书设计（略） 十、 课后记：。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。 合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料 设计问题
复习思考 提出问题
类比化归 解决问题
反思建构 操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入 提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明 。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习， 提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。 让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图： 渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a
b
a
b
cos
2． 数量积的性质：
（1）
a
b
ab
0
（2）当
a与b同向时，a
b
a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a
b
?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使 学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2. 教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：cosa b a bθ⋅=.教师2：提出问题2．学生2：2a a a a a a⋅==⋅或，cos.0a ba b a ba bθ⋅=⊥⇔⋅=．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量AB的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？教师4：提出问题4．学生4：1122,a x i y jb x i y j=+=+所以1122)()a b x i y j x i y j⋅=++（2212122112x x i x y i j x y i j y y j=+++2121yyxx+=教师5：提出问题5．学生5：|a|＝x2＋y2．教师6：提出问题6学生6：()()221212AB x x y y=-+-（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2.(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝12MC，BN＝12BC，则AM→·AN→＝________.2.平面向量模长的坐标运算教师10：完成例1.学生10：AM→·AN→＝(AD→＋13AB→)·(AB→＋12AD→)＝0＋12·22＋13·32＋13·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①例2.已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |.3.平面向量夹角的坐标运算 例3.已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1).求向量a 与b 夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4. 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3，2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标.[课堂练习]1.已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．2.已知a ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－4.所以 a ＝(6，4)或a ＝(－6，－4)． 所以a ＋b ＝(8，1)或a ＋b ＝(－4，－7)， 所以|a ＋b |＝65.教师12：完成例3.学生12：设a ，b 的夹角为θ，由a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210.教师13：完成例4.学生13：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2). ∵D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴－6(y －2)＋3(x －3)＝0，即x －2y ＋1＝0.① 又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0， 即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.即2x ＋y －3＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|AD →|＝（1－2）2＋（1＋1）2＝5，即|AD →|＝5，点D 的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2． 学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5 B．4C．－2 D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1 B．0C．1 D．23．平行四边形ABCD中，AB→＝(1，0)，AC→＝(2，2)，则AD→·BD→等于()A．－4 B．－2C．2 D．44．已知a＝(3，－4)，则|a|＝________.5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．教师15：提出问题9．学生15：学生16：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：DAD，5，5师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-新人教(A版)
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2016/10/11
2、向量的模和两点间的距离公式ຫໍສະໝຸດ y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
o i
x
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
29 C ( 3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)， 则四边形ABCD的形状是 矩形 .
3、已知 a = (1，2)， b = (-3，2)，
若k a +2 b 与 2 a - 4
2016/10/11
b 平行，则k = - 1 .
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐标运算；
x( x 5) y( y 2) 0 得 2 2 2 2 x y ( x 5 ) ( y 2 )
O
B
X
例5 在△ABC中，AB =(2， 3)，AC =(1， k)，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案329解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 C解析 因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二 平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟 求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5， 又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三 平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 D解析 因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13， 所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围． 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数 解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 B解析 由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)， 所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0， 即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例 如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解 以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342， 故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点 平面向量夹角的坐标表示与应用 题点 求坐标形式下的向量的夹角 答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数答案 B解析 因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析 由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点 平面向量投影的坐标表示与应用题点 平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点 平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析 设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |， 即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点 向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12， 则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3， 故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)． 又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点 平面向量模的坐标表示与应用题点 利用坐标求向量的模答案 8 2解析 由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析 设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点 平面向量数量积的坐标表示与应用题点 坐标形式下的数量积运算答案 －8解析 设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ， 则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点 平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点 平面向量夹角的坐标表示与应用题点 平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。
高一数学《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |； a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒cos θ =||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习： （1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .23 C.6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.三、课堂练习：1、P107面1、2、3题2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=3、向量垂直的判定：设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x五、课后作业：作业二十四。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
高中数学人教版B版精品教案《向量数量积的坐标运算》
向量数量积的坐标运算【教学过程】一、问题导入我们已经学习了向量数量积的概念以及平面向量线性运算的坐标运算方法，那么向量的数量积能不能进行坐标运算呢？如果可以又遵循怎样的运算法则呢？这节课就让我们来学习——向量数量积的坐标运算。
二、新知探究1．平面向量数量积的坐标运算【例1】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，），且a·b＝－1，则的值等于（）。
A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!（2）已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2），则a·b＝________，a·a－b＝________。
（3）已知a＝（2，－1），b＝（3，2），若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________。
思路探究：根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程（组）来进行求解。
答案：（1）D；（2）1；4；（3）错误!。
[（1）因为a＝（1，2），b＝（2，），所以a·b＝（1，2）·（2，）＝1×2＋2＝－1，解得＝－错误!。
（2）a·b＝（－1，2）·（3，2）＝（－1）×3＋2×2＝1，a·（a－b）＝（－1，2）·[（－1，2）－（3，2）]＝（－1，2）·（－4，0）＝4．（3）设c＝（，），因为a·c＝2，b·c＝5，所以错误!解得错误!所以c＝错误!。
][教师小结]（1）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝12＋12，并能灵活运用以下几个关系：|a|2＝a·a；（a＋b）（a－b）＝|a|2－|b|2；（a＋b）2＝|a|2＋2a·b＋|b|2．（2）通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系。
（3）向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充。
高中数学必修二 6 3 5 平面向量数量积的坐标表示学案
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝.注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()【经典例题】题型一 数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )．【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1题型二 平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y2.例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．题型三 平面向量的夹角和垂直问题 点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．【当堂达标】1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．22.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10 C．5 D．253.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23 B.3C．0 D．－34.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0 x 2＋y 2 √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22 【小试牛刀】(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √ 【经典例题】例1 解 a ·b ＝1×2＋3×5＝17.∵a ＋b ＝(3,8)，2a ＝(2,6)，∴2a －b ＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝3×0＋8×1＝8.【跟踪训练】1 D 解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.例 2 D 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝√82+(−8)2＝8 2.【跟踪训练】2 13 解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y－1)＝(4，－1)，所以⎩⎨⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.例3解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.【跟踪训练】3 解 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12.又当a 与b 反向时，夹角为180°，即a ·b ＝－|a |·|b |，则2λ＋1＝5·λ2＋1，解得λ＝2.由于a 与b 的夹角为钝角，故应排除a 与b 反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 【当堂达标】1.C 解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2.C 解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C ．3.B 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ， 又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.4.A 解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．5. 7 解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.6.解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)． 又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。
数学(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)
方向性
向量的模只与向量的长度有关， 与其方向无关。
模的计算方法
定义法
根据定义直接计算向量的模 。
勾股定理法
如果向量在直角坐标系中的 坐标已知，可以使用勾股定 理计算模。
向量分解法
将向量分解为两个互相垂直 的分量，然后分别求出分量 的模，再求和。
模的性质
共线性质
如果两个向量共线，那么它们的模相等或互为相反数。
05
实例分析
数量积的坐标表示实例
要点一
总结词
通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数 量积。
要点二
详细描述
假设有两个向量$overset{longrightarrow}{a} = (x_{1}, y_{1})$和$overset{longrightarrow}{b} = (x_{2}, y_{2})$， 它们的数量积为$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$。 通过具体例题，展示如何利用坐标表示计算平面向量的数量 积。
平面向量的模
定义与性质
定义
平面向量$vec{a}$的模定义为 $left|vec{a}right| = sqrt{a_1^2 + a_2^2}$，其中$a_1$和$a_2$ 分别是向量$vec{a}$模总是非负的，即 $left|vec{a}right| geq 0$。
数量积与夹角的关系
数量积与夹角余弦值的关系
向量的数量积等于两个向量模的乘积乘以它们夹角的余弦值，即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times costheta$。
平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 (学生版)
. (写出解题过程)
2 4. 若 a 4,3 ， b 5,6 ，则 3 a 4a b 等于(
A. 23 B. 57 C. 63 必改 我的错题目号：_____ 我的错题分析及正确解法： ____
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
x2 x1
2
y2 y1
2
3.若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a / /b
线
若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b a x1 , y1 , b x2 , y2
4.两个非零向量
a b 是 a 与 b 的夹角， 则 cos a b
第 1 页 共 4页 我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！ 第 2页 共4页
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
【当堂检测】 1. 已知 a 3,4 ， b 5, 2 ，则 a b 等于( A. 23 B. 7 C. 23 D. 7
装
2．课前用 5－10 分钟自学课本 P106-P107，并完成【固学预学】。 3. 课前用 15－20 分钟完成【小组讨论】,由组长组织讨论，书写规范，并做好督促、检查。 4.课堂小组展示讨论 25 分钟，当堂检测 20 分钟，改错、总结 5 分钟。 【学习目标】
讨论二 ：已知 a ( 2, 1), b ( 2, 2) ，判断 a与b 的关系。
【我的收获】 )
2.已知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且 a BC , b CA ,则 a 与 b 的夹角为___。(写出解题过程)
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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案）
教学目标
1．知识目标：
⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；
⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；
⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
2．能力目标：
⑴培养学生的动手能力和探索能力；
⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想；
3．情感目标：
引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣.
教学重点
平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质
教学难点
平面向量数量积的坐标运算的综合应用
教学方法
启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学
教学过程设计
3．例题讲解
例1
θ
的夹角
与
求
已知b
a
b
a
b
a
b
a,
,
,
),1
,3
(
),
3
,1
(⋅
-
=
-
=
解：
∵
∴
例2．
已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断△ABC
的形状，并给出证明.
解：如图所示，△ABC是直角三角形.
证明如下：
∵，
∴
∴
∴△ABC是直角三角形
先让学生尝试
解答，体会自主应
用新知识解决问题
的过程，然后给出
详细解答.
先让学生画出
简图，直观感知三
角形的形状，然后
引导学生分析解
答.注重培养学生
观察——猜测——
证明的思维方法.
通过不同解法
的分析，培养学生
分析问题解决问题
的能力。
135
6365
例题变式：
在直角△ABC 中，)1(),32(k OB OA ，，==，，求实数k 的值； 解：①若
，则
∴
∴
②若，则
而
∴
∴
③若，则
而
∴
∴
三、评价练习
1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则2
3a 4a b=-⋅（ ） A.23 B.57 C.63 D.83
2. 已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ） A. B.65 C D.13
3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()
a+b a-b =⋅__________。
4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________。
5.a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________
先放手让学生自主探索，然后结合几何画板演示，让学生观察，寻找解决问题的思路，培养学生应用分类讨论的思想方法解决问题的能力.
让学生通过练习，自主反思与评价，进而对学习过程进行积极的监控与调节.。