第二章恒定电场09

R2
（R1 r R2 )
E
J


I 2l
I
R1
R2 d ln 2l 2 l 34 R1
I
电导
绝缘电阻
解法二
I 2l G R2 U ln R1 1 1 R2 R ln G 2l R1
静电比拟法


I
R1
由静电场解得
C 关系式得 则根据 G 2l 同轴电缆电导 G R2 ln R1
电路中的焦耳定律，可由它的积分而得，即
P UI I R
2
（W）—— 焦耳定律的积分形式
10
小结:
I

S
J dS
欧姆定律的微分形式
J
J E
I
S 面：用与I 流动的 方向垂直的平面去 切导电媒质得到的 截面。
焦耳定律的微分形式
p E
（W/m3 ）
11
体分布dV JdV ( dV )v 面分布 s dS KdS ( s dS )v 线分布 l dl Idl ( dl )v ( v )dl
定义：流经导体的电流与导体两端的电压之比称为电导，用 G表示 G I U 其单位为S或（西门子）。
R U I 1 G
电导的倒数称为电阻 单位为（欧姆）。
导体的电导或电阻的大小与导体的电导率、形状、几何尺 寸以及电极的位置等因素相关。一般情况下导体的形状并 不规则，难于用解析的方法计算其电导或电阻，此时，可 采用图解法或数值计算方法。
J E
J 0
E 0
18
e E dl 0
• 恒定电场是无源无旋场。
恒定电场积分
形式基本方程：
静电场积分
形式基本方程：
E d l 0 J d S 0 J E
S l
E d l 0 0 D d S q D E
0
0 ,

U0
方程通解为
界条件，可得
C1 C2 ，代入边
电位函数
(
U0
图2.5.2 弧形导电片
U0 E e e 36

) ,
电流密度
电流
U 0 J E e
R2
I J dS
S
不含场源
19
l
2.3.2
分界面的衔接条件
分界面上的衔接条件
E dl 0
L
S


E1t E 2t J1n J 2 n
J dS 0
说明分界面上电场强度的切向分 量是连续的，电流密度法向分量是连 续的。
折射定律为
tan 1 1 tan 2 2
图2.3.1 20 电流线的折射
2l C , R2 ln R1
绝缘电阻
R2
,
R2 R ln 2 l R 35 1
1
例2.5.2 求图示电导片的电导，已知给定
0 时， 0; 时 , U0
解：取圆柱坐标系，
( ) ，边值问题

2 1 2 2 2 0
第二章
恒定电场
1
基本概念： •
通有恒定电流的导电媒质中的恒定电场 (电流场)
• 通有恒定电流的导电媒质周围电介质中 的静态电场
• 注意：本章只研究导电媒质内部的区域
• 本章研究的对象是导电媒质,其 与静电场中所说的导体是什么关 2 系？
§2-1
导电媒质中的电流
在外电场的作用下，自由电荷定向运动形成电流 导电媒质中的运动电荷的定向运动形成的电流叫传导电流 单位时间内通过某一横截面的电量， 简称为电流。
12
元电荷dq
元电流dqv
2.2 电源电势与局外场强
2.2.1 电源 要想在导线中维持恒定电 流，必须依靠非静电力将B极 板的正电荷抵抗电场力搬到A 极板。这种提供非静电力将其
它形式的能量转为电能装置称
为电源。
图2.2.2 恒定电流的形成
13
2.2.2 电源电动势与局外场强
fe 设局外场强为 E e ，则电源电动势为: q
2 1 2 2 2 2 0 2
( 2 区域）
场域边界条件

0
0,
2
, 2
U0
衔接条件
1 2
图2.3.3 不同媒质弧形导电片
1
1 2 2 , ( ) 4
24
电位
4 2U 0 ( 1 2 )U 0 1 , ( 1 2 ) 1 2
31
例2.5.1 求同轴电缆的绝缘电 阻。设内外的半径分别为R1、R2，长 度为 ,中间媒质的电导率为 ，介
l
电常数为

。
图2.5.1
同轴电缆横截面
32

I

S
J dS
33
解法一

直接用电流场的计算方法
解：设同轴电缆长为 L， 假设漏电流为 I.

I
J
I 2l
R1 R2
U E dl
dq I dt
A
I 是通量,并不反映电流在 每一点的流动情况。
3
2.1.1 电流强度
1.电流体密度
分布的体电荷以速度v 作匀速运动形成的电流。
J v
亦称电流面密度
电流
Am
2
I

S
J dS
4
2. 电流面密度
分布的面电荷在曲面上以速度v运动形成的电流。
K v
电流
Am
线电流密度矢量
l
E e dl
(V )
电源电动势与有无外电路无关，它是表示电源本身的特征量。
考虑局外场强
J ( E Ee )
因此
Ee
( E E ) dl E dl E
l e l l
e
dl
0
局外场 Ee 是非保守场。
图2.2.3 电源电动势与局外场强
I ( K en )dl
l
I
l：用与I 流动的方向垂直的平
面去切导电媒质得到的截线。
en 是垂直于dl，且通过dl与
曲面相切的单位矢量
5 图2.1.3 电流线密度及其通量
工程意义：
• 同轴电缆的外导体视为电流面密度分布；
• 媒质的磁化，其表面产生磁化电流可用电流面密度表示, 如图示；
• 交变电场的集肤效应，即高频情况下，电流趋於表面分 布，可用电流面密度表示。 3、线电流
那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对应量关系便可
得到另一个场的解。
27
静电场
1 2 2 2 ( , ) 1 2 1 2


28
图示恒定电流场对应什么样的静电场？比拟条件？
图2.4.2
静电场平行板造型 29
2.5 电导与接地电阻
J E
2 0
q D D dS
S
2 0
I
E1t E2t D1n D2n
E1t E2t J1n J 2n
26
J dS
S
表2 两种场对应物理量 静电场 ( 0) 导电媒质中恒定电场（电源外） E

D
q


E
J
I
两种场各物理量所满足的方程一样，若边界条件也相同，
S
R1
U 0 U 0 h R2 (e ) hd (e ) ln R1
电导
I h R2 G ln U 0 R1
( S m)
图2.5.2 弧形导电片
37
2.5.2 接地电阻
为了保证电气设备正常工作和操作人员人身安全，应使用接 地装置将用电设备的某一部分接地。 接地装置包括接地体和接地线。接地体是埋入地下的金属导 体（如圆钢、扁钢、钢管等），接地导线将设备连接到接地 体上。 工作电流、短路电流或雷电电流通过接地线流向接地体，再 分散流入大地。 接地电阻等于设备接地点对地电压与通过接地线、接地体流 入大地的电流之比，它包括接地线、接地体的电阻，接地体 与土壤之间的接触电阻，以用电设备大地接地体及电流所流 经土壤的电阻。其中土壤的电阻占主要部分，通常我们把这 一电阻近似作为接地电阻。
14
2.3 恒定电场的基本方程 2.3.1

分界面上的衔接条件 边值问题
恒定电场的基本方程
1. J 的散度 电流的连续性定律
q J d S S t
• 定义：由电荷守恒定律，从
任一闭合面流出的传导电流， 应等于该面所围体积内电荷 的减少率：
15
q J dS t S q I J dS dV t t V S
元电荷dq
元电流dqv
面分布KdS KdS (dS )v 线分布Idl Idl (dl )v
(v)dl
7
2.1.3 欧姆定律的微分形式
U 欧姆定律： I R
电场是维持恒定电流的必要 条件。可以证明
J E
式中 为电导率，单位s/m（ 西门子/米）。
例2.3.1 特殊情况分界面上的电场分布。
解：媒质1是良导体，
1 5 10 s / m
7
媒质2是不良导体, 由折射定理得
2 102 s / m
t an 1 1 ，则 2 0 t an 2 2
表明，只要
1
，电流
2
线垂直于良导体表面穿出，良 导体表面近似为等位面。