【八年级数学竞赛讲座】第33讲 代数式的化简与求值
代数式的化简与展开
代数式的化简与展开一、代数式的化简1.代数式的定义：代数式是由数字、字母和运算符组成的表达式，其中字母表示未知数或变量。
2.化简的意义：化简代数式就是将复杂的代数式转化为简单、直观的形式，便于计算和求解。
3.化简的方法：（1）合并同类项：将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。
（2）分解因式：将代数式分解为几个整式的乘积，使得每个整式不能再被分解。
（3）约分：将分子和分母中相同的项相消，简化分数形式。
（4）去括号：根据括号前的符号，将括号内的项分别乘以括号前的符号。
二、代数式的展开1.展开的意义：展开代数式就是将复合代数式分解为简单代数式的和，便于计算和分析。
2.展开的方法：（1）分配律：将乘法运算中的数分别与括号内的每一项相乘。
（2）完全平方公式：根据完全平方公式，将含有平方项的代数式展开。
（3）平方差公式：根据平方差公式，将含有平方项和减法的代数式展开。
（4）立方公式：根据立方公式，将含有立方项的代数式展开。
三、化简与展开的实例1.化简实例：（1）化简代数式：3x^2 - 5x + 2（2）化简代数式：(2x + 3)(x - 2)2.展开实例：（1）展开代数式：(x + 2)^2（2）展开代数式：(x - y)(x + y)四、注意事项1.在化简与展开代数式时，要注意符号的变化，特别是去括号和乘方运算。
2.运用公式时要正确，避免出现错误的结果。
3.化简与展开的结果要进行验算，确保结果的正确性。
4.熟练掌握化简与展开的方法，提高解题效率。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握代数式的化简与展开方法，提高代数运算能力，为解决实际问题打下坚实基础。
习题及方法：1.习题：化简代数式 3x^2 - 5x + 2答案：无法再化简，答案为 3x^2 - 5x + 2解题思路：此代数式已经是最简形式，无需进行化简。
2.习题：化简代数式 (2x + 3)(x - 2)答案：2x^2 - x - 6解题思路：使用分配律，将括号内的项分别乘以括号前的项。
初二数学教案代数式的化简与计算
初二数学教案代数式的化简与计算初二数学教案代数式的化简与计算一、引言代数是数学中的一个重要分支，它研究数与运算法则之间的关系。
代数式是代数运算的基本表达形式，对于初中学生来说，掌握代数式的化简与计算是非常重要的基础知识。
本教案将重点介绍代数式的化简与计算方法，帮助学生提高代数运算能力。
二、知识讲解1. 代数式的化简代数式的化简指通过运用代数运算性质，将一个复杂的代数式变为简洁明了的形式。
常见的代数式化简方法有合并同类项、因式分解和配方法等。
2. 合并同类项合并同类项是将具有相同字母和相同指数的代数项进行合并，合并过程中要保持字母和指数不变。
例如：化简代数式3x + 2y - 5x + 4y，首先将含有x的项3x和-5x合并得到-2x，再将含有y的项2y和4y合并得到6y，因此化简后的代数式为-2x + 6y。
3. 因式分解因式分解是将代数式中的公因式提取出来，写成因式的乘积形式。
通过因式分解，可以简化复杂的代数式计算，方便后续的运算。
例如：因式分解代数式x^2 + 3x，首先找出公因式x，然后将代数式进行拆分，得到x(x + 3)，这就是代数式的因式分解形式。
4. 配方法配方法适用于二次三项式的因式分解，通过将二次三项式进行适当的配方操作，将其转化为因式的乘积形式。
例如：对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以通过配方法进行因式分解。
首先计算出该二次三项式的平方项x^2的平方根为x，然后将中间项5x拆分为2x + 3x，将原二次三项式变形为(x + 2)(x + 3)。
三、教学活动1. 案例演示在开始本节课的数学教学活动前，老师可以先给学生演示一个代数式的化简与计算的案例，通过实际例子引起学生的兴趣。
例如：演示案例为化简代数式(2x^2 + 3x - 6) + (x^2 - 4x + 8)，先合并同类项，得到3x^2 - x + 2。
然后对于化简后的代数式，可以进行进一步的计算，例如代入具体数值计算等。
苏教科版初中数学八年级上册-二 代数式的化简与求值复习PPT课件
【思想方法】(1)进行分式混合运算时，一定要注意运算顺序， 并结合题目的具体情况及时化简，以简化运算过程； (2)适当地注意利用运算律，寻求合理运算途径； (3)分子分母能因式分解的应进行分解，并注意符号的处理，以 便寻求组建公分母和约分化简； (4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别．
专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值 【教材原型】
已知x＋y＝3，xy＝1，你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？ (浙教版七下P81第7题) 解：x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2＝7； (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问 题，在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应 用，体现了整体思想、对称思想，是中考热点考题． 完全平方公式的一些主要变形有：(a＋b)2＋(a－b)2＝ 2(a2＋b2)，(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(a－b)2＋2ab，在四个量a＋b，a－b，ab和a2＋b2中， 知道其中任意的两个量，能求出(整体代换)其余的两个量．
【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则m2＋n2的值为
(C)
A．10
B．6
C．5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．3
11
3．[2015·通州区一模]已知x2＋4x－5＝0，求代数式2(x＋1)(x －1)－(x－2)2的值． 解：∵x2＋4x－5＝0，即x2＋4x＝5， ∴原式＝2x2－2－x2＋4x－4＝x2＋4x－6＝5－6＝－1.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时，常常用整体 思想，把a＋b，a－b，ab当作整体进行代入．整体思想是 很重要的数学思想，利用其解题能够使复杂问题变简单． 整体思想在化简，解方程，解不等式中有广泛的应用，是 中考的重点考查的数学思想方法之一．
第3讲-华师一附中教程代数式的化简与求值-
第三讲 代数式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系；3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】 若a d d c cb b a ===，求dc b a dc b a +-+-+-的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 【例2】 如果11=+b a ，12=+c b ，求ac 2+.(全国初中数学联赛武汉选拔赛) 【例3】【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (北京市竞赛题)【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(河北省竞赛题)(2)已知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求a c cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题)练习：1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ．2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题)5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题)7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225zy x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (全国初中数学竞赛题)8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系 9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a aa a ，其中a 满足0122=-+a a ；(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ．12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ．14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ．(全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．316．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21- C ．2 D ．32- (大原市竞赛题)17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ）A ．648B ． 832C ．1168D ．194418．已知0201052=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．2016B ．2017C ．2018D ．201919．（1）已知ac b =2，求)111(333333222c b a c b a c b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x zx z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (上海市高中理科班招生试题)。
代数式的化简与展开
代数式的化简与展开代数式是数学中一个重要的概念，常用于表示数学关系和计算过程。
化简和展开是处理代数式的基本操作，既可以简化复杂的代数式，又可以拆解简单代数式的组成部分。
本文将介绍代数式的化简和展开的基本原理，并通过具体例子进行说明。
一、代数式的化简化简代数式是将复杂的代数式转化为简单的形式，以便进行进一步的计算和分析。
下面是一些常见的化简规则：1. 合并同类项：对于含有相同字母的项，可以合并它们的系数。
例如，将3x + 2x化简为5x。
2. 合并同底数幂：对于同底数的幂，可以将它们的指数相加或相减。
例如，4x^2 * 5x^3可以化简为20x^5。
3. 提取公因式：对于含有公因式的项，可以提取出它们的最大公因式，并将其放在括号外面。
例如，将2x + 4xy化简为2x(1 + 2y)。
4. 整理分式：对于含有分数的代数式，可以进行分子、分母的因式分解，然后约去公因式。
例如，将(2x + 4) / (x + 2)化简为2。
二、代数式的展开展开代数式是将括号中的式子按照分配律展开，并进行相应的计算。
下面是一些常见的展开规则：1. 单项式与多项式的展开：将单项式乘以多项式时，可以将单项式的每一项与多项式展开，然后合并同类项。
例如，将2x * (3x + 4y)展开为6x^2 + 8xy。
2. 二次式的展开：对于二次式的平方形式，可以将其展开为一次项和二次项的和。
例如，将(x + 2)^2展开为x^2 + 4x + 4。
3. 二次式的乘法：对于两个二次式相乘，可以按照分配律展开，然后合并同类项。
例如，将(x + 2)(x - 1)展开为x^2 + x - 2。
4. 三次式的立方形式：对于三次式的立方形式，可以使用二项式定理将其展开。
例如，将(x + y)^3展开为x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3。
三、示例下面通过几个具体的例子来说明代数式的化简与展开：例一：化简代数式将3x + 4y + 2x - 3y + 5x化简为10x + y。
初二下册数学第四课优质课代数式的化简
初二下册数学第四课优质课代数式的化简代数式的化简是数学中非常重要和基础的一部分。
在数学的学习中，我们经常会遇到各种复杂的代数式，而化简代数式可以帮助我们更好地理解代数式的性质和规律。
本文将从几个方面探讨代数式的化简，并通过具体的例子来说明。
一、代数式的基本性质在进行代数式化简之前，我们需要掌握一些代数式的基本性质。
首先，加法和乘法的结合律和交换律对代数式的化简非常重要。
根据这些性质，我们可以灵活地调整代数式的顺序，进而使其更加简洁。
此外，我们还需要掌握一些特殊符号的含义，如指数和系数等。
二、化简代数式的方法化简代数式的方法有很多，我们可以根据具体的情况选择合适的方法。
在这里，我将为大家介绍几种常见且实用的方法。
1. 合并同类项合并同类项是化简代数式的常用方法，它可以将具有相同变量部分的项合并为一个项。
例如，考虑以下代数式：3x + 2x + 5y + 4x + 7y我们可以将其中的同类项合并，得到：(3 + 2 + 4)x + (5 + 7)y进一步计算得到：9x + 12y通过合并同类项，我们使代数式更加简洁，便于计算和分析。
2. 提取公因式提取公因式是化简代数式的另一种重要方法。
通过提取公因式，我们可以将代数式中的公共部分提取出来，使其更易于计算。
例如，考虑以下代数式：6x^2 + 9xy我们可以将其中的公因式3x提取出来，得到：3x(2x + 3y)通过提取公因式，我们再次使代数式更加简洁，并且可以更好地理解代数式的结构。
3. 分配律的运用分配律是化简代数式时常用到的方法。
分配律是指乘法对于加法的分配规则。
例如，考虑以下代数式：2(x + 3)我们可以使用分配律，将2分别乘以(x)和(3)，得到：2x + 6通过运用分配律，我们将代数式进行了化简，使其更加直观和易于计算。
三、实例分析下面，我们通过具体的例子来进一步说明代数式的化简。
例1：对于代数式2x + 3(x + 1)进行化简。
解析：根据分配律，我们可以将代数式展开，得到：2x + 3x + 3然后，我们将同类项合并，得到：5x + 3通过化简，我们得到了原代数式的简洁形式。
-初中数学竞赛专题培训(4)：代数式的化简与求值
初中数学竞赛专题培训第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1 化简分式：分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．例2 求分式当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．例3 若abc=1，求分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．例4 化简分式：分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．说明互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5 化简计算(式中a ，b ，c 两两不相等)：似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a -b)(a -c)，而分子又恰好凑成(a -b)+(a -c)，因此有下面的解法． 解说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x -a)+(y -a)+(z -a)=0，那么题目只与x -a ，y -a ，z -a 有关，为简化计算，可用换元法求解．解 令x -a=u ，y -a=v ，z -a=w，则分式变为u 2+v 2+w 2+2(uv+vw+wu)=0．由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2+v 2+w2≠0，从而有说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化． 例7 化简分式：适当变形，化简分式后再计算求值．(x -4)2=3，即x 2-8x+13＝0．原式分子=(x 4-8x 3+13x 2)+(2x 3-16x 2+26x)+(x 2-8x+13)+10 =x 2(x 2-8x+13)+2x(x 2-8x+13)+(x 2-8x+13)+10=10，原式分母=(x2-8x+13)+2=2，说明本例的解法采用的是整体代入的方法，这是代入消元法的一种特殊类型，应用得当会使问题的求解过程大大简化．解法1 利用比例的性质解决分式问题．(1)若a+b+c≠0，由等比定理有所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，于是有(2)若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，于是有说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．解法2 设参数法．令则a+b=(k+1)c，①a+c=(k+1)b，②b+c=(k+1)a．③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以 (a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或 a+b+c=0．当k=1时，当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．练习四1．化简分式：2．计算：3．已知：(y-z)2+(z-x)2+(x-y)2=(x+y-2z)2+(y+z-2x)2+(z+x-2y)2，的值．。
八年级数学代数式的求值PPT优秀课件
人体血液的质量约占体重的6%-7.5% (1)如果某人体重是a千克，那么他的血液质
量大约在什么范围内？
(2)亮亮体重是40千克，他的血液质量大约在 什么范围内？
(3)估计你自己的血液质量。
THANKS
FOR WATCHING
《数学》(七年级 上册)
3
复习
1、一个两位数的个位数字是a，十位数字是b， 请用代数式表示这个两位数；
2、如何用代数式表示一个三位数？ 3、代数式(1+8%)x可以表示什么？ 4、用具体数值代替(1+8%)x中的x，并解释
所得代数式值的意义。 5、f的11倍再加上2可以表示为_____. 6、数a的1/8与这个数的和可以表示为_____.
代数式求值
下面是一对数值转换机，写出左图的输出结果;写出右 图的运算过程。
输入x
输入x
×6
6x
-3
输出
? ? ?
输出 （ 6 x3）
代数式求值
下面是一对数值转换机，写出左图的输出结果;写出右 图的运算过程。
输入x
输入x
×6
6x
-3
输出 6x3
-3 x3
×6
输出 （ 6 x3）
填写下表，并观察下列两个代数式的值的变 化情况
n
12 3 4 56 7 8
5n+6 11 16 21 26 31 36 41 46
n 2 1 4 9 16 25 36 49 64
哪个代数式的值先超过100。
结论：
随n的值的增大，每个代数式的值都是 增加的趋势。
n2的值先超过100，因为在n=6时，n2的 值就开始超过5n+6的值。
八年级数学如何解决复杂的代数式化简问题
八年级数学如何解决复杂的代数式化简问题代数式化简是数学中的一项重要技能，常常出现在八年级数学的学习中。
通过化简代数式，我们可以简化问题，使其变得更易处理和理解。
本文将介绍一些解决复杂代数式化简问题的方法和技巧。
一、变量的幂的加减法则当我们需要化简包含变量幂的代数式时，首先要掌握变量的幂的加减法则。
假设我们有一个代数式：5x² - 3x² + 2x²。
根据加减法则，我们可以将相同幂次的项进行合并，得到：(5-3+2)x² = 4x²。
同样地，我们可以对于任意多个项进行合并，得到一个简化的代数式。
二、分配律的运用分配律是解决代数式化简问题的常用工具。
当代数式中存在括号时，我们可以利用分配律将括号内的项与括号外的项进行相乘或相除，以求得化简后的结果。
例如，有一个代数式：2(3x+4) - 3(x-1)。
我们可以利用分配律展开括号，得到：6x + 8 - 3x + 3 = 3x + 11。
通过合并同类项，我们得到代数式的简化形式。
三、因式分解的技巧当代数式中存在多项式时，我们可以尝试进行因式分解，将代数式拆解成更简单的因式乘积。
通过因式分解，我们能够更方便地对代数式进行化简。
举个例子，考虑一个代数式：3x² + 6xy + 3y²。
我们可以进行因式分解，将其中的公因式3提取出来，并对二次项进行因式分解：3(x² +2xy + y²)。
根据完全平方公式，我们可以将二次项进一步分解成一个平方形式：3(x+y)²。
通过因式分解，我们得到了代数式的最简形式。
四、理解优先级和结合律在化简代数式时，我们需要理解运算符的优先级和结合律。
乘法和除法具有比加法和减法更高的优先级，我们在处理含有多个运算符的代数式时应该按照优先级进行计算。
例如，考虑一个复杂的代数式：2x - 3(4x + 2y) + 5xy²。
我们首先通过分配律展开括号，得到：2x -12x - 6y + 5xy²。
代数式化简求值-初中数学常见的模型方法专题
代数式化简求值方法一：先化简，再代入例1：1. 化简求值：()2222252342ab a b ab ab a b --+-，其中3a =-，12b =． 【答案】24ab ，3-．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：()2222252342ab a b ab ab a b --+- 2222252342ab a b ab ab a b =-+-+24ab =，当3a =-，12b =时， 原式()214332⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变：1－12. 先化简，再求值：()()23223232324xy y x y x y y xy y +---++-，其中2x =，3y =-．【答案】xy 2+y 3，9．【解析】【分析】原式去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．【详解】解：2(xy 2+3y 3−x 2y )−(−2x 2y +y 3+xy 2)−4y 3=2xy 2+6y 3-2x 2y +2x 2y -y 3-xy 2-4y 3=xy 2+y 3，当x =2，y =-3时，原式=()()2322339⨯⨯-+-=．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1－2 3. 先化简，再求值：()22222333a ab a ab ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，其中6a =-，23b =. 【答案】232a ab ++,26【解析】【分析】先对整式去括号、合并同类项，再将6a =-，23b =代入求值即可． 【详解】解：()222222223346332323a ab a ab a ab a ab a ab ⎛⎫+-+-=+--+=++ ⎪⎝⎭， 当6a =-，23b =时， 原式()()22636236122263=-+⨯-⨯+=-+= 【点睛】本题考查整式化简求值，解题关键是熟练运用整式的运算法则. 变式1－34. 先化简，再求值：221122y x y x y x xy y ⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中x ，y =1﹣．【答案】x y x y-+ 【解析】【分析】先将括号里的通分得()()()()x y x y x y x y +---+，再将2222y x xy y -+分母用完全平方式转化，再将除法转化成乘法，进行化简，化简之后将x ，y 的值代入求解即可.【详解】解：原式=()()()()()2·2x y x y x y x y x y y+----+=()()·2x y x y x y x y y -+-++=x y x y -+ ；当x ，y =1时，原式（ . 方法二：赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围． 例25. 请将式子211111x x x -⎛⎫⨯+ ⎪-+⎝⎭化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x 的值代入求值．【答案】2x +；当0x =时，原式值为2或当2x =时，原式值为4【解析】【分析】先计算括号内的分式的加法运算，再计算乘法运算，结合分式有意义的条件确定x 的值，再代入计算即可. 【详解】解：原式(1)(1)11111x x x x x x +-+⎛⎫=⋅+ ⎪-++⎝⎭ 2(1)21x x x x +=+⋅=++． 依题意，只要1x ≠就行，当0x =时，原式=22x +=或当2x =时，原式=24x ．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键. 变式2－16. 先化简，2211(1)x x x-+÷，然后请你自选一个理想的x 值求出原式的值 【答案】x x 1-，x=2时，原式=2. 【解析】【分析】本题可先把分式化简，再将x 的值代入求解；为了使原分式有意义，x 取1，-1和0以外的任何数． 【详解】原式=()2x 1x x (x 1)x 1+⨯+- =x x 1- x=2时，原式=2.【点睛】本题需注意的是：化简后代入的数不能使分母的值为0，变式2－27. 先化简，再求值：2221169x x x x x -⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭，其中x 是从1，2，3中选取的一个合适的数． 【答案】3x x -；-2 【解析】【分析】先计算括号内的异分母分式减法，再计算乘法，最后将可选取的x 值代入计算即可． 【详解】解：原式23(1)1(3)3x x x x x x x --=⋅=---， 当x 2=时，原式2223==--． 【点睛】此题考查分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则及确定字母的可取数值是解题的关键．方法三：先变形，再整体代入从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法，在数学学习中有很广泛的应用，整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待，而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体．不求字母的值，将所求代数式变形成与已知条件有关的式子． ①变换条件后，整体代入求值例318. 已知2410x x -=+，求43228481x x x x +--+的值．【答案】 1.-【解析】【分析】由2410x x -=+可得232214,4,41,x x x x x x x =-=-+=再利用整体代入的方法把原式降到是二次多项式，再整体代入求值即可. 【详解】解： 2410x x -=+，232214,4,41,x x x x x x x ∴=-=-+=∴ 43228481x x x x +--+()()22221484481x x x x x =-+---+ 22221632832481x x x x x x =-++---+24163x x =--+()2443x x =-++43 1.=-+=-【点睛】本题考查的是利用整体思想求解代数式的值，掌握降次的思想方法是解题的关键.变式3－1－19. 已知212a a -+=，则222a a a a+--的值为________． 【答案】1【解析】 【分析】由已知可知21a a -=，则21a a -=-，代入即可求值．【详解】解：212a a -+=，21a a ∴-=，则21a a -=-，2222111a a a a ∴+-=-=-． 故答案为1．【点睛】本题考查了求代数式的值，关键是由已知条件求出21a a -=和21a a -=-，考查了整体代入的思想．变式3－1－2 10. 116a b +=，求312a ab b a ab b-+++的值． 【答案】16【解析】【分析】结合题意，根据分式加法的性质，得6a b ab +=；再根据分式性质计算，即可得到答案． 【详解】∵116a b+= ∴6a b ab+= ∴6a b ab += ∴312a ab b a ab b -+++3=12a b ab a b ab +-++63=612ab ab ab ab -+318ab ab = 16=． 【点睛】本题考查了分式、代数式的知识，解题的关键是熟练掌握分式、代数式的性质，从而完成求解．②变换结论后，整体代入求值例3.211. 如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 3【答案】D【解析】 【分析】原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：原式=()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭ 2()()()()m n m n m n m n m m n m m n ⎡⎤+-=+⋅+-⎢⎥--⎣⎦ 3()()3()()m m n m n m n m m n =⋅+-=+- 1m n +=∴原式=3，故选D.【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式3－2－112. 已知2xy =-，3x y +=，求整式(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-的值．【答案】22【解析】【分析】先把整式化简，然后把xy ，x y +分别作为一个整体代入求出整式的值．【详解】(310)[5(223)]xy y x xy y x ++-+-310(5223)xy y x xy y x =++--+3105223xy y x xy y x =++--+5310232x x y y xy xy =++-+-88x y xy =++8()x y xy =++．把2xy =-，3x y +=代入得，原式83(2)24222=⨯+-=-=．【点睛】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．变式3－2－213. 已知12x x -=，则221x x +的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 【分析】根据完全平方公式得到214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，据此求解即可． 【详解】解：∵12x x -=， ∴214x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即41222=+-x x ， ∴2216x x +=， 故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．③变换条件和结论后，整体代入求值例3.314. 若2250a ab b +-=，则b a a b-的值为______． 【答案】5【解析】 【详解】∵2250a ab b +-=，∴225b a ab -=，∴b a a b -=22b a ab -=5ab ab =5， 故答案为5．【点睛】本题考查了分式化简求值，正确地对所给的式子进行变形是解决此题的关键.变式3－3－115. 已知x 2﹣3x+1＝0，求x 221x +的值． 【答案】7【解析】 【分析】先将等式两边同时除以x ，并整理可得x 1x+=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．【详解】解：∵x 2﹣3x+1＝0，∴x ﹣31x +=0， ∴x 1x+=3， ∴x 221x +=（x 1x+）2﹣2＝32﹣2＝7． 【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．变式3－3－216. 先化简，再求值（1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b --，其中a，b 满足a+b，12=0， 【答案】原式=1a b+=2 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【详解】，1a b -，22b a b -，÷2222+a ab a ab b-- =()()()()2•a b a b b a b a b a a b -+-+-- =1a b+ 由a+b ﹣12=0，得到a+b=12， 则原式=112=2．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 方法四：隐含条件求值法先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例417. 若单项式23m a b --与12n b a +是同类项，求代数式()222332m mn n n --++的值． 【答案】0【解析】【分析】先通过3ab -与ba 是同类项这一条件，将m 、n 的值求出，然后再化简求值式后求值．【详解】∵23m a b --与12n b a +是同类项，∴2211m n -=⎧⎨+=⎩， 解得：00m n =⎧⎨=⎩∴()222332m mn n n --++ 223m mn n =+-0300=+⨯-0=．【点睛】本题考查了整式运算、代数式、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握同类项、代数式的性质，从而完成求解．变式4－118. 已知2|2|(1)0a b -++=，求()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦的值． 【答案】34【解析】【分析】先通过已知式2|2(1)0a b -++=∣， 求出a 、b 的值，因为绝对值式和平方式都具有非负性，如果两个非负数之和等于0，那么它们均为0，再去括号，合并同类项把原式化简，最后代入求值即可.【详解】解：∵2|2|(1)0a b -++=，又∵|2|0-≥a ，2(1)0b +≥，∴2010a b -=⎧⎨+=⎩，解得：21a b =⎧⎨=-⎩．， ∴()22225242ab a b ab a b ⎡⎤---⎣⎦ 222544ab ab a b =+-2294ab a b =-．当2a =，1b =-时，原式2292(1)42(1)=⨯⨯--⨯⨯-1816=+34=．【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算，化简求值，掌握去括号，合并同类项是解题的关键.变式4－219.|83|b -互为相反数，则2127ab ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】37【解析】【分析】直接利用非负数的性质进而得出1﹣3a ＝0，8b ﹣3＝0，求出a ，b 的值，再代入所求代数式中即可求出答案．|83|0b -=，0≥，830b -≥∴130a -=，830b -=， ∴13a =，38b =， ∴222112727827371338ab ⎛⎫ ⎪⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⨯⎝⎭． 故答案为37．【点睛】本题考查了非负数的性质，解题时利用了绝对值和二次根式的非负性，也利用了互为相反数的两个数的和为0这个结论．方法五：利用“无关”求值或说理方法总结要说明一个代数式值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 例520. 有这样一道题：计算2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，其中12x =-，2y =．甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？【答案】见解析．【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断． 【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222213823333535x x xy y x xy y =--++++ 2y =，结果与x 的取值无关，故甲同学把“12x =-”错抄成了“12x =”，但他计算的结果也是正确的．【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式5－121. 已知2231A x xy y =++-，2B x xy =-．（1）若2A B -的值与y 的值无关，求x 的值．（2）若3A mB x --的值与x 的值无关，求y 的值．【答案】（1）x 的值为1-；（2）y 的值为1．【解析】【分析】（1）将A ，B 代入A -2B ，再去括号，再由题意可得10x +=，求解即可； （2）将A ，B 代入A −mB −3x ，再去括号，再由题意可得20m -=，30y my +-=，求解即可；【详解】解：（1）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，∴A -2B=（2231x xy y ++-）-2（2x xy -）=2223122x xy y x xy ++--+331xy y =+-()311x y =+-，∵A -2B 的值与y 的值无关，∴10x +=，∴1x =-；∴x 的值为1-；（2）∵A 2231x xy y =++-，B =2x xy -，=（2231x xy y ++-）-m （2x xy -）−3x=222313x xy y mx mxy x ++--+-()()22331m x y my x y =-++-+-∵A −mB −3x 的值与x 的值无关，∴20m -=，30y my +-=，∴2m =，1y =；∴y 的值为1．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减的运算法则是解题的关键． 变式5－222. 已知多项式2233x mx nx x -++-+值与x 的取值无关，求()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦的值．【答案】2.【解析】【分析】对多项式2233x mx nx x -++-+进行变形为(3)(1)3n x m x -+-+，根据多项式的值与x 的取值无关，则令30n -=，10m -=，求出m 、n 的值，然后代入()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦进行计算即可.【详解】2233x mx nx x -++-+解：原式(3)(1)3n x m x =-+-+因为与x 的取值无关所以：30n -=3n =10m -=1m =()3232mn m mn m mn ⎡⎤---+⎣⎦32332mn m mn m mn =-+--2323mn m m =--当1m =，3n =时原式23213311=⨯⨯-⨯-6312=--=【点睛】本题主要考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键.方法六：配方法若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．例623. 已知a 2，b 2，2a ，4b ，5，0，求2a 2，4b ，3的值．【答案】7，【解析】【详解】试题分析：利用交换律凑出完全平方公式，求出a,b 的值，再代入目标整式求值.试题解析：解：因为a 2+b 2+2a -4b +5=0，，，a 2+2a +1，+，b 2-4b +4，=0,即（a +1，2+，b -2，2=0，，a +1=0且b -2=0，，a =-1且b =2，，原式=2×，-1，2+4×2-3=7，变式6－224. 已知2228170x x y y -+++=，求2()x y +的值．【答案】9【解析】【分析】利用配方法将2228170x x y y -+++=变为22(1)(4)0x y -++=，根据非负数的性质得到1,4==-x y ，最后求出答案．【详解】解：∵2228170x x y y -+++=∴22(21)(816)0x x y y -++++=，∴22(1)(4)0x y -++=∴10,40x y -=+=，∴1,4==-x y ，∴22()(14)9x y +=-=．【点睛】本题考查了配方法的应用以及代数式求值，关键在于将已知方程的左侧进行正确的配方．方法七：平方法在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号．例725. 已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y 的值等于________． 【答案】112【解析】【分析】利用分式的加减运算法则与完全平方公式把原式化为：222()4x y xy x y +-，再整体代入求值，再利用平方根的含义可得答案.【详解】解：因为7x y +=，12xy =， 所以2222211()y x x y x y xy x y ⎛⎫⎛⎫---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222()47412112144x y xy x y +--⨯===， 又因为x y <，所以110x y->， 所以11112x y -=， 故答案为：112． 【点睛】本题考查的是由条件式求解分式的值，掌握变形的方法是解题的关键. 变式7－126. 已知13x x +=，则1x x-的值是________．【答案】【分析】把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出221x x +的值，再利用完全平方公式即可求出所求式子的值． 【详解】解：由13x x +=，得到219x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2217x x +=， ∴2221125x x x x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，∴1x x-=故答案为：【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形是解本题的关键．变式7－227. 若22212,60a b c a b c ++=++=，求ab ac bc ++的值【答案】42【解析】【分析】根据题意先将式子a ＋b ＋c ＝12进行完全平方后展开可得式子2222()144,222a b c a b b ab a c c c +++++=++=结合22260,a b c ++=求出ab ＋ac ＋bc 的值．【详解】根据题意可得：2222()144222a c b ac a b c c b b a +++++=+=+， 将22260a b c ++=代入式子可得2()60144222ab a a b c c bc +++=++=， 则42ab ac bc +=+故答案为42．【点睛】此题考查完全平方公式，解题关键在于结合实际运用完全平方公式． 方法八：特殊值法有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．例828. 若3230123)x a a x a x a x =+++，则()()220213a a a a +-+的值为【答案】1【解析】【分析】把1x =代入已知计算得到301231)a a a a +++=；把1x =-代入已知计算得到301231)a a a a -+-=+；再利用平方差公式即可求解．【详解】解：由3230123)x a a x a x a x =+++，若令1x =，则301231)a a a a +++=；若令1x =-，则301231)a a a a -+-=+，所以()()220213a a a a +-+ ()()02130213a a a a a a a a =++++--331)1)=31)]=1=．故答案为：1．【点睛】本题考查了代数式求值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．变式8－129. 已知实数a ，b 满足1a b ⋅=，那么221111a b +++的值为（ ） A. 14 B. 12C. 1D. 2 【答案】C【解析】【分析】把所求分式通分，再把已知条件代入求解．【详解】解：∵•1a b =，∴()2221a b ab ==， ∴22222222112111a b a b a b b a +++=+++++ 2222211a b b a ++=+++1=．故选：C ．【点睛】本题考查了分式的化简求值， 妥题的关键是利用a•b=1，把a•b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一个分式，所以可求出答案是1． 方法九：设参法遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 例930. 已知234x y z ==，求222xy yz zx x y z ++++的值． 【答案】2629【解析】 【分析】先根据234xy z ==设出(0)234x y z k k ===≠，得到2x k =，3y k =，4z k =，然后代入分式求值即可． 【详解】解：设(0)234x y z k k ===≠， 则2x k =，3y k =，4z k =． ∴222xy yz zx x y z ++++ 22222261284916k k k k k k++=++ 2226262929k k ==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k ，得出x ，y ，z 与k 的关系，然后再代入待求的分式化简是解题的关键．变式9－131. 若x y a b b z c c a==---，求x y z ++的值． 【答案】0【解析】 【分析】设===---x y z k a b b c c a，则()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，然后计算即可得到答案． 【详解】解：∵x y a b b z c c a ==---， 设===---x y z k a b b c c a， ∴()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-，∴()()()x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=ka kb kb kc kc ka -+-+-=0；【点睛】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．变式9－232. 已知0347x y z ==≠，求3x y z y ++的值． 【答案】5【解析】【分析】设已知等式等于k ，表示出x ，y ，z ，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：设347x y z k ===， 则x =3k ，y =4k ，z =7k ， ∴394754x y z k k k y k++++==． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出x =3k ，y =4k ，z =7k 是解题关键．方法十：利用根与系数的关系如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 直接用根与系数的关系求值例10.133. 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系12b x x a +=-，12c x x a⋅=根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为_____ 【答案】10【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．【详解】解：由题意知，12126,3b x x x x a+=-=-=， 所以()2222121221211212122(6)23103x x x x x x x x x x x x x x +-⋅+--⨯+====⋅⋅. 故答案为：10．变式10－1－134. 已知1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，则1211+x x 的值是（ ） A. 1 B. 12 C. 1- D. 12- 【答案】D【解析】 【分析】根据1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根得到12121,2x x x x +==-，再将1211+x x 变形为1212x x x x +，然后代入计算即可． 【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程220x x --=的两个根，∴12121,2x x x x +==- ∵12121211x xx x x x ++=， ∴121212111122x x x x x x ++===--， 选D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与系数的关系：若方程的两根为1x 、2x ，则1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点与代数式变形是解题的关键．②构造一元二次方程，利用根与系数的关系求值．例10.235. 已知21a a -=，21b b -=，求a b b a+的值．【答案】-3【解析】【分析】由已知得a ，b 是方程210x x --=的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵21a a -=，21b b -=，即210a a --=，210b b --=， ∴a ，b 是方程210x x --=的两个根，∴1a b +=，1ab =-，∴2222()212(1)31a b a b a b ab b a ab ab ++--⨯-+====--． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练地掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为12x x 、，则有12b x x a +=-，12c x x a=． 变式10－2－136. 已知2430m m -+=，22310n n -+=，1mn ≠，求值221m n +． 【答案】5或13或10【解析】【分析】通过求解一元二次方程，并结合题意，得到m 和n 的值，再代入计算即可得到答案．【详解】∵2430m m -+=∴()()130m m --=∴1m =或3m =∵22310n n -+=∴()()2110n n --=∴12n =或1n = ∵1mn ≠ ∴当1m =时，12n =；当3m =时，12n =或1n = ∴2215m n +=或13或10． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．③根的含义和根与系数的关系结合使用求值例10.337. 已知1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，求2211222584x x x x ++++的值．【答案】34 【解析】【分析】由1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根，可得123x x +=，21131x x =-，22231x x =-，再把原式降次为：()12111x x ++，从而可得答案.【详解】解：∵1x ，2x 是方程2310x x -+=的两根∴123x x +=，21131x x =-，22231x x =-∴221122112225846253184x x x x x x x x ++++=-++-++()1211133134x x =++=+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.变式10－3－238. 已知α、β是方程210x x --=的两个实根，求5325αβ+的值． 【答案】21 【解析】【分析】由方程的解与根与系数的关系可得：2210,10,+=11,ααββαβαβ--=--==-，再把5325αβ+降次为2255155ααββ++++，再变形，整体代入计算即可得到答案. 【详解】解： α、β是方程210x x --=的两个实根，2210,10,+=11,ααββαβαβ∴--=--==-， 22=+1,=+1,ααββ∴()()2532+5=2+1+5+1αβααββ∴32224255αααββ=++++()22214255ααααββ=+++++226455ααββ=+++ 2255155ααββ=++++()()25251αβαβαβ⎡⎤=+-+++⎣⎦()51251121.=⨯++⨯+=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，掌握降次的思想是解题的关键.方法十一：利用分式的基本性质求值例1139. 已知3x y =,求222223x xy y x xy y +--+的值.【答案】127【解析】【详解】试题分析：由3x y =可得：3x y =代入式子222223x xy y x xy y +--+中化简即可. 试题解析， ，3xy=, ， x =3y.∴()()()222222222232322312127733y y y y x xy y y x xy y y y y y y+⨯⨯-+-===-+-⨯+ . 例11－140. 先化简，再求值：2222m n m mn n +-+·(m，n)，其中mn，2.【答案】原式=2m nm n+-=5. 【解析】【详解】【试题分析】先将分母进行因式分解，再约分化简，最后代入即可.2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【试题解析】2222m n m mn n +-+·(m，n)，()22m n m n +-·(m，n)，2m nm n +-. 因为m n ，2，所以m，2n. 所以原式＝42n nn n+-，5. 【方法点睛】本题目是一道分式的化简求值，方法是：先将每个式子进行因式分解，再约分，化简.方法十二：利用消元法求值若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 例1241. 如果2a b =，则2222a ab b a b -++= ( ) A.45B. 1C. 35D. 2【答案】C 【解析】【详解】由题意可知，2a b =，因此222222222224233455a ab b b b b b a b b b b -+-+===++，故选C 变式12－142. 若43a b =，则a bb-的值是（ ） A.13 B.23C. 1D.43【答案】A 【解析】【分析】由已知得到43a b =，再代入原式计算即可求解． 【详解】解：∵43a b =， ∴43a b =， ∴4133b ba b b b --==， 故选：A ．【点睛】本题考查了比例的性质，由已知得到43a b =再代入计算是解题的关键． 变式12－243. 已知2a c b d ==，求a b a +和c d c d -+值．【答案】32，13【解析】【分析】由2a cb d==可得2a b =，2c d =，再代入求值即可. 【详解】解：∵2a cb d ==，∴2a b =，2cd =．∴2322a b b b a b ++==， 2123c d d d c d d d --==++． 【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握利用含有一个字母的代数式表示另外一个字母是解题的关键.变式12－344. 若29a b c +=，25a b c -=，则22222223749a b c a b c ++=-+________． 【答案】2 【解析】【分析】结合题意，通过求解二元一次方程组，分别的a 、b 和c 的关系式；再通过分式性质运算，即可得到答案．【详解】∵2925a b ca b c+=⎧⎨-=⎩，∴7a cb c=⎧⎨=⎩∴22222223749a b ca b c++=-+2222222(7)37(7)49c c cc c c++-+22108254cc==故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组、分式运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、合并同类项、分式、代数式的性质，从而完成求解．方法十三：利用倒数法求值倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法．例1345. 已知21 13 xx=+，求241xx+的值．【答案】1 7【解析】【分析】由21 13 xx=+可得0x≠，再取倒数可得：213xx+=，即13xx+=，再求解原代数式的倒数242221112,xx xx x x+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭从而可得答案.【详解】解：由21 13 xx=+知0x≠，所以213xx+=，即13xx+=．所以2422221112327xx xx x x+⎛⎫=+=+-=-=⎪⎝⎭．故241xx+的值为17．【点睛】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，掌握222112x xx x⎛⎫+=+-⎪⎝⎭是解题的关键. 变式13－146. 已知21315x x x =-+，求2421x x x ++的值． 【答案】163【解析】【分析】已知等式分子分母除以x 变形求出1x x +的值，两边平方求出221x x+的值，原式分子分母除以2x 变形后，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由21315x x x =-+知0x ≠，∴2315x x x -+=，即135x x -+=． ∴18x x+=． ∴2164x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22162x x +=， ∴4222211162163x x x x x ++=++=+=．∴2421163x x x =++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式13－247. 若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为( )．A. 1B. －1C. -17 D. 15【答案】A 【解析】【详解】解:设234x x y += ，∵22347x x ++ 的值为14, ∴2174y =+,计算得出y=1, ∴2111681121x x ==+-⨯-.所以A 选项是正确的.点睛：本题主要考查了计算分式的值，设234x x y +=是解题关键，注意整体代入思想的运用.变式13－348. 已知14x x -=，则24251x x x =-+_______．【答案】113． 【解析】【分析】计算21()16x x-=，从而得到221+18x x =，然后先求原式的倒数，从而求解． 【详解】解：∵14x x-= ∴21()16x x-=221-2+16x x = ∴221+18x x = 42222551118513x x x x x --+=-==+∴24215113x x x =-+ 故答案为：113． 【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．总结：事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题．。
人教版数学八年级培优竞赛 分式化简与求值 专题课件
b
c
a
（1）因 a a1= 3 ，所以
a a1
2
9,
a2 1 7 ，再次两边平方得 a4 1 47 ；
a2
a4
（2）
a4
a2 a2
1
a2
1
1
1 a2
1.
8
12．已知下面一列等式：1× 1 ＝1－ 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝ 1 － 1 ；1 × 1 ＝
ab3
ba
A． 1
3
B．－ 1
3
C．3 D．－3
2．已知： 1 － 1 ＝3，则 2x 3xy 2y 的值是( D )
xy
x xy y
A．－ 7
2
B．－ 11
2
C． 9
2
D． 3
4
3．当 x 分别取－2018、－2017、－2016、……、－2、－1、0、1、1 、1 、……、
23
1 、 1 、 1 时，计算分式 x2 1 的值，再将所得结果相加，其和等于( C )
14．有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是 1 ；第二个数是 1 ；第三个数是 1 ；…对任何正整数 n，第(n
1 2
23
3 4
＋1)个数
的和等于 2 ． nn 2
(1)经过探究，我们发现： 1 ＝1－ 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ； 1 ＝ 1 － 1 ；请直接写出
1 2
2 23 2 3 34 3 4
2
22 3 2 33 4 3 44 5
1 － 1 ；……
45
(1)请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式；
(2)验证一下你写出的等式是否成立； (3)利用等式计算: 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 的值．
初中数学教案：代数式的化简与运算
初中数学教案：代数式的化简与运算代数式的化简与运算一、引言数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力起着重要的作用。
而代数是数学中一个重要的分支，它包含了很多古老而有趣的问题和方法。
在初中阶段，学生开始接触代数式的化简与运算，这是他们在代数学习过程中必须掌握的基础知识。
本教案将围绕代数式的化简与运算展开具体内容，旨在帮助学生掌握代数式化简和运算规则。
二、代数式化简1. 什么是代数式代数式是由变量和常量以及运算符号组成的表达式。
例如：3x+2y、4a-7b等都属于代数式。
2. 代数式化简原则通过合理运用整合、集合、提取公因子等方法来使一个复杂表达式转换为更简单的形式。
3. 例题解析（1）将5(x+2)-3(2x+1)进行化简。
解：根据分配律，有：5x + 10 - 6x - 3 = -x + 7。
（2）对于(x+y)^2进行化简。
解：根据平方公式，有：(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2。
三、代数式的运算1. 代数式的加法与减法代数式的加法与减法可以通过合并同类项的方法进行运算。
同类项是具有相同变量幂次的代数式。
2. 例题解析（1）将3a+5b-7a-4b进行合并。
解：3a - 7a + 5b - 4b = -4a + b。
（2）对于(x^2+2xy-y^2)+(y-x)进行加法运算。
解：根据分配律和合并同类项，有：x^2+2xy-y^2+y-x = x^2-x+2xy-y^2+y = x^2+xy-y^2。
3. 代数式的乘法代数式的乘法涉及到变量间及变量与常量之间的乘积，并可利用分配律和乘积规则来化简。
4. 例题解析（1）将(a-b)(a+b)进行乘法运算。
解：根据乘积公式，有：(a-b)(a+b) = a*a-a*b+b*a-b*b = a^2 - b^2。
（2）对于(a+3)(a-4)+5，请计算结果。
解：利用乘积公式和分配律，有：(a+3)(a-4)+5 = a*a-a*4+3*a-12+5 = a^2 - a*4 + 3a - 7。
八年级数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版知识精讲
初二数学专题——有关代数式的求值问题人教实验版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 化简求代数式的值．2. 利用整体思想求代数式的值．3. 运用完全平方公式的变形求代数式的值．二. 知识要点：1. 化简求值的一般思路，首先要把所给的代数式整理化简，再把相关字母的值代入，即可求得原代数式的值．其步骤为：①化简，②代入．例如：已知x ＝12，求代数式x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）的值． 解：x 2（x －1）－x （x 2＋x －1）＝x 3－x 2－x 3－x 2＋x＝－2x 2＋x当x ＝12时，原式＝－2×（12）2＋12＝0 这类题型的重点是化简运算，主要运用整式加减、整式的乘除．同时，注重添、去括号的运算法则．合并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变．单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式：先用一个多项式每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．添（去）括号：括号前是“＋”号，添上（去掉）括号，括号内的每一项都不改变符号；括号前是“－”号，添上（去掉）括号，括号里的各项都改变符号．2. 运用整体思想这类题型一般已知某个式子的值，去求新的代数式的值．解题思路：整理所求代数式让其变形或构造出已知式子的形式，然后代入求值．例如：已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋5的值．解：由x 2＋x －1＝0得x 2＋x ＝1则x 3＋2x 2＋5＝x 3＋x 2＋x 2＋5＝x （x 2＋x ）＋x 2＋5当x 2＋x ＝1时，原式＝x ＋x 2＋5＝1＋5＝6变形时常用因式分解进行整理．3. 运用完全平方公式变形，求代数式的值常用变形：①a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab ；②（a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab ；③（a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab ；④（a ＋b ）2＋（a －b ）2＝2a 2＋2b 2；⑤（a ＋b ）2－（a －b ）2＝4ab ；⑥（x ±1x ）2＝x 2＋1x 2±2．三. 考点分析：求代数式的值是中考的热门题型，往往是综合考查整式的加减、整式的乘除、因式分解和有理数的有关内容．难度中等，所占分值不高．【典型例题】例1. 先化简再求值．［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x ，其中x ＝3，y ＝－1.5．分析：（x －y ）2与（x ＋y ）与（x －y ）可运用乘法的完全平方公式与平方差公式展开，然后合并同类项．解：［（x －y ）2＋（x ＋y ）（x －y ）］÷2x＝（x 2－2xy ＋y 2＋x 2－y 2）÷2x＝（2x 2－2xy ）÷2x＝x －y当x ＝3，y ＝－1.5时，原式＝3－（－1.5）＝4.5．例2. 化简求值．（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34），其中a ＝2，b ＝120； （2）若a ＝2，b ＝3，求3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab 的值．分析：此种类型的题目应先把原式化简成最简形式，再代入求值．解：（1）6a 2－5a （－a ＋2b －1）＋4a （－3a －52b －34） ＝6a 2＋5a 2－10ab ＋5a －12a 2－10ab －3a＝－a 2－20ab ＋2a当a ＝2，b ＝120时，原式＝－22－20×2×120＋2×2＝－2． （2）3a 2b （2ab 3－a 2b 3－1）＋2（ab ）4＋a ·3ab＝6a 3b 4－3a 4b 4－3a 2b ＋2a 4b 4＋3a 2b＝6a 3b 4－a 4b 4．当a ＝2，b ＝3时，原式＝6×23×34－24×34＝2592．评析：正确运用运算性质，注意运算顺序，注意合并同类项．例3. 已知10a ＝20，10b ＝15，求3a ÷3b 的值． 分析：3a ÷3b ＝3a －b ，因此只需要求出a －b 的值即可．而10a ÷10b ＝10a －b ．解：因为10a ＝20，10b ＝15， 所以10a ÷10b ＝10a －b ＝20÷15＝102． 所以a －b ＝2．所以3a ÷3b ＝3a －b ＝32＝9．评析：此种类型的题目，要注意从问题出发，向已知条件靠拢．例4. （1）已知a ＋b ＝2，ab ＝－3，求a 2＋3ab ＋b 2的值．（2）已知（a ＋b ）2＝10，（a －b ）2＝2，求a 2＋b 2和ab 的值．分析：（1）本题直接计算不容易，如果把3ab 拆成（2ab ＋ab ）便可凑成完全平方公式的条件．（2）利用完全平方公式变形即可．解：（1）a 2＋3ab ＋b 2＝（a ＋b ）2＋ab当a ＋b ＝2，ab ＝－3时，原式＝22－3＝1．（2）由（a ＋b ）2＝10，得a 2＋2ab ＋b 2＝10（ⅰ）；由（a －b ）2＝2，得a 2－2ab ＋b 2＝2（ⅱ）；（ⅰ）＋（ⅱ）得2a 2＋2b 2＝12，即a 2＋b 2＝6．（ⅰ）－（ⅱ）得4ab ＝8，故ab ＝2．例5. 若a （a －1）－（a 2－b ）＝－2，求a 2＋b 22－ab 的值． 分析：首先对已知等式化简整理，a （a －1）－（a 2－b ）＝a 2－a －a 2＋b ＝－（a －b ）＝－2，即a －b ＝2．解：由已知化简可得a －b ＝2，所以a 2＋b 22－ab ＝12（a 2＋b 2－2ab ）＝12（a －b ）2＝12×22＝2． 评析：这类问题要对已知和所求都做适当变形，使它们含有一个相同的代数式．例6. 已知（2009－a ）（2006－a ）＝2007，求（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值．分析：此题如果把原式展开，则非常麻烦．根据式子的特点，可设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．要求的式子可转化为x 2＋y 2．解：设2009－a ＝x ，2006－a ＝y ，则xy ＝2007，x －y ＝3．所以x 2＋y 2＝（x －y ）2＋2xy ＝32＋2×2007＝9＋4014＝4023．所以（2009－a ）2＋（2006－a ）2的值为4023．评析：此题还有别的解法，将已知等式和所求代数式都展开，通过变形找出两者相同的部分，同学们可自己试试．【方法总结】本节主要讲述代数式求值的技巧问题，解决这类问题需要平时多积累，熟练掌握相关知识点，常用的方法有运算律的逆用、公式变形、拼凑、因式分解等．【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题1. 已知5m ＝6，5n ＝3，则5m ＋n 的值是（ ）A. 3B. 2C. 18D. －3 2. 若a －b ＝2，则a 2－2ab ＋b 2的值是（ ）A. 8B. 2C. 4D. 2 3. 已知x ＋y ＝－5，xy ＝6，则x 2＋y 2的值是（ ）A. 1B. 13C. 17D. 25 4. 若a ＞0且a x ＝2，a y ＝3，则a x －y 的值为（ ）A. －1B. 1C. 23D. 32 *5. 已知x ＋y ＝12，则12x 2＋xy ＋12y 2的值是（ ） A. 14 B. 18C. 1D. 116二. 填空题1. 已知x ＝12，y ＝－1，则（x ＋y ）2－（x ＋y ）（x －y ）＝__________． 2. 已知x n ＝5，y n ＝3，则（xy ）2n 的值为__________．3. 已知（a －b ）2＝4，ab ＝12，则（a ＋b ）2＝__________． 4. 已知︱a －2︱＋（b ＋12）2＝0，则a 10b 10＝__________． 5. 已知x ＋y ＝4，x －y ＝10，则2xy ＝__________．6. 当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为__________． **7. 已知y ＝13x －1，那么13x 2－2xy ＋3y 2－2的值是__________．三. 解答题1. 先化简，再求值：（x ＋3）2＋（x ＋2）（x －2）－2x 2，其中x ＝－13． 2. 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．*3. 已知x 2－4＝0，求代数式x (x ＋1)2－x (x 2＋x )－x －7的值．**4. 已知︱x ＋y －3︱＋（x －y －1）2＝0，求代数式12［（－x 2y ）2］3的值．【试题答案】一. 选择题1. C2. C3. B4. C5. B二. 填空题1. 12. 2253. 64. 15. －426. 147. 1三. 解答题1. 解：原式＝6x ＋5＝3．2. 解：a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝52－2×3＝19．3. 解：由已知得x 2＝4，x （x ＋1）2－x （x 2＋x ）－x －7＝x （x ＋1）［（x ＋1）－x ］－x －7＝x 2－7原式＝4－7＝－3．4. 提示：先由“两非负数和为0，则每个非负数均为0”得到x 、y 的值，然后化简求值．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0x －y －1＝0 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1 ． 所以12［（－x 2y ）2］3＝12x 12y 6＝12×212×16＝211．。
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(2021年整理)
(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(初中数学竞赛希望杯)代数式的化简求值问题(word版可编辑修改)的全部内容。
代数式的化简求值问题初中数学中,全面实现了用字母代数。
这实现了学生对数认识的又一次飞跃。
这要求学生能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值.注:一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
例题精讲【试题来源】【题目】若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.【答案】—4【解析】分析：多项式的值与x 无关，即含x 的项系数均为零因为()()83825378522222++-=+--++-y x m x y x x x mx所以 m=4将m=4代人，()[]44161644452222-=-+-=-+-=+---m m m m m m利用“整体思想”求代数式的值【知识点】代数式的化简求值问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8,求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
24初中数学竞赛专题培训(6)：代数式的求值
初中数学竞赛专题培训第六讲代数式的求值代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．1．利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．解已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10x2=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1=0+1=1．说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①求a+b+c的值．解将②式因式分解变形如下即所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．说明本题也可以用如下方法对②式变形：即前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．2．利用乘法公式求值例3 已知x+y=m，x3+y3=n，m≠0，求x2+y2的值．解因为x+y=m，所以m3=(x+y)3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以求x2+6xy+y2的值．分析将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．解 x2+6xy+y2=x2+2xy+y2+4xy=(x+y)2+4xy3．设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．分析本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．所以x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．u+v+w=1，①由②有把①两边平方得u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即两边平方有所以4．利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求y x的值．分析与解x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．因为x2-4x+|3x-y|=-4，所以x2-4x＋4＋|3x-y|=0，即 (x-2)2+|3x-y|=0．所以 y x=62=36．例9 未知数x，y满足(x2＋y2)m2-2y(x+n)m+y2+n2=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．将已知等式变形为m2x2+m2y2-2mxy-2mny+y2+n2=0，(m2x2-2mxy+y2)+(m2y2-2mny+n2)=0，即 (mx-y)2+(my-n)2=0．5．利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．同样(但请注意算术根！)将①，②代入原式有练习六2．已知x+y=a，x2+y2=b2，求x4+y4的值．3．已知a-b+c=3，a2+b2+c2=29，a3+b3+c3=45，求ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．5．设a+b+c=3m，求(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)的值．8．已知13x2-6xy+y2-4x+1=0，求(x+y)13·x10的值．。
初中数学知识归纳代数式的化简与展开方法
初中数学知识归纳代数式的化简与展开方法初中数学知识归纳：代数式的化简与展开方法代数式的化简与展开是初中数学中重要的内容之一，它们是我们解决代数问题的基础。
正确的化简与展开代数式的方法可以帮助我们更好地理解和运用数学知识。
本文将对初中数学中常见的代数式的化简与展开方法进行归纳总结，旨在帮助同学们加深对这一内容的理解和掌握。
一、代数式的化简方法化简代数式的目的是简化复杂的表达式，使得计算更加简便、清晰。
下面列举几种常见的代数式化简方法。
1. 合并同类项合并同类项是化简代数式的基本方法之一。
同类项是指具有相同的字母和指数的项。
我们可以通过合并同类项来简化代数式。
例如：化简表达式 3x + 2x - x解：首先，我们可以将所有含有x的项合并为一个项：3x + 2x - x = (3 + 2 - 1)x = 4x因此，原代数式3x + 2x - x可以化简为4x。
2. 利用分配律分配律是代数运算中重要的一个性质。
当代数式中存在括号时，可以利用分配律来进行化简。
例如：化简表达式 2(x + 3)解：我们可以将2乘以括号内的每一项：2(x + 3) = 2x + 2 * 3 = 2x + 6因此，原代数式2(x + 3)可以化简为2x + 6。
3. 合并同底数的幂当代数式中存在指数时，我们可以化简合并同底数的幂。
例如：化简表达式 3x² + 2x²解：由于这两项的底数都是x，指数分别是2，我们可以将它们合并为一项：3x² + 2x² = (3 + 2)x² = 5x²因此，原代数式3x² + 2x²可以化简为5x²。
二、代数式的展开方法展开代数式的目的是将含有括号的代数式展开成一般的形式。
下面列举几种常见的代数式展开方法。
1. 单项式乘法公式单项式乘法公式适用于展开两个单项式的乘积。
根据单项式乘法公式，我们可以将两个单项式的乘积展开为一般的形式。
新课标八年级数学竞赛讲座：第三十三讲 代数式的化简与求值
第三十三讲 代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法． 例题求解 【例1】已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值．思路点拨 由已知得(x －4)2=3，即x 2－8x+13=0．所以原式=5． 注 本题使用了整体代换的作法． 【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值．思路点拨 由a z y x 3=++得：0)()()(=-+-+-a z a y a x 解设m a x =-，n a y =-，p a z =-，∴)(n m p +-= ∴原式=21（可将0=++p n m 两边平方的得到） 【例3】已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值． 思路点拨 设k acb a bc b a c c b a =++-=+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=-+ak c b a bk c b a ckc b a ，然后对0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况进行讨论，原式=和1-． 【例4】已知1=++c b a ，2222=++c b a ，3333=++c b a ，求（1）abc 的值：（2）444c b a ++的值．思路点拨 先由条件求出21-=++ac bc ab ，可得61=abc ，625444=++c b a ． 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2ba +（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B【例6】 已知非零实数 a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，求c b a ++的值．思路点拨 原条件变形为：0))((=++++ac bc ab c b a∴ c b a ++为±1或0．【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+=2)1(计算它们的和．(公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310=⨯-+⨯． 用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200， 1997年减少了24000－22400=1600， …m 年减少了1200+400×(m —1996)．1200+1600+…+1200+400(m —1996)=25200． 令n=m —1995，得 252004002)1(1200=⨯-+⨯n n n ，9=n 或14-=n （舍去） ∴ m =1995+n =2004．∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A ．1种B ． 2种C ．4种D ．0种思路点拨 设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k+1，k+2，…，k+(n —1)，由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即n[2k+(n －1)]=200．因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n<2k+(n —1)，且n 与2k+(n —1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式： 好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ． 思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为 2×11×(真×10+1)=2002+题×110，即 真×10+1=91+题×5．上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91． 由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002． (2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为 8×44×(真×10十4)=8008+题×110． 即704+1760×真=4004十题×55． 在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．【例9】设333199719961995z y x ==，，且3333199719961995219972199621995++=++z y x ． 求zy x 111++的值． 思路点拨 设k z y x ===333199719961995，显然0≠k ，于是31995xk =，31996yk =，31997z k =，代入已知得3333333zky k x k z k y k x k ++=++，即)111(111333z y x k z y x k ++=++⋅，由0≠k ，0>xyz ，可知0>x ，0>y ，0>z ，∴ zy x z y x 1111113++=++，原式=1．学力训练 (A 级))1．当m 在可取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是( ) A ．0 B ．5 C ．33 D ．9 2．已知：a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab 的值为( ) A ．251+ B ．251- C ．251+- D ．251--3．如a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2ac + ( ) A ．都不是整数 B ．至少有两个整数 C ．至少有一个整数 D ．都是整数 4．如果4321-=x ，那么x x xx 2211-+-的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知：z y x a +=，x z y b +=，y x z c +=，且0≠++z y x ，试求111+++++c cb b a a 的值． 6．已知521332412---=----+c c b a b a ，那么c b a ++的值是多少？（B 级）1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是( )A ．3B ．31C ．2D ．352．已知m>0， n>0，且)5(3)(n m n n m m +⋅=+⋅，求nmn m n mn m +++-3238的值．3．已知322-=x 2，试求x x xxS 2211-+-=的值． 4．已知322=+y x ，322=+x y 且x ≠y ，求yxx y +的值． 5．设a 、b 、c 均不为0，且1998=++c b a ，19981111=++c b a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1998．6． 已知a 、b 、c 为整数，且满足c b ab c b a 233222++<+++，求abc cba)111(++的值．A 级1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20B 级 1．B ．2．3 3．4 4．322+ 5．提示：abcacbc ab c b a ++=++1，分解得0))()((=+++a c c b b a ，于是b a +，c b +，a c +中必有一个为0．6．425代数式的化简与求值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第三十三讲 代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这三种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； (3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法． 例题求解 【例1】已知34-=x ，求1582318262234+-++--x x x x x x 的值．思路点拨 由已知得(x －4)2=3，即x 2－8x+13=0．所以原式=5． 注 本题使用了整体代换的作法． 【例2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求：222)()()())(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值．思路点拨 由a z y x 3=++得：0)()()(=-+-+-a z a y a x 解设m a x =-，n a y =-，p a z =-，∴)(n m p +-= ∴原式=21（可将0=++p n m 两边平方的得到） 【例3】已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abc a c c b b a ))()((+++的值． 思路点拨 设k acb a bc b a c c b a =++-=+-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-=-+ak c b a bk c b a ckc b a ，然后对0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况进行讨论，原式=8和1-． 【例4】已知1=++c b a ，2222=++c b a ，3333=++c b a ，求（1）abc 的值：（2）444c b a ++的值．思路点拨 先由条件求出21-=++ac bc ab ，可得61=abc ，625444=++c b a ． 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．【例5】 (2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ；乙商场：两次提价的百分率都是2ba +（a>0，b>0）；丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则提价最多的商场是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．不能确定思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选B【例6】 已知非零实数 a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，求c b a ++的值．思路点拨 原条件变形为：0))((=++++ac bc ab c b a∴ c b a ++为±1或0．【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式d n n na S ⨯-+=2)1(计算它们的和．(公式中的n 表示数的个数，a 表示第一个数的值，d 表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310=⨯-+⨯． 用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．思路点拨 1996年减少了25200－24000=1200， 1997年减少了24000－22400=1600， …m 年减少了1200+400×(m —1996)．1200+1600+…+1200+400(m —1996)=25200． 令n=m —1995，得 252004002)1(1200=⨯-+⨯n n n ，9=n 或14-=n （舍去） ∴ m =1995+n =2004．∴ 到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．【例8】 ( “信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )A ．1种B ． 2种C ．4种D ．0种思路点拨 设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k+1，k+2，…，k+(n —1)，由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即n[2k+(n －1)]=200．因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n<2k+(n —1)，且n 与2k+(n —1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B【例9】 (江苏省竞赛初三)有两道算式： 好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是 ． 思路点拨 从加法式得“好”<5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为 2×11×(真×10+1)=2002+题×110，即 真×10+1=91+题×5．上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91． 由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002． (2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为 8×44×(真×10十4)=8008+题×110． 即704+1760×真=4004十题×55． 在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．【例9】设333199719961995z y x ==，，且3333199719961995219972199621995++=++z y x ． 求zy x 111++的值． 思路点拨 设k z y x ===333199719961995，显然0≠k ，于是31995x k =，31996y k =，31997z k =，代入已知得3333333zk y k x k z k y k x k ++=++，即)111(111333z y x k z y x k ++=++⋅， 由0≠k ，0>xyz ，可知0>x ，0>y ，0>z ，∴ zy x z y x 1111113++=++，原式=1．学力训练(A 级))1．当m 在可取值范围内取不同的值时，代数式22427m m +-的最小值是( ) A ．0 B ．5 C ．33 D ．9 2．已知：a 、b 都是负实数，且0111=--+b a b a ，那么ab 的值为( ) A ．251+ B ．251- C ．251+- D ．251-- 3．如a 、b 、c 是三个任意整数，那么2b a +、2c b +、2ac + ( )A ．都不是整数B ．至少有两个整数C ．至少有一个整数D ．都是整数 4．如果4321-=x ，那么x x xx 2211-+-的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知：z y x a +=，x z y b +=，y x z c +=，且0≠++z y x ，试求111+++++c cb b a a 的值． 6．已知521332412---=----+c c b a b a ，那么c b a ++的值是多少？（B 级）1．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是( )A ．3B ．31C ．2D ．352．已知m>0， n>0，且)5(3)(n m n n m m +⋅=+⋅，求nmn m n mn m +++-3238的值．3．已知322-=x 2，试求x x xxS 2211-+-=的值． 4．已知322=+y x ，322=+x y 且x ≠y ，求yxx y +的值． 5．设a 、b 、c 均不为0，且1998=++c b a ，19981111=++c b a ，求证：a 、b 、c 中至少有一个等于1998．6． 已知a 、b 、c 为整数，且满足c b ab c b a 233222++<+++，求abc cb a )111(++的值．A 级1．B 2．C 3．C 4．D 5．1 6．20B 级 1．B ．2．3 3．4 4．322+ 5．提示：abcacbc ab c b a ++=++1，分解得0))()((=+++a c c b b a ，于是b a +，c b +，a c +中必有一个为0．6．425代数式的化简与求值。