平面向量-章末检测

合集下载

平面向量章末测试(含答案)

2016-2017学年高中数学第二章平面向量章末测试20＝2 5.14．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2，所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4，故|a －b |＝2，因为cos 〈a －b ，a ＋b 〉＝a －b ·a ＋b |a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12，故所求夹角是2π3.15．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋±32＝2.16．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝13AC →＋23AB →，此时AD →·BC →＝(13AC →＋23AB →)(AC →－AB →)＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2 ＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，其中第17小题10分，第18～22小题各12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )? 解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16， |a ＋b |＝a ＋b 2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝4 3.(2)由题意，知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0，解得k ＝－7.18．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋sin α－32 由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.19．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝4a －2b 2＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝1642－1648－32＋482＝8(2＋6)．20．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ，即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .21．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设PA →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.22．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)． (1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

章末测试卷2：第二章平面向量

必修四第二章平面向量章末测试卷一．填空题1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝（3，2），b ＝（0，－1），则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若AB 与CD 共线，则|BD |的值等于________．7．将点A （2，4）按向量a ＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______．8. 已知a =(1,－2),b =(1,x ),若a ⊥b ,则x 等于______9. 已知向量a ,b 的夹角为 120，且|a |=2,|b |=5,则（2a -b ）·a =______10. 设a =(2,－3),b =(x ,2x ),且3a ·b =4,则x 等于_____11. 已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ，则x +2y 的值为_____12. 已知向量a +3b ,a -4b 分别与7a -5b ,7a -2b 垂直，且|a |≠0,|b |≠0，则a 与b 的夹角为____13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM =2，则()OA OB OC +的最小值是 .14．将圆222=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。

1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模；（2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =(θθcos ,sin )（R ∈θ）,b =(3,3)（1）当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2）求|a －b |的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量，当a +t b (t ∈R)的模取最小值时，（1）求t 的值（2）已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4. 设向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OC OA OD ,时=+的坐标.5.将函数y =－x 2进行平移，使得到的图形与函数y =x 2－x －2的图象的两个交点关于原点对称.(如图)求平移向量a 及平移后的函数解析式.6.已知平面向量).23,21(),1,3(=-=b a 若存在不同时为零的实数k 和t ,使 .,,)3(2y x b t a k y b t a x ⊥+-=-+=且（1）试求函数关系式k =f （t ）（2）求使f （t ）>0的t 的取值范围.参考答案 1.0 2.（－3，－4） 3.7 4.90° 5.（21，321）． 6.73．7.（－3，2）． 8.－2 9.12 10.31-11.0 12. 90° 13. 14.51--或简答题1.（1）∵ AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）． ∴ 2AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．∴ |2AB ＋AC |＝227)1(+-＝50．（2）∵ |AB |＝221)1(+-＝2．|AC |＝2251+＝26，AB ·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴ cos ＝||||AC AB ACAB ⋅＝2624⋅＝13132．（3）设所求向量为m ＝（x ，y ），则x 2＋y 2＝1． ①又 BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC ⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0． ② 由①、②，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．55552y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．－55552y x ∴ （552，－55）或（－552，55）即为所求．2．【解】（1）要使向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底，则向量a 、b 共线 ∴ 33tan 0cos 3sin 3=⇒=-θθθ故)(6Z k k ∈+=ππθ，即当)(6Z k k ∈+=ππθ时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底2-（2）)cos 3sin 3(213)3(cos )3(sin ||22θθθθ+-=-+-=-b a 而32cos 3sin 332≤+≤-θθ∴ 132||132+≤-≤-b a3.．【解】（1）由2222||2||)(a bt a t b tb a +⋅+=+ 当的夹角）与是b a b a b b a t αα(cos ||||||222-=⋅-=时a +t b (t ∈R)的模取最小值（2）当a 、b 共线同向时，则0=α，此时||||b a t -= ∴0||||||||||||)(2=-=-⋅=+⋅=+⋅b a a b b a a b tb a b tb a b ∴b ⊥(a +t b )4.解：设020),,(=-=⋅∴⊥=x y OB OC OBOC y x OC ① 又0)1()2(3)2,1(,//=+---+=x y y x BC OA BC 即：73=-x y ②联立①、②得⎩⎨⎧==7,14y x ……… )6,11(),7,14(=-==∴OA OC OD OC 于是.5.．解法一：设平移公式为⎩⎨⎧-'=-'=k y y h x x 代入2x y -=，得到k h hx x y h x k y +-+-=-'-=-'2222.)(即，把它与22--=x x y 联立，得⎪⎩⎪⎨⎧--=+-+-=22222x x y k h hx x y设图形的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由已知它们关于原点对称，即有：⎩⎨⎧-=-=2121y y x x 由方程组消去y 得：02)21(222=++-+-k h x h x .由.2102212121-==++=+h x x h x x 得且又将（11,y x ），),(22y x 分别代入①②两式并相加，得：.22221222121-+--++-=+k h x hx x x y y241)())((0211212-+-+-+-=∴k x x x x x x . 解得)49,21(.49-==a k . 平移公式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-'=+'=4921y y x x 代入2x y -=得：22+--=x x y .解法二：由题意和平移后的图形与22--=x x y 交点关于原点对称，可知该图形上所有点都可以找到关于原点的对称点在另一图形上，因此只要找到特征点即可.22--=x x y 的顶点为)49,21(-，它关于原点的对称点为（49,21-），即是新图形的顶点.由于新图形由2x y -=平移得到，所以平移向量为49049,21021=-=-=--=k h 以下同解法一.6．解：（1）.0)(])3[(.0,2=+-⋅-+=⋅∴⊥b t a k b t a y x y x 即 ).3(41,0)3(4,1,4,02222-==-+-∴===⋅t t k t t k b a b a 即（2）由f (t )>0,得.303,0)3()3(,0)3(412><<-->+>-t t t t t t t 或则即。

2022版新教材数学必修第二册(人教B版)章末检测-平面向量初步-含解析

章末质量检测(六) 平面向量初步考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A .有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量2．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则AB →＋2BC →等于( )A ．5B ．(－1，5)C ．(6，1)D ．(－4，9)3．若A(x ，－1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x 的值为( ) A ．－3B ．－1 C ．1D ．34．已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(1，3)，a －b ＝(3，－3)，则a ，b 的坐标分别为( ) A ．(4，0)，(－2，6) B ．(－2，6)，(4，0) C ．(2，0)，(－1，3) D ．(－1，3)，(2，0) 5．若a ＝(5，x )，|a |＝13，则x ＝( ) A ．±5B ．±10 C ．±12D ．±13 6．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A.x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝147．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ，b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ，则a ＋3b ＝( ) A ．(λ＋3，－λ) B ．(－λ＋3，λ)C ．(1，0)D ．(3，0)8．若向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A ．12a ＋b B ．－12a －bC ．32a ＋12bD ．32a －12b二、多项选择题(本题共4小题，毎小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．|a ＋b |＝|a －b |，则a ⊥bD ．若a 与b 是单位向量，则|a |＝|b |10．已知a ＝(1，2)，b ＝(3，4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( )A ．5B ．55C ．－5D ．－5511．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的是( )A ．AC →＝12a ＋bB ．BC →＝－12a ＋bC ．BM →＝－13a ＋23bD ．EF →＝－14a ＋b12．如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0三、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________.14．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．15．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10N ，则每根绳子的拉力大小为________N ．16．如图，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA ，OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，则1x ＋1y＝________．四、解答题(本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.18.(12分)已知点A (－1，2)，B (2，8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．19．(12分)已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．20．(12分)长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h ，同时江水的速度为向东6km/h.(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°).21．(12分)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1). (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .22．(12分)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，(1)用OA →，OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．章末质量检测(六) 平面向量初步1．解析：由图可知OB →，OC →，AO →是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C. 答案：C2．解析：AB →＝(2，3)，BC →＝(－3，3)，∴AB →＋2BC →＝(2，3)＋2(－3，3)＝(－4，9). 答案：D3．解析：AB →∥BC →，(1－x ，4)∥(1，2)，2(1－x )＝4，x ＝－1，故选B. 答案：B4．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝（1，3），a －b ＝（3，－3），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝（2，0），b ＝（－1，3）.答案：C5．解析：由题意得|a |＝52＋x 2＝13，所以52＋x 2＝132，解得x ＝±12. 答案：C6．解析：由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13. 答案：A7．解析：因为a ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ b ＝⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ 所以a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫－λ，12λ＋3⎝⎛⎭⎫13λ＋1，－16λ＝(3，0). 答案：D8．解析：设c ＝x a ＋y b ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1则c ＝12a ＋b . 答案：A9．解析：单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b ＝0时，a 与c 可以为任意向量；|a ＋b |＝|a －b |，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．故选AB.答案：AB10．解析：a 2＝5，b 2＝25，且a ＋k b 与a －k b 垂直，∴(a ＋k b )(a －k b )＝a 2－k 2b 2＝5－25k 2＝0，解得k ＝±55.故选BD.答案：BD11．解析：由题意可得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋a ×13＝23b －23a ，故C 错误；EF→＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．答案：ABD12．解析：由平面向量基本定理可知，A ，D 是正确的．对于B ，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e 1＋μ1e 2为非零向量，而λ2e 1＋μ2e 2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．故选B ，C.答案：BC13．解析：若a ，b 能作为平面内的一组基底，则a 与b 不共线，则a ≠k b (k ∈R )，又a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，∴λ≠4.答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)14．解析：∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， ∴m －n ＝2－5＝－3 答案：－315．解析：如图，由题意得，∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC →|＝10，则|OA →|＝|OB →|＝10，即每根绳子的拉力大小为10N.答案：1016．解析：OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ → ＝(1－λ)xOA →＋λy OB →，①又∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 而OA →，OB →不共线．∴由①②，得⎩⎨⎧（1－λ）x ＝13，λy ＝13．解得⎩⎨⎧1x ＝3－3λ，1y＝3λ.∴1x ＋1y ＝3.答案：317．解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ，所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b . (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .18．解析：设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6).因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，所以点C ，D 的坐标分别是(0，4)，(－2，0)，从而CD →＝(－2，－4).19．解析：(1)由已知AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →. ∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2).∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3). 20.解析：(1)如图所示，AD →表示船速，AB →表示江水速度，以AD ，AB 为邻边作▱ABCD ，则AC →表示船实际航行的速度．(2)在Rt △ABC 中，|AB →|＝6，|BC →|＝15，于是|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2＝62＋152＝261≈16.2.因为tan ∠CAB ＝|BC →||AB →|＝52，所以利用计算工具可得∠CAB ≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h ，方向与江水速度间的夹角约为68°.21．解析：(1)由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89．(2)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613.22．解析：(1)因为2AC →＋CB →＝0，所以2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0， 2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →.(2)证明：如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →).故DA →＝12OC →.故四边形OCAD 为梯形．。

人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析

人教版必修第二册第一章《平面向量及其应用》章末综合检测及答案解析总分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，则AB →等于( ) A.(－2，3) B.(0，1) C.(－1，2)D.(2，－3)解析：选D. OA →＝(－1，2)，OB →＝(1，－1)，所以AB →＝OB →－OA →＝(1＋1，－1－2)＝(2，－3) ，故选D. 2．已知|a |＝|b |＝2，a ·b ＝2，则|a －b |＝( )A ．1B ．3C ．2D ．3 或2解析：选C.|a －b |＝|a －b |2＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×2＋22＝4 ＝2.故选C.3．已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332 ，则a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．135°D ．150°解析：选 A.因为(2a ＋b )·(a －2b )＝2a 2－4a ·b ＋a ·b －2b 2＝－3a ·b ＝－332，所以a·b ＝32 .设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b | ＝32.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°.4.向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),若3a -b 与c 共线,则x=( ) A.1 B.-3C.-2D.-1解析：向量a =(1,0),b =(2,1),c =(x,1),则3a-b =(1,-1),又3a-b 与c 共线,则1×1-(-1)·x=0,解得x=-1.5.已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若A=60°,a=,则等于( )(A) (B) (C) (D)2解析:由正弦定理得====2,所以b=2sin B,c=2sin C, 则=2.故选D.6．已知A (1，2)，B (3，4)，C (－2，2)，D (－3，5)，则向量AB → 在向量CD →上的投影向量的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65解析：选B.AB → ＝(2，2)，CD → ＝(－1，3)，|CD → |＝10 ，AB → ·CD →＝－2＋6＝4，则向量AB → 在向量CD → 上的投影向量为AB →·CD →|CD →| ·CD →|CD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 ，故选B. 7．已知△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O .若|OA → |＝|AB → |，且2 OA → ＋AB → ＋AC →＝0，则CA →·CB →＝( )A ． 3B ．2 3C ．32D ．3解析：选D.因为2 OA → ＋AB → ＋AC → ＝0，所以(OA → ＋AB → )＋(OA → ＋AC → )＝0，即OB → ＋OC →＝0，所以O 为边BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，A 为直角．又因为|OA → |＝|AB →|，所以△OAB 为等边三角形，|AB → |＝1，|BC → |＝2，|AC → |＝3 ，CA → 与CB →的夹角为30°，则CA →·CB →＝3 ×2×cos 30°＝3.故选D.8．有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现高不变,将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 kmB.2sin 10° kmC.2cos 10° kmD.cos 20° km解析:如图所示,∠ABC=20°,AB=1 km,∠ADC=10°,所以∠ABD=160°.在△ABD 中,由正弦定理=,所以AD=AB ·==2cos 10°(km).故选C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．对于任意的平面向量a ,b ,c ,下列说法正确的是 (A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cB.(a +b )·c =a ·c +b ·cC.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =cD.a+b+c=a+c+b解析：选BD.a ∥b 且b ∥c ,当b 为零向量时,则a 与c 不一定平行,即A 错误;由向量乘法的分配律可得:(a +b )·c =a ·c +b ·c ,即B 正确; 因为a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,又a ≠0, 则b =c 或a ⊥(b -c ),即C 错误;向量加法满足交换律,即:a+b+c=a+c+b,即D 正确. 10．下列说法中正确的有( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sinC B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋csin B ＋sin C解析：选ACD.设△ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理得asin A ＝b sin B ＝csin C＝2R .对于A 选项，a ∶b ∶c ＝2R sin A ∶2R sin B ∶2R sin C ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确；对于D 选项，由正弦定理得b ＋c sin B ＋sin C ＝2R sin B ＋2R sin C sin B ＋sin C ＝2R ＝asin A ，故D 正确；对于B 选项，由二倍角公式得2sin A cos A ＝2sin B cos B ，则2a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，整理得a 4－b 4－a 2c 2＋b 2c 2＝0，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，则a 2－b 2＝0或a 2＋b 2＝c 2，所以a ＝b 或C ＝π2 ，故B 错误；对于C选项，在△ABC 中，由正弦定理得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B (大边对大角)，故C 正确．故选ACD.11．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝6，sin A ＝2sin C ，则以下四个结论正确的有( )A ．△ABC 不可能是直角三角形B ．△ABC 有可能是等边三角形 C ．当A ＝B 时，△ABC 的周长为15D ．当B ＝π3时，△ABC 的面积为63解析：选CD.因为sin A ＝2sin C ，所以a ＝2c ，又b ＝6，若A 为直角，由36＋c 2＝4c 2，可得c ＝23 ，满足条件的△ABC 可能是直角三角形，故A 错误；由于a ＝2c ，故△ABC 不可能是等边三角形，故B 错误；当A ＝B 时，a ＝b ＝2c ＝6，可得c ＝3，可得△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝6＋6＋3＝15，故C 正确；当B ＝π3时，b ＝6，a ＝2c ，由余弦定理可得36＝a 2＋c 2－ac ＝4c 2＋c 2－2c 2，解得c ＝23 ，a ＝43 ，可得△ABC 的面积为12 ac sin B ＝12×23 ×43 ×32＝63 ，故D 正确．故选CD. 12．已知△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,以下四个说法中正确的有(A.满足条件的△ABC 不可能是直角三角形B.当A=2C 时,△ABC 的周长为15C.当A=2C 时,若O 为△ABC 的内心,则△AOB 的面积为D.△ABC 的面积的最大值为40解析：选BCD.a=6,4sin B=5sin C 即4b=5c,设b=5t,c=4t(t>0),由36+16t 2=25t 2,可得t=2(负值舍去), 满足条件的△ABC 可能是直角三角形,故A 错误; a=6,4sin B=5sin C,A=2C,可得:B=π-3C,由正弦定理可得4b=5c,可得b=,由=,sin C≠0,可得:4cos2C-1=,解得:cos C=,sin C=,可得sin A=2sin Ccos C=,可得:c=4,b=5,则a+b+c=15,故B正确;S△ABC=bcsin A=.设△ABC的内切圆半径为R,则R==,S△ABO=cR=,故C正确.以BC的中点为坐标原点,BC所在直线为x轴,可得B(-3,0),C(3,0),4sin B=5sin C,可得4b=5c,设A(m,n)(n≠0), 可得4=5,平方可得16(m2+n2-6m+9)=25(m2+n2+6m+9),即有m2+n2+m+9=0,化为+n2=(n≠0),则A 的轨迹为以为圆心,为半径的除去x 轴上两点的圆,可得△ABC 的面积的最大值为×6×=40,故D 正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，且(3a ＋5b )⊥(m a －b )，则m 的值为________．解析：由题意得，(3a ＋5b )·(m a －b )＝3m a 2＋(5m －3)a·b －5b 2＝0，3m ＋(5m －3)×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m ＝23，解得m ＝238 .答案：23814．在锐角三角形ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a= .解析：因为2asin B=b,所以2sin Asin B=sin B.所以sin A=,因为△ABC 为锐角三角形,所以cos A=, 因为bc=6,b+c=5, 所以b=2,c=3或b=3,c=2.所以a 2=b 2+c 2-2bccos A=22+32-2×6×=7,所以a=(负值舍).答案:15．已知OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )，若A ，B ，C 三点共线，则实数m 的值为________，CA → ·CB →的值为________．解析：因为OA → ＝(－1，1)，OB → ＝(0，－1)，OC →＝(1，m )，所以AB → ＝OB → －OA →＝(1，－2)，BC →＝OC → －OB →＝(1，m ＋1).因为A ，B ，C 三点共线，所以AB → ∥BC → ，所以1×(m ＋1)＝(－2)×1，所以m ＝－3，所以OC →＝(1，－3). 所以CA → ＝OA → －OC →＝(－2，4)，CB →＝OB → －OC →＝(－1，2).所以CA → ·CB →＝(－2)×(－1)＋4×2＝10. 答案：－3 1016．已知a 、b 满足:|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|= . 解析:因为|a+b|=4,所以|a+b|2=|a|2+|b|2+2a ·b=16. 因为|a|=3,|b|=2, 所以a ·b=,所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b =9+4-2×=10,可得|a-b|=.答案:四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 如图所示,梯形ABCD 中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC 和AB 的中点,若=a ,=b ,试用a,b 表示,,.解析：如图所示,连接CN,则四边形ANCD 是平行四边形.则===a,=-=-=b-a ,=-=--=--=a-b.18．(本小题满分12分)如图，已知向量a 与b ，其中|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 的夹角θ＝150°.(1)求a·b ；(2)求向量b 在a 方向上的投影向量，并画图解释．解析：(1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝3×4×cos 150°＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝－63 .(2)如图，作OA → ＝a ，OB →＝b ，过点B 作直线OA 的垂线，垂足为B 1，则OB 1＝|b |cos (π－θ)＝4×32＝23 ，向量b 的单位向量为b |b | ＝b 4 ，所以向量b 在a 方向上的投影向量是－23 ×b 4 ＝－3b2.19．(本小题满分12分) 已知△ABC 的三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若B=,且(a-b+c)(a+b-c)=bc. (1)求cos C 的值; (2)若a=5,求△ABC 的面积.解析:(1)由(a-b+c)(a+b-c)=bc,得a2-(b-c)2=bc,即a2=b2+c2-bc,由余弦定理,得cos A==,所以sin A=.又因为B=,所以cos C=-cos (A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.(2)由(1)得sin C=.在△ABC中,由正弦定理,得c==8,所以S=acsin B=×5×8×sin =10.20．(本小题满分12分) 如图,A,B 两个小岛相距21海里,B 岛在 A 岛的正南方,现甲船从 A 岛出发,以9海里/时的速度向 B 岛行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间后,两船相距最近?求出两船的最近距离.解析：设行驶th后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.①当9t<21,即t<时,C 在线段AB 上, 此时BC=21-9t.BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,由余弦定理知CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos 120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t ·=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189.所以当t=2时,CD 取得最小值3.②当t=时,C 与B 重合,则CD=6×=14>3.③当t>时,BC=9t-21,则CD 2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t ·cos 60°=63t 2-252t+441=63(t-2)2+189>189.综上可知,当t=2时,CD 取最小值3.答:行驶2 h 后,甲、乙两船相距最近为3海里.21．(本小题满分12分)平面内有向量OA → ＝(1，7)，OB → ＝(5，1)，OP →＝(2，1)，点Q 为直线OP 上的一个动点．(1)当QA → ·QB → 取最小值时，求OQ →的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．解析：(1)设OQ → ＝(x ，y ).因为点Q 在直线OP 上，所以向量OQ → 与OP → 共线．又OP →＝(2，1)，所以x ＝2y ，所以OQ → ＝(2y ，y ).又QA → ＝OA → －OQ → ＝(1－2y ，7－y )，QB → ＝OB → －OQ → ＝(5－2y ，1－y )，所以QA → ·QB → ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12＝5(y －2)2－8.故当y ＝2时，QA → ·QB → 有最小值－8，此时OQ → ＝(4，2).(2)由(1)知QA → ＝(－3，5)，QB → ＝(1，－1)，QA → ·QB → ＝－8，|QA → |＝34 ，|QB → |＝2 ，所以cos ∠AQB ＝QA →·QB →|QA →||QB →|＝－41717 . 22．(本小题满分12分) 已知△ABC 中三个内角A,B,C 所对的边为a,b,c,且B=,b=2.(1)若c=,求sin A 的值;(2)当·取得最大值时,求A 的值.解析:(1)在△ABC 中,由正弦定理得=,则sin C==,因为b>c,所以C=,则sin A=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.(2)·=bacos C=2acos C=2×cos C=sin Acos(π-A)=sin A(-cos A+sin A)=2-sin (2A+),当且仅当2A+=,即A=时·取到最大值.。

高中数学第二章平面向量章末检测(B)(含解析)苏教版

第2章平面向量(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知向量a ＝(4,2)，b ＝(x,3)，且a ∥b ，则x 的值是________．2．设向量a ＝(m －2，m ＋3)，b ＝(2m ＋1，m －2)，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是________．3．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b＝________.4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则AD →·BD →＝________. 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是________． 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )．其中正确的命题是________．(填序号)7．已知|a |＝5，|b |＝3，且a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 上的投影等于________． 8．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.9．已知向量a ＝(6,2)，b ＝(－4，12)，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．10．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.11．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.12．P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为________．13．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA →·MB →的最小值为________．14．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np .下面说法正确的是________．(填相应说法的序号) ①若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0； ②a ⊙b ＝b ⊙a ；③对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )；④(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2.二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)如图所示，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作AOBD ，又BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →、ON →、MN →.16．(14分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)(a －2b )·(a ＋b )；(2)|a ＋b |； (3)|3a －4b |.17．(14分)已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t2t的最小值．18．(16分)设OA →＝(2,5)，OB →＝(3,1)，OC →＝(6,3)．在线段OC 上是否存在点M ，使MA ⊥MB ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19．(16分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．20．(16分)已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P 、Q 分别在OA 、OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b .求证：1m ＋1n＝3.第2章平面向量(B)1．6解析 ∵a ∥b ，∴4×3－2x ＝0，∴x ＝6.2．(－43，2)解析 ∵a 与b 的夹角大于90°，∴a ·b <0， ∴(m －2)(2m ＋1)＋(m ＋3)(m －2)<0，即3m 2－2m －8<0，∴－43<m <2.3.12解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)， ∵AB →∥AC →，∴(a －2)(b －2)－4＝0，∴ab －2(a ＋b )＝0，该等式两边同除以ab ，可得ab －2a ＋bab＝0，∴1－2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝0， ∴1a ＋1b ＝12. 4．8解析 ∵AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)， ∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， ∴AD →·BD →＝(－1，－1)·(－3，－5)＝8. 5.π3解析 ∵a (b －a )＝a ·b －|a |2＝2，∴a ·b ＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝31×6＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.6．①④解析由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a (b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确，即正确命题序号是①④. 7．－4解析向量a 在向量b 上的投影为|a |cos 〈a ，b 〉＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝－123＝－4.8．7解析 ∵|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×(－12)＝49.∴|5a －b |＝7. 9．2x －3y －9＝0解析设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.10．－35解析由已知得4b ＝－3a －5c ，将等式两边平方得(4b )2＝(－3a －5c )2，化简得a ·c ＝－35.同理由5c ＝－3a －4b 两边平方得a ·b ＝0，∴a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝－35. 11.79解析 AP →＝AC →＋CP →＝AC →＋23CR →＝AC →＋23(23AB →－AC →)＝49AB →＋13AC →故有m ＋n ＝49＋13＝79.12．3解析设△ABC 边BC 的中点为D ，则 S △ABC S △ABP ＝2S △ABD S △ABP ＝2ADAP.∵AP →＝13(AB →＋AC →)＝23AD →，∴AD →＝32AP →，∴|AD →|＝32|AP →|.∴S △ABCS △ABP＝3. 13．－8解析设OM →＝tOP →＝(2t ，t )，故有MA →·MB →＝(1－2t,7－t )·(5－2t,1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，故当t ＝2时，MA →·MB →取得最小值－8. 14．①③④解析若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故①正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故②不正确．对于③，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故③正确．对于，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故④正确．15．解 BA →＝OA →－OB →＝a －b . ∴OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋13BC →＝OB →＋16BA →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b .ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM → ＝23a ＋23b －16a －56b＝12a －16b. 16．解 a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (1)(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22 ＝12.(2)∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a ＋b |＝2 3.(3)|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b |＝419.17．解由题意有|a |＝32＋－12＝2，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. ∵a·b ＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b .∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.即t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值为－74.18．解设OM →＝tOC →，t ∈[0,1]，则OM →＝(6t,3t )，即M (6t,3t ).MA →＝OA →－OM →＝(2－6t,5－3t )， MB →＝OB →－OM →＝(3－6t,1－3t )．若MA ⊥MB ，则MA →·MB →＝(2－6t )(3－6t )＋(5－3t )(1－3t )＝0.即45t 2－48t ＋11＝0，t ＝13或t ＝1115.∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫225，115. 19．解由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得2t e 1＋7e 2·e 1＋t e 2|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22<0.(*) ∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0.解得：－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)．对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12.20.证明如右图所示，∵OD →＝12(OA →＋OB →)＝12(a ＋b )，∴OG →＝23OD →＝13(a ＋b )．∴PG →＝OG →－OP → ＝13(a ＋b )－m a ＝(13－m )a ＋13b . PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a . 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG →＝λPQ →. ∴(13－m )a ＋13b ＝λn b －λm a ， ∴(13－m ＋λm )a ＋(13－λn )b ＝0. ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＋λm ＝0， ①13－λn ＝0， ②由①②消去λ得：1m ＋1n＝3.。

高考数学总复习第五章平面向量配套章末综合检测(含解析)新人教A版

第五章章末综合检测(学生用书为活页试卷解析为教师用书独有)(检测范围：第五章) (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知{a n }为等差数列，若a 3＋a 4＋a 8＝9，则S 9＝ ( )A ．24 B.27 C ．15D.54解析 B 由a 3＋a 4＋a 8＝9，得3(a 1＋4d )＝9，即a 5＝3.则S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝27.2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14 B.15 C ．16D.17解析 C ∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n n 为正奇数，a n ＋1n 为正偶数，则其前6项之和是A ．16 B.20 C ．33D.120解析 C a 2＝2a 1＝2，a 3＝a 2＋1＝3，a 4＝2a 3＝6，a 5＝a 4＋1＝7，a 6＝2a 5＝14，所以S 6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C.4．在数列1,2，7，10，13，4，…中，219是这个数列的第几项 ( ) A ．16 B.24 C ．26D.28解析 C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，a 6＝4＝16，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C.5．已知等差数列的前n 项和为S n ，若S 13<0，S 12>0，则在数列中绝对值最小的项为 A ．第5项 B.第6项 C ．第7项D.第8项解析 C ∵S 13<0，∴a 1＋a 13＝2a 7<0，又S 12>0， ∴a 1＋a 12＝a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，且|a 6|>|a 7|.故选C. 6.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 C ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.7．(2013·杭州月考)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于 ( )A ．－16 B.10 C ．16D.256解析 C 由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16，则a 40a 60＝a 2a 98＝16.8．设f (n )＝2＋24＋27＋210＋…＋23n ＋10(n ∈N )，则f (n )＝ ( ) A.27(8n－1) B.27(8n ＋1－1) C.27(8n ＋3－1) D.27(8n ＋4－1) 解析 D ∵数列1,4,7,10，…，3n ＋10共有n ＋4项，∴f (n )＝2[1－23n ＋4]1－23＝27(8n ＋4－1)．9．△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是 ( )A ．钝角三角形 B.锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D.以上均错解析 B 由题意知，tan A ＝－1－－47－3＝34＞0.又∵tan 3B ＝412＝8，∴tan B ＝2＞0，∴A 、B 均为锐角．又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－112＜0，∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m 、a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m＋4n的最小值为 ( )A.32B.53C.256D ．不存在解析 A 由题意可知，a 5q 2＝a 5q ＋2a 5(q >0)，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝－1(舍去)或q ＝2.又由已知条件a m a n ＝4a 1，得a 1q m －1·a 1qn －1＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ·m ＋n 6＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋4m n ＋n m ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24m n·n m ＝32，当且仅当4m n ＝nm，即m ＝2，n ＝4时，取“＝”．11．(2013·银川一中模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2,3，…)，若当首项a 1和公差d 变化时，a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列选项中为定值的是( )A ．S 17 B.S 18 C ．S 15D.S 14解析 C 由a 5＋a 8＋a 11＝3a 1＋21d ＝3(a 1＋7d )＝3a 8是定值，可知a 8是定值．所以S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8是定值．12．数列{a n }的通项公式a n ＝1nn ＋1，其前n 项和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10 B.－9 C ．10D.9解析 B ∵a n ＝1n －1n ＋1，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1，由nn ＋1＝910，得n ＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0，其在y 轴上的截距为－9.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知数列{}a n 中a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)，得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，数列{a n }从第二项起构成等差数列，S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.【答案】 21114．若数列{a n }满足关系a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，则该数列的通项公式为________．解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴数列{a n ＋1}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝4·2n －1，∴a n ＝2n ＋1－1.【答案】 a n ＝2n ＋1－115．等比数列{a n }的前n 项和S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝3x＋r 的图象上，则实数r ＝________.解析 ∵{a n }是等比数列，且{n ，S n }在函数y ＝3x＋r 上，即S n ＝3n＋r ， ∴公比q ＝3，且a 1＝S 1＝3＋r ，a 2＝S 2－S 1＝6，∴a 2a 1＝63＋r＝q ＝3，∴r ＝－1. 【答案】－116．给定：a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使a 1·a 2·…·a k 为整数的数k (k ∈N *)叫做数列{a n }的“企盼数”，则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M ＝________.解析设a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·…·log k (k ＋1)·log k ＋1(k ＋2)＝log 2(k ＋2)为整数m ，则k ＋2＝2m， ∴k ＝2m－2.又1≤k ≤2 013， ∴1≤2m－2≤2 013， ∴2≤m ≤10.∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为M ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－18 ＝22×1－291－2－18＝2 026. 【答案】 2 026三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 4＝6，a 6＝10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }的各项均为正数，T n 为其前n 项和，若b 3＝a 3，T 2＝3，求T n . 解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵a 4＝6，a 6＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝6，a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －2. (2)设各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q (q >0)．∵a n ＝2n －2，∴a 3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧b 1q 2＝4，b 11＋q ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，b 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，b 1＝9(舍去)，∴T n ＝b 11－q n 1－q ＝1－2n1－2＝2n－1.18．(12分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意的n ∈N *，有S n＝32a n －32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)由已知得S n ＝32a n －32，∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－32，∴S n －S n －1＝32a n －32a n －1，即a n ＝32a n －32a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝3a n －1，∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3；又当n ＝1时，S 1＝32a 1－32，即a 1＝32a 1－32，∴a 1＝3.∴a n ＝3n.(2)由(1)知a n ＝3n，故b n ＝1log 33n·log 33n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 19．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①∴a 1＝13，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)， ②①－②得3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，化简得a n ＝13n (n ≥2)．显然a 1＝13也满足上式，故a n ＝13n (n ∈N *)．(2)由①得b n ＝n ·3n.于是S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n，③ 3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n ·3n ＋1，④③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ·3n ＋1，即－2S n ＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1，S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.20．(12分)(2013·长沙模拟)已知{a n }为递减的等比数列，且{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)当b n ＝1－－1n2a n 时，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －1<163.解析 (1)∵{a n }是递减数列， ∴数列{a n }的公比q 是正数，又∵{a 1，a 2，a 3}{－4，－3，－2,0,1,2,3,4}， ∴a 1＝4，a 2＝2，a 3＝1.∴q ＝a 2a 1＝24＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝82n .(2)b n ＝8[1－－1n]2n ＋1，当n ＝2k (k ∈N *)时，b n ＝0，当n ＝2k －1(k ∈N *)时，b n ＝a n ，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0n ＝2k ，k ∈N *a nn ＝2k －1，k ∈N *∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n －2＋b 2n －1 ＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n <163. 21．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1. (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设3nb n ＝n (3n－a n )，求|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |. 解析 (1)∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1，∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)．又a 1＝5，a 2＝5， ∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋a n ＋1≠0， ∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，即a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2， ∴a n －3n≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n(n ∈N *)．(3)由(2)及3nb n ＝n (3n－a n )，可得 3nb n ＝－n (a n －3n)＝－n [2×(－2)n －1]＝n (－2)n，∴b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23n，∴|b n |＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.∴T n ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n | ＝23＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，①①×23，得23T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1， ②①－②得13T n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1 ＝2－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝2－(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，∴T n ＝6－2(n ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.22．(14分)已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )且f (1)＝12.(1)当n ∈N *时，求f (n )的表达式；(2)设a n ＝n ·f (n )，n ∈N *，求证：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2； (3)设b n ＝(9－n )f n ＋1f n，n ∈N *，S n 为{b n }的前n 项和，当S n 最大时，求n 的值．解析 (1)令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.(2)设T n 为{a n }的前n 项和，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，12T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，整理，得T n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n<2.(3)∵f (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴b n ＝(9－n )f n ＋1f n＝(9－n )⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝9－n 2，∴当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0.∴当n ＝8或9时，S n 取到最大值．。

高中数学北师大版必修4《第二章平面向量》章末测试卷含试卷分析详解

A.1327B.132C.133D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a ＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.9．在边长为1的正方形ABCD 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c |等于( )A ．1 B.32C ．2 D.52答案：C解析：先求模的平方． 10.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O 为中心，其中x →，y →，分别为原点O 到两个顶点的向量．若将原点O 到正六角星12个顶点的向量，都写成为a x →＋b y →的形式，则a ＋b 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：D解析：要求a ＋b 的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：(1)∵OA →＝x →，∴(a ，b )＝(1,0)；(2)∵OB →＝OF →＋FB →＝y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,1)；(3)∵OC →＝OF →＋FC →＝y →＋2x →，∴(a ，b )＝(1,2)；(4)∵OD →＝OF →＋FE →＋ED →＝y →＋x →＋OC →＝y →＋x →＋(y →＋2x → )＝2y →＋3x →，∴(a ，b )＝(3,2)；(5)∵OE →＝OF →＋FE →＝y →＋x →，∴(a ，b )＝(1,1)；(6)∵OF →＝y →，∴(a ，b )＝(0,1)． ∴a ＋b 的最大值为3＋2＝5.二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．11．已知向量a ，b 满足|a |＝2011，|b |＝4，且a ·b ＝4022，则a 与b 的夹角为________．答案：π3解析：设a 与b 的夹角为θ，由夹角余弦公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝40222011×4＝12，解得θ＝π3.12．已知向量a ＝(1，t )，b ＝(－1，t ).2a －b 与b 垂直，则|a |＝________. 答案：2解析：由(2a －b )·b ＝0，可得t ＝±3，所以|a |＝12＋(±3)2＝2.13．如右图，在△ABC 中，∠BAC ＝135° ，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC＝2BD ，则AD →·BC →＝________.答案：－43解析：根据向量的加减法法则有：BC →＝AC →－AB →， AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13 (AC →－AB → )＝13AC →＋23AB →，此时AD → ·BC →＝(13AC →＋23AB → )(AC →－AB → )＝13|AC →|2＋13AC →·AB →－23|AB →|2＝13－13×1×2×22－23×2＝－43. 三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A (6，2)、B (0,3)、C (－32，sin α)，α∈(π2，3π2)．若AB →|＝|BC →|，求角α的值．解：∵AB →＝(－6，1)，BC →＝(－32，sin α－3)∴|AB →|＝7，|BC →|＝34＋(sin α－3)2由|BC →|＝|AB →|得sin α＝12.又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π6.15．已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b ) ＝2a 2＋3a ·b －2b 2＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝242＋348·(－32)－282＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2 ＝1642－1648(－32)＋482＝8(2＋6)．16．已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由．解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ，即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b .∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .17．如图所示，现有一小船位于d ＝60m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80m 的L 处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s ，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿PQ →方向．设P A →＝v 水，从A 向PQ →作垂线，垂足为B ，有向线段AB →即表示最小划速的大小和方向．|v 划|min ＝|v 水|sin θ＝|v 水|·d |PQ →|＝5×60602＋802＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.18．已知点A (1，－2)，B (2,1)，C (3,2)．(1)已知点D (－2,3)，以AB →、AC →为一组基底来表示AD →＋BD →＋CD →；(2)若AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )，且点P 在第四象限，求λ的取值范围．解：如图，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0. ∵AP →＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ →－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC →＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB →－AC →)＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ.故当cos θ＝1，即0＝0(PQ →与BC →方向相同)时，BP →·CQ →最大，其最大值为0.。

四川省高考数学总复习配套测评卷平面向量章末质量检测5 新人教版

平面向量———————————————————————【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 [来源:学§科§网]只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中不正确的是( )A ．a ∥b ⇔|a ·b |＝|a |·|b |B ．|a |＝a 2C ．a ·b ＝a ·c ⇔b ＝cD ．a ·b ≤|a |·|b |2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形[来源:学科网ZXXK]3. 若A 、B 、C 、D 是平面内任意四点，给出下列式子：①AB →＋CD →＝BC →＋DA →；②AC →＋BD →＝BC →＋AD →；③AC →－BD →＝DC →＋AB →.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．已知正三角形ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，则|a －b |＝( )A. 3 B ．3 C. 2 D ．15．已知圆O 的半径为a ，A ，B 是其圆周上的两个三等分点，则OA →·AB →＝( )A.32a 2 B ．－32a 2 C.32a 2 D ．－32a 2 6．在△ABC 中，cos 2B ＞cos 2A 是A ＞B 的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数y ＝f (2x －1)＋1的图象按向量a 平移后的函数解析式为y ＝f (2x ＋1)－1，则向量a 等于( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(－1，－2)D (1，－2)8．在△ABC 中，已知向量AB →＝(cos 18°，cos 72°)，BC →＝(2cos 63°，2cos 27°)，则△ABC 的面积等于( )A.22B.24C.32D. 29．已知点A (2,1)，B (0,2)，C (－2,1)，O (0,0)．给出下面的结论：①OC →∥BA →；②OA →⊥AB →；③OA →＋OC →＝OB →；④AC →＝OB →－2OA →.其中正确结论的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．AC 边所在的直线上B ．BC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．△ABC 的内部11．已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且存在实数m ，使m a －3b －c ＝0成立，则点A 分BC →的比为( )A ．－13B ．－12C.13D.1212．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积：a ⊗b ＝(a 1，b 1)⊗(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值A 及最小正周期T 分别为( )A ．2，πB ．2,4π C.12，4π D.12，π 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)题号[来源:学科网ZXXK][来源:学+科+网第Ⅰ卷[来源:学科网ZXXK] 第Ⅱ卷总分二 17 18 19 20 21 22Z+X+X+K ][来源:学*科*网][来源:学*科*网] 得分二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)13．已知点P 分有向线段P 1P 2→的比为3，则P 1分P 2P →的比为______． 14．已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(4,2)，若a ⊥(b ＋λa )，其中λ∈R ，则λ＝________. 15．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cos B ＝34，若BA →·BC →＝32，则a ＋c ＝________.16．设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f ，满足对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．若|a |＝|b |且a 、b 不共线，则(f (a )－f (b ))·(a ＋b )＝________；若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，则λ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，且AB →·AD →＝5，AD →2＝10. (1)求D 点的坐标；(2)若D 的横坐标小于零，试用AB →，AD →表示AC →18．(本小题满分12分)设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2) (1)求证：a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影；(3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .19.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且cos 2C ＋2cos(A ＋B )＝－32.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积S .20．(本小题满分12分)在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．21.(本小题满分12分)如图，在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C 处．(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？22．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为3π4，|OB |＝2，设∠AOB ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)用θ表示点B 的坐标及|OA |；(2)若tan θ＝－43，求O A →·O B →的值．答案：卷(五)一、选择题1．C 对于选项C ，当b 、c 不相等且都与a 垂直时，a·b ＝a·c 也成立，故C 不正确，选C.2．A ∵2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－14＜0.则△ABC 是钝角三角形．故选A.3．C ①式的等价式是AB →－BC →＝DA →－CD →，左边＝AB →＋CB →，右边＝DA →＋DC →，不一定相等；②式的等价式是AC →－BC →＝AD →－BD →，AC →＋CB →＝AD →＋DB →＝AB →成立；③式的等价式是AC →－DC →＝AB →＋BD →，AD →＝AD →成立，故选C.4．A 由题意知a 与b 的夹角为180°－60°＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－12，∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.5．B 结合图形易知两向量夹角为5π6，且|OA →|＝a ，|AB →|＝3a ，故OA →·AB →＝|OA →|×|AB →|×cos 5π6＝－3a 22.6．C cos 2B ＞cos 2A ⇔1－2sin 2B ＞1－2sin 2A ⇔sin 2B ＜sin 2A ⇔sin A ＞sinB ⇔A ＞B . 7．C 设向量a ＝(h ，k )，y ＝f (2x －1)＋1――→按a 平移y ＝f [2(x －h )－1]＋1＋k ＝f (2x ＋1)－1，所以h ＝－1，k ＝－2.8．A 由已知得 AB →＝(cos 18°，cos 72°) ＝(cos 18°，sin 18°)，B C →＝(2cos 63°，2cos 27°)＝(2s in 27°，2cos 27°)，故cos AB →，BC →＝AB →·BC →|AB →|×|BC →|＝2cos 18°sin 27°＋sin 18°cos 27°1×2＝cos45°，故AB →，BC →＝45°，因此S △＝12|AB →|×|BC →|×sin 135°＝22.9．D ①由于OC →＝(－2,1)， BA →＝(2，－1)⇒OC →＝－BA → ⇒OC →∥BA →，由共线向量基本定理易知命题正确； ②OA →·AB →＝(2,1)·(－2,1)＝－3≠0，故命题错误； ③OA →＋OC →＝(2,1)＋(－2,1)＝(0,2)＝OB →，命题正确； ④AC →＝(－4,0)，OB →－2OA →＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，故命题正确，因此正确结论的个数共有3个，故选D.10．A 由于CB →＝λPA →＋PB →⇒CB →＋BP →＝λPA →⇒CP →＝λPA →，根据共线向量的基本条件，则C 、P 、A 三点共线，故选A11．C 由已知得：BA →＝a －b ， AC →＝c －a ，设a －b ＝λ(c －a )，即(λ＋1)a －b －λc ＝0， ∴3b ＝(3λ＋3)a －3λc ，又∵3b ＝m a －c ，∴根据平面向量基本定理得3λ＝1，即λ＝13.故选C.12．C 设P (x 0，y 0)，Q (x ，f (x ))，则由已知得(x ，f (x ))＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3，12y 0，即x ＝2x 0＋π3，∴x 0＝12x －π6.f(x )＝12y 0，∴y 0＝2f (x )．又y 0＝sin x 0，∴2f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.∴(f (x ))max ＝12，T ＝2π12＝4π. 二、填空题13．【解析】 ∵P 分有向线段P 1P 2→的比为3，∴P 1P→PP 2→＝3，如图，∴P 2P 1→P 1P→＝－43【答案】－4314．【解析】 ∵a ⊥(b ＋λa )， ∴a ·(b ＋λa )＝0.∴(1，－3)(4＋λ，2－3λ) ＝0，即(4＋λ)－3(2－3λ)＝0.解得λ＝15.【答案】 1515．【解析】 ∵BA →·BC →＝32，∴ac ·cos B ＝32.又∵cos B ＝34，且a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ＝2.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得 a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5.∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，即a ＋c ＝3. 【答案】 3 16．【解析】 ∵|a |＝|b |且a 、b 不共线， ∴(f (a )－f (b ))·(a ＋b ) ＝(λa －λb )·(a ＋b )＝λ(|a |2－|b |2)＝0.∵BC →＝(1,2)，∴f (BC →)＝λ(1,2)，AB →＝(2,4)， ∴λ＝2.【答案】 0,2 三、解答题17．【解析】 (1)设D (x ，y )，则AB →＝(1,2)，AD →＝(x ＋1，y )． ∴AB →·AD →＝x ＋1＋2y ＝5，① AD →2＝(x ＋1)2＋y 2＝10.②联立①②，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴D 点的坐标为 (－2,3)或(2,1)．(2)因D 点的坐标为(－2,3)时，AB →＝(1,2)， AD →＝(－1,3)，AC →＝(－2,1)，设AC →＝mAB →＋nAD →，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1.∴AC →＝－AB →＋AD →.18．(1)【解析】证明： ∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，－1×3≠1×4， ∴a 与b 不共线，cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝－4＋32·5＝－210.(2)cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－5－22·29＝－75858， ∴c 在a 方向上的投影为 |c |cos 〈a ，c 〉＝－722.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝－λ1＋4λ2－2＝λ1＋3λ2，解得λ1＝－237，λ2＝37.19．【解析】 (1)∵cos 2C＋2cos(A ＋B )＝－32，∴2cos 2C －1－2cos C＝－32，∴cos C ＝12.∵0＜C ＜180°，∴C ＝60°.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴7＝a 2＋b 2－ab＝(a ＋b )2－3ab ，∵a ＋b ＝5，∴7＝25－3ab ， ∴ab ＝6，∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.20．【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，ABsin C ＝BCsin A.于是AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255. 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. 21．【解析】 (1)在Rt△PAB 中，∠APB ＝60°，PA ＝1， ∴AB ＝ 3.在Rt△PAC 中，∠APC ＝30°，∴AC ＝33.在△ACB 中，∠CAB ＝30°＋60°＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝332＋32＝303. 则船的航行速度为303÷16＝230(千米/时)． (2)在△ACD 中，∠DAC ＝90°－60°＝30°，sin∠DCA ＝sin(180°－∠ACB )＝sin∠ACB ＝AB BC ＝3303＝31010，sin∠CDA ＝sin(∠ACB －30°)＝sin∠ACB ·cos30° －cos∠ACB ·sin30° ＝31010·32－12·1－310102＝33－11020.由正弦定理得ADsin∠DCA＝ACsin∠CDA.∴AD ＝AC ·sin∠DCA sin∠CDA＝33·3101033－11020＝9＋313.22．【解析】 (1)由三角函数的定义得点B 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，在△AOB 中，|OB |＝2，∠BAO ＝π4，∠B ＝π－π4－θ＝3π4－θ由正弦定理，得|OB |sinπ4＝|OA |sin∠B ，即222＝|OA |sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ 所以|OA |＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ.(2)由(1)得O A →·O B →＝|O A →|·|O B →|·cos θ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ·cos θ 因为tan θ＝－43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin θ＝45，cos θ＝－35又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ ＝sin 3π4cos θ－cos 3π4·sin θ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－22×45＝210.∴OA →·OB →＝42×210×(－35)＝－1225.。

平面向量：章末检测含答案

平面向量章末检测一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分) 1．设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x =( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．62．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO→，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量4．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC →=( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a =( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．26．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A ．|a·b |≤|a ||b |B ．|a －b |≤||a |－|b ||C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2 7．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →= ( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 28．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α，16，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°9．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→10．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为( ) A ．2 B.52 C ．3D ．411．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF→＝－23，则λ＋μ=( ) A.12 B.23 C.56 D.71212．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2D ．2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________. 14．已知a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________.15．已知向量a ＝(6,2)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l的方程为________．16．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝3，〈a ，b 〉=2π3,若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．18．(12分)(1)在直角三角形ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，求AB →·BC →； (2)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R .若△ABC 为直角三角形，求a 的值．19．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.20．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝2，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )， (1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求OB →的坐标；(2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．22．(12分)在△OAB 中，OC→＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a ，b 表示OM→;(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝qOB →，求证：17p ＋37q ＝1.平面向量章末检测答案1．解析 ∵a ∥b ，∴2×6－4x ＝0，∴x ＝3.答案 B 2．答案 B解析设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 中，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解，B 中，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解之得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1. 故B 中的e 1，e 2可把a 表示出来．同理，选项C 、D 同选项A ，无解． 3．答案 D 4．答案 A 5．答案 C6．解析当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a |－|b ||，选项B 不成立．答案 B 7．解析 BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D.8．解析 ∵a ∥b ，∴sin 2α＝32×16＝14，∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°.答案 A9．解析在△ABC 中，由BC→＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a·b ＝|a||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D. 10．解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33， ∴m ＝3n ，即mn ＝3，故选C.11．解析以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD→ ＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC→＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，② 由①②可得λ＋μ＝56.答案 C12．解析坐标法：由已知可设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．由|c |＝1，(a －c )·(b －c )≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x －y ≤0， ∴x ＋y ≥1.从而|a ＋b －c |＝(1－x )2＋(1－y )2＝3－2(x ＋y )≤1.答案 B13．答案 2解析因为a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，所以λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．因为λa ＋b 与c ＝(－4，－7)共线，所以－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.所以λ＝2.14．解析因为|5a －b |2＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a ·b ＝25×12＋32－10×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.所以|5a －b |＝7. 答案 715．解析设P (x ，y )是直线l 上任意一点，根据题意，有AP →·(a ＋2b )＝(x －3，y ＋1)· (－2,3)＝0，整理化简得2x －3y －9＝0.16．解析 AO →·AP →＝|AO →|·|AP →|·cos 〈AO →，AP →〉＝2|AP →|cos 〈AO →，AP →〉，如图， |AP →|cos 〈AO →，AP →〉的最大值为AB ＝3，故AO →·AP →的最大值为6. 17．解 ∵AB→与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.18．解 (1)在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，故BC ＝3，且cos ∠ABC ＝35， AB →与BC →的夹角θ＝π－∠ABC ，∴AB →·BC→＝－|AB →||BC →|cos ∠ABC ＝－5×3×35＝－9. (2)∵△ABC 是直角三角形，∴A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，∴a ＝3；当B ＝90°时，BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0， ∴a ＝13；当C ＝90°时，由BC→⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0， ∵a ∈R ，∴方程a 2－a ＋4＝0无解．综上所述，a ＝3或13.19．解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a·b －3|b |2＝61，又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13. 20．(1)证明由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a·b ＝2，即a·b ＝0，故a ⊥b . (2)解因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.21．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②由①②得5t 2＝5，∴t 2＝1，∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14 ＝54(cos 2θ－65cos θ)＋14＝54(cos θ－35)2－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15. 22．(1)解设OM→＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .因为点A ，M ，D 共线，所以AM→与AD →共线，所以12(m －1)－(－1)×n ＝0，所以m ＋2n ＝1.① 而CM→＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b . 因为C ，M ，B 共线，所以CM→与CB →共线，所以－14n －⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14＝0.所以4m ＋n ＝1.②联立①②可得m ＝17，n ＝37，所以OM→＝17a ＋37b .(2) 证明 EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p a ＋37b ，EF→＝－p a ＋q b ，因为EF→与EM →共线，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p q －37×(－p )＝0. 所以17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1.。

平面向量测试题(含答案)

平面向量章末检测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2．下列四式不能化简为AD 的是（）A ．）＋＋（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3．已知a =（3，4），b =（5，12），a 与b 则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513 D ．134．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么3a b +=（）A ．7B ．10C ．13D ．45．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） 1()2a b →→-（B ） 1()2b a →→-（C ） →a ＋12b → （D ） 1()2a b →→+6．设→a ，→b 为不共线向量，−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝－5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是（）（A ）−→−AD ＝−→−BC （B ）−→−AD ＝2−→−BC （C ）−→−AD ＝－−→−BC （D ）−→−AD ＝－2−→−BC 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数8．已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4） 9．已知→a ＝（1，2），→b ＝（－2，3），且k →a +→b 与→a －k →b 垂直，则k ＝（）（A ） 21±-（B ） 12±（C ） 32±（D ） 23±10、若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈.则a b -=（）A. 2-或0；B. C. 2或 D. 2或10.二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分.11．若),4,3(=Ａ点的坐标为（-2，-1），则Ｂ点的坐标为． 12．已知(3,4),(2,3)=-=a b ，则2||3-⋅=a a b ．13、已知向量3,(1,2)a b ==，且b a⊥，则a 的坐标是_________________。

平面向量及其运用章末测试(解析版)

第六章平面向量及其运用章末测试一．单选题（每题5分，共60分）1．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r ，则OC =u u u r（） A.1233AB AC -+u u u r u u u r B.2133AB AO -u u u r u u u r C.1233AB AC -u u u r u u u r D.2133AB AC -+u u u r u u u r 【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】A【解析】Q ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r，如图所示：由22AO DO OD =-=u u u r u u u r u u u r ，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，∴()2133AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，又2133BO BD BA =+u u u r u u u r u u u r ，从而2OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，所以OC AO OB AO BO =-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()13AB AC +u u u r u u u r +2133BD BA +u u u r u u u r =()()111123333333BC AC AB AC AB AB AC BA AB AC AB --+++=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A2．已知向量(sin a θ=r ，()1,cos b θ=r ，||3πθ…，则a b -r r 的最大值为（） A.2C.3D.5【来源】2019年河南省安阳市高三毕业班第一次调研考试数学（理)试题【答案】B【解析】()sin cos a b θθ-=-r r由已知可得222||(sin 1)cos )54sin 3a b πθθθ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭r r ，因为||3πθ…，所以2033ππθ+剟，所以当3πθ=-时，2||a b -r r 的最大值为505-=，故||a b -rr3．ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r ，()cos n C c =-r ，且0m n ⋅=r r ，则角A 的大小为（） A.6π B.4π C.3π D.2π 【来源】2019年四川省成都市零模数学（理)试题【答案】B【解析】由0m n =r r g得，0(,cos )(cos )cos )cos a A C c a C c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =，由于sin 0B ≠，∴cos A =()0,A π∈ ∴4A π=，故选：B ．4．在ABC ∆中，43BC BD =u u u r u u u r ，F 为AD 中点，则BF =u u u r （） A.2736AC AB -u u u r u u u r B.3788AC AB -u u u r u u u r C.3188AC AB --u u u r u u u r D.3988AC AB -u u u r u u u r 【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】B【解析】如图所示：1111322224BF BA BD AB BC =+=-+⨯u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，又因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，所以3788BF AC AB =-u u u r u u u r u u u r ．答案选B5．已知向量a r 与b r 不共线，且0a b =≠r r ，则下列结论中正确的是（）A.向量a b +r r 与a b -r r 垂直B.向量a b -r r 与a r 垂直C.向量a b +r r 与a r 垂直D.向量a b +r r 与a b -r r 共线【来源】2019年上海市上海中学高三下学期数学测试2数学试题【答案】A 【解析】因为a b =r r ，()()22220a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r ,所以向量a b +r r 与a b -r r 垂直. 当(1,0)a =r ，(0,1)b =r 时0a b =≠r r ，但向量a b -r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a r 不垂直、向量a b +r r 与a b-r r 不共线故选：A.6．若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是（） A.6π B.2π C.23π D.56π 【来源】江西省宜春市丰城市丰城九中2018-2019学年高一上学期期末数学试题【答案】C 【解析】将2a b a b a +=-=r r v v v 平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=r r r r v v v v v ，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩r r r r . 222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-r r r v v v r r v v r r v v v.所以向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是23π. 7．()()1,2,,4a b k ==r r ，若//a b r r ，则下列结论中正确的是（）A.6k =-B.2k =C.6k =D.2k =-【来源】上海市丰华中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题【答案】B【解析】因为a =r （1，2），b =r （k ，4），a r ∥b r，所以4＝2k ，解得k ＝2；故选：B ． 8．在ABC ∆中，若M 是线段BC 的中点，点P 在线段AM 上，满足：1,2AM PA PM ==-u u u r u u u u r ，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r 等于（）. A.49 B.43 C.43- D.49- 【来源】上海市大团中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题【答案】D【解析】如图所示：根据平行四边形法则得到PB PC PD +=u u u r u u u r u u u r ，且,,,A P M D 共线()PA PB PC PA PD PA PD ⋅+=⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2121,2=333AM PA PM PA PM PD ==-∴==u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，， 49PA PD -⋅=-u u u r u u u r 故选：D9．在平面直角坐标系：xOy 中，设A 、B 、C 是圆221x y +=上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则22(3)λμ+-的取值范围是（） A.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()1,2 D.()2,∞+【来源】上海市青浦一中2018-2019学年高二上学期期终学业质量调研测试数学试题【答案】D【解析】由已知可得，11OB OC -≤⋅<u u u r u u u r∵OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，∴OC OB OA μλ-=u u u r u u u r u u u r两边同时平方可得，2212OB OC λμμ=-⋅+u u u r u u u r 设()222(3)26102f OB OC μλμμμμ=+-=-+-⋅u u u r u u u r 2228102(2)22μμμ>-+=-+≥∴()2f μ>即22(3)2λμ+->故选D 10．若向量1(tan15,)cos75a =︒︒r ，(1,sin 75)b =︒r ，则a b ⋅=r r （） A.1 B.2C.4D.8 【来源】2019年江西省九江市高三第三次高考模拟理数试题【答案】C【解析】Q 向量1(tan15,)cos75a =︒︒r ，(1,sin 75)b =︒r ， ∴22sin 75sin15cos15sin 15cos 152tan154cos 75cos15sin15sin15cos15sin 30a b ︒︒︒︒+︒⋅=︒+=+===︒︒︒︒⋅︒︒r r . 故选：C.11．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos )03b c A A +-=，3b =，2c =，则A =（）A.12πB.512πC.4πD.3π 【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】A【解析】由sin cos )03b c A A +-=及正弦定理得：sin sin cos )03B C A A +-=，且A B C π++=，所以sin()sin cos sin 0A C A C A C ++-=，即sin cos sin 03A C A C +=，因为sin 0A >，tan C =，23C π∴=，由3sin sin sin b c B C B =⇒=，sin 2412B B A BC πππ⇒=⇒=⇒=--=．故选：A12．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若sin cos a B b A =且2224b c a +-=，则ABC ∆的面积为（）A.1B.2C.12【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】A 【解析】由sin cos sin sin sin cos tan 14a B b A A B B A A A π=⇒=⇒=⇒=，又由22244cos 2b c a A bc bc+-=⇒=⇒=，∴1sin 12S bc A ==．二．填空题（每题5分，共20分）13．已知||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，则向量a r的坐标是____.【来源】2019年河北省唐山市高三上学期摸底考试数学（文)试题【答案】或(-【解析】设(,)a x y =r ，因为||5,(2,1)==r r a b ，且//a b r r ，所以222025x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因此向量a r的坐标是或(-.故答案为或(- 14．已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，且()a b a +⊥r r r ，则a b ⋅=r r _______．【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】1-【解析】已知向量(sin ,cos )a θθ=r ，()R θ∈，得1a ==r ，且()a b a +⊥r r r ，所以2()0a b a a a b +⋅=+⋅=r r r r r r ，得1a b ⋅=-r r ，15．已知1,2a b ==r r ，且()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，a r 与b r 的夹角60︒，则实数λ=____________【来源】上海市丰华中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题【答案】-1±【解析】()()2a b a b λλ+⊥-r r r r ，所以()()20a b a b λλ+⋅-=r r r r 即()2222220220a a b b λλλλλλ+-⋅-=⇒-+-=∴=r r r r-1±故答案为：-1±16．在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，AG =，4BC =，则ABC ∆面积的最大值为____【来源】2019年江西省九江市高三第三次高考模拟理数试题【答案】【解析】设D 为BC 的中点，DG ＝x ，由重心性质得，AG ＝2x ，BGx ；设∠BGD ＝θ，则由余弦定理得，4＝2x 2+x 2﹣•x 2•cos θ， ∴cos2；又S △BDG ＝12x •x •sinx 2sin θ；∴2ABC S ∆＝()2244341818x x x ⎡⎤-⎢⎥⋅-⎢⎥⎣⎦＝﹣94（x 4﹣24x 2+16），当x 2＝12时，2ABC S ∆取得最大值为288；则△ABC 面积的最大值为．故答案为：三．解答题（17题10分，其余12分每题，共70分）17．已知()()2,2,1,1a m b m =-=+r r （1）若2m =，求a r 与b r的夹角；（2）若()()a b a b +⊥-r r r r ，求实数m 的值【来源】上海市丰华中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题【答案】（1）arccos 10；（2）1m = 【解析】（1）m ＝2时，a =r （0，2），b =r （1，3），a r 与b r的夹角的余弦值a b a b ⋅==r r r r ，又a r 与b r 的夹角范围为[0,)π，所以a r 与b r 的夹角为（2）a b +=r r （m ﹣1，m +3），a b -=r r （m ﹣3，1﹣m ），又（a b +r r ）⊥（a b -r r ），所以（m ﹣1）（m ﹣3）+（m +3）（1﹣m ）＝0，即﹣6m +6＝0，解得m ＝1．18．已知函数2()cos sin f x x x x =⋅+-． ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．【来源】2019年上海市崇明区高三上学期期末（一模)数学试题【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；（2）4+【解析】()1函数()21cos sin sin2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅==+ ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈； ()2由()12f A =，即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ABC △是锐角三角形， 5236A ππ∴+=可得4A π=余弦定理：22222243cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，即270(0)c c -+=>解得：1c =ABC △的面积1sin 42S bc A ==+19．如图，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B -=.（1）求A ；（2）若AB AD ⊥，AC =CD =AD 的长.【来源】2019年10月湖南省永州市高三一模数学（理)试题【答案】（1）4A π=.（2）1或3.【解析】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得sin cos sin sin 0B A A B -=，sin 0B ≠Q ，tan 1A ∴=，因为()0,A π∈，所以4A π=.（2）AB AD ⊥Q ，且4BAC π∠=，4CAD π∴∠=，在ACD ∆中，AC =CD =4CAD π∠=. 由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠，即2582AD AD =+-⨯，解得：1AD =或3AD =. AD ∴的长为1或3.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos b c B C =．（1）证明：B C =；（2）若b =ABC ∆的面积为34，求a 的值．【来源】“四省八校”2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，见解析【解析】（1）易得cos cos sin cos sin cos sin()0b C c B B C C B C B =⇒=⇒-=，显然B C =．（2）由（1）知b c ==131sin sin 30242S bc A A A ︒==⇒=⇒=或150°当30A ︒=时，75B C ︒==，sin sin b A a B ==当150A ︒=时，15B C ︒==，2a +=21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b B c C a A c B +=+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若cos 7B =，a =ABC ∆的面积S 的值. 【来源】黑龙江省大庆市2019-2020学年高三上学期第一次教学质量检测数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）S =. 【解析】(Ⅰ)∵由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===， ∴有sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，则sin sin sin sin b B c C a A c B +=+可化为2222b c a b b c a c R R R R ⋅+⋅=⋅+⋅，即222b c a bc +=+，即222a b c bc =+-，又∵余弦定理2222cos a b c bc A =+-， ∴1cos 2A =，由()0,A π∈，得3A π=； (Ⅱ)由（Ⅰ）知，3A π=，则sin 2A =，1cos 2A =，∵cos B =，()0,B π∈，∴1sin 7B ==， ∴()1113sin sin 2714C A B =+=+⨯=，由正弦定理得，13sin 13sin a C c A ===，∴111sin 13227S ac B ==⨯⨯=. 22．平面内有向量(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，(2,1)OC =uuu r （其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//u u u r u u u r PA PB ，求OP uuu r 的坐标；（2）当PA PB ⋅u u u r u u u r 取最小值时，求cos APB ∠的值.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题【答案】（1）481717,⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）【解析】因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =uuu r ，所以可设(2,)=u u u r OP x x ，因为(1,7)OA =u u u r ，(5,1)OB =u u u r ，所以(12,7)=-=--u u u r u u u r u u u r PA OA OP x x ，(52,1)=-=--u u u r u u u r u u u r PB OB OP x x ，（1）因为//u u u r u u u rPA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ，解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r OP ；（2）因为(12,7)=--u u u r PA x x ，(52,1)=--u u u r PB x x ，所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--u u u r u u u r PA PB x x x x x x x ，显然，当2x =时，PA PB ⋅u u u r u u u r取最小值，此时(3,5)=-u u u r PA ，(1,1)=-u u u r PB ，所以cos 17PA PB APB PA PB⋅∠===-⋅uu r uu r uu r uu r。

高中数学第二章平面向量章末检测(A)(含解析)新人教A版必修4(2021年最新整理)

高中数学第二章平面向量章末检测（A）（含解析）新人教A版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量章末检测（A）（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量章末检测（A）（含解析）新人教A版必修4的全部内容。

第二章平面向量（A）(时间：120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．与向量a＝(1，错误!)的夹角为30°的单位向量是（）A．（错误!，错误!)或(1，错误!) B．（错误!，错误!)C．（0,1） D．(0，1）或（错误!，错误!)2．设向量a＝(1,0），b＝(错误!，错误!)，则下列结论中正确的是( ）A．｜a｜＝｜b｜ B．a·b＝错误!C．a－b与b垂直 D．a∥b3．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡,现加上一个力f4,则f4等于（）A．（－1，－2) B．（1，－2)C．（－1，2） D．（1,2）4．已知正方形ABCD的边长为1，错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则a＋b＋c的模等于（) A．0 B．2＋错误! C。

错误! D．2错误!5．若a与b满足｜a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则a·a＋a·b等于（）A.错误! B。

错误! C．1＋错误! D．26．若向量a＝（1，1)，b＝(1，－1)，c＝（－1，2)，则c等于（)A．－错误!a＋错误!b B。

第二章平面向量章末测试题(一)

平面向量章末测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 向量a ，b ，c ，实数λ,下列命题中真命题是( )A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λ a ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝04．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12 D.125．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．06．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322 B.3152C ．－322D ．－31527. 已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是() A ．[0，π6] B ．[π3，π]C ．[π3，2π3] D ．[π6，π]8. 已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，19. 下列命题中正确的个数是( )①若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 的方向相同；②若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |e ；③a ·a ·a ＝|a |3；④若a 与b 共线，又b 与c 共线，则a 与c 必共线；⑤若平面内有四点A ，B ，C ，D ，则必有AC →＋BD →＝BC →＋AD →.A ．1B ．2C ．3D ．410．已知向量a ＝(x ＋1,1)，b ＝(1，y －2)，且a ⊥b ，则x 2＋y 2的最小值为( )A.13 B.23C.12 D ．111．若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2 B. 2 C ．1 D.2212．设a ,b 是两个非零向量，下列结论一定成立的是( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b ＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λbD ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b |二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．14．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________.15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λ a ＋b ＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.16．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知O 、A 、B 是平面上不共线的三点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0r ，(1)用OA →、OB →表示OC →；(2)若点D 是OB 的中点，证明四边形OCAD 是梯形．18．（10分）设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A ，B ，C 三点共线．(2)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －k b ，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．19．（10分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)．(1)求3a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .20．（10分）已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点D 的坐标与|AD →|．21．（10分）已知|a |＝2|b |＝2，且向量a 在向量b 的方向上的投影为－1，求(1)a 与b 的夹角θ；(2)(a －2b )·b .22.（10分）已知a ＝( 3，－1)，b ＝13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．平面向量章末测试题一、选择题 1~6 BCBCDA 7~12 BDACBC提示：1.若a ·b ＝0，表明a ，b 垂直，并不是a ＝0或b ＝0；若a 2＝b 2，表明|a |2＝|b |2，并不是a ＝b 或a ＝－b ；若a ·b ＝a ·c ，则有|a ||b |cos α＝|a ||c |co s β，α，β分别是向量a ，b 和c ，a 的夹角，不只会是b ＝c .故只有B 正确．2 .cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－11·2＝－12.所以〈a ，b 〉＝2π3. 3.由BC →＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点，则PC →＋P A →＝0.4.由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12. 5.因为a ⊥c ，所以a ·c ＝0，又因为a ∥b ，则设b ＝λa ，所以c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.6．AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，向量AB →＝(2,1)在CD →＝(5,5)上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝|AB →|AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A. 7．Δ＝|a |2－4a ·b ＝|a |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2·cos 〈a ，b 〉≥0.所以cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．所以π3≤〈a ，b 〉≤π. 8．由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2，1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以cos θ＝1－2|b |2|b |，因为－1≤cos θ≤1，所以－1≤1－2|b |2|b |≤1，所以12≤|b |≤1. 9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为AC →＋BD →＝BC →＋AD →，所以AC →－AD →＝BC →－BD →，即DC →＝DC →，所以⑤正确．10.因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ＋1＋y －2＝0，整理得x ＋y ＝1，所以x 2＋y 2＝x 2＋(1－x )2＝2x 2－2x＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋12≥12，所以x 2＋y 2的最小值为12. 11．因为(a ＋b )⊥a ，|a |＝1，所以(a ＋b )·a ＝0，所以|a |2＋a ·b ＝0，所以a ·b ＝－1.又因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0.所以2a ·b ＋|b |2＝0.所以|b |2＝2.所以|b |＝2，选B.12.利用排除法可得选项C 是正确的，因为|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实数λ，使得a ＝λb . 选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ；若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．二、填空题 13.5 14.－1 15. 5 16. 6提示：13．因为|a ＋b |＝5 2，所以(a ＋b )2＝50，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝50，又|a |＝5，a ·b ＝10，所以5＋|b |2＋2×10＝50. 解得|b |＝5.14．由题意知a ＋b ＝(1，m －1)，c ＝(－1,2)，由(a ＋b )∥c ，得1×2－(m －1)×(－1)＝m ＋1＝0，所以m ＝－1.15．|b |＝22＋12＝5，由λa ＋b ＝0，得b ＝－λa ，故|b |＝|－λa |＝|λ||a |，所以|λ|＝|b ||a |＝51＝ 5. 16．因为AB →·AC →＝－1，所以|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，所以|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，所以|BC →|min ＝ 6.三、解答题17.解：(1)2AC →＋CB →＝0r ，2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝0r.2OC →－2OA →＋OB →－OC →＝0r ，所以OC →＝2OA →－OB →. (2)如图，DA →＝DO →＋OA →＝－12OB →＋OA →＝12(2OA →－OB →)，故DA →＝12OC →，故四边形OCAD 为梯形．18．(1)证明：AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC →＝OC →－OA →＝－a －2b .所以AC →＝－AB →，又因为A 为公共点，所以A 、B 、C 三点共线．(2)解;AC →＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ，因为A ,C ,D 三点共线，所以AC →与CD →共线．从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －k b )，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43. 19．解：(1)3a ＋b －2c ＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)因为a ＝m b ＋n c ，所以(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)＝(－m ＋4n,2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(3)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)．所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，所以k ＝－1613. 20．解：设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，因为D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线，所以存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，所以x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0.所以－6(x －2)－3(y ＋1)＝0.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1. 所以D (1,1)．|AD →|＝ (1－2)2＋22＝5，21.解：(1)由题意知，|a |＝2，|b |＝1，|a |cos θ＝－1，所以a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－|b |＝－1，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝－12. 由于θ∈[0，π]，所以θ＝2π3即为所求． (2)(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2＝－1－2＝－3.22.解：因为a ＝(3，－1)，b ＝13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以|a |＝ (3)2＋(－1)2＝2，|b |＝ 221322⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1，所以a ·b ＝ 3×12＋(－1)×32＝0，故有a ⊥b . 由x ⊥y ，得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －k t 2＋3k )a ·b ＝0.所以－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0.所以k ＝t 3－3t 4，所以k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74. 故当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74.。

高中数学第二章平面向量章末检测新人教B版必修4

章末检测一、选择题1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( ) A ．(12，32)或(1，3) B ．(32，12)C ．(0,1)D ．(0,1)或(32，12) 答案 D2．若四边形ABCD 满足AD →＝BC →且|AD →|＝|AB →|，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．正方形 D ．菱形答案 D解析 ∵AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又|AD →|＝|AB →|， ∴AD ＝AB ，∴四边形ABCD 为菱形．3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2) 答案 D解析根据力的平衡原理有f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， ∴f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( ) A ．0 B ．2＋ 2 C. 2 D ．2 2 答案 D解析 |a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋AC →|＝|2AC →|＝2|AC →|＝2 2.5．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 答案 B解析令c ＝λa ＋μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝－1，λ－μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b .6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 ∵a ＝(1,1)，b ＝(2,5)， ∴8a －b ＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6,3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.7．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵BA →＝(4，－3)，BC →＝(2，－4)， ∴AC →＝BC →－BA →＝(－2，－1)， ∴CA →·CB →＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C ＝90°，且|CA →|＝5，|CB →|＝25，|CA →|≠|CB →|. ∴△ABC 是直角非等腰三角形．8．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,7) 答案 B解析 ∵AB →＝(3,5)－(1,2)＝(2,3)，平移向量AB →后得A ′B ′→，A ′B ′→＝AB →＝(2,3)． 9．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则①AD →＝－b －12a ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的等式的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析①如图可知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋12CB →＝－CA →－12BC →＝－b －12a ，故①正确．②BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确．③CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋12AB →＝b ＋12(－a －b )＝－12a ＋12b ，故③正确．④AD →＋BE →＋CF →＝－DA →＋BE →＋CF → ＝－(DC →＋CA →)＋BE →＋CF →＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确．10．设0≤θ<2π，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→长度的最大值是( ) A. 2 B. 3 C ．3 2 D ．2 3 答案 C解析 ∵P 1P 2→＝OP 2→－OP 1→＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)， ∴|P 1P 2→|＝2＋sin θ－cos θ2＋2－cos θ－sin θ2＝10－8cos θ≤3 2.二、填空题11．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 答案－1解析 ∵a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，∴a ＋b ＝(1，m －1)． ∵(a ＋b )∥c ，c ＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m －1)＝0. ∴m ＝－1.12．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案 k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.13．已知非零向量a ，b ，若|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为________．答案 6解析由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝2k a 2－12b 2＝2k －12＝0，∴k ＝6. 14.如图所示，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．答案－12解析因为点O 是A ，B 的中点，所以PA →＋PB →＝2PO →，设|PC →|＝x ，则|PO →|＝1－x (0≤x ≤1)．所以(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2x (1－x ) ＝2(x －12)2－12.所以当x ＝12时，(PA →＋PB →)·PC →取到最小值－12.三、解答题15．已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角．解 (1)∵c∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)． (2)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b|a||b |＝－1，又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝180°. 16．已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关； (2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？ (1)证明 ∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点， ∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0. ∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20， ∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10， ∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →) ＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN → ＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100.∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关． (2)解由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100.∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.17．在△ABC 中，AB →·AC →＝0，|AB →|＝12，|BC →|＝15，l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点． (1)求AD →·CB →的值；(2)判断AE →·CB →的值是否为一个常数，并说明理由．解 (1)∵AB →·AC →＝0，∴AB ⊥AC . 又|AB →|＝12，|BC →|＝15，∴|AC →|＝9.由已知可得AD →＝12(AB →＋AC →)，CB →＝AB →－AC →，∴AD →·CB →＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(AB →2－AC →2)＝12(144－81)＝632. (2)AE →·CB →的值为一个常数．理由：∵l 为线段BC 的垂直平分线，l 与BC 交于点D ，E 为l 上异于D 的任意一点，∴DE →·CB →＝0.故AE →·CB →＝(AD →＋DE →)·CB →＝AD →·CB →＋DE →·CB →＝AD →·CB →＝632.18．已知正方形ABCD ，E 、F 分别是CD 、AD 的中点，BE 、CF 交于点P .求证： (1)BE ⊥CF ；(2)AP ＝AB . 证明如图建立直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设AB ＝2，则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，E (1,2)，F (0,1)．(1)BE →＝OE →－OB →＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， CF →＝OF →－OC →＝(0,1)－(2,2) ＝(－2，－1)，∵BE →·CF →＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴BE →⊥CF →，即BE ⊥CF .(2)设P (x ，y )，则FP →＝(x ，y －1)，CF →＝(－2，－1)， ∵FP →∥CF →，∴－x ＝－2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理由BP →∥BE →，得y ＝－2x ＋4，代入x ＝2y －2. 解得x ＝65，∴y ＝85，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85. ∴AP →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＝4＝AB →2，∴|AP →|＝|AB →|，即AP ＝AB .。

章末综合测评(二) 平面向量

章末综合测评(二) 平面向量(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( )A .AB → B .BC → C .CD → D .DA →A [因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.]2．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a |. A ．3 B ．2 C ．1 D ．0D [根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．]3．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝e 1，DC →＝e 2，则OC →＝( ) A .12(e 1＋e 2) B .12(e 1－e 2) C .12(2e 2－e 1)D .12(e 2－e 1)A [因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BC →＝e 1，DC →＝e 2，所以OC →＝12(BC→＋DC →)＝12(e 1＋e 2)．]4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12D [2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，所以10＋2－k ＝0，解得k ＝12.]5．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －bB [CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .]6．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)A [b ＝(3,2)－2(1,2)＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．]7．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3B .32 C .33D . 3D [设|BD →|＝x ，则|BC →|＝3x ，AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝BC →·AD → ＝|BC →|·|AD →|cos ∠ADB ＝3x ·1·1x ＝3.]8．已知平面向量a ＝(x ,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平行分线 C [因为a ＝(x ,1)，b ＝(－x ，x 2)，所以a ＋b ＝(0,1＋x 2)．因为a ＋b 的横坐标为0，纵坐标为1＋x 2＞0，所以a ＋b 平行于y 轴．]9 .已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则( )A .AO →＝2OD →B .AO →＝OD →C .AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →B [因为D 为BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OD →. 所以2OA →＋2OD →＝0，所以OA →＝－OD →，所以AO →＝OD →.]10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B .⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C .⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 D [设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(1＋x ,2＋y )，a ＋b ＝(3，－1)，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧2(2＋y )＋3(x ＋1)＝0，3x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－79，y ＝－73，即c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73.]11．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27ND [由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F 3|2＝|－F 1－F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×12＝28，所以|F 3|＝27 N ．]12．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( )A ．(－9,1)B ．(9，－1)C ．(9,1)D ．(－9，－1)C [设点C 的坐标是(x ，y )，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12－(1，－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9,1)符合要求．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，若c ＝λa ＋μb ，则λ，μ的值分别是________．12，－32 [∵c ＝λa ＋μb ， ∴(－1,2)＝(λ，λ)＋(μ，－μ)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32.]14．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 2 [∵a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ， ∴a ·b ＝0，即－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.]15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 2 [法一：AE →·BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.法二：以A 为原点建立平面直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (1,2)．∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)．从而AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.]16．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．82 [∵a ∥b ，∴2×(－2)－(－1)x ＝0，解得x ＝4， ∴b ＝(4，－2)，∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4， ∴MN →＝(y －x ，x －y )＝(－8,8)， ∴|MN →|＝82.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17．(本小题满分10分)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ， (1)如图①，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ，b 分别表示BF →，DE →. (2)如图②，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ，b 表示AG →.[解] (1)BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋12CD →＝AD →－12AB →＝－12a ＋b . DE →＝DC →＋CE →＝AB →－12AD →＝a －12b . (2)BD →＝AD →－AB →＝b －a .∵O 是BD 的中点，G 是DO 的中点， ∴BG →＝34BD →＝34(b －a )，∴AG →＝AB →＋BG →＝a ＋34(b －a )＝14a ＋34b .18．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.[解] (1)若a ⊥b ，则a·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0. 整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝22＋(－4)2＝25.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解] (1)由题设，知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设，知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.20．(本小题满分12分)设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．[解] 由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2|·|e 1＋t e 2|＜0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＜0.整理得：2t e 21＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＜0.(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°. ∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1 ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7＜0. 解得：－7＜t ＜－12.当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0)．对比系数得⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ7＝λtλ＜0，∴⎩⎨⎧λ＝－14t ＝－142∴所求实数t 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎪⎫－7，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－142，－12. 21．(本小题满分12分)在△ABC 中，已知A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，AD ⊥BC 于点D .(1)求点D 的坐标； (2)求证：AD 2＝BD ·DC . [解] (1)设D 点坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －4)，BC →＝(5,5)， BD →＝(x ＋1，y ＋2)．因为AD ⊥BC ，所以AD →·BC →＝0，即5(x －2)＋5(y －4)＝0.所以x ＋y ＝6.①又因为B ，D ，C 三点共线，所以BD →∥BC →，所以5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0，所以x －y ＝1.② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝52，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，52.(2)证明：因为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，92，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，所以|AD →|2＝94＋94＝92， |BD →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫922＋⎝ ⎛⎭⎪⎫922＝922， |DC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，从而|BD →|·|DC →|＝922×22＝92. 故|AD →|2＝|BD →|·|DC →|，即AD 2＝BD ·DC .22．(本小题满分12分)已知A (－1,0)，B (0,2)，C (－3,1)，AB →·AD →＝5，AD →2＝10.(1)求D 点坐标；(2)若D 点在第二象限，用AB →，AD →表示AC →；(3)若AE →＝(m2)，3AB →＋AC →与AE →垂直，求AE →的坐标．[解] (1)设D (x ，y )，AB →＝(1,2)，AD →＝(x ＋1，y )．由题得⎩⎪⎨⎪⎧AB →·AD →＝x ＋1＋2y ＝5，AD →2＝(x ＋1)2＋y 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，(x ＋1)2＋y 2＝10.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1. ∴D 点坐标为(－2,3)或(2,1)． (2)∵D 点在第二象限， ∴由(1)知D (－2,3)． ∴AD →＝(－1,3)． ∵AC →＝(－2,1)，设AC →＝mAB →＋nAD →，则(－2,1)＝m (1,2)＋n (－1,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝m －n ，1＝2m ＋3n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1. ∴AC →＝－AB →＋AD →.(3)∵3AB →＋AC →＝3(1,2)＋(－2,1)＝(1,7)，AE →＝(m ,2)，(3AB →＋AC →)·AE →＝0， ∴m ＋14＝0，∴m ＝－14.11 ∴AE →＝(－14,2)．。