电场能量与能量密度
-静电场的能量和能量密度
l
-+ - + R1 - + R2 -+
_
_ _ _
++ + _ + + _ + ++ _
_
R2 Eb R2 U max Eb R1 ln 9.10103 V R1 2 e
9 – 5 静电场的能量 能量密度
C, U, q, E 的变化。 （ 1 ） 充电后切断电源 （2）充电后不切断电源
9 – 静电场的能量 5 静电场的能量 能量密度 第九章静电场中的导体和电介质 例9-9 求半径为R 带电量为Q 的均匀带电球的静电能。 解一：计算定域在电场中的能量 球内 r 处电场
Qr E ， 3 4 0 R (r R)
1 2 0 R Qr 2 4r dr W 0 E dV 0 3 2 2 4 0 R
第九章静电场中的导体和电介质
例 1.平行板电容器，其间充满介质 r , 求下列情况充入介质前后的
A
K 300V
E0
d
B
r
U Ed U0
（1）q不变 解 : 提示： （1）q不变
（2）U不变
C r C0 E
r
U （2）U不变 C r C0 E 不变 q CU r CU d S U 基本公式： C E d d q C C r C0 U
Q2 We 8π R1
（孤立导体球贮存的能量）
9 – 5 静电场的能量 能量密度
第九章静电场中的导体和电介质
例2 如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击 2 6 -1 穿场强是 Eb 310 V m，电容器外半径 R2 10 m. 在空气不被击穿的情况下，内半径 R1 ? 可使电容器 存储能量最多. （ 空气 r 1 ）43; ++ _
能量密度计算公式
能量密度计算公式
能量密度是指单位体积内所含有的能量，通常用J/m³表示。
能量密度计算公式可以根据不同情况而有所不同，下面以几种常见情况为例进行介绍。
1. 电场能量密度
电场能量密度是指电场中单位体积内所含有的能量。
对于电场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε * E²
其中，ε代表电场介质的介电常数，E代表电场强度。
2. 磁场能量密度
磁场能量密度是指磁场中单位体积内所含有的能量。
对于磁场能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * μ * H²
其中，μ代表磁场介质的磁导率，H代表磁场强度。
3. 光能量密度
光能量密度是指光波中单位体积内所含有的能量。
对于光能量密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ε₀ * c * E²
其中，ε₀代表真空中的介电常数，c代表光速，E代表电场强度。
4. 动能密度
动能密度是指物体运动所具有的能量。
对于动能密度的计算公式，可以使用以下公式：
能量密度= 0.5 * ρ * v²
其中，ρ代表物体的密度，v代表物体的速度。
以上是几种常见情况下能量密度的计算公式。
通过这些公式，我们可以计算出不同场景下单位体积内所含有的能量。
能量密度的计算对于各个领域的研究和实践都具有重要意义，同时也有助于我们更好地理解和应用能量这一重要概念。
电场能量密度公式
电场能量密度公式
电场能量密度是指一个电场中每单位体积所存在的电能量的大小。
电场能量密度的表达式为：U = 1/2 ρE2，它的单位是电子伏特的平方，其中ρ是电荷密度，E是电场强度。
电场能量密度可以用来计算在一定体积中有多少电能量。
例如，如果电场强度为5伏/厘米，电荷密度为5伏/厘米，则电场能量密度为25电子伏特的平方。
这意味着，在1立方厘米的体积中存在25电子伏特的电能量。
电场能量密度的另一个用途是计算电容器的工作能量。
电容器的电容量C可以用电容器的电场能量密度U来计算：U = 1/2Cv2，其中v是电压。
如果电容器的电压为5伏，那么电容器的工作能量就是25伏特的平方，也就是1/2Cv2。
电场能量密度不仅可以用来计算电能量和电容器的工作能量，还可以用来计算电磁场的能量。
如果电磁场的电场强度为E，磁场强度为H，则电磁场的能量密度可以表示为U = 1/2(E2 + H2)。
电场能量密度的量纲是电子伏特的平方，它可以用来计算一定体积中的电能量、电容器的工作能量和电磁场的能量。
因此，电场能量密度是电力学中非常重要的概念，在电子设备和电力系统的设计中都被广泛使用。
4 静电场的能量和能量密度
1 1 2 电场能量密度 w e = ε E = ED 2 2
电场空间所存储的能量
We =
∫
V
we d V =
∫
V
1 2 εE dV 2
静电场的能量 能量密度
静电场中的导体和电介质
如图所示,球形电容器的内、 例1 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R1 和 R2，所带电荷为 ± Q ．若在两球壳间充以电容率为 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？ 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
静电场中的导体和电介质
Q C= U
Q 2C
2
1 1 2 W = QU = CU 2 2
Q2 1 1 电容器贮存的电能 We = = QU = CU 2 2C 2 2
静电场的能量 能量密度 二 静电场的能量 能量密度
静电场中的导体和电介质
1 2 1 εS 1 2 2 ( Ed ) = ε E Sd We = CU = 2 2 d 2
静电场的能量 能量密度 一
静电场中的导体和电介质
电容器的能量 K 1 能量存储的证明 充电 能量转换
U
C
L
放电
2存储的能量值 存储的能量值
− − −
+ dq ++ +
q dW = U dq = dq C 2 Q 1 Q W = ∫0 q d q = 2 C C
静电场的能量 能量密度 电容器存储能量为
ε
v 1 Qv 解 E= e 2 r 4π ε r 2 1 Q 2 we = εE = 2 4 2 32 π ε r
2
R 1drຫໍສະໝຸດ Q d W e = we d V = dr 2 R 2 8π εr 2 2 R 2 dr Q Q 1 1 We = ∫ dWe = ∫R 1 r 2 = 8 π ε ( R1 − R 2 ) 8π ε
平均磁场能量密度()平均电场能量密度。
平均磁场能量密度（）平均电场能量密度。
平均磁场能量密度（H）平均电场能量密度（E）在电磁学中，磁场能量密度和电场能量密度是描述电磁场能量分布的重要参数。
平均磁场能量密度（H）和平均电场能量密度（E）是两个关键概念，用于解释电磁场的能量特性。
首先，我们来讨论平均磁场能量密度（H）。
磁场能量密度指的是磁场中单位体积的能量。
磁场能量密度与磁场强度（H）的平方成正比。
在一个恒定的磁场中，磁场能量密度可以通过求解磁场强度的平方并乘以一个常数来计算。
平均磁场能量密度表示一个时间段内磁场能量密度的平均值。
接下来，我们来探讨平均电场能量密度（E）。
电场能量密度指的是电场中单位体积的能量。
电场能量密度与电场强度（E）的平方成正比。
在一个恒定的电场中，电场能量密度可以通过求解电场强度的平方并乘以一个常数来计算。
平均电场能量密度表示一个时间段内电场能量密度的平均值。
平均磁场能量密度（H）和平均电场能量密度（E）在电磁学中扮演着重要的角色。
它们的计算可以帮助我们了解电磁场的能量分布情况，并为电磁场的应用提供理论基础。
同时，在电磁波的传播中，平均磁场能量密度（H）和平均电场能量密度（E）的比值也决定了电磁波的传播速度和传播性质。
总结而言，平均磁场能量密度（H）和平均电场能量密度（E）是描述电磁场能量分布的重要参数。
它们的计算可以帮助我们了解电磁场的能量特性，并为电磁场的应用提供理论基础。
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同时，文章的结构应当清晰，段落完整，使得读者能够流畅地理解和阅读。
物理电场公式大全
物理电场公式大全电场是物理学中的一个重要概念，它描述了电荷之间相互作用的力场。
在现代科学和工程中，电场理论被广泛应用于各种领域，包括电子学、电力系统、通讯工程等。
本文将为您详细介绍物理电场的相关公式，帮助您更好地理解和应用电场理论。
1. 电场强度公式。
电场强度描述了单位正电荷在电场中所受到的力。
在真空中，电场强度E与电荷Q之间的关系可以用以下公式表示：E = k Q / r^2。
其中，E为电场强度，k为电场常数（8.9910^9 N·m^2/C^2），Q为电荷量，r 为距离。
2. 电场能量密度公式。
电场能量密度表示单位体积内的电场能量。
在电场强度为E的情况下，电场能量密度u可以用以下公式表示：u = 0.5 ε E^2。
其中，ε为介质的介电常数。
3. 静电势能公式。
静电势能表示电荷在电场中由于位置而具有的能量。
当电荷Q在电场中移动时，它的静电势能U可以用以下公式表示：U = k (Q1 Q2) / r。
其中，U为静电势能，Q1和Q2分别为两个电荷的大小，r为它们之间的距离。
4. 电场中的电势公式。
电势描述了单位正电荷在电场中所具有的势能。
在电场强度为E的情况下，电势V可以用以下公式表示：V = k Q / r。
其中，V为电势，其他符号的含义同上。
5. 电场中的电势能公式。
电场中的电势能可以用电势和电荷量来表示。
在电势为V的情况下，电场中的电势能可以用以下公式表示：U = Q V。
以上是物理电场中常见的几个重要公式，它们描述了电场强度、能量密度、势能、电势等重要物理量之间的关系。
通过这些公式，我们可以更好地理解电场的特性，并在实际应用中进行计算和分析。
在工程技术领域，电场理论被广泛应用于电力系统的设计与分析、电子电路的研究与开发、电磁场的模拟与优化等方面。
掌握电场公式，对于工程技术人员来说是非常重要的，它可以帮助他们更好地理解和应用电场理论，提高工作效率和解决问题的能力。
总之，物理电场公式是电场理论的重要组成部分，它们描述了电荷之间相互作用的规律，是现代科学和工程技术中不可或缺的重要知识。
6-5 静电场的能量和能量密度
R r
Q
12
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
1 1 1 2 2 We = ∫ ( DE )dV = ∫ ε0 E1 dV + ∫ ε0 E2 dV V 2 V1 2 V2 2 2 2 R1 ∞1 Qr Q 2 4πr dr + ∫ ε0 4πr 2 dr = ∫ ε0 3 R 2 4 πε r 2 0 2 0 4πε0 R
B
17
物理学
第五版
总结：电容器 电容 总结：
电容器的电容
6-5 静电场的能量和能量密度
C = q −U
U
A
B
三种常见的电容器 平行板电容器 圆柱形电容器的电容 球形电容器的电容 电容器的能量
C =
C
q U AB
=
=
ε0S
d
0
2 πε ln R R
l
2 1
4πε 0 R B R A C = (R B − R A )
dr
r
R2
R1
Q
-Q
4
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
2 2
1 1 1 Q Q ( − )= 讨 论 We = 8 π ε R1 R 2 2 4πε R1 R 2 R 2 − R1 （1） C = 4 π ε R2 R1 ） R2 − R1 dr 球形电容器） （球形电容器） r R1 Q2 We = R2 2 2 C Q （2） R2 → ∞ W e = ） 8 π εR 1
_
6
物理学
第五版
6-5 静电场的能量和能量密度
解 E=
Eb =
U =
电场能量密度等于磁场能量密度,是均匀平面波在()中的传播特点。
电场能量密度等于磁场能量密度,是均匀平面波在( )中的传播特点
电场能量密度等于磁场能量密度,是均匀平面波在理想介质中的传播特点。
电场能量密度和磁场能量密度是两个不同的物理量，它们分别描述电场和磁场中能量的分布情况。
在某些特定的情况下，例如均匀介质中，电场能量密度可以等于磁场能量密度。
但是，这种情况并不是普遍适用的，因为电场和磁场的能量分布受到多种因素的影响，如介质的性质、波的传播方向、波的振幅等。
在均匀平面波中，电场和磁场的方向是固定的，且与波的传播方向垂直。
在这种情况下，如果介质的性质和波的参数（如振幅、频率等）保持不变，那么电场能量密度和磁场能量密度也可以保持相等。
但是，如果介质的性质或波的参数发生变化，那么电场能量密度和磁场能量密度也会随之改变。
总的来说，电场能量密度等于磁场能量密度并不是均匀平面波在理想介质中的传播特点。
在实际应用中，需要根据具体情况考虑多种因素，如介质的性质、波的传播方向、波的振幅等，才能得出准确的结论。
对于不同类型的波（如电磁波、声波等），其传播特点也会有所不同，因此需要具体问
题具体分析。
电场的能量能量密度
电场的能量能量密度
电能分布与电场中，最好能将电能的公式通过描述电场的特征量——场强E表示出来。
我们可以通过平行板电容器的特例来说明：
电容器的储能公式为：
式中Q0为极板上的自由电荷，它与电位移的关系是：
S是极板面积；U是电压，它与场强的关系是U=Ed（d 是极板间距）
代入上式得：
V=Sd是极板间电场所占空间的体积。
在单位体积内有电能
We=we/V，这个量叫做电能密度。
根据上式：在真空中ε=1，则:这里场能密度的表达式虽然是通过平行板电容器中均匀电场的特例推导出来的，但它们却是普遍成立的。
因为能量是物质的状态特性之一，所以它是不能和物质分割开的。
电场具有能量，这就证明电场也是一种物质。
当电场不均匀时，总电能We应是电能密度we的体积分：在真空中，上式可化为:。
电场的能量电势能和电场的能量密度
电场的能量电势能和电场的能量密度电场的能量：电势能和电场的能量密度电场是物理学中重要的一个概念，它存在于许多现象和实际应用中。
在电场中，电荷之间会发生相互作用，电场的能量是其中一个重要的性质。
本文将介绍电场的能量的两个方面：电势能和电场的能量密度。
一、电势能在电场中，电荷受到电场力的作用，会发生位移。
电场力对电荷所做的功被存储为电势能。
对于一个点电荷，其电势能可以表示为：E_p = qV其中，E_p是电势能，q是电荷，V是该点的电势。
电势能的单位是焦耳（J）。
对于一组离散的点电荷系统，总电势能可以通过求和每个电荷的电势能来得到。
而对于连续分布的电荷，总电势能可以用积分来表示。
二、电场的能量密度除了电势能，电场的能量还可以通过能量密度来描述。
电场的能量密度表示单位体积内所含有的电场能量量。
在电场中，电场能量密度（u）可以表示为：u = 0.5εE^2其中，ε是真空中的介电常数（ε ≈ 8.85 x 10^-12 C^2/N·m^2），E是电场强度。
电场能量密度的单位是焦耳每立方米（J/m^3）。
电场能量密度可以用于描述电场的能量分布和变化。
在不同区域的电场能量密度不同，强电场区域的电场能量密度较高，而弱电场区域的电场能量密度较低。
电场能量密度与电场强度的平方成正比，因此在较强的电场中，电场的能量密度会更高。
例如电容器中充满电荷的极板之间的电场能量密度较大。
总结：电场的能量包括电势能和电场的能量密度。
电势能是电荷在电场中由于相互作用而具有的能量，可以根据电势和电荷的关系进行计算。
电场的能量密度则表示电场能量在单位体积内的分布情况，与电场强度的平方成正比。
通过了解和研究电场的能量，我们可以深入理解电场的性质和应用。
2.4 电场的能量和能量密度
8e2 3a
)
2.4.1 带电体系的静电能
第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 a ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到
中心的距离都是 2a；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 3a 。式中
的“…”代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对W互 的 贡
故六个面上十二对面对角顶点负电荷之间的相互作用能为
12e2 40 2b；体对角线的长度为 3b ，故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为 荷4e之2 间4的0相3互b 作；用立能方是体中8(心2e到2)每4个顶0( 点3b的/ 2距) 离。是归纳3起b /来2 ，，这故个中点心电正荷电组荷的与总八相个互顶作点用负能电
然后再把 q2由无穷远处搬来，放在与 q1 相距r12 远的地方 P2 。也可以反过来，先固定 q2，再 搬运 q1。无论怎样，计算的结果应当相同。
现在我们采用上述第一种方式。在搬运 q1 时体系中还没有其它r电荷和r 电场，因而不需
作功。搬运 q2时，它已经处在q1 的电场 E1 中，因而需抵抗电场力F12 q2E1作功：
全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无
限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规
定，处于这种状态下的静电能为0。现有的带电体系的静电能 We 是相对于这种初始状态而 言的。亦即，We 等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的 全部功 A。
用通用式来表达，则有
其中
i 1
Ai qi U ji
i 1, 2,, n
j 1
U ji U j
普通物理学 电场能量与能量密度
7-7 电场能量与能量密度一、4个重要基本公式①电介质下的电容C与真空下的电容C0的关系:C=C0εr②电场能量W e=12QU=12CU²③能量密度w e=12εE²=12DE④能量密度与电场能量的关系W e=w eVdV(V是电场体积，如果是平面采用二重积分)二、真空环境下与有介质环境下的各物理量间的关系引入：如图所示，已知真空下平行板电容器σ0，E0,U0,D0,C0,W e0,平行板电容器两板间距为d，求下面两种情况下电容器插入相对电容率为εr的σ，E,U,D,C,W e①充电后断开电源②充电后保持两板的电压不变①E=E0εr σ=Eε=E0εεr=E0ε0=σ0U=Ed=E0dεr=U0εrD=Eε=E0εrε0εr =E0ε0=σ0C=εr C0W e=12CU²=12εr C0(U0εr)²=W e0εr②保持电压不变，则：U=U0E=U0d =Ud=E0D= Eε=E0ε0εr=σ0εrσ=Eε=D=σ0εrC=εr C0W e=εr W e0小结：1、电容器的电容与电压大小无关，只和电介质相对电容率有关2、平行板电容器由于电荷增加而增加的能量，大于插入介质损失的能量，所以电场能量增加拓展：1、电位移矢量沿任何一个闭合曲面的通量为0，表明曲面内自由电荷代数和为0（D与E方向一致）2、介质中的电位移矢量和自由电荷与极化电荷的分布有关3、在自由电荷分布不发生变化时，含电介质的电容器电容一定是真空状态下的1ε0三、两个重要模型1、带电球壳电容器模型模型简述：如图所示,球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2,所带电荷为±Q .若在两球壳间充以电容率为ε的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？解：根据笔记7-1，得到r 处的电场强度大小为E=Q4πεr能量密度w e =12× Q4πεr 2×ε=Q 232π2εr 那么根据第一幕的公式4，得到W e = w e V dV = dW e =Q 28πε drr ²R 2R 1=Q 28πε(1R 1−1R 2)回到笔记7-5的孤立导体，R 2趋近于无穷大，得到W e =Q 28πε1R 1是孤立导体的电场能量2、带电圆柱电容器模型模型简述：如图圆柱形电容器，中间是空气，空气的击穿场强是E b ，电容器外半径R 2.在空气不被击穿的情况下，内半径R 1为多少，可使电容器存储能量最多？解：根据7-3笔记得到任意圆柱面r 的电场强度是E=λ2πε0r带入击穿场强有λmax =E b 2πε0R 1 求出电容器电压U= λ2πε0r dr R 2R 1=λ2πε0ln R2R1根据能量公式得到W e =λl 2λ2πε0ln R 2R 1=λ²l 4πε0ln R 2R 1带入λmax =E b 2πε0R 1 得到：W e =πε0E b ²R 1²lnR 2R 1求导求出R 1取得的值使得W e 最大。
电场的能量
转化为其它能量形式储存在电源中，又将部分电荷送回电源中。
7
例8－21 求均匀带电球体的电场能量。球的半径为R，带电量
为q，球内电介质的相对介电常数为 r 、球外为真空。
解：由高斯定理可求得
E1
qr
4 0r
R3
(r R)
E2
q
4 0r2
(r R)
因场有球对称性，故取体积元为
++ + ++
+ E1 +
10
DE
★ 若介质各向异性或非均匀极化，则
1 we 2 D E
3、 由电场能量密度求电场能
W
V
w dV e
Ｖ是场强不为零的空间。
5
例8－20 一平行板电容器，极板面积为S，间距为d，接在电 源上以保持电压为V。若将极板的距离拉开一倍，试计算 （１）静电能的改变； （２）电场对电源作的功； （３）外力对极板作的功。
以后我们将看到，随时间迅速变化的电场和磁场将以电磁波 的形式在空间传播，电场可以脱离电荷而传播到很远的地方去。 实际上，电磁波携带能量已经是人所共知的事实。
总之，大量事实证明，能量确实是定域在电场中的。
3
1、 用场强表示静电能
以平行板电容器为例
C 0 r s
d
U Ed
W
1 CU 2 1 0 r s (Ed)2
2
2d
1 2
0 r
E2
sd
式中 sd 表示平行板电容器两极板间的体积。如果忽略边 缘效应，其也就是带电平行板间电场所占据的空间，这说明
静电能确实是分布于整个电场的。
2、 电场能量密度
we
dW dV
大学物理7.17 静电场的能量
存的静电能W
We
Q2 2C
CU 2 QU 22
Q2
A
0
dq C
2C
Q CU
任何电容器的能量式
2015/2/5
DUT 常葆荣
1
二、电场能量和能量密度
由电容器中的能量得
We
QU 2
U Ed
Q S
E
Sd V
We
2
E 2V
we
E2 2
能量密度
各向同性介质
We
E2
dV 非均匀电场 V2
2015/2/5
DUT 常葆荣
3
例题：求电量为Q 、半径为R的均匀带电球面的静电能。
解：
W
eE
2
E
2V
0 Q
r
We
R V
E 2
2
dV
40 r 2 (r R)
R
取半径为r，厚度为dr的球壳，球壳的体积为dV=4r2dr
体积dV内的静电能为
dWe
wedV
1 2
0
E
2
4
r
2dr
We
1
2
0
E
2
dV
R
1
2
0
(
Q2
4 0
r
2
)2
4
r
2
d
r
Q2
8 0 R
均匀带电导体球的静电能？
2015/2/5
电场的能量与能量密度
电场具有方向和大小，是一个矢量场。
03
电场对电荷的作用力遵循库仑定律。
电场强度与电势差
电场强度是描述电场强弱的物理量，用E表示， 单位是牛/库仑（N/C）。
电势差是指电场中两点间的电势之差，用U表 示，单位是伏特（V）。
电场强度和电势差之间存在微分关系：E = grad(U)。
电场线及等势面
03
能量密度概念
能量密度定义
能量密度是指单位体积内的能量储存 量，用于描述电Байду номын сангаас、磁场等物理场中 的能量分布情况。
在电场中，能量密度表示电场能量的 空间分布情况，即单位体积内电场能 量的多少。
能量密度与电场关系
电场强度与能量密度成正比关系。电场强度越大，能量密度 也越大。
电场中的能量密度与电场的分布、电荷的分布以及电场的边 界条件等因素密切相关。
电场的能量与能量密 度
汇报人：XX 2024-01-20
目录
• 电场基本概念 • 电场能量 • 能量密度概念 • 电场能量与能量密度关系 • 不同类型电场中能量与能量密度表现 • 实际应用举例
01
电场基本概念
电场定义及性质
01
电场是存在于电荷周围的一种特殊物质，它对放入 其中的电荷产生力的作用。
高压输电线路周围环境影响评估
电场强度分布
高压输电线路周围存在强电场，其强度随距离的增加而迅 速减小。评估时需测量不同距离处的电场强度，以了解空 间分布情况。
对人体的影响
强电场可能对人体产生生理效应，如引发头痛、失眠等症 状。评估时需考虑电场对人体健康的影响，并制定相应的 防护措施。
对周围环境的影响
高压输电线路周围的强电场可能对周边设备、建筑物等产 生干扰或损坏。评估时需综合考虑电场对周围环境的影响 ，以确保输电线路的安全运行。
用电力线管推导电场能量及电场能量密度
Ｗ ＝ ｑ ｏ ｌ
Ｅ ・ ＝ ｑ ０ ｕ
（） １
式 中 ｕ 静 电 场 中 点 的势 能 。 ０的 电 势 是 ｑ
・
收 穑 日期 ： ０ ２ ２ ８ ２ ０ —０ —２
２９
维普资讯
第 １ 第 ３期 ５卷
２０ ０ ２年 ６月
１ 静 电 学 中的 能量 １ １电势 能 、 互 作 用 能 ． 相
个孤 立 的带 电体其 静 电能 称 为 自能或
固有 能 。 做 功 的方 法 来 定 义 ｌ ， 物 体 带 用 ｌ 设 ］ 电量 为 Ｑ 时 ， 电势 为 ｕ， 带 电 体 整 个 荷 其 则 电过 程 中 ， 界 反 抗 电 场力 所 做 的 功 转 化 为 外 该 带 电体 的静 电 自能 ｗ ， 写成
摘 － 要 ： 力 线是 描 述 电场 分 布 的 形 象 工 具 ， 力 线 所 到 达 的 空 间 都 存 在 电 场 ， 电 电 而静 电 场 的 能 量 定域 在 静 电 场 中 ， 电 力 线 所 到 达 的 空 间 。 据 此 ， 文 介 绍 一 种 用 电 力 线 管 即 本
西 方 法 染 导 出静 电 场 能 量 及 电场 能 量 密 度 的方 法 。
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ３ Ｉ１ ．
Ｊ ｎ ０ ２ ｕ ｅ２ ０
支章 缔 号 ： ０ ６ ３ ３ ２ ０ ） ３ ０ ９ ０ ） ３ １ ０ —７ ｆ ｆ ０ ２ ０ —０ ２ （ ９ 一０
用 电力 线 管 推 导 电场 能 量 及 电场 能 量 密 度
王 国 强
（ 阳师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 郧 湖北丹 江 口 ４２０ ） ４ ７ ０
高 等 函授 学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉｈ ｒ ｏ ｒ ｐ ｎ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒ ａ ｏ ｇ ｅ Ｃ ｒ ｓ ｏ ｄ ｎ ｅＥ ｕａ ｏ （ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ Ｈ ｅ ｉ ｅ ｓ
电场的能量 能量密度 东北大学 大学物理
1 2
E
2V体
We
Q2 2C
1 QU 2
1 CU 2 2
6/15
※ 电场能量密度 ——单位体积内的电能
we
We V体
1 E2
2
1 2
ED
1 we 2 D E
（适用于所有电场）
一般电场所存储的能量:
dWe wedV体
--Qq(t)
S-
B-
d
++Qq(t)
S + + + + +A
We
使物体带电：外界 其他形式能量转变 为带电体系的电能。
2/15
※ 带电体系静电能（电场能）的计算
一带电系统，带电 qi 电势 Vi ,再从∞处将 qi 移到该
系统，外力作功： Ai Viqi Wi
分成 N 步，外力作的总功:
A Ai Viqi W 全部变成系统储藏的能量
若带电体连续分布：
0
Q 0
qdq
4 0R
Q2
8 0R
讨论：保持Q不变，当R增大到2R时，静电能变为We / 2 ；可 见，静电能减小了，说明电场力作了正功，即帮助汽泡增大；
从受力情况看，肥皂泡上每个电荷元都受到其他电荷的电场
力作用，力的方向沿半径向外，半径增大时，电场力作正功，
静电能减小。
12/15
例题4： 两个相同的空气电容器，其电容都是0.90×10-9F ， 都充电到电压各为900V后断开电源，把其中之一浸入煤油
1 2 W2
1.8225104 J
W 1.8225104 J
13/15
(2) 并联后总电容 C C2 C1 3C1 最初两个电容器所带总电量为2q, 原先每个电容器能量为
电场能量的密度
电场能量的密度
电场能量密度是指电场中每单位体积的能量。
它是电场中电荷的能量的浓度，可以用来衡量电场的强度。
电场能量密度是电磁场中的一个重要参数，它可以用来衡量电磁场的强度。
电场能量密度的大小取决于电场中电荷的数量和分布。
如果电荷的数量增加，电场能量密度也会增加；如果电荷的数量减少，电场能量密度也会降低。
此外，电场能量密度也受到电荷的分布形式的影响。
如果电荷分布均匀，电场能量密度会比电荷分布不均匀时要大。
电场能量密度的大小可以用电场强度来衡量。
电场强度是指电场中每单位面积的电荷数量。
电场强度越大，电场能量密度也就越大。
电场能量密度的大小可以用来衡量电磁场的强度，也可以用来研究电磁场的特性。
例如，电场能量密度可以用来研究电磁波的传播特性，以及电磁波在物体表面的反射特性。
电场能量密度也可以用来研究电磁场的作用力。
电磁场中的电荷会受到电场能量密度的影响，从而产生电磁力。
电磁力可以用来研究电磁场的作用力，以及电磁场对物体的影响。
电场能量密度是电磁场中的一个重要参数，它可以用来衡量电磁场的强度，也可以用来研究电磁场的特性和作用力。
因此，电场能量密度是研究电磁场的重要参数，也是研究电磁场的重要工具。
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1 1 We E DdV D ndS 2 V 2 S'
第二章 静 电 场 式中V已经扩展到无穷大，故S′在无穷远处。对于分布在有限区域 的电荷，φ∝1/R，D∝1/R2, S′∝R2, 因此当R→∞时，上式中的面积 分为零，于是
1 We E DdV 2 V
第二章 静 电 场
2.8.2 能量密度
图 2 -15 能量密度
第二章 静 电 场
1 1 We dV SdS 2 V 2 S
将▽· D=ρ和D· n=ρS代入上式，有
1 1 We DdV D ndS 2 V 2 S
利用矢量恒等式
D (D) D (D) E D
第二章 静 电 场
2.8 电场能量与能量密度
2.8.1 电场能量
设每个带电体的最终电位为φ1、φ2、…、φn，最终电荷为q1、
q2 、… 、 qn 。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系
统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带 电体的电量均是各自终值的 α 倍 (α<1) ，即带电量为 αqi ，电位为 αφi，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(αqi)，外源对它所作 的功为αφid (αqi)。外源对n个带电体作功为
b
2
第二章 静 电 场
1 We S ( r ) ( r )dS S 2 1 We l ( r ) ( r )dl l2
We
i 1 n n
1 pij qi q j j 1 2 1 ij i j j 1 2
n
n
We
i 1
2 1 1 q We qU CU 2 2 2 2C
1 We 0 E 2dV 2 V 1 q 0 2 4 0 3q 2 20 0a
2
a r 2 1 2 2 0 3 4r dr a 4 4r dr r a
第二章 静 Hale Waihona Puke 场第二章 静 电 场 则
1 1 1 DdV (D )dV E DdV 2 V 2 V 2 V 1 1 D dS E DdV 2 S S ' 2 V 1 1 1 D ndS D n ' dS E DdV 2 S' 2 S 2 V
dA qi i ada
i 1
n
第二章 静 电 场 因而，电场能量的增量为
dWe qi i ada
i 1
n
在整个过程中，电场的储能为
We dWe qii
i 1
n
1
0
1 n ada qii 2 i 1
We
V
1 ( r ) ( r )dV 2
例2-14 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，
之间填充介电常数为 ε的介质，当内、外导体间的电压为U(外导 体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。 解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为 ρl， 则导体间的电场强度为
l E er ( a r b) 2r
we E D
对于各向同性介质：
1 2 we E 2
第二章 静 电 场 例2-13 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电 场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
qr E er 3 4 0a E er q 4 0 r
3
(r<a)
(r<a)
第二章 静 电 场 所以
两导体间的电压为
l b U 1n 2 a
第二章 静 电 场 即
2U l b 1n a l b E er 1n 2 a
2
( a r b)
单位长度的电场能量为
1 U U 2 We E dV 2rdr a b 2 2 2 b 2r 1n 1n a a