电场能量与能量密度

第二章 静 电 场
2.8.2 能量密度
图 2 -15 能量密度
第二章 静 电 场
1 1 We dV SdS 2 V 2 S
将▽· D=ρ和D· n=ρS代入上式，有
1 1 We DdV D ndS 2 V 2 S
利用矢量恒等式
D (D) D (D) E D
1 We 0 E 2dV 2 V 1 q 0 2 4 0 3q 2 20 0a
2
a r 2 1 2 2 0 3 4r dr a 4 4r dr r a
第二章 静 电 场
例2-14 若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，
之间填充介电常数为 ε的介质，当内、外导体间的电压为U(外导 体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。 解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为 ρl， 则导体间的电场强度为
l E er ( a r b) 2r
dA qi i ada
i 1
n
第二章 静 电 场 因而，电场能量的增量为
dWe qi i ada
i 1
n
在整个过程中，电场的储能为
We dWe qii
i 1
n
1
0Baidu Nhomakorabea
1 n ada qii 2 i 1
We
V
1 ( r ) ( r )dV 2
并且注意在导体表面S上n=-n′，得
1 1 We E DdV D ndS 2 V 2 S'
第二章 静 电 场 式中V已经扩展到无穷大，故S′在无穷远处。对于分布在有限区域 的电荷，φ∝1/R，D∝1/R2, S′∝R2, 因此当R→∞时，上式中的面积 分为零，于是
1 We E DdV 2 V
we E D
对于各向同性介质：
1 2 we E 2
第二章 静 电 场 例2-13 若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电 场能量。
解： 用高斯定理可以得到电场为
qr E er 3 4 0a E er q 4 0 r
3
(r<a)
(r<a)
第二章 静 电 场 所以
b
2
两导体间的电压为
l b U 1n 2 a
第二章 静 电 场 即
2U l b 1n a l b E er 1n 2 a
2
( a r b)
单位长度的电场能量为
1 U U 2 We E dV 2rdr a b 2 2 2 b 2r 1n 1n a a
第二章 静 电 场
1 We S ( r ) ( r )dS S 2 1 We l ( r ) ( r )dl l2
We
i 1 n n
1 pij qi q j j 1 2 1 ij i j j 1 2
n
n
We
i 1
2 1 1 q We qU CU 2 2 2 2C
第二章 静 电 场
2.8 电场能量与能量密度
2.8.1 电场能量
设每个带电体的最终电位为φ1、φ2、…、φn，最终电荷为q1、
q2 、… 、 qn 。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系
统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带 电体的电量均是各自终值的 α 倍 (α<1) ，即带电量为 αqi ，电位为 αφi，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(αqi)，外源对它所作 的功为αφid (αqi)。外源对n个带电体作功为
第二章 静 电 场 则
1 1 1 DdV (D )dV E DdV 2 V 2 V 2 V 1 1 D dS E DdV 2 S S ' 2 V 1 1 1 D ndS D n ' dS E DdV 2 S' 2 S 2 V