《用向量法求异面直线所成的角》教案
《用向量法求异面直线所成的角》教案
《用向量法求异面直线所成的角》教案第一章：异面直线的定义与性质1.1 异面直线的定义介绍异面直线的概念，理解异面直线不共面的性质。
通过图示和实例，让学生理解异面直线在不同空间中的位置关系。
1.2 异面直线的性质探讨异面直线间的距离和角度，了解它们的性质。
利用向量工具，展示异面直线所成的角的计算方法。
第二章：向量法的基本概念2.1 向量的定义与运算复习向量的基本概念，包括向量的表示、加法、减法和数乘。
通过实例，让学生熟悉向量的运算规则。
2.2 向量的坐标表示引入向量的坐标表示方法，讲解坐标与向量之间的关系。
利用坐标系，展示向量的几何图形和运算。
第三章：向量法求异面直线所成的角3.1 向量法求角的原理介绍向量法求异面直线所成的角的原理和步骤。
解释向量法在求解异面直线所成角中的应用和意义。
3.2 向量法求异面直线所成的角的计算步骤讲解具体的计算步骤，包括选取基底向量、构造坐标系、计算夹角等。
通过实例，让学生逐步掌握向量法求解异面直线所成角的技巧。
第四章：练习与深化理解4.1 练习题目提供一些有关异面直线所成角的练习题目，让学生运用向量法进行计算。
包括不同难度级别的题目，以挑战学生的理解和应用能力。
4.2 深化理解通过解答学生提出的问题，帮助学生解决理解上的困惑。
引导学生思考异面直线所成角的应用领域和实际意义。
强调异面直线所成角的概念和性质的重要性。
5.2 提高解题能力提供一些高难度的练习题目，挑战学生的解题能力。
引导学生运用所学知识，解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：空间向量与异面直线所成角的实例分析6.1 实例一：简单异面直线所成角的求解通过具体的三维图形，演示如何选择合适的基底向量，并计算异面直线所成的角。
强调在选择基底向量时，应尽量使得计算过程简化。
6.2 实例二：复杂异面直线所成角的求解分析更具挑战性的异面直线组合，展示如何利用向量法求解它们所成的角。
引导学生注意在处理复杂问题时，应先简化问题，再应用向量法。
《用向量法求直线与平面所成的角》教案
《用向量法求直线与平面所成的角》教案一、教学目标1. 让学生掌握向量法求直线与平面所成的角的基本概念和原理。
2. 培养学生运用向量法解决直线与平面所成角的能力。
3. 提高学生对空间几何向量知识的运用和解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与平面所成的角的定义。
2. 向量法求直线与平面所成的角的原理。
3. 向量法求直线与平面所成的角的步骤。
4. 实例分析：求直线与平面所成的角。
三、教学重点与难点1. 教学重点：直线与平面所成的角的定义，向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 教学难点：向量法求直线与平面所成的角的步骤和实例分析。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实例，让学生更好地理解向量法求直线与平面所成的角的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生提问、讨论，提高学生对知识点的理解和运用能力。
五、教学准备1. 教学课件：制作相关的教学课件，包括直线与平面所成的角的定义、向量法求直线与平面所成的角的原理和步骤等内容。
2. 实例：准备一些直线与平面所成的角的实例，用于讲解和分析。
3. 教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具，以便进行板书和讲解。
六、教学过程1. 导入：通过复习前期学习的直线与平面基础知识，引导学生进入本节课的主题——用向量法求直线与平面所成的角。
2. 讲解直线与平面所成的角的定义，解释其意义。
3. 讲解向量法求直线与平面所成的角的原理，阐述其适用范围和优势。
4. 讲解向量法求直线与平面所成的角的步骤，通过板书和课件演示每个步骤的操作。
5. 分析实例，引导学生运用向量法求直线与平面所成的角，解答过程中注意引导学生思考和讨论。
七、课堂练习1. 布置一些直线与平面所成的角的练习题，让学生运用向量法求解。
2. 引导学生独立思考和解决问题，及时给予指导和解答疑问。
3. 强调练习过程中需要注意的问题和方法，提醒学生巩固知识点。
《用向量法求异面直线所成的角》教案
《用向量法求异面直线所成的角》教案第一章：向量法简介1.1 向量的概念1.2 向量的运算1.3 向量法在几何中的应用第二章：异面直线的定义2.1 异面直线的概念2.2 异面直线的位置关系2.3 异面直线的基本性质第三章：向量法求异面直线所成的角3.1 异面直线所成角的定义3.2 向量法求异面直线所成角的步骤3.3 向量法求异面直线所成角的实例解析第四章：向量法求异面直线所成的角的性质4.1 异面直线所成角的范围4.2 异面直线所成角的单调性4.3 异面直线所成角与直线的位置关系第五章：向量法在实际问题中的应用5.1 利用向量法解决异面直线问题5.2 利用向量法求异面直线所成的角5.3 向量法在工程和科学研究中的应用第六章：向量法在空间几何中的应用6.1 空间向量的基本运算6.2 空间向量与空间几何图形的关系6.3 向量法在空间几何中的应用实例第七章：空间向量与异面直线所成角的关系7.1 空间向量与异面直线所成角的定义7.2 空间向量与异面直线所成角的计算方法7.3 空间向量与异面直线所成角的性质分析第八章：异面直线所成角的向量法求解步骤8.1 从异面直线中的一条直线出发，构造一条与另一条直线平行的向量8.2 利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的大小8.3 分析异面直线所成角的大小与直线位置关系的变化第九章：异面直线所成角的向量法在实际问题中的应用9.1 利用向量法解决异面直线所成角的问题9.2 异面直线所成角在工程和科学研究中的应用9.3 向量法在其他相关领域的应用第十章：总结与拓展10.1 向量法求异面直线所成角的总结10.2 向量法在空间几何中的拓展应用10.3 异面直线所成角的进一步研究重点和难点解析一、向量法简介补充和说明：向量是具有大小和方向的量，可用箭头表示。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
这些基础知识是学习向量法的基础。
二、异面直线的定义补充和说明：异面直线是指不在同一个平面上的直线。
《异面直线及其所成的角》教案及说明
《异面直线及其所成的角》教案及说明教案：异面直线及其所成的角一、教学目标1.知识目标：了解异面直线的概念，掌握两异面直线所成角的性质；2.能力目标：能够根据异面直线的性质解决相关问题；3.情感目标：培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点1.重点：异面直线的概念，两异面直线所成角的性质；2.难点：理解和掌握异面直线所成角的性质。
三、教学过程1.导入新知识（5分钟）教师引导学生回顾在平面几何中所学过的直线和角的知识，导入本节课的主题：异面直线及其所成的角。
2.学习新知识（15分钟）-异面直线的概念：两条不在同一个平面上的直线称为异面直线；-两异面直线所成角的性质：两异面直线所成的角是锐角、直角、钝角中的一个，且度数等于这两直线所成平面的倾斜度。
3.练习与训练（20分钟）-学生进行练习，通过图形判断异面直线之间所成的角是锐角、直角还是钝角，并计算其度数；-学生分组讨论，解决相关问题，并向全班汇报自己的解决方法。
4.拓展应用（20分钟）-学生在小组内讨论生活中异面直线及其所成的角的例子，并进行展示；-学生尝试寻找更多与异面直线相关的问题，并尝试解决。
5.总结与反思（10分钟）学生和老师共同总结本节课所学内容，回顾异面直线及其所成的角的性质，并对解题方法进行讨论和总结。
四、教学反馈1.作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识；2.学生评价：鼓励学生积极参与讨论和思考，提高学生的解决问题的能力；3.教师评价：对学生的表现进行评价，提出改进建议。
说明：本节课以异面直线及其所成的角为主题，旨在引导学生了解异面直线的概念，并掌握两异面直线所成角的性质。
通过学习和讨论，培养学生的数学思维和解决问题的能力，丰富学生的数学知识储备。
在教学过程中，通过导入新知识、学习新知识、练习与训练、拓展应用、总结与反思等环节，引导学生掌握所学内容，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，通过学生之间的讨论和交流，促进学生之间的合作和学习氛围，培养学生团队合作的意识。
向量法求异面直线的夹角线面角和二面角的平面角及距离PPT学习教案
cosDA ,CK 1
CK
= DA 1· CK | DA |· | 1
F
1
2
| 2 • 1 1
4x
A
D E
10 10
DA与CK的夹角为
∴
1
arccos 10 10
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y C
B
②求点B到平面EFG的距离；
z
E 1 ,0,0， 2
F
1,0,
1 2
，G1,
1 2
,1.
EF 1 ,0, 1 ，EG 1 , 1 ,1 A1
不妨令二面角A—B1P—B的平面角为
1
tan
1
cos2 n, m
∴二面角A—B1P—B的正切值为
2 5 5
z D1
m , n A1
D A x
25 5
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C1 B1
P
y C B
例3 在三棱锥D—ABC中,底面△ABC是等腰 直角三 角形,侧 面△DBC 是等边三角形,平面DBC⊥平面ABC,AB=AC= 4,E,F 分别为 BD,AD 中点。
A
B
① A 2 2,0,0 , B 0,2 2,0 C 0,2 2,0 D 0,0,2 6 E 0, 2, 6 F 2,0, 6
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O
O
A x
Cy
C y
① A 2 2,0,0 , B 0,2 2,0 C 0,2 2,0
z
D 0,0,2 6 E 0, 2, 6 F 2,0, 6
∴二面角G—EF—D1为
3
arccos
3 第11页/共23页
④ DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示）
利用空间向量求异面直线所成的角
利用空间向量求异面直线所成的角1. 引言：神秘的空间角度嘿，大家好！今天我们要聊聊一个看似有点高深但其实蛮有趣的话题——如何用空间向量来计算异面直线之间的夹角。
别被这些专业术语吓到了，我们会一步一步来，一边聊，一边揭开它的神秘面纱。
其实，异面直线之间的夹角就像我们生活中的“角”一样，只不过这个“角”有点难伺候，因为直线不在同一平面上，但这不代表我们不能搞定它！对吧？那么，让我们一起看看如何用数学的方式，揭示这些看似复杂的空间关系吧。
2. 异面直线的基本概念2.1 什么是异面直线？首先，咱们得搞清楚什么是“异面直线”。
异面直线，顾名思义，就是不在同一个平面上的直线。
就像你有两根直尺，一根横在桌面上，另一根竖在墙上，这两根直尺就是异面直线。
它们既不相交，也不平行，似乎永远没有交集，像两条平行线却跑到了不同的平行世界一样。
2.2 为何要计算它们的夹角？可能你会问，既然这些直线没有交点，那我们计算它们的夹角干嘛呢？这个问题问得好！其实，计算异面直线的夹角有很多实际应用，比如在建筑设计中，要确保结构的稳定性；在计算机图形学中，角度的计算也能帮助我们更准确地渲染三维图像。
简单来说，这就是为了让我们能更好地理解和利用这些空间中的直线，虽然它们在不同的“平行宇宙”里。
3. 利用空间向量求角度3.1 空间向量的基本知识好啦，接下来我们进入正题。
要计算异面直线的夹角，我们需要用到空间向量。
空间向量，通俗点说，就是一根在三维空间中有方向和长度的箭头。
想象一下，你手里拿着一根激光笔，这根笔射出的光线就是一个空间向量，它不仅有方向，还有长度。
简单来说，空间向量是描述方向和位置的“道具”。
3.2 计算步骤1. 确定直线的向量：首先，你得搞定这两条异面直线的方向向量。
假设你有两条直线，分别用向量 (mathbf{a) 和 (mathbf{b) 来表示。
别急，先找出这两个向量的方向就好啦。
2. 计算夹角：接着，我们用向量的点积来算夹角。
《异面直线所成的角》教学设计
教案：异面直线所成的角求异面直线所成角的手段：空间问题平面化，经过平移把空间角转变为平面角学习目标1娴熟掌握异面直线所成角的定义2掌握求异面直线所成角的方法如何依据定义作出异面直线所成的角是本课的难点教课过程1.知识回首 :异面直线定义： 122.异面直线所成的角：知识研究：异面直线所成的角因为两条订交直线所成的角大小能够胸怀问题：能否能够将异面直线所成的角转变为订交直线所成的角如何转变1复习回首在平面内 , 两条直线订交成四个角 , 此中不大于 90 度的角称为它们的夹角 , 用以刻画两直线的错开程度 , 如图2问题提出在空间 , 如下图 ,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度能够如何来刻画呢经过平移把空间角转变为平面角3解决问题思想方法 :平移转变成订交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题1 异面直线所成角的定义:已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O 作直线a′∥ a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的叫做异面直线 a 与 b 所成的角或夹角．思虑 : 这个角的大小与O 点的地点相关吗即O点地点不一样时,这一角的大小能否改变2异面直线所成的角的范围：3异面直线垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 a,b 垂直，记作a b．在正方体 ABCD－EFGH中, 有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线例题剖析1 如图，正方体 ABCD-EFGH 中 ,O 为侧面 ADHE 的中心求 1BE 与 CG 所成的角2FO 与 BD 所成的角总结求异面直线所成的角的步骤是:练习1 如图 , 已知长方体 ABCD-EFGH中, AB =23 , AD = 2 3 , AE = 21求 BC 和 EG 所成的角是多少度2求 AE 和 BG 所成的角是多少度2 如图，在四周体 ABCD 中， E，F 分别是棱 AD ， BC 上的点 ,且AEBF1 ED FC2已知 AB=CD=3 ，EF 3 ,求异面直线AB和CD所成的角3空间四边形 ABCD，已知 AD =1，BD =，且 AD⊥BC，对角线 BD = 13，AC = 3，求 AC 和 BD 所成的角．22。
《用向量法求异面直线所成的角》教案
《用向量法求异面直线所成的角》教案教案题目：用向量法求异面直线所成的角教案目标：1.学生能够理解异面直线的概念和特点。
2.学生能够掌握使用向量法求异面直线所成的角的方法。
3.学生能够应用所学知识解决实际问题。
教学重点：1.异面直线的概念和性质。
2.向量法求异面直线所成的角的方法。
教学难点：1.向量法求异面直线所成的角的应用。
2.解决实际问题的能力。
教学准备：1.教师准备黑板、白板、投影仪等教学工具。
2.学生准备教材、笔记等学习工具。
教学流程：Step 1：引入新知识（10分钟）教师介绍本节课的学习内容，引出异面直线的概念，通过例题让学生了解异面直线的性质和特点。
Step 2：理论讲解（20分钟）教师用幻灯片或者投影仪展示相关理论知识，介绍向量法求异面直线所成的角的方法。
分别从平行和垂直两种情况进行讲解，引导学生理解计算异面直线所成角的思路和步骤。
Step 3：例题演练（30分钟）教师给出一些具体的例题，让学生通过向量法计算异面直线所成角，同时进行板书和讲解。
同时，教师鼓励学生积极思考问题，加强思维训练和解决问题的能力。
Step 4：实际应用（20分钟）教师设计一些与实际生活或实际问题相关的应用题，让学生运用所学的知识解决问题。
教师可以将题目分解为多个步骤，引导学生逐步解决问题，同时培养学生合作和交流的能力。
Step 5：课堂总结（10分钟）教师对本节课的内容进行总结和归纳，强调所学知识的重点和难点。
同时，可以提出一些问题进行提问或者让学生进行课堂反馈，检查学生对知识的理解程度。
Step 6：课后作业（自主学习，时间不限）教师布置一些课后作业，让学生巩固所学内容。
可以选择一些应用题或者证明题，激发学生的学习兴趣和思考能力。
Step 7：复习和检查（下节课开始前）教师在下节课开始前进行复习和检查，可以进行一些简单的练习题或者问答互动，检查学生对所学内容的掌握程度，并帮助学生发现和改正问题。
异面直线所成角及线面角的求法教案
异面直线所成角及线面角的求法授课教师：郝艾一．教学目的：1.掌握异面直线所成角及线面角的定义2.会求异面直线所成角及线面角的大小二．教学重点：能熟练的运用传统的几何方法及空间向量法计算异面直线所成角及线面角三．教学过程（一）异面直线所成角1． 异面直线所成角的定义过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角，若记这个角为θ，则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ。
2． 异面直线所成角的求法（1） 平移法已知两条异面直线a 、b ，经过空间任意一点O ，作a ′∥a ，b ′∥b ，求a ′与b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（2） 空间向量法设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为1m ， 2m 则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈21,m m 〉|.3.例题讲解：例1. 正四面体PABC 中，M 为棱AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为( C )A ．2 B.4 C.6 D.3解析：如图所示，取PB 中点N ，连接CN 、MN .∠CMN 为P A 与CM 所成的角(或所成角的补角)，设P A ＝2，则CM ＝3，MN ＝1，CN ＝3，∴cos ∠CMN ＝36.解后反思：求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．例2.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ABCD ⊥平面，NB ABCD ⊥平面，且MD=NB=1，E 为BC 的中点求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值解析：（1）在如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标D xyz -依题意，得1(0,0,0)(1,0,0)(0,0,1),(0,1,0),(1,1,0),(1,1,1),(,1,0)2D A M C B NE 。
用向量法求直线与平面所成的角教案
第二讲: 立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道, 立体几何是高中数学学习的一个难点, 以往学生学习立体几何时, 主要采取“形到形”的综合推理方法, 即根据题设条件, 将空间图形转化为平面图形, 再由线线, 线面等关系确定结果, 这种方法没有一般规律可循, 对人的智力形成极大的挑战, 技巧性较强, 致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中, 向量知识的引入, 为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题, 体现了数形结合的思想。
并且引入向量, 对于某些立体几何问题提供通法, 避免了传统立体几何中的技巧性问题, 因此降低了学生学习的难度, 减轻了学生学习的负担, 体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要, 需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值, 激发学生学习向量的兴趣, 从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角, 不需要繁杂的推理, 只需要将几何问题转化为向量的代数运算, 方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角, 下面对线面角的求法进行总结。
教学目标1.使学生学会求平面的法向量与直线与平面所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.教学重点求平面的法向量；求解直线与平面所成的角的向量法.教学难点求解直线与平面所成的角的向量法.教学过程Ⅰ、复习回顾一、回顾有关知识:1.直线与平面所成的角: （范围: ）思考：设平面 的法向量为 , 则 与 的关系？2.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:（1）建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉与的点、直线、A B θαO n平面, 把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以与它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
向量法求异面直线的夹角线面角和二面角
g
一个指向另一个背离。
n1
a
n2
l
b
|
cos
|| cos
n1,n2
||
|
n1 n2 n1 | | n2
|
|
第5页/共16页
例1：棱长为1的正方形ABCD— A B C D 中,E,F,G,K分别是 棱1AD1 ,A1 A1 ,A B , D D的中点， ①求A D与1 C1K的1 夹角1 ；
1
z
（用三1 角函数表示）
E 1 ,0,0， 2
F
1,0,
1 2
，G1,
1 2
,1.
EF 1 ,0, 1 ，EG 1 , 1 ,1 A1
2 2
2 2
D1 KG
C1 B1
设面EGF的法向量
n ·EF =0 n ·EG=0
n =(x, y, z)
F
D E xA
y C
B
即
1 2 1 2
3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系
a
n1 g n2
设 n1 ,n2 = g
设a —l —b的平面
b 角为
l
g
－g
a
n1 g n2
两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。
b
l
第4页/共16页
n1
g
设 n1 ,n2 = g
设a —l —b的平面
a
n2
b
角为
l
g
两个平面的法向量在二面角内
1 、求两异面直线所成的角 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。
设异面直线a、b的夹角为θ
Ba
高二数学最新教案-用空间向量内积求异面直线所成的角 精品
用空间向量内积求异面直线所成的角求异面直线所成的角，过去通常都是转化为平面角去求，但是若利用空间向量内积去求，则不须降维转化也很简单.本文结合往届高考试题加以说明.例1.(1992年高考)如图，在棱长为1的正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，求AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A.52D. 53C. 1010B. 23 解：、、1AA 是空间的一组标准正交基.由于 图1,2121111111AA B A AA A AA +=+=+=112121AA BB +-=+-=+= 因此在这个标准正交基下，、的坐标分别为),21,1,0(),1,0,21(-于是,52)21()1(010)21(211)1(0021||||),cos(222222=+-+⋅++⋅+-⋅+⋅=⋅=CN AM 故选D.例2．(1993年高考)在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，M 、N 分别为棱A 1A 和B 1B 的中点，如图2.若θ为直线CM 和D 1N 所成的角，则sin θ等于（ ）91.A B.32C.952D.954 解：设正方体的棱长为1，则、、1AA 是空间的一组标准正交基，由于 图2212111AA AA -+=++-=++=因此在这个标准正交基下，MC 、D 1的坐标分别为（1，1，),21,1,1(),21---又 ),(1N D MC =θ,91)21()1(1)21(11)21()21()1(111),cos(cos 22222211=-+-+⋅-++-⋅-+-⋅+⋅===D θ 所以,954)91(1cos 1sin 22=-=-=θθ故选D. 例3.如图3所示，正方形ABCD 所在的平面与正方形ABEF 所在的平面成60°的二面角，求AD 与BF 所成角的余弦值.解：AB 、AD 、AF 是空间的一组基，且,,AF AB AD AB ⊥⊥所以∠DAF 是面ABC 与面ABE 所成的二面角的平面角，从而∠DAF =60°，即 图3.60),(︒= 由于 ,+=因此 ),c o s (= ︒⋅︒=︒=⋅=⋅=⋅=60cos 45sin 60||||||||||||||BF BF AD BF AD BF AD.422122=⋅=例4.（2000年高考）已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°，证明：C 1C ⊥BD.图4解：、、1CC 是空间的一组基，由于)(,60),(,60),(,|,|||1111CC CC CC CC -=⋅︒=︒=-==,0)60cos ||60cos |(|||),cos(||||),cos(||||1111111=︒⋅︒-⋅⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=CB CD CC CB CC CB CC CD CC CD CC CC CC所以 .CC ,11BD BD CC ⊥⊥即例5．（1991年上海）如图5，设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠CBA =∠DBC =120°.求A 、D 的连线和直线BC 所成的角.解：、BA 、BD 是空间的一组基，由于,120),(︒=∠=ABC图5,|,|||||,120),(BA BD AD BD BC BA DBC -===︒=∠=因此 ,)(⋅-=⋅,0120c o s ||||120c o s ||||),c o s (||||),c o s (||||=︒⋅⋅︒-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=BC BA BC BD 所以 ,BC AD ⊥即 A 、D 的连线和直线BC 成90°的角.。
高考数学 向量坐标法求异面直线所成角课件 上教版 精
（二）空间向量坐标法求异面直线所成角
1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系 Oxyz 中，分别沿
答案：600
D1 A1
C1 B1
D xA O
Cy B
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别
是D1C1, AA1的中点,
(1)求DE与AC所成角的余弦z 值.
(2)求证:BF⊥DE.
E
D1
C1
答案：
A1
（1）arccos
10 10
F DO
B1 Cy
xA
B
(二)提高型
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,
a (a1, a2, a3)
z
P
a
k
zk
y
xi i O j
x
yj
3、空间向量的夹角公式
（1）设A(x1,y1,z1) ， B(x2,y2,z2)则
AB (x2-x1,y2-y1,z2-z1)
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
AB的中点 ( x1 x 2 , y1 y 2 , z1 z 2 )
异面直线所成角的求法 ——向量坐标法
（一）空间直角坐标系
复习： 1、数轴
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点与实数一一对应
2、直角坐标平面
y
y O
P (x,y) xx
直角坐标平面内的 点与有序实数对 (x，y)一一对应。
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第一讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学难点
求解异面直线所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、两异直线所成的角：（范围：）
（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.
（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和，
问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成
的角与和的夹角的关系？
问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？
两向量数量积的定义：
a
b
O
两向量夹角公式：
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
思考：在正方体中，若与分别为、 的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？
（1）方法总结：①几何法；②向量法
（2）与相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
例1 如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.
分析：建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。
步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
x y Z
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系，
则
，
即
和所成的角为
总结: （1）与相等吗？
（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？
点拨求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。
两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是。
当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。
练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设,
则A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1(,0,1) ，D1(, ,1)
所以，异面直线BD ₁与AF ₁所成的角的余弦值为
.
练习2：在正方体ABCD —A ₁B ₁C ₁D ₁中，M 是AB 的中点，求对角线DB ₁与CM 所成角的余弦值.
解：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12，0. ∴DB →1＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，－12，0， ∴cos 〈DB →1，CM →
〉＝DB →1·CM →|DB →1||CM →|＝12
3×52＝15
15.
∴异面直线DB 1与CM 所成角的余弦值为15
15.
Ⅲ、小结与收获
1、异面直线所成的角的余弦值：
；
2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.
Ⅳ、课后练习
1、如图，在棱长为２的正方体中，E 、F 分别是棱的中点．
求异面直线所成的角.
2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点. 求异面直线与所成角的余弦值．。