《用向量法求异面直线所成的角》教案

第一讲：立体几何中的向量方法

——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。

高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。

为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。

利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。

教学目标

1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；

2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；

3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.

教学重点

求解异面直线所成的角的向量法.

教学难点

求解异面直线所成的角的向量法.

教学过程

Ⅰ、复习回顾

一、回顾有关知识：

1、两异直线所成的角：（范围：）

（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角.

（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和，

问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成

的角与和的夹角的关系？

问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？

两向量数量积的定义：

a

b

O

两向量夹角公式：

结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为

2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）

Ⅱ、典例分析与练习

思考：在正方体中，若与分别为、 的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？

（1）方法总结：①几何法；②向量法

（2）与相等吗？ （3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

例1 如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.

分析：建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。

步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。

x y Z

2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。

解：如图建立空间直角坐标系，

则

，

即

和所成的角为

总结: （1）与相等吗？

（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？

点拨求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是。当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。

练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。

解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，并设,

则A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1(,0,1) ，D1(, ,1)

所以，异面直线BD ₁与AF ₁所成的角的余弦值为

.

练习2：在正方体ABCD —A ₁B ₁C ₁D ₁中，M 是AB 的中点，求对角线DB ₁与CM 所成角的余弦值.

解：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，

则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B 1(1，1，1)，M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，12，0. ∴DB →1＝(1，1，1)，CM →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－12，0， ∴cos 〈DB →1，CM →

〉＝DB →1·CM →|DB →1||CM →|＝12

3×52＝15

15.

∴异面直线DB 1与CM 所成角的余弦值为15

15.

Ⅲ、小结与收获

1、异面直线所成的角的余弦值：

；

2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤.

Ⅳ、课后练习

1、如图，在棱长为２的正方体中，E 、F 分别是棱的中点．

求异面直线所成的角.

2、如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点. 求异面直线与所成角的余弦值．