3.1.2函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
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3.函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册PPT课件
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值范围在哪 一段，就用哪一段的解析式。
0 例：已知f
(
x)
2x 3 x
1, 1,
x x
2，则f 2
(
1 2
)
______
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，特
别是画图象时，应先将各段函数图象画出，从而得到
整个函数的图象。（注意端点“实心”还是“空心”）
例：y
x
x
x
, ,
x 0, x 0,
x , x 0, y | x | x , x 0,
3.函数的表示法【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册PP T课件
一、基础知识讲解 3.函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册PPT课件
1、分段函数：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“x取值 范围”的并集，其值域是各段“y的取值范围”的并 集。（定义域的区间端点需不重不漏！）
二、例题分析 3.函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册PPT课件
函数图象作图要点：
例5、画出函数 y = | x |(的1)图字象母。O, x, y
解：
(2)必要的点、值
列表 描点
由绝对值的概念可得：(3)标上函数解析式 连线
x , x 0, (4)尺规作图
y x , x 0,
变化趋向。
⑶列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系。
➢优点：不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值。
二、例题分析 例3、某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4， 5})个笔记本需要y元；试用函数的三种表示法表示函 数 y=f (x) .
分析： “y=f (x)”可以用哪三种方法表示?．
3.1.2函数的表示法-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件
f（x）+2f（-x）=x2+2x
令x=-x得
方程的思想
f（-x）+2f（x）=x2 - 2x
f（x）+2f（-x）=x2+2x
联立两式
f（-x）+2f（x）=x2
-
2x
得f(x)= 1 x2 2x
3
知识点二求函数的解析式
1求下列函数的解析式： (1)已知函数f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)；
互转化，
③便于研究函数性质.
面对实际
图 直观形象地表示出函数 像 的变化情况，有利于通过 法 图象研究函数的某些性质.
只能近似地求出 自变量的值所对应 的函数值，而且有 时误差太大.
情景时， 我们要根 据不同的 需要选择 恰当的表
列 不通过计算就可以直
只能表示自变量 示法表示
表 接看出与自变量对应的 取值较少的有限的 函数.
做函数的定义域；与x的值相对应的 y值 叫做函数值，
所有函数值组成的集合 叫做函数的值域。
任意性
函数值的集合{f(x)| x∈A}
唯一性
函数的三要素：定义域、值域、对应关系
我们初中已经接触函数几种常用的表示法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； 2、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系； 3、列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系.
（1） 函数的表示法 图 象 法 列表法
（2）注意分段函数的表示方法及其图象的画法. （3）函数解析式的求法.
2.本节课运用了什么数学思想方法？ 数形结合
(2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－ f(x)＝2x，求f(x)．
知识点三 画函数图像
函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件
[-1,8].
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
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探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
方法规律 描点法作函数图象的三个步骤
【跟踪训练】
2.作出下列函数图象: (1)y=1-x(|x|≤2,x∈Z); (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解:(1)因为|x|≤2,x∈Z, 所以x∈{-2,-1,0,1,2}. 所以函数的图象为直 线y=1-x上的孤立点. 如图所示.
所以f(g(x))>g(f(x))的解为x=2.
x f(g(x)) g(f(x))
1 23 1 31 3 13
3函.1数.2的第表1课示时法【新函教数材的】表人示教法A-版【高新中教数材学】必人修教第A版一（册2课01件9 ）2高 优中 秀p数pt学课必件修第一 册课件( 共33张 PPT)
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探索点二 作函数的图象 【例 2】作出下列函数的图象并求出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; (2)y= ,x∈[2,+∞); (3)y=x2+2x,x∈[-2,2]
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共40张ppt)
搁了一些时间；
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
(３)我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进．
习题演练
[练习1]某教师将其一周课时节次列表如下：
x/星期
1
2
3
4
5
f(x)/节次
3
5
4
3
1
从上表可看出，这个关于x的函数的定义域为
{1,2,3,4,5}
{1,3,4,5}
1
____________；值域为___________，f(f(2))=_____.
(2)
1
f(x+ )=
x2
+
1
2
(3)f(x)+2f(-x)=x2+2x
(1)解：由题意，设 f(x)=ax+b(a≠0).
即a2=4,且ab+b=-3;
则 f [f(x)]=a(ax+b)+b=4x-3,
解得：a=2,b=-1; 或 a=-2,b=3
所以 f(x)=2x-1; 或
1
(2)解：因为f(x+ )=
x
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等.
习题演练
1、下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个
图象写出一件事．
(１)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了
作业本再上学；
(２)我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽
用解析法可将函数y=ƒ(x)表示为 ƒ(x)=5x,
x∈{1,2,3,4,5}
用列表法可将函数y=ƒ(x)表示为 笔记本数x(个) 1 2 3 4 5
总价 y(元)
用图象法可将函数y=ƒ(x)表示为
3.1.2 函数的表示法(一)课件- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解：∵ 2f x +
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
∴ 2f
消去f
1
x
1
x
+f x
1
x
1
f
x
1
=
x
解得 = −2 + 1 ．
= x x ≠ 0 ，求f x 的解析式.
=x x≠0 ，
Байду номын сангаас
x≠0 ，
，解得f x =
2x
3
−
1
，x
3x
≠ 0.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
方法总结
当同一个对应关系f 中的两个变量之间有互为相反数
1
（或互为倒数）关系时，可以用−x(或 )代替原式中的x
x
所得方程与原方程联立构造方程组求解．
，
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
角度3 赋值法求函数解析式
例6：已知对任意实数x，y都有f x + y − 2f y = x 2 + 2xy − y 2 + 3x − 3y，
求函数f x 的解析式.
2
x
x
x
1
2
1
+ +1 −2 +1 +3
x2
x
x
2
1
1
+ 1 − 2 + 1 + 3,
x
x
1
1 2
1
f 1+ = 1+
− 2 1 + + 3，
x
x
x
1
2
f x = x − 2x + 3. 又∵ 1 + ≠ 1,
x
高中数学必修第一册人教A版3.1.2_函数的表示法_课件
4.解方程组法或消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
76
88
75
86
80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
有着某种关系,这时就要根据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,
由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种
方法叫做解方程组法或消元法.
跟踪训练三
1.已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;
1，－2≤x≤0，
＝
x，0＜x≤3，
其“段”是不等长的．
小试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．
( ×)
(2)函数 f(x)＝2x＋1 不能用列表法表示．
( √ )
(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线． ( × )
(4)分段函数由几个函数构成．
∴ቊ
= 1,
∴所求二次函数为f(x)=x2-x+1.
= −1.
(3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
2
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x-3 .
解题方法（求函数解析式的四种常用方法）
1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可.
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80
赵 磊
68
65
73
72
75
82
班平均分
88．2
78．3
85．4
80．3
75．7
82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
3.1.2 函数的表示法课件新教材】人教A版(2019)高一数学必修第一册
解析：选 C.设 y＝k，由题意得 1＝k，
x
2
解得 k＝2，所以 y＝2x.
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
3、已知f（x+1）=x2+2x+2,求f(x)
解： 法一：配凑法 f（x+1）=x2+2x+2=（x+1）2+1， ∴f（x）=x2+1．
法二：换元法 令t=x+1 则x=t-1 f(t)=(t-1)²+2(t-1) =t²-2t+1+2t-2 =t²-1 ∴f（x）=x2+1
3.1 函 数 的 概 念
随堂练习
1、函数的基本表示法(列表法、图象法、解析法) 2、描点法画一些简单函数的图象。 3、求函数解析式 4、求函数解析式的配凑法、换元法
谢谢您的聆听
y
4
•
2
2 1 O 1 2
x
2
• 4
f(x)=2x，x∈R,且|x|≤2
3.1 函 数 的 概 念
典型例题
例2. 画出下列函数的图象: (2)f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
f(x)=x+2,(x∈N,且|x|≤3)
3.1 函 数 的 概 念
变式训练
1、画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y ＝x2－2x(x>1，或x<－1)
3
3.1 函 数 的 概 念
温故知新
知识点一 区间的概念及表示
1.一般区间的表示：设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:
定义 {x|a≤x≤b} {x|a<x<b} {x|a≤x<b} {x|a<x≤b}
3.1.2 函数的表示(第一课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
只可能是 ( B )
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
03
拓展提升
Expansion And Promotion
函数的表示
解析式的求法 - 代入法
题型一. 由f(x)的解析式求f[g(x)]的解析式.
例1.已知f(x)=x2 +x -1，则f(x+1)=________.
【解析】因为f (x) x2 x 1, 所以f (x 1) (x 1)2 (x 1) 1
函数的表示
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张 城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同学的成绩基本上 都大幅领先于班级平均水平.
函数的表示
【练习1】已知f (x) x 1，则f ( f (2)) _______. x
【解析】因为f (2)
【解析】令t x 1 1, 则 x t 1, x (t 1)2 所以f (t) (t 1)2 2(t 1) t 2 1 所以f (t) t 2 1，t 1 所以f (x) x2 1，x 1
换元法：已知f(g(x))=h(x)，求f(x)时，往往可设g(x)=t，从中解出x，代入h(x)
代入法：已知f (x)求f(g(x))，只需把f (x)中的x用g(x)代入即可； 配凑法：已知f (g(x))=h(x)，求f (x)的问题,往往把右边的h(x)整理或配凑成只
含g(x)的式子, 再用x将g(x)替换即可得f(x)； 换元法：已知f(g(x))=h(x),求f (x)时,往往可设g(x)=t,从中解出x,代入h(x) 进行
【解析法】y=5x，x∈{1，2，3，4，5} 【图像法】函数图像可以表示如图：
y
【列表法】函数可以表示如下表：
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
3.1.2 函数的表示法(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
请分别用图象法和解析法表示函数().
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
解：由(1)中的函数取值情况，结合函数()的定义，可得函数
()的图象.
由( + 1)2 = + 1，得( + 1) = 0.解得 = −1，或 = 0.
结合上图，得出函数的解析式为() =
( + 1)2 ， ≤ −1，
+ 1， − 1 < ≤ 0，
途径，是联系变量和的纽带.
由于在现实生活中，将变量数对应到的方法和途径是多样化的，这就导
致了函数的表示方法也是多样化的.本节课我们就来研究一下函数常见的几种表
示方法.
复习导入
我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.其实在
上一节课的学习中，我们也已经接触了这三种函数的表示法，请同学们结合上节课
图象(均为6个离散的点)表示出来，如图所示，那么就能直观地看到每位同学成
例析
绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助.
从图中可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终
高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且优秀.
张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平
均水平上下波动，而且波动幅度较大.赵磊同学
的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成
回顾2：函数的三要素是什么？
定义域、对应关系和值域是函数的三要素.其中, 叫做自变量，的取值范
围叫做函数的定义域;与值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{()| ∈
}叫做函数的值域.值域是集合的子集.
复习导入
回顾3：函数的对应关系有什么作用？
对应关系“”是将中的任意一个数，对应到中唯一确定的数的方法和
解：(2)设 = + 1，则 < 1， = − 1.
函数的表示法 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
表示函数 M (x) .
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
9
2700 0
10 3000
35000 30000 25000 20000 15000 10000
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x) ， g(x) 的图象如图.
（2）由（1）图象中函数取值的情况，结合函数 M (x) 的定义，
可得函数 M (x) 的图象如图.
由 (x 1)2 x 1，得 x(x 1) 0 .
解得 x 1，或 x 0 .
结合图象得出函数
若已知函数的 结构类型， 常用待定系数 法求解析式
已知f(g(x)),求f(x)的 解析式，多用换元 法， 主要步骤： 1换元：令t=g(x), 并写出t的范围 2求解：用t表示x 3代入：用t表示的 x代入原式，写出 解析式
当一个对应 关系中， 含有自变量 的两个表达 式之间有互 为相反数或 互为倒数关 系时，可构 造方程组求 解
例 1 某种笔记本的单价是 5 元，买 x(x {1，2，3，4 ，5}) 个笔记本需要 y 元， 试用函数的三种表示法表示函数 y f (x) .
解：这个函数的定义域是数集{1，2，3，4，5} . 用解析法可将函数 y f (x) 表示为 y 5x ， x {1，2，3，4，5} .
用列表法可将函数 y f (x) 表示为
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函数. 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 3.掌握求函数解析式的常用方法，理解函数图象的作用.
（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. （2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. （3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
2400 0
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10 3000
35000 30000 25000 20000 15000 10000
高中数学第一册3.1.2函数的表示法课件
5．已知函数 f(x)＝xx＋2－42，x，x≤0<0x≤4 －x＋2，x>4.
(1)求 f{f[f(5)]}的值； (2)画出函数的图象．
【解】 (1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即 f{f[f(5)]}＝－1. (2)图象如图所示．
（2）x R, 用M(x)表示 f (x), g(x)中的较大者，记为
M(x) max{f (x), g(x)}
试分别用图象法和解析法表示函数M(x).
（2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的 定义，可得函数M(x)的图象，如图
由(x 1)2 x 1，可解得x 1，或x 0. 结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为
第三章
人教2019A版必修 第一册
函数概念与性质
3.1.2 函数的表示法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.
（1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析 式表示函数关系的。
（2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3.
【答案】 C
x＋2，x≥0 1，x<0，
则 f[f(－1)]＝(
)
A．3 C．0
B．1 D．－1
【解析】 ∵f(x)＝x1＋，2x，<0x，≥0 ∴f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选 A.
【答案】 A
3．f(x)＝|x－1|的图象是( )
数学人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示法(共29张ppt)
结合图象可得，M (x) x 1,
(
x
1)2
,
x 1, 1 x 0, x 0.
例题
x2，x>0， 红 2．已知 f(x)＝ f（x＋1），x≤0， 则 f(2)＋f(－2)的值为( )
A．2
B．4
C．5
D．6
例题
x＋1，x≤0，
红 4．已知函数 f(x)＝ －2，x>0， 则“x0＝－2”是“f(x0)＝－1”的( ) x
应的y值叫做函数值，函数值的取值范围 f (x) x A 叫做函数的值域.
知识回顾
问题1：某复兴号高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时. （1）这段时间内，列车行进的路程S与运行时间t的关系是什么？
S 350t
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公
例题 红 9．已知二次函数的图象过点(－1，4)，(0，1)，(1，2)，
则此二次函数的表达式为
．
求函数解析式
例.已知f (x 2) x2 4x,求f (x).
例题
红 6．已知函数 f(x)满足 f(x＋2)＝x2＋4x－3，则 f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x2－7 B．f(x)＝x2＋7 C．f(x)＝x2＋x－1 D．f(x)＝x2－x＋2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
例题
例.设函数f
(x)
x2
4x
6,
x0 ,求不等式f (x) f (1)的解集.
x 6,
x0
例题 例.已知函数f (x) 2 x 1 3x,用分段函数的形式表示函数f (x).
数学人教A版必修第一册3.1.2函数的表示法课件
图象法 形象、直观地表示自变量变化情况
列表法
只能近似的求出自变量所对应
的函数值，有时误差较大
直观、离散，不需要计算就可以直接 只能表示有限个数的自变量所
看出与自变量的值对应的函数值
对应的函数值
例 某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元．试用
函数的三种表示法表示函数y = f(x)．
问题4 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况表
用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
总结：函数的三种表示法各自的特点是什么？
表示法
优点
缺点
简明、全面地概括了变量间的关系；
不够形象直观，而且并不是所
解析法 可以通过解析式求出任意一个自变量
有的函数都有解析式
的值所对应的函数值
的部分后剩余的曲线.
如图所示，
视察图像可知，函数的
值域为[−1,8）
课堂小结
1. 内容上：
解析法
列表法
图象法
1.简明
直观
1.直观形象
2.抽象
2.变化趋势
1.有规律
1.离散
1.不精准
2.不直观
2.“少”
2.不全面
课堂小结:
2. 思想方法上
：
数形结合
以形化数+以数辅形.
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
的关系可以表示为：
= 350, ∈ {|0 ≤ ≤ 0.5}.
解析式
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
问题3
下图3.1-1是北京市202X年11月23日的空气质量指数 （AIR Quality
列表法
只能近似的求出自变量所对应
的函数值，有时误差较大
直观、离散，不需要计算就可以直接 只能表示有限个数的自变量所
看出与自变量的值对应的函数值
对应的函数值
例 某种笔记本的单价是5元，买x(x ∈ {1,2,3,4,5})个笔记本需要元．试用
函数的三种表示法表示函数y = f(x)．
问题4 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况表
用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法．
总结：函数的三种表示法各自的特点是什么？
表示法
优点
缺点
简明、全面地概括了变量间的关系；
不够形象直观，而且并不是所
解析法 可以通过解析式求出任意一个自变量
有的函数都有解析式
的值所对应的函数值
的部分后剩余的曲线.
如图所示，
视察图像可知，函数的
值域为[−1,8）
课堂小结
1. 内容上：
解析法
列表法
图象法
1.简明
直观
1.直观形象
2.抽象
2.变化趋势
1.有规律
1.离散
1.不精准
2.不直观
2.“少”
2.不全面
课堂小结:
2. 思想方法上
：
数形结合
以形化数+以数辅形.
数缺形时少直观
形少数时难入微
数形结合百般好
的关系可以表示为：
= 350, ∈ {|0 ≤ ≤ 0.5}.
解析式
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法．
问题3
下图3.1-1是北京市202X年11月23日的空气质量指数 （AIR Quality
新教材人教A版必修第一册 3.1.2 第1课时 函数的表示法 课件(38张)
只能近似地求出自变量所对应 的函数值
列表法
不需计算可以直接看出与自变 量对应的函数值
只能表示有限个数的自变量所 对应的函数值
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第三章 函数的概念与性质
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于( B )
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R，所以f(π2)＝π.
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第1课时 函数的表示法
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
必备知识·探新知
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
知识点 函数的表示法
基础知识
表示法
定义
解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫 做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 123 f(x) 2 1 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为__1___；当g[f(x)]＝2时，x＝__1___.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
的方法叫做列表法
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
思考：三种表示法的优缺点分别是什么？ 提示：
表示法
优点
缺点
解析法
简明、全面地概括了变量之间 的关系，且利用解析式可求任 一自变量对应的函数值
3.1.2(第一课时)函数的表示法【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）0个
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
21
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
1.求分段函数的函数值： x+2, x≤－1；
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目
表、银行里的“利率表”等。 优点:不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 对应值，当自变量的值的个数较少时使用，列表法在实 际生产和生活中有广泛的应用.
3
探究点3 图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
例1 已知函数f(x)= x2, －1＜x＜2；
2x, x≥2.
(1)求 f 3,f（ 1 ）,f 5 的值;
2 (2)若f(x)=3,求x的值.
解：（1）f 3 6,f（1） 1 ,f 5 3
24
（2）x 3
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
24
3 . 1 . 2（第一 课时） 函数的 表示法 【新教 材】人 教A版 （）高 中数学 必修第 一册课 件
解：设票价为y元，里程为x公里，由题意可知，自变量x 的取值范围是（0，20]
1.已知
f
(x)
x f
3 [ f (x
4)]
, ,
x 9, x 9.
3.1.2函数的表示法课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
解： 因为圆的直径为50cm，矩形的一边长为 x cm，
所以与它相邻的另一边长为 2500 x2 cm,
所以矩形的面积 y x 2500 x2 .
又因为矩形的边长小于圆的直径，
所以 0 x 50 ，所以 y x 2500 x2 (0 x 50).
（注意：不能漏掉x的取值范围）
练 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出
用列表法可将函数 y=f(x) 表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
用图象法，可将函数 y=f(x) 表示为图3.1-2.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离 散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
思考 判断下列图形能否作为一个函数的图象？
练3. 画出函数 y | x 2 | 的图象.
x 2, x 2
方法一：由绝对值的概念，可知
y
2
x,
x
. 2
所以函数 y | x 2 | 的图像如图所示 .
方法三： y | x 2 |也可以由 y=|x| 的图象向右平移
2个单位长度得到.
练4. 画出函数y | 2x 1|的图象.
练4
D A B
练5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元； (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函 数解析式,并画出函数的图象．
解:设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，
值,函数值的集合f (x) x A叫做函数的值域.
思考：函数常见的表示方法有哪几种？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
所以与它相邻的另一边长为 2500 x2 cm,
所以矩形的面积 y x 2500 x2 .
又因为矩形的边长小于圆的直径，
所以 0 x 50 ，所以 y x 2500 x2 (0 x 50).
（注意：不能漏掉x的取值范围）
练 2 已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出
用列表法可将函数 y=f(x) 表示为
笔记本数x 1 2 3 4 5 钱数y 5 10 15 20 25
用图象法，可将函数 y=f(x) 表示为图3.1-2.
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离 散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？
思考 判断下列图形能否作为一个函数的图象？
练3. 画出函数 y | x 2 | 的图象.
x 2, x 2
方法一：由绝对值的概念，可知
y
2
x,
x
. 2
所以函数 y | x 2 | 的图像如图所示 .
方法三： y | x 2 |也可以由 y=|x| 的图象向右平移
2个单位长度得到.
练4. 画出函数y | 2x 1|的图象.
练4
D A B
练5 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里),票价2元； (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算)． 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价y与里程x之间的函 数解析式,并画出函数的图象．
解:设票价为y元，里程为x公里.由题意可知，
值,函数值的集合f (x) x A叫做函数的值域.
思考：函数常见的表示方法有哪几种？ （1）解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
3.1.2 函数的表示法(第1课时) 课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
知识梳理:函数的表示法
表示法
定义
解析法
用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系
图象法
用
列表法
列出
图象
表示两个变量之间的对应关系
表格 来表示两个变量之间的对应关系
➢ 思考
（1）任何一个函数是否只能用解析法、图象法、列表法中的一种表示?
提示:不一定.有些函数三种表示方法可以相互转化.
（2）函数的三种表示方法各有什么优、缺点?
始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓.又因为纵轴表示距离学校
的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0.
答案:D
➢ 探究与发现
(2)若函数 f(x),g(x)分别由下表给出,
x
f(x)
1
1
2
3
3
1
g(x)
3
2
1
则 f(g(1))的值为 1
;满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是
解析:因为g(1)=3,所以f(g(1))=f(3)=1.
收款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法
表示出来.
解:①列表法如下:
x/台
1
2
3
4
5
y/元
3 000
6 000
9 000
12 000
15 000
x/台
6
7
8
9
10
27 000
30 000
y/元 18 000 21 000 24 000
➢ 变式训练
②图象法:如图所示.
③解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}.
所以
所以所求二次函数的解析式为 f(x)=x2-x+1.
人教A版(2019)必修第一册3.1.2函数的表示(二) 课件(共19张PPT)
高一—人教A版—数学—第三章
3.1.2 函数的表示法（二）
优点
缺点
联系
解 简明、全面地概括了变量间的对 形象性与直观性不足，变化
析 应关系；可以通过解析式求出任 趋势难判断，有些函数关系 解析、列
法 意自变量的值所对应的函数值. 不能用解析式表示.
表和图象
三种方法
列 表 法
不需要计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值.
只能列出部分自变量与函数 各有优缺
的对应值，无法反映函数变 点，
化的全貌.
面对实际
问题时
图 象 法
直观形象地表示随着自变量的变 化，相应的函数值变化的趋势，
只能近似得到数量关系，误 差较大，容易误判断.
根据需要 恰当选择.
有利于我们研究函数的某些性质.
【例7】下表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表.
思考： 1.这一问题中存在哪些变量？它们的关系是什么？ 2.如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得收入额的关
系？
分析：该题的重要信息（2条公式和1张表）
个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.① 应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－依法确定的其他扣除.②
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)， 并画出图象.
分析：设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求y=f(t). 计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.① 税率与速算扣除数 见表格
解：（1）根据上表， 可得函数y = f (t)的解析式为：
函数图象如图所示：
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、 基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的 比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣 除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
3.1.2 函数的表示法（二）
优点
缺点
联系
解 简明、全面地概括了变量间的对 形象性与直观性不足，变化
析 应关系；可以通过解析式求出任 趋势难判断，有些函数关系 解析、列
法 意自变量的值所对应的函数值. 不能用解析式表示.
表和图象
三种方法
列 表 法
不需要计算就可以直接看出与自 变量的值相对应的函数值.
只能列出部分自变量与函数 各有优缺
的对应值，无法反映函数变 点，
化的全貌.
面对实际
问题时
图 象 法
直观形象地表示随着自变量的变 化，相应的函数值变化的趋势，
只能近似得到数量关系，误 差较大，容易误判断.
根据需要 恰当选择.
有利于我们研究函数的某些性质.
【例7】下表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表.
思考： 1.这一问题中存在哪些变量？它们的关系是什么？ 2.如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得收入额的关
系？
分析：该题的重要信息（2条公式和1张表）
个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.① 应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－依法确定的其他扣除.②
（1）设全年应纳税所得额为t，应缴纳个税税额为y，求y=f(t)， 并画出图象.
分析：设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求y=f(t). 计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.① 税率与速算扣除数 见表格
解：（1）根据上表， 可得函数y = f (t)的解析式为：
函数图象如图所示：
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、 基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的 比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣 除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
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笔记本数m 1 2 3 4 5
5
钱数y 5 10 15 20 25
0 1 2 34 5
m
在用三种方法表示函数时要注意：
【1】解析法必须标明函数的定义域 【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系 【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”
（1）比较函数的三种表示法，它们各有什么特点？ （2）所有函数都能用解析法吗？列表法与图像法 呢？请你举出实例加以说明
-1 -2
-3
y=x+1
1 2 3x
y
5 4 3 2 1
–5 –4 –3 –2 –1 o 1 2 3 4 5 x
–1 –2
概念辨析 几种常见的分段函数：
（1）符号函数： （2）含绝对值符号的函数： （3）自定义函数： （4）取整函数：
典例讲解 分段函数定义域、值域、求值问题
1.练习册(三维设计)P42 2.练习册(三维设计)P43 3.练习册(三维设计)P43
2 1
1 234
所以函数的图像如图所示： 【解法二】(翻折法)先画出函数y=x-2的图像
然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
变式2：画函数y=|x²-1|的图像.
y
3
2
y = x2 1
1-3 -2 -1 oFra bibliotek-1 -2
1 2 3x
-3
y
3
2 1
y = x2 1
-3 -2 -1 o
-1 -2
解析法，对应关 系清楚、简明、 全面，通过解析 式可求出任意自 变量对应的函数 值，便于研究函 数性质.
列表法，不用计 算，看表就知道 函数值，但当自 变量较多时，列 表不易实现
图像法能形象、直观 地表示出函数的变化 情况，但求函数值比 较困难，只能求近似 值，且误差较大
例题讲解
【例7】下表是卢老师所在的初中某班三名同学在初三学年度6次历史测试的成 绩及班级平均分表.请你对这三位同学在初三学年的历史学习情况做一个分析.
例题讲解 【例5】画出函数y=|x|的图像
｛-x，x＜0，
【解】由绝对值的概念，有y= x，x≥0.
画出图像如图：
分段函数：在自 变量的不同取值区间， 有不同对应关系的函数
(翻折法)先画出函数y=x的图像 然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.
概念辨析
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题 时，首先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
【解】设票价为W元，里程为t 千米，由题意可写出解析式为：
图像 如图：
5 4 3 2 1
·····
5 10 15 20
谢谢
3.1.2函数的表示法
温故知新
函数的概念
定义域 函数定义域的求法
函数的三要素 值域
对应法则f
函数的符号表示 y=f(x)
特殊函数的定义域、值域
同一函数的判断
区间的表示
新课导入
回想函数的表示方法有哪几种？
解析法，列表法，图象法.
用图象表示两个变量之 间的对应关系
列出表格来表示两个变量之间的对应关系
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起， 在每段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个 集合的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
变式1：画出函数y=|x-2|的图像. 【解法一】由绝对值的概念可知，
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
例题讲解
【例4】某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y
元.试用函数的三种表示法来表示函数y=f(m).
【图像法】函数图像可以表示如图：
【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}
y
25
20
【列表法】函数可以表示如下表：
15
10
1 2 3x
-3
例题讲解
例6 给定函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R, (1)在同一个坐标系中画出函数f(x),g(x)的图像； (2)∀x∈R,用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}.
y
y = (x + 1)2 3
2
1
-3 -2 -1 o
典例1（2） 典例2 对点练清2
随堂练习 P71 1 2
【例题】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定 (1)5km以内(含5km)，票价2元； (2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)
如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式， 并画出图像.
【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位 同学的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用 图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.
【分析】从图像中我们可以直观地看到：王伟同学的成绩一直稳定在班级的前茅， 张城同学的成绩波动较大，赵磊同学的成绩整体有下降趋势，但三位同 学的成绩基本上都大幅领先于班级平均水平.