指数函数的定义
指数函数及其性质
指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存有．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域 （0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。
（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。
当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。
当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。
（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性实行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x xy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)21139x --；(4)211xx y a-+=(a 为大于1的常数)举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a=型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【变式2】求函数2-2()(01)x xf x a a a =>≠其中，且的单调区间.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.所以，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠举一反三：【变式1】比较大小：(1)22.1与22.3 (2)3.53与3.23 (3)0.9-0.3与1.1-0.1(4)0.90.3与0.70.4(5)110.233241.5,(),()33-.【变式2】利用函数的性质比较122，133，166【变式3】 比较1.5-0.2， 1.30.7， 132()3的大小.例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：4233-2a a a +举一反三： 【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【变式1】判断函数的奇偶性：()221xx xf x =+-.类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数xy a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．举一反三：【变式1】 设()|31|xf x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a+<【变式2】为了得到函数935xy =⨯+的图象，可以把函数3xy =的图象( )A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度1、已知集合},4221|{},1,1{1Z x x N M x ∈<<=-=+，则M N =（ ）A 、}1,1{-B 、}1{-C 、}0{D 、}0,1{- 2、设5.1348.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（ ）A 、213y y y >>B 、312y y y >>C 、321y y y >>D 、231y y y >> 3、当11≤≤-x 时，函数22-=xy 的值域为（ ） A 、]0,23[-B 、]23,0[C 、]0,1[-D 、]1,23[- 4、函数12212,+==x x a y a y （)1,0≠>a a ，若恒有12y y ≤，则底数a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、10<<a C 、10<<a 或1>a D 、无法确定 5、下列函数值域为),0(+∞的是（ ）A 、xy -=215 B 、xy -=1)31( C 、1)21(-=x y D 、x y 21-= 6、当0≠a 时，函数b ax y +=和axb y =的图象只可能是图中的（ ）7、函数)1,0(≠>=a a a y x在]2,1[上最大值比最小值大2a，则a = 。
《指数函数的概念》课件
REPORTING
《指数函数的概念》 ppt课件
2023
目录
• 引言 • 指数函数的概念 • 指数函数的图像 • 指数函数的运算 • 指数函数与其他数学概念的联系 • 总结与回顾
2023
PART 01
引言
REPORTING
课程背景
数学的重要性
数学是现代科学的基础，而指数 函数在数学和实际生活中有着广 泛的应用。
。
人口增长模型
在生物学和人口统计学中，人口增 长通常使用指数函数来描述。通过 指数函数，可以预测未来人口数量 。
放射性物质衰变
在物理学中，放射性物质衰变通常 使用指数函数来描述。通过指数函 数，可以预测未来放射性物质的数 量。
2023
PART 03
指数函数的图像
REPORTING
指数函数的图像特点
2023
PART 04
指数函数的运算
REPORTING
指数函数的四则运算
01
02
03
04
指数加法
$a^m^n = a^{m+n}$
指数减法
$a^m / a^n = a^{m-n}$
指数乘法
$a^m * a^n = a^{m+n}$
指数除法
$frac{a^m}{a^n} = a^{mn}$
指数函数的复合运算
指数函数与一次函数的复合
$y = a^x * k$，其中k为常数
指数函数与二次函数的复合
$y = a^x * x^2$，其中a、x为变量
指数函数与对数函数的关系
对数函数的定义
如果 $y = a^x$，则 $x = log_a y$
对数函数的性质
指数函数的概念
⑵ y 3 解：（2） 由5x-1≥0得
5 x1
1 x 5 所以，所求函数定义域为
1 x | x 5
由
5x 1 0 得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
⑶
y 2x 1
由
解：（3）所求函数定义域为R
2 0
x
可得
2 1 1
x
所以，所求函数值域为{y|y>1}
6 5 4
x 1
所以，所求函数值域为 {y|y>0且y≠1}
-6
fx =
0.4 x-1
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
-2
说明：对于值域的求解，可以令 考察指数函数y= 并结合图象 直观地得到: 函数值域为 {y|y>0且y≠1}
1 t x 1
0.4
t
(t 0)
6
5
4
3
2
1
-4
-2
2
4
6
-1
1 x 1 , x 1 2 2 x 1 , x 1
3.2
3.2 3.2 3.2 3.2 333 3
3
3
-0.2
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式： 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)| y=f(x) a>0时向左平移a个单位；a<0时向右平移|a|个单位. a>0时向上平移a个单位；a<0时向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
指数函数
指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质：规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a ＞1时，图像在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，图像在R 上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 21x,y=log 101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0，a≠1)的图像的特征和性质.见下表.图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时，y=0(3)当x＞1时，y＞00＜x＜1时，y＜0(3)当x＞1时，y＜00＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b，则y1＞y2比较对数大小的常用方法有：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.3.指数函数与对数函数对比幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当112,1,,,323n =±±±的图像和性质，列表如下． 从中可以归纳出以下结论：① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 何两个幂函数最多有三个公共点．.定义域R R R奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减ny x=奇函数偶函数非奇非偶函数1n>01n<<0 n<O xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xyO xy幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）（在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
指数函数的三个特征
指数函数的三个特征指数函数是高中数学中的重要概念，它具有以下三个特征：增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴。
在本文中，我们将深入探讨这三个特征，并分别进行详细解释。
指数函数的增长速度非常快。
指数函数的定义是f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
当底数a大于1时，指数函数呈现出递增趋势，随着x的增大，函数值以指数级别增长。
例如，当a=2时，f(x) = 2^x的函数值随着x的增大呈现出指数增长的趋势，增长速度迅猛。
这种增长速度快的特点使得指数函数在描述许多现实世界中的增长和衰减过程时非常有用。
指数函数的函数值始终大于零。
由于底数a的任何正数次幂都大于0，所以指数函数的函数值始终大于零，即f(x)>0。
这使得指数函数在描述比例关系时非常有用。
例如，当a=0.5时，f(x) = 0.5^x 的函数值随着x的增大逐渐接近于0，但始终大于0。
这种特性使得指数函数在概率、百分比、利润等方面的计算中得到广泛应用。
指数函数具有对称轴。
指数函数的对称轴是y轴，即当x取任意值时，f(x) = a^x的函数值与f(-x)的函数值相等。
这是因为指数函数的定义中指数x可以是任意实数，正数和负数的函数值是相等的。
例如，当a=3时，f(x) = 3^x的函数值与f(-x)的函数值相等，这意味着函数图像关于y轴对称。
这种对称性使得指数函数在研究对称性质时非常方便。
指数函数具有增长速度快、函数值始终大于零、具有对称轴等三个特征。
这些特征使得指数函数在数学、科学和工程等领域中得到广泛应用。
我们在实际问题中，可以利用指数函数的快速增长特性来描述人口增长、物质衰变等现象；可以利用函数值始终大于零的特性来计算概率、百分比、利润等；可以利用对称轴的特性来研究对称性质。
因此，深入理解和掌握指数函数的三个特征对于数学学习和实际应用具有重要意义。
指数函数及其性质
y
图
ya (a 1)
x
y
y ax (0 a 1)
象
y 1
(0,1)
o
x
o
(0,1)
当 x < 0 时，y > 1； 当 x > 0 时， 0< y < 1。
x
相 同
(1)定 ： , 义域
(2)值域 :
0,
没有最值 没有奇偶性
性 质
点
(3)过 （ 0， ， x 0时, y 1 点 1） 当
即: a 3 a 3
1 3
f x ( ) f 0 1
0 0 3
1 3 x
x 3
f 1
1
1 3
f 3
3 3
1
截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今 后能将人口年平均增长率控制在1％，那么经 过20年后，我国人口数最多为多少（精确到 16亿 亿）？
∴ 0.8 0.1 <
0.8 0.2
(1) 1.72.5 , 1.73 （2）0.8-0.1， 0.8-0.2 解（1）底数都是1.7 , 故考查指数函数 f x 1.7 x 1.7 2.5 与1.73 可以看作函数f x 1.7 x的两个不同函数值
(1)两个同底的指数幂比较大小，可运用以该底数为底的指 数函数的单调性，转化为比较指数的大小
③ ④
3
0.9
.
0.8
0.9
( )
1 0.5 6
.
( )
1 0.5 2
指数相同， 底数不同时， 利用函数图象求解。
y
y 0.8
指数函数的基本恒等式
指数函数的基本恒等式指数函数是数学中非常重要的函数之一，它可以用来描述各种复杂的计算过程，并在不同领域有着广泛的应用。
在学习指数函数的过程中，我们要掌握其基本恒等式，这是解决各种指数函数问题的重要工具。
一、指数函数的基本定义指数函数的基本形式是$f(x)=a^x$，其中$a$是一个正实数，$x$可以是任意实数。
当$a>1$时，指数函数是递增的，当$0<a<1$时，指数函数是递减的。
指数函数在解决许多实际问题中都有很重要的作用，例如在金融、经济、物理、生物等领域都有广泛的应用，例如在计算复利、预测经济变化趋势、计算放射性物质的衰变等。
二、指数函数的基本恒等式指数函数的基本恒等式包含两个重要的公式：指数函数的乘法恒等式以及指数函数的除法恒等式。
1、指数函数的乘法恒等式指数函数的乘法恒等式是指，当指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
即：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$例如，$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$。
这个公式可以用于解决指数函数相乘的问题，例如计算$2^3 \cdot 2^{5x}$，可以将它化为$2^{3+5x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的幂次方，例如计算$(2^3)^4$，可以将它化为$2^{3\times 4} = 2^{12}$。
2、指数函数的除法恒等式指数函数的除法恒等式是指，当指数函数相除时，底数不变，指数相减。
即：$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$例如，$\frac{2^5}{2^3} = 2^{5-3} = 2^2$。
这个公式可以用于解决指数函数相除的问题，例如计算$\frac{2^5}{2^{3x}}$，可以将它化为$2^{5-3x}$。
这个公式也可以用于求指数函数的根式，例如计算$\sqrt{2^8}$，可以将它化为$2^{8/2} = 2^4$。
三、指数函数的应用举例指数函数的基本恒等式在实际应用中有着广泛的应用。
指数函数的概念PPT课件.ppt
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) ax (a 1)
性质
(1) 无论a为何值,指数函数 f (x) a x 都有定义域为R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时, f (x) a x 在定义域内为增函数； 0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3)关于是否是指数函数的判断
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3)3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 )2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(
8
)
3 7
与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指 (包括可转化为同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或 0.
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
一、指数函数的概念
1.定义:形如 f (x) a x (a 0, a 1)的函数称为指数函数.
2.几点说明:
(1)关于对 a 的规定:
若 a 0 对于 x 0, a x 都无意义
指数函数的概念
指数函数的概念指数函数是一种常见的数学函数，以指数为自变量，以一个常数(基数)为底数的幂函数为定义。
该函数的特点是随着自变量指数的增长或减小，函数值呈现出快速增长或快速衰减的趋势。
指数函数的一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正常数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集R+。
在指数函数中，底数a决定了函数的增长速度。
当a>1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速增长的趋势；当0<a<1时，随着指数的增大，函数值呈现出快速衰减的趋势。
当a=1时，函数的值始终为1，不随指数的变化而改变。
指数函数在实际生活和科学研究中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景。
1. 经济领域的复利计算指数函数在经济领域的复利计算中有着重要的应用。
当我们将一笔本金以一定的利率投资，利息会按照指数函数的增长趋势不断积累，使得投资额快速增加。
复利计算常被应用于银行、保险、投资等金融领域。
2. 自然界中的增长和衰减指数函数也被广泛地应用于自然界的增长和衰减现象的描述。
例如，生物种群的增长、放射性元素的衰变等都可以使用指数函数来描述和预测。
在这些情况下，指数函数提供了一个完整的模型，能够准确描述物种的繁衍和元素的衰变过程。
3. 物理学中的衰减和振荡在物理学中，指数函数也扮演着重要的角色。
比如在电路中，电容器或电感器的充放电过程中，电流的变化会随时间按指数函数的规律发生衰减或振荡。
指数函数的应用使得物理学家可以更好地研究和理解电路中的现象。
4. 统计学中的概率分布指数函数在统计学中也有重要的应用。
例如，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔，如两个红绿灯的间隔时间、地震发生的时间间隔等。
指数分布的概率密度函数形式为f(x) =λe^(-λx)，其中λ为正常数。
通过指数函数的应用，可以对这些事件发生的概率进行统计和预测。
总之，指数函数具有快速增长或衰减的特性，在数学和实际应用中都有广泛的应用。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数类型。
它们在数学和实际应用中具有广泛的作用和重要性。
本文将介绍指数函数和对数函数的定义、性质以及它们在数学和实际中的应用。
一、指数函数指数函数是以底数为常数且指数为自变量的函数。
一般形式为 y =a^x，其中 a 是底数，x 是指数，y 是函数值。
指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
指数函数的特点是当底数大于 1 时，随着指数的增加，函数值增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着指数的增加，函数值减小。
当底数为 1 时，指数函数为 y = 1，是一个常函数。
指数函数在数学中有广泛的应用，例如在复利计算、人口增长和物质衰变等方面。
在实际应用中，指数函数也常用于描述增长或衰变速度较快的现象，如病菌增长和药物浓度的降解等。
二、对数函数对数函数是指数函数的逆运算。
对数函数的一般形式为y = logₐ(x)，其中 a 是底数，y 是指数，x 是函数值。
对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
对数函数的特点是当底数大于 1 时，随着函数值的增加，指数也增加；当底数小于 1 且大于 0 时，随着函数值的增加，指数逐渐变小。
对数函数在数学中有广泛的应用，特别是在解决指数方程和指数不等式时常被用到，例如求解 2^x = 8 的 x 值时，可以通过对数函数得到log₂(x) = log₂(8)，进而得到 x = 3。
在实际应用中，对数函数也常用于衡量物质的浓度、信号的强度和地震的能量等。
三、指数函数与对数函数的性质和关系1. 指数函数和对数函数是互为反函数的关系，即 y = a^x 和 x =logₐ(y) 互为反函数。
2. 指数函数和对数函数具有对称性，即 a^x 和logₐ(x) 以直线 y = x为对称轴对称。
3. 指数函数和对数函数的图像都经过点 (1, a)，其中 a 是底数。
4. 指数函数和对数函数的增长速度都与底数 a 的大小相关，当 a 大于 1 时，函数增长速度较快，当 a 小于 1 且大于 0 时，函数增长速度较慢。
指数函数概念与性质
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一 个这样的细胞分裂x次以后,得到的细胞个数y与x有怎样的 关系？
第1次： 2个
………… ……
第2次：4个 第3次：8个
第x次：
21
22
23
y 2x
一、指数函数的概念
定义: 形如y ax(a 0且a 1)的函数称为指数函数；
其中x是自变量，函数的定义域为R.
①底数：大于零且不等于1的常数,不含有自 变量x；
②指数：自变量x,且x的系数为1； ③系数：ax 的系数为 1.
④只有一项ax
思考:为什么概念中明确规定a>0,且a≠1?
为什么概念中明确规定a>0,且 a≠1
（1）若a
0,
当 当
x 0时, x 0时,
a≠1
a≠ 1
∴a=2
例3、比较下列各题中两个值的大小
(1)1.52.5 ,1.5 3.2 (2)0.5 – 1.2 ,0.5 –
1.5
(3)1.50.3 ,0.8 1.2
四、知识拓展
1、比较a3 与 a4 的大小
解析：分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论： 当 a>1 时 a3 < a4 当 0<a<1 时 a3 > a4
y ax
②
y bx
③
y cx
a>b>c
a b c1
② ③
对同指数幂比较底数的
01
x
大小可设指数为1
(变式)如图：试确定a,b, c的大小关系：
① y ax
y
②
② y bx ③ y cx
指数与对数函数的定义与性质
指数函数在其定义域内单调递 增，而对数函数在其定义域内
单调递减。
指数函数和对数函数在某些 特定点上存在垂直渐近线。
定义域：指数函数和对数函数的定义域不同，指数函数定义域为全体实数，而对数函数定义域 为正实数。
值域：指数函数的值域为全体实数，而对数函数的值域为实数除去对数函数的定义域。
函数图像：指数函数和对数函数的图像在坐标系中的表现也不同，指数函数图像向上无限延伸， 而对数函数图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。
单调性：指数函数和对数函数的单调性也不同，指数函数在定义域内单调递增，而对数函数在 定义域内单调递减。
指数函数与对数函数的定义域 和值域
指数函数与对数函数的单调性
单击此处添加标题
指数函数和对数函数互为反函数：对于任意实数a，有log_b(a) = e^(ln(a))
单击此处添加标题
对数函数的单调性：当底数大于1时，函数在定义域内单调递增；当底数小于1时， 函数在定义域内单调递减。
计算复利 测量声强 估计天体质量 计算地震的里氏震级
PART THREE
对数函数的定义域是正实数， 值域是全体实数。
计算复利：利 用指数函数计 算本金和利息
的累积增长
人口增长预测： 利用指数函数 预测人口增长
趋势
ห้องสมุดไป่ตู้
生物繁殖模型： 利用指数函数 描述生物种群
数量的增长
放射性衰变： 利用指数函数 描述放射性物 质的衰变过程
PART TWO
对数函数是以幂为 自变量，指数为因 变量，底数为常量 的函数。
对数函数的定义域 为正实数集。
指数函数的图象：在坐标系中，当a>1时，函数图象位于第一象限和第四象限；当 0<a<1时，函数图象位于第二象限和第三象限。
指数函数的原理及其应用
指数函数的原理及其应用
指数函数是数学中的一类特殊函数，其定义为f(x) = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1。
指数函数的原理是基于指数的特性，即指数函数的值随着自变量的增大或减小而快速增加或减小。
指数函数在实际应用中具有广泛的用途，以下是几个常见的应用领域：
1. 经济学：指数函数可以用来描述经济增长、物价指数、利率等与时间相关的现象。
例如，GDP的增长通常可以用指数函数来模拟。
2. 生物学：指数函数可以用来描述生物种群的增长和衰亡。
例如，人口增长模型中的Malthusian模型就是基于指数函数的。
3. 物理学：指数函数可以用来描述放射性衰变、电荷的衰减、电流和电压的变化等。
例如，放射性元素的衰变过程可以用指数函数来表示。
4. 金融学：指数函数可以用来描述股票价格的变化、指数的涨跌等。
例如，股价变化常常呈现出指数函数的趋势。
5. 计算机科学：指数函数在计算机科学中广泛应用于算法复杂度分析、指数级增长的问题求解等。
例如，快速幂算法就是基于指数函数的。
总之，指数函数由于其快速增长和衰减的特性，在自然界和人类活动中都有广泛的应用。
它可以用来描述各种变化趋势和量化现象。
课件5：4.2.1 指数函数的概念
针对训练 1．函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且 a≠1)是指数函数， 则 m＝________.
[解析] ∵函数 f(x)＝(m2－m＋1)ax 是指数函数， ∴m2－m＋1＝1，解得 m＝0 或 1. [答案] 0 或 1
2．若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)＝9，则 f(－2)＝ ________，f(1)＝________.
[答案] (－3,4)
题型三 指数函数的定义域与值域 典例 3 求下列函数的定义域和值域：
[解] (1)要使函数式有意义，则 1－3x≥0，即 3x≤1＝30， 因为函数 y＝3x 在 R 上是增函数，所以 x≤0， 故函数 y＝ 1－3x的定义域为(－∞，0]． 因为 x≤0，所以 0<3x≤1， 所以 0≤1－3x<1， 所以 1－3x∈[0,1)， 即函数 y＝ 1－3x的值域为[0,1)．
名师提醒 “y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法
(1)定义域是使 f(x)有意义的 x 的取值范围，即函数 y＝ af(x)的定义域与 y＝f(x)的定义域相同． (2)值域问题，应分以下两步求解： ①由定义域求出 u＝f(x)的值域； ②利用指数函数 y＝au 的单调性求得此函数的值域．
思考诊断 1．观察下列从数集 A 到数集 B 的对应： ①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x； ②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝12x. (1)这两个对应能构成函数吗？ (2)这两个函数有什么特点？
[答案] (1)能 (2)底数为常数，指数为自变量
2．函数 y＝12x 的图象与函数的概念可知，a>0，
a≠1，
得 a＝3.
[答案] (1)B (2)C
名师点醒 判断一个函数是指数函数的方法
指数函数的不定积分
指数函数的不定积分一、引言指数函数是高中数学的重要内容之一，其在数学和科学中都有广泛的应用。
而不定积分是微积分中一个重要的概念，也是指数函数研究的基础之一。
因此，本文将介绍指数函数的不定积分。
二、指数函数的定义指数函数可以表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1。
它是一个连续且单调增加的函数，其图像呈现出一条上升曲线。
三、不定积分的定义不定积分也称为原函数或反导函数，在微积分中用于求解导数。
如果f(x)是一个连续函数，则F(x)是f(x)在区间[a,b]上的原函数，当且仅当F'(x)=f(x)，其中F'(x)表示F(x)在点x处的导数。
四、指数函数的不定积分公式根据微积分基本公式和指数函数的性质，可以得到以下不定积分公式：∫a^xdx = a^x/ln(a)+C其中C为常量。
五、证明过程我们先对a^x求导：d/dx(a^x)=ln(a)*a^x然后将其代入∫a^xdx中：∫a^xdx = 1/ln(a)*∫ln(a)*a^xdx令u = ln(a)*a^x，du/dx=ln(a)*a^x，dx=1/ln(a)*du/a^x 则∫a^xdx = 1/ln(a)*∫u*du= 1/ln(a)*(u^2/2+C)= a^x/ln(a)+C六、应用举例1. 求∫2^xdx根据不定积分公式，可得：∫2^xdx = 2^x/ln(2)+C其中C为常量。
2. 求∫e^(3x)dx根据不定积分公式，可得：∫e^(3x)dx = e^(3x)/ln(e)+C= e^(3x)/1+C其中C为常量。
七、总结指数函数的不定积分是微积分中的重要内容之一，在数学和科学中都有广泛的应用。
本文介绍了指数函数的定义、不定积分的定义和指数函数的不定积分公式，并通过应用举例进行了说明。
指数函数的概念
课堂小结
1.指数函数的概念 2.指数函数的图象和性质 3.简单应用
(2)自变量的大小比较.
(3)函数值的大小比较.
例2.比较下列各组数的大小.
(1) ( 1 )0.8与( 1 )1.8
4
2
(2)
(8Βιβλιοθήκη )3 7与(
7
5
)12
7
8
(3) 1.080.3与0.983.1
小结比较大小的方法：
1.构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为 同底的)
2. 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
轴上为1.
二.图象与性质
1.图象的画法:性质指导下的列表描点法. 2.草图:
观察指数函数 f (x) a x (a 1)
性质
a (1) 无论 为何值,指数函数
f (x) a x 都有 定义域为 R
值域为 0, ,都过点(0,1).
(2) a 1 时,
f (x) a x 在定义域内为增函数；
请看下面函数是否是指数函数：
(1) y x
(2) y 0.3x2
(3) y ( 3) 3x
(5) y 1 x 1 44
(4) y 2 ( 3 ) 2x 4
归纳性质
函数 y 2 x
1.定义域: R
2.值 域: 0,
3.奇偶性:既不是奇函数也不是偶函数
x y 4.截距:在
轴上没有,在
0 a 1 时, f (x) a x 在定义域内为减函数．
(3) a 1 时,
x 0
y
1
0
a 1 时,
x 0
y
1
简单应用
利用指数函数单调性比大小.
例1.比较下列各组数的大小
指数函数的定义
指数函数的定义
指数函数，又称指数式，是一类在微积分学中重要的函數。
它以特殊
形式表达了数量的增长，借助指数函数可以研究不同变量之间的关系。
指数函数有多种不同的定义，既可以理解为数学上的定义，也可以理
解为物理上的定义。
从数学上来看，指数函数可以用y=f(x)表示，其中，以“e”为底的指数函数定义为：y = e^x 。
在此定义中，“e”指的是自然常数，是微
积分学中的一个重要的基本量值，大约等于2.718。
这里的x表示正整数，它代表指数函数的指数部分。
从物理上来看，指数函数可以用y = A * (e ^ (B * x))表示，其中，
A是原点处的函数值，B是该函数的斜率，x表示该函数的自变量，即
x轴上的某个点。
这里，B代表了函数外部输入参量，它影响着指数函
数的增长速度。
只要A和B的值不变，函数就会沿着呈指数函数形状
的情况增长。
此外，指数函数还有一个重要的性质，就是自变量的变化而导致的值
的变化是成比例的，也就是说，当x变化时，y值随之成比例变化。
由此，指数函数可以表达出一个量增长到另一个量时，两个量之间的关系。
总之，指数函数表示一类特殊的函数，它以不同的定义形式存在于数
学和物理中，表达数量的增长，并且拥有一个重要的性质，即自变量
的变化而导致的值的变化是成比例的。
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指数函数的定义
➢ 教学重点：指数函数的定义．
➢ 教学过程：
一、创设情境
1．引导学生复习幂函数图象的特性．
观察图象思考：这是幂函数图象吗？若不是，请说明理由．
2．调动思维的积极性．
某种细胞分裂时，由1个变成2个，2个变成4 个，……如此分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的关系式是什么？
二、导入新知
1． 指数函数的定义
一般地，函数x
a y =（10≠>a a 且）叫做指数函数．
（1）为什么规定a 不等于1？
（2）定义域
例题：1.判断下列函数哪些是指数函数？ （1） x y ）（2-=
（2）x y 53⋅= （3）x y -=3
（4）x
x y )2(=
2． 求函数的定义域
（1）x y -=3
（2）23+=x y （3）x y 13=
三、本课小结
1．指数函数定义的思考、理解．
2．加深对指数函数定义的理解．
四、作业补充
用列表描点法作函数x y 2=与x y ）（21
=的图象，并观察特性．。